aula4 (4)

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4ºaula
Capacitores
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• compreender o significado físico da capacitância e sua importância na identificação de capacitores;
• determinar a capacitância equivalente em associações em série ou em paralelo;
• aplicar parâmetros relacionados ao armazenamento de energia a circuitos elétricos.
Caros(as) alunos(as),
 Nesta nossa quarta aula, primeiramente, na seção 
1, serão introduzidos os conceitos básicos relacionados aos 
capacitores e aos principais aspectos associados à capacitância, 
do ponto de vista físico. Continuando nossos estudos sobre 
capacitores, na seção 2. Conforme a associação em paralelo 
ou em série, veremos como podemos calcular a capacitância 
equivalente e em quais casos a diferença de potencial ou a carga 
se mantém igual entre os capacitores. E, na seção 3, veremos 
como ocorre o processo de armazenamento de energia em 
um capacitor, assim como as variáveis relacionadas a esta 
propriedade intrínseca. 
Bons estudos!
30Física Teórica e Experimental iii
seções de estudo
1 – Capacitância
2 – Associação de Capacitores
3 – Armazenamento de Energia
1 - Capacitância
 
Os capacitores podem ser definidos como dispositivos capazes de armazenar energia. São constantemente aplicáveis em 
nosso cotidiano, seja por meio de equipamentos eletrônicos, como uma máquina fotográfica em seu flash, armazenando energia 
no capacitor e descarregando a partir de uma fotografia ou, ainda, por meio de aplicações a partir do princípio, como visualizado 
na atmosfera, onde o campo elétrico existente é entendido pelos meteorologistas como se constituísse um grande capacitor 
esférico, que se descarrega parcialmente por meio de relâmpagos.
 Veremos com o decorrer de nossos estudos que a representação dos capacitores nos circuitos é apropriada a sua 
representação esquemática real. Trata-se de duas placas paralelas de mesmo material condutor, com área , na realidade, 
este é um dos tipos de capacitores. Todos os pontos desta superfície possuem o mesmo potencial, por isso, são superfícies 
equipotenciais (HALLIDAY et al., 2008). A diferença de potencial entre as placas é historicamente denotada por . As placas 
do capacitor possuem a mesma carga em valores absolutos, mas sinais opostos, isto é, e , como apresentado a seguir:
Figura 1 – Capacitor carregado de placas paralelas. 
Fonte: Young e Freedman (2014).
A magnitude da carga é proporcional a diferença de 
potencial , onde:
 Onde é uma constante de proporcionalidade 
chamada de capacitância, dependente, essencialmente, da 
geometria das placas. A capacitância pode ser definida como 
a quantidade de cargas nas placas necessária para existir uma 
diferença de potencial. No SI, a unidade é o coulomb por volt, 
também denominada farad (F), em que:
 Para compreender o funcionamento prático 
dos capacitores, primeiramente, é necessário conhecer 
os principais elementos de um circuito elétrico, definido 
como um caminho fechado pelo qual uma corrente elétrica 
percorre. Os terminais do circuito são os locais onde as cargas 
elétricas entram ou saem da bateria que, por sua vez, é um 
dispositivo responsável pela diferença de potencial entre estes 
terminais, por meio de reações eletroquímicas, que provocam 
o movimento das cargas (NUSSENZVEIG, 2015). Um 
circuito simples, por exemplo, é formado por uma bateria, 
uma chave, um capacitor descarregado e fios de ligação. O 
terminal positivo, denotado por , possui maior potencial, 
enquanto o terminal de menor potencial é denotado por 
, chamado terminal negativo. 
 Se a chave, geralmente, representada por S, estiver 
aberta, diz-se que o circuito está interrompido, sem uma 
ligação elétrica entre os terminais. Com a chave fechada, 
passa a existir corrente elétrica entre os terminais. Nesse caso, 
o campo elétrico criado pela bateria coloca os elétrons em 
movimento através dos fios, se deslocando de uma placa de 
um capacitor para o terminal positivo da bateria, em seguida, 
desloca do terminal negativo da bateria para uma placa do 
mesmo capacitor. Com isso, a placa fica positivamente 
carregada e a placa se torna negativamente carregada. 
 Considerando duas placas inicialmente descarregadas, 
com diferença de potencial nula, quando a chave é fechada, 
tem-se início o carregamento das placas, com o aumento da 
diferença de potencial até um limite no qual alcança a mesma 
magnitude da diferença de potencial entre os terminais da 
31
bateria. Com o equilíbrio, pode-se verificar o mesmo potencial 
entre a placa e o terminal positivo da bateria, assim como 
entre a placa e o terminal negativo (HALLIDAY et al., 
2008). Sem o deslocamento dos elétrons nos fios do circuito, 
considera-se que o capacitor está totalmente carregado. 
 
2 - associação de Capacitores
Em um circuito com diversos capacitores é 
frequentemente empregável o conceito de capacitor 
equivalente, em que se pode mensurar um único capacitor 
com a mesma capacitância de todos os outros. Mas para 
isso, primeiramente, é preciso reconhecer a disposição dos 
mesmos, em paralelo ou em série, aplicando determinadas 
regras para a obtenção da capacitância equivalente. Veja a 
figura com exemplos de capacitores reais.
Figura 2 – Capacitores reais de , e 
.
 Fonte: Young e Freedman (2014).
 Adiante serão demonstradas as principais 
características das associações de capacitores em paralelo e em 
série. 
2.1 – Capacitores em paralelo
 Quando cada uma das placas de um capacitor se 
conecta a cauda uma das placas do outro capacitor, trata-se 
de associação em paralelo, o que implica em diferenças de 
potencial iguais entre os capacitores. Portanto, neste caso, 
uma diferença de potencial aplicada por uma bateria gera 
uma mesma diferença de potencial entre as placas de todos 
os capacitores. Por isso, afirma-se que em uma associação em 
paralelo de capacitores, a diferença de potencial é conservada, 
contudo, a carga total armazenada em todos os capacitores 
corresponde a soma da carga individual dos mesmos 
(MARTINS, 1994; NUSSENZVEIG, 2015). 
 Com o cálculo da capacitância equivalente busca-
se definir um capacitor que possua a mesma carga total 
e diferença de potencial dos capacitores que formam o 
circuito. A carga de capacitores em paralelo é calculada 
por:
, e 
 Repare que é o mesmo para todos os capacitores, 
pois a associação é em paralelo. 
A carga total é dada pela soma das cargas individuais, 
ou seja:
 Do mesmo modo, a capacitância equivalente é a 
soma das capacitâncias individuais:
 A relação acima é válida somente para associações 
em paralelo. 
2.2 – Capacitores em série
 Os capacitores ligados em série são dispostos em 
sequência. A diferença de potencial aplicada pela bateria 
é diferente entre as placas dos capacitores, o que permite que 
todas as placas possuam a mesma carga . Na associação em 
série, a relação entre a carga armazenada e a diferença de 
potencial pe inversa a apresentada pelos capacitores ligados 
em paralelo. Neste caso, a diferença de potencial aplicada 
corresponde a soma das diferenças de potencial individuais, 
enquanto a carga armazenada no circuito é igual em todos os 
capacitores (MARTINS, 1994; NUSSENZVEIG, 2015). 
 Todos os capacitores armazenam a mesma 
quantidade de energia, em que o carregamento de um 
implica no carregamento do seguinte, trata-se de uma reação 
em cadeia. Isso ocorre devido a algumas características 
importantes, como o fato de a transferência de carga entre os 
capacitores ocorrer somente através de um percurso (mais de 
um percurso implica que a ligação não está em série). Outro 
aspecto é que a bateria apenas insere as cargas nas placas as 
quais está diretamente ligada, o que permite que haja a reação 
em cadeia, isto é, as cargas em determinadas placas advêm de 
outras posicionadas anteriormente.
 Dessa maneira, os capacitores em série também são 
substituíveis por um capacitor equivalente, com a mesma 
carga e diferença de potencial total que os capacitoresdo circuito. A diferença de potencial de cada capacitor em um 
circuito com capacitores, é dada por:
, e 
 Observe que a notação é a mesma em todas as 
equações, pois a carga é igual em todos os capacitores. 
 A soma da diferença de potencial de todos os 
capacitores é igual a diferença de potencial produzida pela 
bateria, em que:
32Física Teórica e Experimental iii
Enquanto a capacitância equivalente em série é:
 A capacitância equivalente de capacitores ligados em 
série é sempre inferior às capacitâncias individuais.
3 - armazenamento de Energia
 Um capacitor é carregado sob a ação de um agente 
externo, isto é, por meio da realização de trabalho. A 
transferência de cargas gera um campo elétrico no caminho 
que torna cada vez mais dificultoso o carregamento do 
capacitor, em razão da oposição do sentido do campo elétrico 
em relação a transferência. Como sabemos, este trabalho é 
realizado por meio de uma bateria, a partir de uma reserva 
de energia química. Com o carregamento, há a conversão de 
trabalho em energia potencial entre as placas do capacitor, que 
pode ser recuperada descarregando o capacitor, o que é feito 
por meio de sua ligação a um circuito elétrico (HALLIDAY 
et al., 2008). 
 Uma diferença de potencial pode ser induzida 
entre as placas de um capacitor ao transferir uma carga de 
uma placa a outra, cuja magnitude é dada por . Assim 
sendo, o trabalho necessário para carregar um capacitor até 
uma carga , a partir destes pequenos incrementos de , 
pode ser obtido mediante a equação:
 Onde o trabalho realizado é igual a energia potencial 
 armazenada no capacitor, que é equivalente a expressão:
 Um fator importante para o armazenamento da 
energia é o espaçamento entre as placas do capacitor, com um 
espaçamento duas vezes maior, por exemplo, a capacitância 
é reduzida pela metade, embora possam ter a mesma carga 
e campos elétricos, entretanto, a energia armazenada é duas 
vezes maior. Portanto, capacitores com as mesmas condições 
geométricas e propriedades elétricas podem variam quanto as 
energias de armazenamento proporcionalmente em relação a 
seus volumes. O que permite inferir que a energia potencial 
armazena está relacionada ao campo elétrico entre as placas. 
 O campo elétrico entre as placas paralelas de um 
capacitor pode ser considerado uniforme, desprezando o 
efeito das bordas. Assim, a densidade de energia , definida 
como energia potencial por unidade de volume, também deve 
ser uniforme. Dado um espaçamento entre as placas, a 
densidade corresponde a razão entre a energia potencial e o 
volume entre as placas, que mensuramos como , assim:
 Como , então:
 
 Onde:
 Onde a constante elétrica é 
.
 O que acarreta:
 Sendo igual ao módulo do campo elétrico , 
então:
 Dado que em um determinado ponto do espaço tem-
se um campo elétrico , este ponde pode ser entendido como 
uma fonte de energia potencial elétrica, que pode ser analisada 
em uma região do espaço pelo conceito de densidade de 
energia acima. 
Exemplo 1
 
Determine a capacitância equivalente da combinação 
de capacitores que aparece a seguir, à qual é aplicada uma 
diferença de potencial . Os valores das capacitâncias são os 
seguintes , e 
(HALLIDAY et al., 2008, p. 119). 
Figura 3 – Circuitos com os capacitores e , associados 
em paralelo, e , submetidos a um potencial . 
Fonte: Halliday et al. (2008).
Solução:
 Analisando primeiro se os capacitores (ou 
) estão ligados em série com , percebemos que aplicando 
o potencial , a carga que se acumula na placa inferior do 
capacitor , o deixa para se dividir e acumular nas placas 
inferiores dos capacitores e , neste caso e não 
estão ligados em série . 
 Já as placas inferiores e superiores dos capacitores 
33
e estão ligadas entre si, o que garante a mesma diferença de 
potencial, por isso, e estão ligados em paralelo, o que 
resulta em uma capacitância equivalente :
 Com este cálculo, podemos esquematizar um novo 
circuito, representado a seguir: 
Figura 4 – Capacitores e associados em série. 
Fonte: Halliday et al. (2008).
 Vemos assim, que toda a carga que deixa a placa 
superior do capacitor chega a placa inferior do capacitor 
. Logo, e estão em série. Com isso, podemos 
calcular a capacitância equivalente :
 Todos os capacitores do circuito são equivalentes a 
um capacitor de .
Exemplo 2
 
O capacitor , com , é carregado com 
uma diferença de potencial por uma bateria de 
. A bateria é removida e o capacitor é ligado, como na 
figura, a um capacitor descarregado , com 
. Quando a chave é fechada, parte da carga de um dos 
capacitores é transferida para o outro. Determine a carga dos 
capacitores depois que o equilíbrio é atingido (HALLIDAY, 
et al., 2008, p. 120). 
Figura 5 – Circuito com um capacitor carregado e um 
capacitor descarregado , em que o equilíbrio das cargas é 
atingido fechando a chave .
Fonte: Halliday et al. (2008).
Solução:
 Esta situação é diferente da anterior em que o 
circuito era mantido a uma diferença de potencial constante. 
Neste circuito, após o capacitor 1 ser carregado e ligado ao 
capacitor 2, a diferença de potencial do capacitor 1 diminui 
progressivamente, enquanto aumenta a diferença de potencial, 
assim como a carga, do capacitor 2. Quando os potenciais das 
placas dos capacitores se tornam iguais, não é mais gerado 
campo elétrico e a corrente cessa, o equilíbrio foi atingido. 
 A carga adquirida pelo capacitor 1 ao ser ligado a 
bateria corresponde a carga total :
 Onde e , assim:
 Atingido o equilíbrio, os potenciais dos capacitores 1 
e 2 são iguais, portanto:
 Sendo a carga total, e as cargas finais dos 
capacitores 1 e 2, respectivamente, é válida a expressão:
 Substituindo na expressão para o equilíbrio dos 
potenciais, é determinado:
 Ao evidenciar , obtém-se:
 Para , e 
:
 A carga pode ser determinada substituindo na 
expressão para a conservação de carga, veja:
 Então, após o equilíbrio ser atingido, as cargas dos 
capacitores 1 e 2 são e , respectivamente.
34Física Teórica e Experimental iii
Exemplo 3
 
Um capacitor de placas paralelas com placas quadradas, 
cada uma com lado de , separadas por , é 
conectado a uma bateria e carregado com (TIPLER et 
al., 2014, p. 115).
(a) Qual é a carga no capacitor?
Solução:
 A carga do capacitor de capacitância e com uma 
tensão de é obtida mediante:
 A capacitância de um capacitor de placas paralelas é 
dada por:
 Onde a constante elétrica é 
. 
 Com a expressão da capacitância em , depreende-
se:
 As placas do capacitor são quadradas 
e paralelas, então, , com um 
espaçamento e sendo e 
, é obtido:
 A carga no capacitor é de .
(b) Quanta energia é armazenada no capacitor?
Solução:
 A energia armazenada no capacitor ( ) é encontrada 
por:
 Em que e . Logo:
 Como calculado, o capacitor possui de 
energia armazenada. 
(c) A bateria é, então, desconectada do capacitor e as 
placas são afastadas até que a separação entre elas aumente 
para . Quanto varia a energia armazenada quando 
a separação entre as placas aumenta de para 
?
Solução:
 Ao denotar a energia armazenada no capacitor após 
o aumento da separação entre as placas por , a variação da 
energia armazenada ( ) é expressa a seguir:
 Com a desconexão da bateria, a densidade de 
carga se mantém constante, de modo que o campo elétrico 
na superfície de um condutor é definido por 
, consequentemente o campo elétrico também se mantém 
constante. Desse modo, considerando um campo elétrico 
anterior e posterior a separação, e , respectivamente, é 
válido aplicar:
 A diferença de potencial em um capacitor 
corresponde ao produto entre o campo elétrico e a 
distância entre as placas, isto é, . Ao evidenciar 
e substituí-lo na expressão anterior, é encontrado:
 O que na expressão para a variação da energia 
armazenada , origina:
 O termo corresponde a energia armazenada 
antes da separação das placas ( ). Logo:
 Com , e 
, é encontrado: 
 Se é aumentada a separação das placas deum 
capacitor sua energia armazena diminui, neste caso, houve 
uma diminuição de .
Exemplo 4
 
Na figura, a seguir, carregamos um capacitor de carga 
35
 conectando-o a uma fonte de energia 
potencial (não mostrada na figura). A chave 
 está, inicialmente, aberta. Depois de carregar , a fonte 
da diferença de potencial é desconectada (YOUNG; 
FREEDMAN, 2014, p. 114).
Figura 6 – O capacitor da malha a esquerda é carregado, 
ao fechar a chave este é conectado a malha direita, em que 
contém o capacitor , inicialmente descarregado.
Fonte: Halliday et al. (2008).
(a) Qual é a carga sobre quando a chave é 
mantida aberta? 
Solução:
 Mantendo a chave aberta, apenas há passagem 
de diferença de potencial no capacitor 1, em decorrência da 
tensão , onde a carga é dada por:
 Portanto, a carga inicial no circuito 1, isto é, antes de 
chave ser fechada, é de .
(b) Qual é a energia armazenada em quando a chave 
 é mantida aberta? 
Solução:
 A energia armazenada em é expressa por:
Como a chave está aberta, é a mesma carga obtida no 
item (a), devido à tensão . Logo:
 Assim sendo, a energia armazenada em com a 
chave aberta é de .
(c) O capacitor de capacitância está 
inicialmente descarregado. Depois de fechar a chave , qual 
é a diferença de potencial através de cada capacitor e qual é a 
carga de cada capacitor? 
Solução: 
 Com o capacitor 2 inicialmente descarregado, o 
fechamento da chave provoca a distribuição de carga entre 
os capacitores 1 e 2, com a carga negativa nas placas inferiores 
e a carga positiva nas placas superiores. Com o tempo, é 
atingido o equilíbrio na distribuição de cargas, de modo 
que se tenha o mesmo potencial entre as placas superiores, 
conectadas pelo fio superior e entre as placas inferiores, 
conectadas pelo fio inferior. Entretanto, os potenciais entre 
as placas de cada capacitor são diferentes, é igual somente a 
diferença de potencial dos dois capacitores. 
 Conforme o princípio da conservação de cargas, 
aplicado em outros momentos de nossos estudos, tem-se:
 Onde e são as cargas nos capacitores após o 
equilíbrio, em que e , assim:
 E:
 Em que é a diferença de potencial, igual entre os 
capacitores, após o equilíbrio. 
 Para , e 
:
Obtendo e :
 Com a chave fechada a diferença de potencial dos 
capacitores é de e as cargas dos capacitores 1 e 2 são 
 e , respectivamente.
(d) Qual é a energia total do sistema depois que fechamos 
a chave ? 
Solução: 
 A energia total do sistema ( ) é simplesmente 
a soma da energia armazenada em cada capacitor após o 
fechamento da chave , portanto:
 
Sendo e :
A energia total do sistema em sua condição de equilíbrio 
após o fechamento da chave é de .
36Física Teórica e Experimental iii
retomando a aula
 
Chegamos, assim, ao final de nossa aula. 
Vamos, então, recordar algumas discussões 
realizadas ao longo das seções? 
 
1 – Capacitância
 Os capacitores podem ser definidos como 
dispositivos capazes de armazenar energia. São constantemente 
aplicáveis em nosso cotidiano, seja por meio de equipamentos 
eletrônicos ou, ainda, visualizado na atmosfera, acarretando 
descargas elétricas. A capacitância pode ser definida como 
a quantidade de cargas nas placas de capacitores para que 
haja uma diferença de potencial. Considerando duas placas 
inicialmente descarregadas, com diferença de potencial nula, 
quando a chave de um circuito é fechada, tem-se início 
o carregamento das placas, com o aumento da diferença 
de potencial até que seja alcançada a mesma diferença de 
potencial entre os terminais da bateria. Sem o deslocamento 
dos elétrons nos fios do circuito, o capacitor está totalmente 
carregado. 
 
2 – Associação de Capacitores
 Em um circuito com diversos capacitores é 
frequentemente empregável o conceito de capacitor 
equivalente. Quando cada uma das placas de um capacitor 
se conecta a cada uma das placas do outro capacitor, trata-se 
de associação em paralelo, o que implica em diferenças de 
potencial iguais entre os capacitores. Contudo, a carga total 
se divide entre os capacitores. Os capacitores ligados em série 
são dispostos em sequência. A diferença de potencial aplicada 
pela bateria é diferente entre as placas dos capacitores, o que 
permite que todas as placas possuam a mesma carga. Tanto 
para as associações em série, como para as associações em 
paralelo de capacitores, foram demonstrados os métodos de 
cálculo das respectivas capacitâncias equivalentes.
3 – Armazenamento de Energia
 Um capacitor é carregado por meio da realização de 
trabalho. A transferência de cargas gera um campo elétrico no 
caminho que torna cada vez mais dificultoso o carregamento 
do capacitor, este trabalho é realizado por meio de uma 
bateria. Com o carregamento, há a conversão de trabalho em 
energia potencial entre as placas do capacitor, que pode ser 
recuperada descarregando o capacitor, o que é feito por meio 
de sua ligação a um circuito elétrico. Foram demonstradas as 
expressões para o cálculo da energia potencial armazenada, 
a densidade de energia e a capacitância em termos da área e 
da distância entre as placas dos capacitores. Vimos também 
que capacitores com as mesmas condições geométricas 
e propriedades elétricas podem variar quanto as energias 
de armazenamento proporcionalmente em relação a seus 
volumes.
Vale a pena
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, 
Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2008.
 TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene; MORS, Paulo 
Machado. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
 YOUNG, Hugh; FREEDMAN, Roger A. Física 
III: eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison 
Wesley, v. 3, 2014. 402 p.
Vale a pena ler
Capacitores. Disponível em: http://www.inf.unioeste.
br/~reginaldo/informatica/capacitor/capacitor1.pdf. 
Acesso em: 05 maio 2020.
 Capacitor! O que é, tipos e aplicações! Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=EBSpmPwo6VQ. 
Acesso em: 05 maio 2020.
 Capacitores e dielétricos. Disponível em: https://
www.youtube.com/watch?v=08B6k_8RMxg. Acesso em: 
05 maio 2020.
Vale a pena acessar
 
Minhas anotações