A Elipse-Aula8 (3)

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA.
CURSO: MATEMÁTICA
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA
PROF. GILBERTO VOGADO
AULA 8
A ELIPSE
DEFINIÇÃO
Dados dois pontos F1 e F2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do
plano tais que d(P,F1)+d(P,F2)=2a OU 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎 .
• Focos: são os pontos F1 e F2,
• Distância Focal: é a distância 2c entre os
focos,
• Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2,
• Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2,
• Eixo maior: é o segmento A1A2 de
comprimento 2a (o segmento A1A2 contém os
focos e os seus extremos pertencem a
elipse),
• Eixo menor: é o segmento B1B2 de
comprimento 2b (B1B2 ḻ A1A2 no seu ponto
médio).
• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a.
Como c<a, temos 0<e<1.
• Em toda elipse vale a relação:
Elementos da Elipse
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
Equação da Elipse de Centro na Origem do Sistema
a) Eixo maior sobre o eixo dos x:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎
Seja:
𝑃 = (𝑥, 𝑦) é o ponto genérico da elipse
𝐹1 = (−𝑐, 0) e 𝐹2 = (𝑐, 0) são os focos
𝑃𝐹1 = 𝐹1 − 𝑃
𝑃𝐹1 = (−𝑐, 0) − (𝑥, 𝑦)
𝑃𝐹1 = (−𝑐 − 𝑥,−𝑦)
𝑃𝐹2 = 𝐹2 − 𝑃
𝑃𝐹2 = (𝑐, 0) − (𝑥, 𝑦)
𝑃𝐹2 = (𝑐 − 𝑥,−𝑦)
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎
(−𝑐 − 𝑥)2+(−𝑦)2+ (𝑐 − 𝑥)2+(−𝑦)2= 2𝑎
𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑎
𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑎 − 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:
𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 = (2𝑎 − 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 )2
𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2
2𝑐𝑥 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑐𝑥
4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = −4𝑎 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:
(4𝑐𝑥 − 4𝑎2)2= 16𝑎2(𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2)
(4𝑐𝑥 − 4𝑎2)2= 16𝑎2(𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2)
16𝑐2𝑥2 − 32𝑐𝑥𝑎2 + 16𝑎4 = 16𝑎2𝑐2 − 32𝑐𝑥𝑎2 + 16𝑎2𝑥2 + 16𝑎2𝑦2
16𝑐2𝑥2 + 16𝑎4 = 16𝑎2𝑐2 + 16𝑎2𝑥2 + 16𝑎2𝑦2
16𝑎4 − 16𝑎2𝑐2 = 16𝑎2𝑥2 − 16𝑐2𝑥2 + 16𝑎2𝑦2
16𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) = 16𝑥2(𝑎2−𝑐2) + 16𝑎2𝑦2
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2
16𝑎2𝑏2 = 16𝑥2𝑏2 + 16𝑎2𝑦2 (÷ 16𝑎2𝑏2)
16𝑎2𝑏2
16𝑎2𝑏2
=
16𝑥2𝑏2
16𝑎2𝑏2
+
16𝑎2𝑦2
16𝑎2𝑏2
1 =
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 Equação reduzida da elipse
𝐴1 = −𝑎, 0
𝐵1 = 0,−𝑏
𝐹1 = (−𝑐, 0)
𝐴2 = 𝑎, 0
𝐵2 = 0, 𝑏
𝐹2 = (𝑐, 0)
b) Eixo maior sobre o eixo dos y
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+
OBSERVAÇÕES
Como temos que .
Então, sempre o maior dos denominadores da equação reduzida
representa o número onde a é a medida do semi-eixo maior.
E mais, se na equação da elipse o número é denominador de , a
elipse tem seu eixo maior sobre o eixo x e se o número é
denominador de , a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo y
a b c2 2 2= + ba 
22 ba
2a
2a
2x
2a
y2
Ex1: Determinar: a medida dos semi-eixos, os focos, a excentricidade e 
um esboço do gráfico:
𝑎) 9x2 + 25y2 = 225
Resolução
9x2 + 25y2 = 225 (÷ 225)
9x2
225
+
25y2
225
=
225
225
x2
25
+
y2
9
= 1
a medida dos semi-eixos
𝑎2 = 25 → 𝑎 = 5
𝑏2 = 9 → 𝑏 = 3
os focos
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
52 = 32 + 𝑐2
25 = 9 + 𝑐2
𝑐2 = 25 − 9
𝑐2 = 16
𝑐 = 4
𝐹1 = (−4, 0)
𝐹2 = (4, 0)
a excentricidade
𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
4
5
um esboço do gráfico
b) 4x2 + y2 − 16 = 0
Resolução
4x2 + y2 − 16 = 0
4x2 + y2 = 16 (÷ 16)
4x2
16
+
y2
16
=
16
16
x2
4
+
y2
16
= 1
a medida dos semi-eixos
𝑎2 = 16 → 𝑎 = 4
𝑏2 = 4 → 𝑏 = 2
os focos
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
42 = 22 + 𝑐2
16 = 4 + 𝑐2
𝑐2 = 16 − 4
𝑐2 = 12
𝑐 = 2 3
𝐹1 = (0,−2 3)
𝐹2 = (0,2 3)
a excentricidade
𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
2 3
4
→ 𝑒 =
3
2
um esboço do gráfico
Ex2:Determine a equação da elipse que tem centro C(0,0), um foco F(3,0) e
eixo maior 8.
Resolução
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
2𝑎 = 8 → 𝑎 = 4
𝑐 = 3
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
42 = 𝑏2 + 32
16 = 𝑏2 + 9
𝑏2 = 16 − 9
𝑏2 = 7
𝑏 = 7
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥2
42
+
𝑦2
( 7)2
= 1
𝑥2
16
+
𝑦2
7
= 1