Transformadas de Fourier e Laplace

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TRANSFORMADAS: TEMPO 
CONTÍNUO E DISCRETO 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Nas últimas aulas, vimos como obter a transformada de Fourier de 
algumas funções e como essa ferramenta nos permite solucionar algumas 
equações diferenciais que costumam surgir na simulação de certos fenômenos 
físicos. 
A transformada de Fourier não é a única transformada que existe. 
Outras transformadas, como a transformada de Laplace, tema desta aula, ou a 
transformada-Z, tema da aula seguinte, auxiliam na resolução de outros tipos 
de problemas específicos. 
Vejamos algumas características das transformadas de Laplace e que 
tipo de problema ela se propõe a resolver. 
TEMA 1 – TRANSFORMADA DE LAPLACE 
A transformada de Laplace atua de forma semelhante à transformada de 
Fourier, no sentido de que cada transformada, quando aplicada a certa classe 
de problemas, reduz a sua complexidade. A solução procurada na forma 
transformada pode ser reescrita a partir da transformada inversa e o problema 
pode ser solucionado. Denotamos pela transformada de Laplace aplicada a 
uma função 𝑓(𝑡), como sendo 
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
Essa operação, quando aplicada a certa classe de problemas, 
reescreve-o em função de uma variável nova. Passasse a usar 𝑠 como a 
variável do domínio, ao invés de 𝑡. Essa operação pode ser desfeita a partir da 
transformada de Laplace inversa 
ℒ−1{𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡) =
1
2𝜋𝑖
∮ 𝐹(𝑠)𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡
𝐶
 
 Veja que calcular essas integrais demanda um trabalho matemático 
intenso. Por isso, deduz-se os resultados das transformadas de Laplace de 
algumas funções específicas simples e de algumas propriedades que permitem 
calcular a transformada de funções mais complexas. Vejamos, por exemplo, a 
 
 
3 
função constante 1. Sua transformada de Laplace pode ser calculada, com 
base na definição, como sendo: 
ℒ{1} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= lim
𝑏→∞
[−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
]
0
𝑏
=
1
𝑠
 
Vejamos o caso da função 𝑒𝑐𝑡. Sua transformada de Laplace também 
pode ser calculada, com base na definição, como sendo: 
ℒ{𝑒𝑐𝑡} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= ∫ 𝑒𝑐𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= ∫ 𝑒(𝑐−𝑠)𝑡𝑑𝑡
∞
0
= 
lim
𝑏→∞
[
𝑒(𝑐−𝑠)𝑡
𝑐 − 𝑠
]
0
𝑏
=
−1
𝑐 − 𝑠
=
1
𝑠 − 𝑐
 
No caso da função tn, sua transformada de Laplace pode ser obtida 
após aplicação do método de integração por partes diversas vezes. A obtenção 
desse resultado é similar aos dois primeiros discutidos anteriormente. Segue-
se da definição da transformada de Laplace aplicada a função f(t) = t: 
ℒ{𝑡} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= ∫ 𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
. 
Pelo método de integração por partes escolhe-se u = t, dv = e−stdt. 
Nesse caso, podemos encontrar du = dt e v = −
1
s
e−st. Aplicando no método de 
integração por partes, ∫ udv = uv − ∫ vdu. Ou seja, 
ℒ{𝑡} = ∫ 𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= lim
𝑏→∞
[−
𝑡
𝑠
𝑒−𝑠𝑡]
0
𝑏
+
1
𝑠
∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
Ou seja, 
ℒ{𝑡} =
1
𝑠2
 
Podemos fazer uma operação semelhantes para o cálculo de ℒ{t2}. 
Nesse caso, após a aplicação da integral por partes duas vezes, obtemos: 
ℒ{𝑡2} =
2!
𝑠3
 
De modos semelhantes, podemos escrever a transformada de Laplace 
para os outros valores de n que tn pode assumir: 
ℒ{𝑡3} =
3!
𝑠4
 
 
 
4 
ℒ{𝑡4} =
4!
𝑠5
 
ℒ{𝑡5} =
5!
𝑠6
 
Dessa forma, pode-se mostrar que 
ℒ{𝑡𝑛} =
𝑛!
𝑠𝑛+1
 
 
Outras transformadas podem ser obtidas a partir do método de 
integração por partes. O leitor interessado pode tentar deduzir, com base na 
definição, as seguintes transformadas: 
ℒ{cos(𝑎𝑡)} =
𝑠
𝑠2 + 𝑎2
 
ℒ{𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)} =
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
 
Para facilitar na hora do cálculo, vale a pena ter em mãos as 
transformadas obtidas na forma de uma tabela. 
Tabela 1 – Transformada de Laplace de algumas funções elementares 
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) 
1 1
𝑠
 
𝑒𝑎𝑡 1
𝑠 − 𝑎
 
𝑡𝑛 𝑛!
𝑠𝑛+1
 
𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑎2
 
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠2 + 𝑎2
 
 
 
 
 
 
5 
TEMA 2 – PROPRIEDADES TRANSFORMADA DE LAPLACE 
Nesta temática, vamos discutir algumas propriedades da transformada 
de Laplace que poderão ser utilizada para, com base nas tabelas e nos 
resultados já deduzidos, avaliar as transformadas de Laplace de funções mais 
complexas. 
Assim, como a transformada de Fourier, a transformada de Laplace 
também apresenta a propriedade de linearidade, isso é: 
ℒ{𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)} = 𝑎ℒ{𝑓(𝑡)} + 𝑏ℒ{𝑔(𝑡)} = 𝑎𝐹(𝑠) + 𝑏𝐺(𝑠) 
Por exemplo, vejamos a transformada da seguinte função: 
ℒ{6𝑡3 − 2𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 5𝑒−𝑡} 
Aplicando-se a propriedade de linearidade, podemos separá-las da 
forma: 
6ℒ{𝑡3} − 2ℒ{𝑠𝑒𝑛(𝑡)} + 5ℒ{𝑒−𝑡} 
Observando na Tabela 1, o resultado de cada uma das funções 
elementares que surge permite avaliar que 
ℒ{6t3 − 2sen(t) + 5e−t} =
6.3!
s4
− 2.
s
s2 + 12
+
5.1
s + 1
= F(s) 
Veja que a transformada da função é uma função F(s). Vejamos a 
transformada da função f(t) = senh(at). 
ℒ{𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)} = ℒ {
𝑒𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡
2
} =
1
2
ℒ{𝑒𝑎𝑡} −
1
2
ℒ{𝑒−𝑎𝑡} 
=
1
2
(
1
𝑠 − 𝑎
−
1
𝑠 + 𝑎
) 
=
𝑎
𝑠2 − 𝑎2
 
De forma análoga, podemos usar a propriedade de linearidade para 
mostrar que 
ℒ{𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡)} =
𝑠
𝑠2 − 𝑎2
 
A segunda propriedade que merece atenção é a primeira propriedade de 
translação, em que sendo ℒ{f(t)} = F(s) conhecida, então ℒ{eatf(t)} = F(s − a). 
Vejamos como utilizá-la para calcular: 
 
 
6 
ℒ{𝑒𝑡 cos(3𝑡)} = ℒ{𝑒𝑡𝑓(𝑡)} 
Veja que esse exemplo se enquadra no tipo de função que pode ser 
transformada pelo uso da primeira propriedade de translação, considerando 
f(t) = cos (3t). De acordo com a Tabela 1, 
𝐹(𝑠) =
𝑠
𝑠2 + 9
 
Assim: 
ℒ{𝑒𝑡 cos(3𝑡)} = ℒ{𝑒𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 1) =
𝑠 − 1
(𝑠 − 1)2 + 9
=
𝑠 − 1
𝑠2 − 2𝑠 + 8
 
Vejamos a terceira propriedade, a mudança de escala. Sendo ℒ{𝑓(𝑡)} =
𝐹(𝑠), então 
ℒ{𝑓(𝑎𝑡)} =
1
𝑎
𝐹 (
𝑠
𝑎
) 
Por exemplo, para obtermos ℒ{cosh(3𝑡)}, sabendo que 
ℒ{cosh(𝑡)} =
𝑠
𝑠2 − 1
= 𝐹(𝑠) 
Pode-se utilizar a propriedade de mudança de escala. Nesse caso, 
obtemos: 
ℒ{cosh(3𝑡)} =
1
3
𝐹 (
𝑠
3
) =
1
3
𝑠/3
(
𝑠
3)
2
− 1
=
𝑠
𝑠2 − 9
 
Essas propriedades já permitem que resolvamos vários tipos de 
problemas. Entretanto, os problemas mais interessantes que surgem na 
modelagem de problemas de engenharia envolvem equações diferenciais, as 
quais, por sua vez, envolvem as derivadas de funções, sejam ordinárias, sejam 
parciais. Nesse caso, a propriedade para a transformada de derivadas de 
funções é dada por: 
ℒ{𝑓′(𝑡)} = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0) 
ℒ{𝑓′′(𝑡)} = 𝑠2𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓′(0) 
ℒ{𝑓′′′(𝑡)} = 𝑠3𝐹(𝑠) − 𝑠2𝑓(0) − 𝑠𝑓′(0) − 𝑓′′(0) 
Além da transformada de derivadas, pode-se aplicar a transformada em 
integrais, como mostra a seguinte propriedade: 
 
 
7 
ℒ {∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
} =
𝐹(𝑠)
𝑠
 
TEMA 3 – FUNÇÃO DELTA DE DIRAC E OUTRAS 
Vejamos algumas transformadas de outras funções que serão úteis no 
cálculo de equações diferenciais. A função degrau unitária é definida como: 
𝜇(𝑡 − 𝑐) = {
0, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑐
1, 𝑡 ≥ 𝑐
 
Sua transformada de Laplace é dada por: 
ℒ{𝜇(𝑡 − 𝑐)} =
𝑒−𝑎𝑠
𝑠
 
A partir da função degrau unitária, pode-se gerar a função impulso 
unitário que descreve um impulso gerado num curto período de tempo. 
Definimos a função impulso unitário como sendo: 
𝛿𝑐(𝑡 − 𝑡0) = {
0,0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 − 𝑐
1
2𝑐
, 𝑡0 − 𝑐 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 + 𝑐
0, 𝑡 ≥ 𝑡0 + 𝑐
 
Veja que essa função assume valor apenas durante um curto intervalo 
de tempo entre t0 − c e t0 + c. 
Veja que podemos utilizar a função degrau unitário para reescrevermos 
a função 𝛿𝑐(𝑡 − 𝑡0): 
𝛿𝑐(𝑡 − 𝑡0) =
1
2𝑐
{𝜇[𝑡 − (𝑡0 − 𝑐)] − 𝜇[𝑡 − (𝑡0 + 𝑐)]} 
Esse intervalo de tempo pode ser qualquer. Entretanto, a escolha de um 
intervalo de tempo infinitesimal, ou seja, um intervalo em que 𝑐 → 0, permite 
definir um caso específico da função impulso unitário em que: 
𝛿(𝑡 − 𝑡0) = {
∞, 𝑡 = 𝑡00, 𝑡 ≠ 𝑡0
 
Essa função, 𝛿(𝑡 − 𝑡0), é conhecida como delta de Dirac e surge em 
uma grande gama de aplicações em equações diferenciais. A definição da 
função da forma apresentada permite encontrar sua transformada de Laplace: 
ℒ{𝛿(𝑡 − 𝑐)} = 𝑒−𝑎𝑠 
 
 
 
 
8 
TEMA 4 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM FORÇAMENTO DESCONTÍNUO 
Vejamos como utilizar as propriedades e transformadas vistas 
anteriormente para resolver algumas equações diferenciais específicas. Seja a 
equação diferencial dada por: 
{
𝑦′′(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 8cos (𝑡)
𝑦(0) = 1
𝑦′(0) = −1
 
Nosso objetivo é encontrar a função 𝑦(𝑡) que satisfaz a equação dada. A 
estratégia é aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial dada, 
encontrar a solução 𝑌(𝑠) na forma transformada e aplicar a transformada 
Inversa para encontrar a solução 𝑦(𝑡). Aplicando a transformada em ambos os 
lados obtemos: 
𝑦′′(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 8 cos(𝑡) 
ℒ{𝑦′′(𝑡) + 𝑦(𝑡)} = ℒ{8 cos(𝑡)} 
Aplicando a propriedade de linearidade em ambos os lados, podemos 
escrever: 
ℒ{𝑦′′(𝑡)} + ℒ{𝑦(𝑡)} = 8ℒ{cos(𝑡)} 
A transformada de cada uma das funções foi vista nas páginas 
anteriores. Lembre-se que: 
ℒ{𝑦′′(𝑡)} = 𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0) 
ℒ{𝑦(𝑡)} = 𝑌(𝑠) 
ℒ{cos(𝑡)} =
𝑠
𝑠2 + 1
 
Portanto, 
ℒ{𝑦′′(𝑡)} + ℒ{𝑦(𝑡)} = 8ℒ{cos(𝑡)} 
𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0) + 𝑌(𝑠) = 8.
𝑠
𝑠2 + 1
 
Veja que as condições iniciais e de contorno foram dadas no 
problema 𝑦(0) = 1 e 𝑦′(0) = −1. Nesse caso, 
𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠 + 1 + 𝑌(𝑠) =
8𝑠
𝑠2 + 1
 
 
 
9 
O objetivo é encontrar a solução 𝑌(𝑠). Isolando 𝑌(𝑠), obtemos: 
𝑌(𝑠). (𝑠2 + 1) =
8𝑠
𝑠2 + 1
+ 𝑠 − 1 
𝑌(𝑠) =
8𝑠
(𝑠2 + 1)2
+
𝑠 − 1
𝑠2 + 1
 
𝑌(𝑠) =
8𝑠
(𝑠2 + 1)2
+
𝑠
𝑠2 + 1
−
1
𝑠2 + 1
 
Aplicando a transformada inversa, podemos obter 𝑦(𝑡). Nesse caso: 
𝑦(𝑡) = ℒ−1{𝑌(𝑠)} = ℒ−1 {
8𝑠
(𝑠2 + 1)2
} + ℒ−1 {
𝑠
𝑠2 + 1
} − ℒ−1 {
1
𝑠2 + 1
} 
Consultando a Tabela 1, pode-se determinar a transformada de cada 
uma das funções descritas acima. Assim, obtemos que: 
𝑦(𝑡) = 4𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) + cos(𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
É a solução geral procurada. Vejamos mais um exemplo para consolidar 
a aplicação da técnica. Seja a equação diferencial dada por: 
{
𝑦′(𝑡) = 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − ∫ 𝑦(𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
𝑦(0) = 0
 
Para encontrar a sua solução particular, podemos aplicar a transformada 
de Laplace em ambos os lados da equação. Nesse caso, obtemos: 
𝑦′(𝑡) = 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − ∫ 𝑦(𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
 
ℒ{𝑦′(𝑡)} = ℒ {1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − ∫ 𝑦(𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
} 
Pela propriedade da linearidade, podemos escrever: 
ℒ{𝑦′(𝑡)} = ℒ{1} − ℒ{𝑠𝑒𝑛(𝑡)} − ℒ {∫ 𝑦(𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
} 
Veja que essas transformadas são conhecidas. Lembre-se que: 
ℒ{𝑦′(𝑡)} = 𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) 
ℒ{1} =
1
𝑠
 
 
 
10 
ℒ{𝑠𝑒𝑛(𝑡)} =
1
𝑠2 − 1
 
ℒ {∫ 𝑦(𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
} =
𝑌(𝑠)
𝑠
 
Portanto, 
ℒ{𝑦′(𝑡)} = ℒ{1} − ℒ{𝑠𝑒𝑛(𝑡)} − ℒ {∫ 𝑦(𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
} 
Pode ser reescrita como: 
𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) =
1
𝑠
−
1
𝑠2 − 1
+
𝑌(𝑠)
𝑠
 
Aplicando as condições de contorno e as condições iniciais, podemos 
escrever: 
𝑠𝑌(𝑠) =
1
𝑠
−
1
𝑠2 − 1
+
𝑌(𝑠)
𝑠
 
Isolando 𝑌(𝑠): 
𝑠𝑌(𝑠) −
𝑌(𝑠)
𝑠
=
1
𝑠
−
1
𝑠2 − 1
 
𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑌(𝑠) = 1 −
𝑠
𝑠2 − 1
 
𝑌(𝑠)(𝑠2 − 1) = 1 −
𝑠
𝑠2 − 1
 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠2 − 1
−
𝑠
(𝑠2 − 1)2
 
Aplicando a transformada inversa, obtemos: 
𝑦(𝑡) = ℒ−1{𝑌(𝑠)} = ℒ−1 {
1
𝑠2 − 1
} − ℒ−1 {
𝑠
(𝑠2 − 1)2
} 
𝑦(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) −
1
2
𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
TEMA 5 – CONVOLUÇÃO 
Como apresentado nas aulas de transformadas de Fourier, a convolução 
de duas funções é definida como 
𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑢). 𝑔(𝑢 − 𝑡)𝑑𝑢
𝑡
0
 
 
 
11 
Assim como há uma transformada de Fourier para 𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡), também 
há uma transformada de Laplace para a convolução dada por: 
ℒ{𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡)} = 𝐹(𝑠). 𝐺(𝑠) 
Vejamos como podemos utilizar esse resultado para resolver a seguinte 
equação íntegro-diferencial: 
𝑦(𝑡) = 1 − 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡) + ∫ (𝑢 + 1)𝑦(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
 
Aplica-se a transformada de Laplace em ambos os lados. Nesse caso, 
obtemos: 
ℒ{𝑦(𝑡)} = ℒ{1 − 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡) + ∫ (𝑢 + 1)𝑦(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
} 
Aplicando a propriedade de linearidade, obtemos: 
ℒ{𝑦(𝑡)} = ℒ{1} − ℒ{𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡)} + ℒ {∫ (𝑢 + 1)𝑦(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
} 
Lembre-se que, a transformada de cada uma das funções é conhecida: 
ℒ{𝑦(𝑡)} = 𝑌(𝑠) 
ℒ{1} =
1
𝑠
 
ℒ{𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡)} =
1
𝑠2 − 1
 
ℒ {∫ (𝑢 + 1)𝑦(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
} = ℒ{(𝑢 + 1) ∗ 𝑦(𝑡)} = ℒ{𝑢 + 1}. ℒ{𝑦(𝑡)} = 
(
1
𝑠2
+
1
𝑠
) 𝑌(𝑠) 
Aplicando essas transformadas na equação 
ℒ{𝑦(𝑡)} = ℒ{1} − ℒ{𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡)} + ℒ {∫ (𝑢 + 1)𝑦(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
} 
Obtemos: 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠
−
1
𝑠2 − 1
+ (
1
𝑠2
+
1
𝑠
) 𝑌(𝑠) 
Isolando 𝑌(𝑠), obtemos: 
 
 
12 
𝑌(𝑠) − (
1
𝑠2
+
1
𝑠
) 𝑌(𝑠) =
1
𝑠
−
1
𝑠2 − 1
 
𝑌(𝑠) (1 −
1
𝑠2
+
1
𝑠
) =
1
𝑠
−
1
𝑠2 − 1
 
𝑌(𝑠). (
𝑠2 − 1 − 𝑠
𝑠2
) =
(𝑠2 − 1 − 𝑠)
𝑠(𝑠2 − 1)
 
𝑌(𝑠) =
𝑠
𝑠2 − 1
 
Aplicando a transformada inversa, obtemos: 
𝑦(𝑡) = ℒ−1{𝑌(𝑠)} = ℒ−1 {
𝑠
𝑠2 − 1
} = cosh(𝑡). 
FINALIZANDO 
Nesta aula vimos como a utilização das transformadas de Laplace como 
uma técnica para a solução de equações diferenciais e íntegro-diferenciais. 
Essas equações diferenciais serão tema de aplicações de diversas simulações 
específicas da área de Física e Engenharia. 
Na última aula, vamos discutir a transformada-Z como uma outra 
possibilidade de transformada que pode ser usada para resolver problemas 
específicos. 
 
 
 
13 
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Pearson Education do Brasil, 2004. 
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Métodos Modernos e suas Aplicações. São Paulo: LTC, 2008. 
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