exerciciosU4-algebra linear

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Sociedade Brasileira de Matema´tica
Mestrado Profissional em Matema´tica em Rede Nacional
MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear
Unidade 4 - Matrizes elementares, resoluc¸a˜o de sistemas
Exerc´ıcios recomendados
1) Uma certa sequeˆncia de transformac¸o˜es elementares aplicadas a uma matriz
A produz uma matriz B. A mesma sequeˆncia aplicada a AB produzira´ que
matriz? Justique sua resposta.
2) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem.
(a) Mostre que, se AB = I enta˜o A e´ invert´ıvel e A−1 = B.
(b) Mostre que AB e´ invert´ıvel se, e somente se A e B sa˜o invert´ıveis.
3) Como devem ser escolhidos os coeficientes a, b e c para que o sistema
ax + by − 3z = −3
−2x − by + cz = −1
ax + 3y − cz = −3
tenha a soluc¸a˜o x = 1, y = −1 e z = 2 ?
4) Determine os valores de k ∈ R para que o sistema abaixo
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
(a) tenha uma u´nica soluc¸a˜o;
(b) na˜o tenha soluc¸a˜o;
(c) tenha mais de uma soluc¸a˜o.
5) Se A e´ uma matriz 2× 1 e B e´ 1× 2, mostre que AB na˜o e´ invert´ıvel.
6) Seja A uma matriz n×n. Mostre que se A na˜o e´ invert´ıvel, enta˜o existe uma
matriz B de ordem n× n, na˜o nula, tal que AB = 0.
7) Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A comuta com qualquer matriz
n× n se, somente se, existe a ∈ R tal que A = aIn.
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