mat1260_gabaritotarefa7-2020-2

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Tarefa 7 - MAT 1260 – 2020.2
Gabarito
1) Considere o espaço vetorial das matrizes quadradas 2× 2, M2×2, e as matrizes
M1 =
(
1 1
1 1
)
, M2 =
(
2 1
1 1
)
, M3 =
(
3 1
1 1
)
, M4 =
(
3 5
1 5
)
.
Considere os seguintes subespaços de M2×2:
• W1 = ger{M1,M2},
• W2 = ger{M1,M3},
• W3 = ger{M1,M2,M3,M4}.
Determine:
1. Se as matrizes M1,M2,M3 são linearmente independentes.
2. As relações de inclusão ou igualdade entre os subespaços W1 e W2.
3. As relações de inclusão ou igualdade entre os subespaços W1 e W3.
Pontuação: (a) 0.5 pts., (b) 0.5 pts., (c) 0.5 pts..
Resposta:
1) Para determinar se as matrizes M1,M2 e M3 são l.i. escrevemos uma combinação linear
delas dando a matriz nula:
x
(
1 1
1 1
)
+ y
(
2 1
1 1
)
+ z
(
3 1
1 1
)
=
(
x + 2y + 3z x + y + z
x + y + z x + y + z
)
=
(
0 0
0 0
)
Obtendo o sistema linear
x + 2y + 3z = 0, x + y + z = 0.
Escalonando (primeira equação menos a segunda) obtemos
x + y + z = 0, y + 2z = 0.
Obtemos soluções não triviais, como z = 1, y = −2, x = 1. Portanto,
M1 − 2M2 + M3 = 0.
Assim os vetores (matrizes) são linearmente dependentes.
2) Lembre que
W1 = ger{M1,M2}, W2 = ger{M1,M3}.
A relação obtida acima
M1 − 2M2 + M3 = 0
implica que
M2 =
1
2
M1 +
1
2
M3, M2 ∈W2 = ger{M1,M3},
M3 = −M1 + 2M2, M3 ∈W1 = ger{M1,M2},
Portanto
ger{M1,M2} = ger{M1,M3}.
3) Observe que como
M3 ∈W1 = ger{M1,M2}
temos que
W3 = ger{M1,M2,M3,M4} = ger{M1,M2,M4}.
Obviamente
ger{M1,M2} ⊂ ger{M1,M2,M3,M4}.
Afirmamos que a inclusão é estrita. Para isso veremos que
M4 6∈W1 = ger{M1,M2}.
Para isso observe que as matrizes em
ger{M1,M2}
são da forma (
a b
b b
)
.
Logo W1 está contido em W3 e é diferente (inclusão é estrita).
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