Regra da Cadeia e Derivada Direcional em Cálculo III

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Cálculo III Aula: Regra da Cadeia (versão geral) e Derivada Direcional de Funções de Várias Variáveis
Cálculo III
Aula: Regra da Cadeia (versão geral) e Derivada
Direcional de Funções de Várias Variáveis
Prof. Rafael Rodrigo Ottoboni
Departamento de Matemática - ICENE/UFTM
Cálculo III Aula: Regra da Cadeia (versão geral) e Derivada Direcional de Funções de Várias Variáveis
Sumário
Regra da Cadeia (Versão Geral)
Derivadas Direcionais
Derivada direcional de uma função de duas variáveis reais a valores
reais: definição
Derivada direcional de uma função de duas variáveis reais a valores
reais: Cálculo
Interpretação geométrica da derivada direcional de função de duas
variáveis reais a valores reais
Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente de uma Função de Duas
Variáveis
Bibliografia
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Regra da Cadeia (Versão Geral)
Regra da Cadeia do Cálculo 3 (Versão Geral)
Considere um conjunto de n funções de m variáveis
x1, . . . , xn : V ⊂ Rm → R,
onde xj = xj(t1, . . . , tm), para todo 1 ≤ j ≤ n e uma função n variáveis
f : U ⊂ Rn → R.
Suponha que Imx1 × · · · × Imxn ⊂ Df e considere a função vetorial de m
variáveis
γ : V ⊂ Rm → Rn
definida por:
γ(t1, . . . , tm) =
(
x1(t1, . . . , tm), . . . , xn(t1, . . . , tm)
)
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Regra da Cadeia (Versão Geral)
Suponha que xj ,∀j ∈ {1, . . . , n}, tem todas derivadas parciais de 1a ordem em
todos os pontos de V . Então a função de m variáveis foγ : V ⊂ Rm → R tem
derivadas parciais em todos os pontos de V e
∂(foγ)
∂tj
(t1, . . . , tm) = ∇f
(
x1(t1, . . . , tm), . . . , xn(t1, . . . , tm)
)
.
(
∂γ
∂tj
(t1, . . . , tm)
)
ou seja
∂(foγ)
∂tj
(t1, . . . , tm) =
∂f
∂x1
(γ(t1, . . . , tm)).
∂x1
∂tj
(t1, . . . , tm) + . . .
· · ·+ ∂f
∂xn
(γ(t1, . . . , tm)).
∂xn
∂tj
(t1, . . . , tm)
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Regra da Cadeia (Versão Geral)
Exerćıcio 1
Calcule
∂z
∂x
e
∂z
∂y
, onde z = f (u, v), com u = g(x , y) e
v = h(x , y) são dadas abaixo:
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Regra da Cadeia (Versão Geral)
Exerćıcio 2
Se u = x4y + y2z3, onde x = r .s.et , y = r .s2.e−t e
z = r2.s.sen(t), determine o valor de
∂u
∂s
quando r = 2, s = 1 e
t = 0
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Derivadas Direcionais
Derivada direcional de uma função de duas variáveis reais a valores reais: definição
Derivada direcional de uma função de duas variáveis reais a
valores reais: definição
Considere uma função de duas variáveis f : U ⊂ R2 → R, um
ponto (x0, y0) ∈ U e um vetor unitário ~u = (a, b). Dizemos que f
tem derivada direcional na direção do vetor unitário ~u em (x0, y0)
se existir o limite:
∂f
∂~u
(x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)
h
.
No caso de existência do limite acima, o valor real
∂f
∂~u
(x0, y0) é
chamado de derivada direcional (ou taxa de variação) de f na
direção de ~u em (x0, y0).
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Derivadas Direcionais
Derivada direcional de uma função de duas variáveis reais a valores reais: Cálculo
Derivada direcional de uma função de duas variáveis reais a
valores reais: Cálculo
Considere f uma função de duas variáveis que tem todas as
derivadas parciais de 1a ordem em uma vizinhança de (x0, y0) ∈ Df .
Se
∂f
∂~u
(x0, y0) existir, onde ~u = (a, b) é um vetor unitário, então:
∂f
∂~u
(x0, y0) = ∇f (x0, y0).~u
ou seja
∂f
∂~u
(x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0).a +
∂f
∂y
(x0, y0).b
É importante observarmos que este resultado também pode ser
estendido se considerarmos f de n(n > 2) variáveis.
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Derivadas Direcionais
Derivada direcional de uma função de duas variáveis reais a valores reais: Cálculo
Exerćıcio 3
Determine a taxa de variação de f em P na direção de ~v :
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Derivadas Direcionais
Interpretação geométrica da derivada direcional de função de duas variáveis reais a valores reais
Interpretação geométrica da derivada direcional de função
de duas variáveis reais a valores reais
Temos que
tgγ =
∂f
∂u
(x0, y0) coeficiente angular da reta tangente a curva C no ponto
P = (x0, y0, f (x0, y0)), onde C é a interseção de Grf com o plano vertical com direção
do vetor unitário ~u que passa por P = (x0, y0, f (x0, y0)).
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Derivadas Direcionais
Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente de uma Função de Duas Variáveis
Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente de uma Função
de Duas Variáveis
Considere f uma função de duas variáveis, (x0, y0) ∈ Df . Suponha
que exista
∂f
∂~u
(x0, y0), ∀~u, vetor unitário. Então
a) o valor máximo da derivada direcional
∂f
∂~u
(x0, y0) é
||∇f (x0, y0)|| e ocorre quando ~u tem a mesma direção e
sentido do vetor gradiente ∇f (x0, y0).
b) o valor ḿınimo da derivada direcional
∂f
∂~u
(x0, y0) é
−||∇f (x0, y0)|| e ocorre quando ~u tem a mesma direção,
porém sentido contrário ao do vetor gradiente ∇f (x0, y0).
É importante observarmos que este resultado também pode ser
estendido se considerarmos f de n(n > 2) variáveis.
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Derivadas Direcionais
Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente de uma Função de Duas Variáveis
Exerćıcio 4
Sejam f (x , y) = x3ex−y , P(1, 0) e Q(0, 1).
a) Encontre a derivada direcional de f no ponto P, na direção de
P a Q.
b) Ache o vetor unitário na direção e sentido em que f cresce
mais rapidamente no ponto P e determine a taxa de variação
de f nesta direção.
c) Ache o vetor unitário na direção e sentido em que f decresce
mais rapidamente no ponto P e determine a taxa de variação
de f nesta direção.
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Derivadas Direcionais
Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente de uma Função de Duas Variáveis
Exerćıcio 5:
Suponha que a temperatura de um ponto (x , y , z) do espaço seja
dada por T (x , y , z) =
80
1 + x2 + 2y2 + 3z2
, onde T é medida em
graus Celsius e x , y , z em metros. Em que direção no ponto
(1, 1,−2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a
taxa máxima de aumento?
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Bibliografia
Bibliografia
• Paulo Cupertino de Lima, Cálculo de Várias Variáveis, 2009.
Livro dispońıvel em
https://www.matematicapremio.com.br/
30-livros-de-matematica-para-download-em-pdf-ufmg/
• James Stewart, Cálculo Volume 2. Tradução da 8a edição
Norte-Americana. São Paulo-SP: Cengage Learning, 2016.
• Waldecir Bianchini, Aprendendo Cálculo de Várias Variáveis,
2016. Material dispońıvel em http:
//www.im.ufrj.br/waldecir/calculo2/calculo2.pdf
 https://www.matematicapremio.com.br/30-livros-de-matematica-para-download-em-pdf-ufmg/
 https://www.matematicapremio.com.br/30-livros-de-matematica-para-download-em-pdf-ufmg/
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo2/calculo2.pdf
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo2/calculo2.pdf
	Regra da Cadeia (Versão Geral)
	Derivadas Direcionais
	Derivada direcional de uma função de duas variáveis reais a valores reais: definição
	Derivada direcionalde uma função de duas variáveis reais a valores reais: Cálculo
	Interpretação geométrica da derivada direcional de função de duas variáveis reais a valores reais
	Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente de uma Função de Duas Variáveis
	Bibliografia