Tema 05 - 04 - Lista de Exercícios - Distribuição de Poisson - Gabarito

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - INF A48 
 
Catiúscia A. B. 
Borges 
 1 
Tema 05 – Lista de Exercícios – Distribuição de Poisson 
 
1) Considere um processo que têm uma taxa média de 0,2 defeitos por unidade. 
Qual a probabilidade de uma unidade qualquer apresentar: 
a) dois defeitos? 
𝜆 = 0,2 𝑘 = 2 
 
𝑃(𝑋 = 2 ) =
𝑒−0,2. 0,22 
2!
= 0,0164 = 1,64% 
 
b) um defeito? 
𝜆 = 0,2 𝑘 = 1 
 
𝑃(𝑋 = 1 ) =
𝑒−0,2. 0,21 
1!
= 0,1637 = 16,37% 
 
c) zero defeito? 
𝜆 = 0,2 𝑘 = 0 
 
𝑃(𝑋 = 0 ) =
𝑒−0,2. 0,20 
0!
= 0,8187 = 81,87% 
 
2) Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por 
minuto. Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada durante 
um intervalo de 1 minuto? 
𝜆 = 5 𝑘 = 0 
 
𝑃(𝑋 = 0 ) =
𝑒−5. 50 
0!
= 0,0067 = 0,67% 
 
3) A experiência passada mostra que 1% das lâmpadas incandescentes 
produzidas em numa fábrica são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que 
uma lâmpada numa amostra aleatória de 30 lâmpadas sejam defeituosa, usando a 
distribuição de Poisson. 
 
𝜆 = 𝑛. 𝑝 = 0,3 𝑘 = 2,3,4 … 30 
𝑃(𝑋 ≤ 1 ) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) =
𝑒−0,3. 0,30 
0!
+
𝑒−0,1. 0,31 
1!
 
 
𝑃(𝑋 ≤ 1 ) = 0,7408 + 0,2222 = 0,9630 = 96,30% 
 
𝑃(𝑋 ≥ 2 ) = 100% − 96,30% = 3,70% 
 
 
 
 
 
 
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4) (ANAC – 2016 - Adpatada) Passageiros chegam a um aeroporto a uma taxa 
média de três passageiros por segundo. Determinar qual a probabilidade (P) de que: 
a) Exatamente dois passageiros chegarão ao aeroporto em um intervalo de um 
segundo. 
𝜆 = 3 𝑘 = 2 
 
𝑃(𝑋 = 0 ) =
𝑒−3. 32 
2!
= 0,2240 = 22,40% 
 
b) Não mais de dois passageiros chegarão ao aeroporto em um intervalo de um 
segundo. 
𝜆 = 3 𝑘 = 0,1,2 
 
𝑃(𝑋 ≤ 2 ) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 
𝑒−3. 30 
0!
+
𝑒−3. 31 
1!
𝑒−3. 32 
2!
= 
 
𝑃(𝑋 ≤ 2 ) = 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 = 0,4232 = 42,32% 
 
5) Em determinado aeroporto chegam, em média, 8 aeronaves no intervalo de 
4 horas, provenientes de voos domésticos. 
a) Determine a probabilidade de chegarem 10 aeronaves em 4 horas. 
𝜆 = 8 𝑘 = 10 
 
𝑃(𝑋 = 10 ) = 
𝑒−8. 810 
10!
= 0,0993 = 09,93% 
 
 
b) Determine a probabilidade de chegarem 10 aeronaves em 8 horas. 
𝜆 = 16 𝑘 = 10 
 
𝑃(𝑋 = 10 ) = 
𝑒−16. 1610 
10!
= 0,0341 = 03,41% 
 
 
6) (RFB – Esaf 2009). O número de petroleiros que chegam a uma refinaria 
ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. 
Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em 
dois dias é igual a: 
𝜆 = 4 𝑘 = 0,1,2,3 
 
𝑃(𝑋 ≤ 3 ) = 
𝑒−4. 40 
0!
+
𝑒−4. 41 
1!
+
𝑒−4. 42 
2!
+ 
𝑒−4. 43 
3!
= 
 
 
𝑃(𝑋 ≤ 3 ) = 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 + 0,1954 = 0,4335 = 43,35% 
 
 
 
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7) (SEFAZ PI – FCC 2015). O número de falhas mensais de um computador é 
uma variável que tem distribuição de Poisson com média λ. Sabe-se que λ é igual à 
média de uma distribuição uniforme no intervalo [2, 4]. Nessas condições, a 
probabilidade de o computador apresentar exatamente duas falhas no período de 
15 dias é igual a: 
 
λ é igual à média de uma distribuição uniforme no intervalo [2, 4] → λ = 3 em um 
mês, logo para 15 dias a média é a metade 
𝜆 = 1,5 𝑘 = 2 
 
𝑃(𝑋 = 2 ) = 
𝑒−1,5. 1,52 
2!
= 0,2510 = 25,10% 
 
 
8) O erro de digitação cometido pelos caixas é 0,35 por hora. Qual a 
probabilidade de que um caixa cometa 2 erros numa hora? 
 
𝜆 = 0,35 𝑘 = 2 
 
𝑃(𝑋 = 2 ) = 
𝑒−0,35. 0,352 
2!
= 0,9945 = 99,45% 
 
9) Suponha que uma aplicação de tinta em um automóvel é feita de forma 
mecânica, e pode produzir defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas mal 
pintadas, de acordo com uma variável aleatória X que segue uma distribuição de 
Poisson de parâmetro 𝜆 = 1. Monte um a tabela de distribuição de probabilidade 
para K = 0,1,2... defeitos 
X P(X) 
0 P(X = 0) =
𝑒−1. 10 
0!
= 0,3679 = 36,79% 
1 P(X = 1) =
𝑒−1. 11 
1!
= 0,3679 = 36,79% 
2 P(X = 2) =
𝑒−1. 12 
2!
= 0,1839 = 18,39% 
3 P(X = 3) =
𝑒−1. 13 
3!
= 0,0613 = 6,13% 
4 P(X = 4) =
𝑒−1. 14 
4!
= 0,0153 = 1,53% 
5 P(X = 5) =
𝑒−1. 15 
5!
= 0,0031 = 0,31% 
6 P(X = 6) =
𝑒−1. 16 
6!
= 0,0005 = 0,05% 
7 P(X ≥ 7) =
𝑒−1. 17 
7!
= 0,0001 = 0,01% 
 
 
 
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10) Bactérias de certa classe aparecem na água a razão de 0,8 por cm³. Qual é a 
probabilidade de que em 5 cm³ de água tenhamos: 
 
a) no mínimo duas bactérias. 
𝜆 = 4 𝑘 = 2,3,4,5 … 
 
𝑃(𝑋 ≥ 2 ) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 
 
𝑃(𝑋 ≤ 1 ) = 
𝑒−4. 40 
0!
+
𝑒−4. 41 
1!
= 0,0183 + 0,0733 = 0,0916 = 9,16% 
 
𝑃(𝑋 ≥ 2 ) = 100% − 9,16% = 90,84% 
 
 
 
b) pelo menos 3 bactérias. 
 
𝜆 = 4 𝑘 = 3, 4,5,6,7 …. 
 
𝑃(𝑋 ≤ 2 ) = 
𝑒−4. 40 
0!
+
𝑒−4. 41 
1!
+
𝑒−4. 42 
2!
= 
 
𝑃(𝑋 ≤ 2 ) = 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 = 0,2381 = 23,81% 
 
𝑃(𝑋 ≥ 3 ) = 100% − 23,81% = 76,19% 
 
 
c) nenhuma. 
 
𝜆 = 4 𝑘 = 0 
 
P(X = 0) = 
e−4. 40 
0!
= 0,0183 = 1,83% 
 
 
d) no máximo 4 . 
 
𝜆 = 4 𝑘 = 0,1,2, 3, 4 
 
𝑃(𝑋 ≤ 4 ) = 
𝑒−4. 40 
0!
+
𝑒−4. 41 
1!
+
𝑒−4. 42 
2!
+ 
𝑒−4. 43 
3!
+ 
𝑒−4. 44 
4!
= 
 
 
𝑃(𝑋 ≤ 4 ) = 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 + 0,1954 + 0,1954 = 0,6288 = 62,88% 
 
 
 
 
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11) A taxa de suicídios num certo país é de um para cada 250.000 habitantes por 
semana. Considere uma cidade de 500.000 habitantes calcule a probabilidade de ter 
2 ou mais suicídios numa semana? 
𝜆 = 2 𝑘 = 0,1 
 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 
𝑒−2. 20 
0!
+
𝑒−2. 21 
1!
= 0,1353 + 0,2707 = 0,4060 = 40,60% 
 
𝑃(𝑋 ≥ 2 ) = 100% − 40,60% = 59,40% 
 
 
12) Os trabalhadores de certa fábrica sofrem em média dois acidentes por mês. 
Calcule as probabilidades dos seguintes eventos: 
a) ocorrem 5 acidentes num período de um mês. 
 
𝜆 = 2 𝑘 = 5 
 
𝑃(𝑋 = 5) = 
𝑒−2.25 
5!
= 0,0361 = 3,61% 
 
b) ocorrem 8 num período de dois meses. 
𝜆 = 4 𝑘 = 8 
 
𝑃(𝑋 = 8) = 
𝑒−4.48 
8!
= 0,0298 = 2,98% 
 
 
13) Um digitador comete 0,5 erros por folha em média ao transcrever um texto. 
Qual é a probabilidade de que num texto de 15 páginas cometa entre 8 e 10 erros 
(ambos inclusive)? 
 
𝜆 = 7,5 𝑘 = 8,9,10 
 
𝑃(8 ≤ X ≤ 10) = 
𝑒−7,5. 7,58 
8!
+
𝑒−7,5. 7,59 
9!
+
𝑒−7,5. 7,510 
10!
= 
 
𝑃(8 ≤ X ≤ 10) = 0,1373 + 0,1144 + 0,858 = 0,3375 = 33,75% 
 
 
14) Entre as 14h00min e as 17h00min em dias úteis passam por um pedágio 90 
carros em média. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos em qualquer dia 
útil: 
a) passarem 100 carros entre 14h00min e 17h00min; 
𝜆 = 90 𝑘 = 100 
 
𝑃(𝑋 = 100) = 
𝑒−90. 90100 
100!
= 0,0233 = 2,33% 
 
 
 
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b) passarem 25 carros entre 14h00min e 15h00min; 
 
𝜆 = 30 𝑘 = 25 
 
𝑃(𝑋 = 25) = 
𝑒−30. 3025 
25!
= 0,0511 = 5,11% 
 
 
c) passarem 70 carros entre 15h00min e 17h00min; 
 
𝜆 = 60 𝑘 = 70 
 
𝑃(𝑋 = 70) = 
𝑒−60. 6070 
70!
= 0,0216 = 2,16%