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1
Matemática básica: 
potenciação – propriedades 
e notação científica
1E
MatemáticaAula 
01
O cubo representado é formado por 5 camadas de cubos menores. Cada camada tem 
5 x 5 cubos. Assim, o total de cubos que formam o cubo maior é 5 x (5 x 5), ou seja, 125. Esse 
resultado pode ser representado por meio da potenciação:
3 é o expoente
125 é a potência
5 é a base
5 . 5 . 5 = 53 = 125
3
Nesta notação, cada termo tem uma denominação. Assim, o expoente indica o número de vezes que a base é repeti-
da. O resultado da potenciação é chamado de potência.
Vamos retomar nesta aula não apenas o conceito de potenciação como também suas propriedades, e uma das 
aplicações mais importantes que é a notação científica.
Propriedades da potenciação
As propriedades da potenciação que apresentamos a seguir são consequências da definição que é dada para 
potenciação. Tais propriedades são empregadas na simplificação de cálculos.
 • O valor de a0
Conforme essa propriedade, o valor de a0 (a ≠ 0) é 
convencionado como sendo a unidade, isto é:
a0 . a1 = a0 + 1 = a1 Então, é preciso que a0 = 1
 • Expoente negativo
Podemos estender a noção de potência para 
expoentes negativos, mantendo válida a propriedade 
1, ou seja:
1 = a0 = a– n + n = a– n . an 1 = a– n . an a– n = 
1
an
Propriedade 1
Na multiplicação de potências de mesma base, a potência resultante é obtida conservando-se a base e adicionan-
do-se os expoentes.
am . an = am + n
Propriedade 2
Na divisão de potências de mesma base, a potência resultante é obtida conservando-se a base e subtraindo-se 
os expoentes.
am ÷ an = am – n
2 Extensivo Terceirão
Além das aplicações em Física e Química, também veremos um pouco mais adiante o estudo das chamadas 
funções exponenciais e logaritmos, além de progressão geométrica. A compreensão das propriedades relacionadas à 
potenciação representa um facilitador para esse estudo.
Notação científica
Grandezas macroscópicas ou microscópicas têm seus valores indicados de uma única forma, chamada notação 
científica. Para que um número fique nessa notação, deverá ser escrito como o produto de um número real de 1 a 10, 
não podendo ser o 10, e uma potência inteira de base 10.
Assim, por exemplo, as massas da 
Terra e da Lua, representadas na nota-
ção científica, são, aproximadamente, 
iguais a:
m kg
m kg
terra
lua
= ⋅
= ⋅
5 97 10
7 35 10
24
22
,
,
Essa notação evita o incômodo de 
se escrever muitos algarismos.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
r.T
im
m
i
Um cuidado a ser tomado nessa propriedade: Em geral, (am)n ≠ am
n
Além dessas três propriedades que são muito aplicadas nos cálculos e no trabalho com notação científica, apresentamos 
ainda duas outras relacionadas à multiplicação e à divisão.
Propriedade 3
Na potência de potência, o resultado pode ser obtido conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes.
(am)n = am . n
N = . 10k
O número N está na notação científica, desde que o número real satisfaça 1 ≤ < 10 e k seja um número 
inteiro.
Propriedade 4
A potência de um produto de dois ou mais fatores pode ser calculada elevando-se cada fator do produto ao 
mesmo expoente.
(a . b)n = an . bn
Propriedade 5
A potência de um quociente pode ser calculada elevando-se cada termo do quociente ao mesmo expoente.
a
b
n
 = a
n
bn
Aula 01
3Matemática 1E
01. Transforme na notação científica a medida 0,0000000032 mm
• Na notação científica, devemos escrever um número de 1 a 10 (não podendo ser o 10) multiplicado por uma 
potência inteira de base 10:
0,0000000032 mm = 3,2 . 10– 9 mm
• Note que “andamos” com a vírgula 9 casas para a direita, isto é, multiplicamos o número por 109. Para não alterar, 
dividimos o número por 109 (é o mesmo que multiplicar por 10– 9)
02. Sabendo que 3x = 5, calcule o valor de y = 32x + 33x
• Empregamos aqui a propriedade 3 (potência de potência) para reescrever a expressão que queremos calcular:
y = 32x + 33x y = (3x)2 + (3x)3 y = 52 + 53 y = 150
03. Quantos algarismos há no número m correspondente ao resultado da potência m = 233 . 529?
• Os números 2 e 5 são as bases do número dado. Sendo assim, podemos expressar tal número em função da base 
10. Para tanto, utilizamos a propriedade 4:
m = 233 . 529
m = 24 . 229 . 529
m = 16 . (2 . 5)29
m = 16 . 1029
m = 16 . 100000...000
m = 1600000...000 31 algarismos
29 zeros
29 zeros
Situações resolvidas
01. (OBM) – Considere os números X = 2700, Y = 11200 e Z = 5300. Assinale a alternativa correta:
a) X < Z < Y b) Y < X < Z c) Y < Z < X d) Z < X < Y e) Z < Y < X
Situações para resolver
4 Extensivo Terceirão
02. (PUCSP) – Se N é o número que resulta do cálculo de 219 . 515, então o total de algarismos que compõem N é:
a) 17 b) 19 c) 25 d) 27 e) maior que 27
03. (FUVEST – SP) – Se 416 . 525 = a . 10n, com 1 ≤ < 10, então n é igual a:
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
Testes
Assimilação
01.01. (PUCRJ) – Entre as alternativas abaixo, assinale a de 
menor valor: 
a) (–1)3
b) 68
c) 31
d) 16
e) 810
01.02. (ESPM – SP) – A expressão numérica 
2 ∙ 813 + 3 ∙ 96 + 4 ∙ 274 equivale a: 
a) 315
b) 97
c) 274
d) 321
e) 912
Aula 01
5Matemática 1E
01.03. (IFSUL – RS) – Em matemática, potências são valo-
res que representam uma multiplicação sucessiva de um 
número. Usando as propriedades de potenciação, qual dos 
números a seguir é o maior? 
a) 345
b) 921
c) 2438
d) 8112
01.04. (UFRGS) – A expressão (0,125)15 é equivalente a 
a) 545
b) 5–45
c) 245
d) 2–45
e) (–2)45
Aperfeiçoamento
01.05. (IFCE) – Simplificando a expressão
4 8 2 0 75
3
2
2
3 2+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ÷
−
− , , obtemos 
a) 
8
25
. 
b) 
16
25
. 
c) 
16
3
. 
d) 
21
2
. 
e) 
32
3
. 
01.06. (UFRGS) – Por qual potência de 10 deve ser multipli-
cado o número 10–3 ∙ 10–3 ∙ 10–3 ∙ 10–3 para que esse produto 
seja igual a 10? 
a) 109
b) 1010
c) 1011
d) 1012
e) 1013
01.07. (UFRGS) – Um adulto humano saudável abriga cerca 
de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo.
Esse número de bactérias pode ser escrito como 
a) 109.
b) 1010.
c) 1011.
d) 1012.
e) 1013.
01.08. (UFRGS) – Em texto publicado na Folha de S. Paulo, 
em 16/09/2007, o físico Marcelo Gleiser escreveu que “áto-
mos têm diâmetros de aproximadamente um décimo de 
bilionésimo de metro”.
Escrito em potência de 10, um décimo de bilionésimo é 
a) 10–8.
b) 10–9.
c) 10–10.
d) 10–11.
e) 10–12.
01.09. (IFSP) – Leia o trecho adaptado abaixo para responder 
à questão.
“A perereca-macaco-de-cera, encontrada na América 
do Sul e Central, é capaz de aguentar mais tempo no 
sol forte do que outras espécies de anfíbios, devido à 
secreção de cera que reduz a perda de água por eva-
poração, protegendo sua pele.”
Fonte: http://biologiavida-oficial.blogspot.com.br/2014/04/phyllomedusasauvagii.
html.
A área territorial da América Central é de, aproximadamente, 
523.000 km2. Assinale a alternativa que apresenta a área em 
potência de base 10. 
a) 523 × 102.
b) 52,3 × 104.
c) 5,23 × 102.
d) 523 × 104.
e) 5,23 × 103.
©
Fl
ic
kr
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oa
ch
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 S
. M
ue
lle
r
6 Extensivo Terceirão
01.10. (ESPM – SP) – Para que o número 64.800 se torne um 
cubo perfeito, devemos: 
a) multiplicá-lo por 30.
b) dividi-lo por 60.
c) multiplicá-lo por 90.
d) dividi-lo por 150.
e) multiplicá-lo por 18.
Aprofundamento
01.11. (UEMA) – Os planetas do sistema solar, do qual 
nosso planeta Terra faz parte, realizam órbitas em torno do 
sol, mantendo determinada distância, conforme mostra a 
figura a seguir.
Distâncias em quilômetros
Fonte: Disponível em: http//webciencia.com>. 
Acesso em 27 ago. 2014. (adaptado)
O valor, em metros, da distância da Terra ao Sol em potência é 
a) 14,96 × 10–11
b) 1,496 × 1010
c) 14,96 × 10–10
d) 1,496 × 1011
e) 14,96 × 1011
01.12. (FGV – SP) – Se calcularmos o valor de 295, iremos 
obter um número natural N. O algarismo final (das unidades) 
desse número N vale: 
a) 2 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 8 
01.13. (IFCE) – Calculando-se o valor da expressão
18 4
2 6 3
n
n n
⋅⋅( )
, encontra-se 
a) 2n. 
b) 6n. 
c) 8. 
d) 4. 
e) 2. 
01.14. (ESPM – SP) – Sabendo-se que x e y= = −
1
2
4, o 
valor da expressão x y
x y
y x− −− −
+
( ) é igual a: 
a) x3
b) y–2
c) 2y
d) x2 . y
e) 
x
y
 
01.15. (UPE – PE) – Analise as sentenças a seguir:
I. Se 23a = 729, o resultado de 2–a é igual a 
1
3
II. O resultado da operação (1,25 . 10–4 – 1,16 . 10–7) é igual 
a 1,19 . 10–4 
III. Se x2 = 2512; y6 = 2512; w7 = 2563. O valor da expressão 
(x . y . w)12 é igual a 25168
Com base nelas, é CORRETO afirmar que 
a) apenas I é falsa. 
b) apenas II é verdadeira. 
c) apenas I e II são verdadeiras. 
d) apenas I e III são verdadeiras. 
e) I, II e III são falsas. 
01.16. (UEPG – PR) – Uma antiga lenda da Índia afirma 
que o jogo de xadrez foi criado a pedido de um rei e, como 
recompensa, o criador do jogo recebeu grãos de trigo de 
acordo com o número de casas do tabuleiro, seguindo o 
procedimento descrito.
– O criador do jogo escolhe uma casa e recebe 2 grãos por 
ela.
– Para a próxima casa escolhida, ele recebe o dobro da casa 
anterior.
– O processo continua até que todas as casas do tabuleiro 
sejam escolhidas exatamente uma vez.
Aula 01
7Matemática 1E
Observando o processo podemos perceber que, para a 
décima casa do tabuleiro, o rei entrega 1.024 grãos.
O tabuleiro de xadrez conta com 64 casas distribuídas em 
8 colunas verticais e 8 fileiras horizontais, cada uma com 8 
casas. As casas são alternadamente escuras e claras.
É correto afirmar que, o número de grãos a ser entregue pela 
vigésima casa seria 
a) maior que 1.000 e menor que 10.000.
b) maior que 10.000 e menor que 100.000.
c) maior que 100.000 e menor que 1.000.000.
d) maior que 1.000.000 e menor que 10.000.000.
e) maior que 10.000.000 e menor que 100.000.000.
01.17. (UEPB) – Um grão de feijão pesa 2,5 × 10–2g. Se um 
saco contém 5 × 102g de grãos de feijão, 920 sacos contêm: 
a) 1,84 × 107 grãos de feijão 
b) 1,84 × 106 grãos de feijão 
c) 1,84 × 108 grãos de feijão 
d) 1,84 × 105 grãos de feijão 
e) 1,84 × 104 grãos de feijão 
01.18. (G1 – IFSP) – Leia as notícias:
“A NGC 4151 está localizada a cerca de 43 milhões 
de anos-luz da Terra e se enquadra entre as galáxias 
jovens que possui um buraco negro em intensa ativi-
dade. Mas ela não é só lembrada por esses quesitos. A 
NGC 4151 é conhecida por astrônomos como o ‘olho 
de Sauron’, uma referência ao vilão do filme ‘O Se-
nhor dos Anéis’”.
(http://www1.folha.uol.com.br/ciencia/887260-galaxia-herda-nome-de-vilao-do-
-filme-o-senhor-dos-aneis.shtml Acesso em: 27.10.2013.)
“Cientistas britânicos conseguiram fazer com que um 
microscópio ótico conseguisse enxergar objetos de 
cerca de 0,00000005 m, oferecendo um olhar inédito 
sobre o mundo ‘nanoscópico’”.
(http://noticias.uol.com.br/ultnot/cienciaesaude/ultimas-noticias/bbc/2011/03/02/
com-metodo-inovador-cientistas-criam-microscopio-mais-potente-do-mundo.jhtm 
Acesso em: 27.10.2013. Adaptado)
Assinale a alternativa que apresenta os números em destaque 
no texto, escritos em notação científica. 
a) 4,3 × 107 e 5,0 × 108.
b) 4,3 × 107 e 5,0 × 10–8.
c) 4,3 × 10–7 e 5,0 × 108.
d) 4,3 × 106 e 5,0 × 107.
e) 4,3 × 10–6 e 5,0 × 10–7.
Desafio
01.19. (CESCEM – SP) – Chamam-se cosseno hiperbólico de 
x e seno hiperbólico de x, e representam-se respectivamente 
por cosh x e senh x aos números:
cosh x senh x= + =e e e e
x x x x− −−
2 2
Então (cosh x)2 – (senh x)2 vale:
a) cosh 2x
b) senh 2x
c) –1
d) 1
8 Extensivo Terceirão
01.01. a
01.02. b
01.03. d
01.04. d
01.05. e
01.06. e
01.07. c
01.08. c
01.09. b
01.10. c
01.11. d
01.12. e
01.13. e
01.14. a
01.15. e
01.16. d
01.17. a
01.18. b
01.19. d
01.20. a) 4800 km³ 
b) 11,25 bilhões de habitantes
Gabarito
01.20. (UNICAMP – SP) – O mundo tem, atualmente, 6 bilhões de habitantes e uma disponibilidade máxima de água para 
consumo em todo o planeta de 9000 km3/ano. Sabendo-se que o consumo anual “per capita” é de 800 m3, calcule:
a) o consumo mundial anual de água, em km3;
b) a população mundial máxima, considerando-se apenas a disponibilidade mundial máxima de água para consumo.
9Matemática 1E
Matemática
1B1E
Matemática básica: 
radiciação – propriedades
Aula 02
Vimos, na aula anterior, a potenciação e suas propriedades. A operação inversa 
da potenciação é a radiciação. Embora as situações mais comuns que envolvam radi-
ciação estejam relacionadas com a raiz quadrada e também a raiz cúbica, é importante 
observar que temos outras raízes.
Índice do radical
Raiz
Radicando
x yn
Quando o índice é par, no conjunto dos números reais, o radicando x deverá 
ser não negativo. No conjunto dos números complexos haverá uma ampliação 
interpretando-se, por exemplo, a raiz quadrada de um número negativo.
Abordaremos nesta aula algumas propriedades relacionadas à radiciação.
Propriedades da radiciação
Ao considerar as propriedades a seguir, é fundamental compreender que, no caso de índice par, elas ficam condi-
cionadas ao fato de que os radicandos devem ser não negativos.
É importante destacar também que, estando definido o radical 6 amn , vale a seguinte igualdade:
m
n m na = a
Justificamos essa propriedade, observando o que foi estudado na potenciação, isto é:
a b a b a b a b a bn n n n n n n⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅( ) ( )1
1 1 1
Observação:
Em algumas situações envolvendo cálculo com radicais, é conveniente “introduzir” no radical o número que estiver 
multiplicando esse radical. A propriedade 1 permite que isso possa ser feito. Observe:
a b a b a bn nn n nn⋅ = ⋅ = ⋅
©
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te
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to
ck
/Jo
hn
 T. 
Tak
ai
Propriedade 1
O radical de um produto pode ser escrito como o produto de radicais, quando estes forem definidos:
n nna b = a b
Propriedade 2
O radical de um quociente pode ser escrito como o quociente de radicais, quando estes forem definidos:
n
n
n
a a
=
b b
Também justificamos essa propriedade a partir da potenciação, isto é:
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
n n
n n
n
n
n
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = =
1
1 1
1
Propriedade 3
O radical de outro radical é obtido por meio de um terceiro radical, cujo índice é o produto dos índices dos 
radicais dados:
n mn m a = a
10 Extensivo Terceirão
Justificamos essa propriedade, observando a propriedade de potência:
a a a a a amn m n m
n
n m n m n m= ( ) =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= = =
⋅ ⋅ ⋅
1 1
1
1 1 1
01. Reduza a um único radical o número y a a a= ⋅235 946
• Além da propriedade 3, é necessário introduzir um termo para dentro do radicando.
y a a a
y a a a
y a a
y a a
y a a
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
235 946
3 235 946
535 946
515 924
13 38
• Reduzimos agora os dois radicais ao mesmo índice. No caso, esse índice comum é o mínimo múltiplo comum 
dos dois índices:
y a a
y a a y a
= ⋅
= ⋅ ⇒ =
824 924
8 924 1724
02. Considerando os números x y= + = −2 3 2 3 e , obtenha o produto x . y.
• Multiplicamos esses dois números e utilizamos a propriedade 1. Além disso, observe, a seguir, que empregamos 
um produto notável (produto da soma pela diferença de dois números):
x y
x y
x y
x y x y
⋅ = + ⋅ −
⋅ = + ⋅ −
⋅ = −
⋅ = − ⇒ ⋅ =
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3
4 3 1
2 2
( ) ( )
( )
Situações resolvidas
Aula 02
11Matemática 1E
01. Determine o valor numérico de m= + − −( )5 2 6 5 2 6 2
02. (UNICAMP – SP) – Dados os dois números positivos 3 43 4 e , determine o maior.
03. Assinale a alternativa que indica corretamente uma expressão numericamente igual a E = +9 4 5
a) 2 2 5 b) 2 2 5 c) 1 5 d) 3 5 e) 2 5
Situações para resolver
12 Extensivo Terceirão
Testes
Assimilação
02.01. (IFSUL – RS) – O valor da expressão
1
5
1
5
27
2 2
3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + −
−
 é 
a) 3
b) –3
c) 
551
25
 
d) 
701
25
 
02.02. (IFAL) – O valor exato da raiz cúbica de 1.728 é 
a) 9.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 25.
02.03. (PUCRJ) – O valor de ( ) ( ) ( , )− + − − − +3 1 1 2 42 6 0 63 
é: 
a) 13
b) 15
c) 17
d) 19
e) 21
02.04. (PUCRJ) – Para a b e c = = =1 97 4 2 7
3
, , , temos: 
a) a < b < c. 
b) a < c < b. 
c) b < a < c.d) b < c < a. 
e) c < b < a. 
Aperfeiçoamento
02.05. (IFSUL – RS) – Analise as seguintes afirmações: 
I. A subtração ( )2 8 3 2 3− equivale a 2 2. 
II. 5 8 é maior que 11 2. 
III. ( )6 3 2 é igual a 108.
Estão corretas as afirmativas 
a) I e II apenas. 
b) I e III apenas. 
c) II e III apenas. 
d) I, II e III. 
02.06. (PUCRJ) – Assinale a alternativa correta. 
a) 2 16 32 
b) 50 32 2− = 
c) 2 3 5+ = 
d) 2 3 5 2+ = + 
e) 5 2 2 2 14+ = 
Aula 02
13Matemática 1E
02.07. (PUCRJ) – Quanto vale 
3 9
3
3 3
3
+
? 
a) 33 
b) 93 
c) 1 33+ 
d) 1 93+ 
e) 2 33 
02.08. (UEM – PR) – Assinale o que for correto. 
01) 
23
2
2
23
25
25
+ > . 
02) 25 36 900⋅ = . 
04) 120 169 289⋅ = . 
08) 5
2
2
3
25
4
4
9
2
+⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = + .
 
16) 
49
8
7
2
49
8
2
7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ÷
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . 
02.09. (UPF – RS) – Considere as afirmações abaixo, onde 
a e b são números reais. 
I. a a2 =
II. a b a b2 2+ = +
III. a b a b2 2 2 2× = ×
IV. 
a
b
a
b
b
2
2
2
2
0= ≠, 
a) Apenas III e IV são verdadeiras. 
b) Apenas IV é verdadeira. 
c) Apenas II é falsa. 
d) Apenas I, II e IV são verdadeiras. 
e) Todas são verdadeiras. 
02.10. (UFMG) – Simplificando a expressão 
( ) ( , ) ( , ,9 10 0 0049 2 5 106 3× ⋅ ⋅ ×− obtém-se
a) 105 
b) 10,5 
c) 1,05 
d) 0,105 
e) 0,0105 
Aprofundamento
02.11. (UEM – PR) – Assinale o que for correto. 
01) 2 2 22016 2015 2015− = . 
02) 
2
5
5
2
1+ = . 
04) 25 5% %.= 
08) − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
3
4
2
7
2
9
8
. 
16) 16 4= ± . 
02.12. (UFC – CE) – Dentre as alternativas a seguir, marque 
aquela que contém o maior número. 
a) ( )5 63 ⋅
b) 6 53
c) 5 63
d) 5 63
e) 6 53
14 Extensivo Terceirão
02.13. (PUCRJ) – A expressão 5 5 5 5+ × − é igual a: 
a) 0 
b) 5 
c) 5 5− 
d) 2 5 
e) 20 
02.14. (UFRGS) – O número 3 2 2+ é igual à raiz qua-
drada de 
a) 6 + 5 2.
b) 9 + 4 2.
c) 12 + 8 2.
d) 15 + 10 2.
e) 17 + 12 2.
02.15. (PUCCAMP – SP) – Efetuando-se a expressão adiante, 
obtém-se 14
125
3
5
11
25
3 + −
a) 
14 2
5
3 +( )
 
b) 
114
5
3
 
c) 6
5
 
d) 
4
5
 
e) 
3
5
 
02.16. Se A B e C= = =5 2 73 4, , então será verda-
deiro afirmar:
a) C < B < A
b) C < A < B
c) B < A < C
d) A < B < C
e) B < C < A
02.17. (PUCMG) – O valor da expressão 
(3 5 3 5
2
+ +⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥) ( )− é: 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 6 + 2 5 
e) 6 2− 5 
02.18. (UEL – PR) – O valor da expressão 
( ) ( ),x 1 x 25 x 1 x 252 2− + − + +0 0 para x = 3,75, é 
a) –22 
b) –17,775 
c) –15 
d) –11,375 
e) –7,5 
Aula 02
15Matemática 1E
02.01. c
02.02. b
02.03. d
02.04. a
02.05. b
02.06. b
02.07. c
02.08. 19 (01 + 02 + 16)
02.09. a
02.10. e
02.11. 09 (01 + 08)
02.12. b
02.13. d
02.14. e
02.15. d
02.16. e
02.17. c
02.18. e
02.19. b
02.20. 1
Gabarito
Desafio
02.19. (OBMEP) – Qual é a soma dos algarismos do número 
1111111111 22222− ?
a) 10
b) 15
c) 18
d) 20
e) 25
02.20. Calcule o valor de E, onde
 E =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
1
2 1
2 1
2 12
1
8
−
−
−
− − ...
.
16 Extensivo Terceirão
Matemática
1E
Matemática básica: 
propriedades e operações
Aula 03
A radiciação e a potenciação estão relacionadas da 
seguinte forma: o que uma faz a outra desfaz. Nesse 
sentido, por exemplo, temos:
1 1 1 1
2 8 8 2
3 27 27 3
4 64 64 4
3 3
3 3
3 3
3 3
= ↔ =
= ↔ =
= ↔ =
= ↔ =
...
Utilizando as propriedades de radiciação, vistas na aula anterior, podemos operar com números expressos por 
meio de radicais. Assim, veremos agora como adicionar e subtrair radicais semelhantes. Além disso, no caso da divisão, 
muitas vezes é necessário eliminar o radical do denominador. O procedimento para essa eliminação é conhecido como 
racionalização do denominador.
É possível reduzir os radicais em uma soma (adição ou subtração) a um radical apenas. Entretanto, isso só poderá 
ser feito se os radicais envolvidos forem semelhantes ou se eles puderem ser reduzidos a radicais semelhantes.
Exemplos de radicais semelhantes: 2 13 7 133 3 e 
Índice 3 e radicando 13
Índice 3 e radicando 13
Para subtrair ou adicionar radicais semelhantes, fazemos de forma análoga às expressões algébricas:
2 13 7 13 2 7 13 9 13
2 13 7 13 2 7 13 5 13
3 3 3 3
3 3 3 3
+ = + =
− = − = −
( )
( )
Observações:
 • Existem situações em que os radicais, aparentemente, não são semelhantes, mas podem ser reduzidos a radicais 
semelhantes por meio de transformações, conforme propriedades estudadas.
Exemplo: 7 3 12 e (note que 12 4 3 2 3= ⋅ = )
 • Quando os radicais não são semelhantes e também não podem ser reduzidos a radicais semelhantes, a adição e a 
subtração, na forma de radicais, ficam indicadas.
Exemplo: 2 7
Divisão de números na forma de radical
Ao dividirmos dois números expressos por radicais, muitas vezes faz-se necessário “eliminar” o radical que está no 
denominador: dizemos que estamos procedendo à “racionalização” de tal denominador. Essa racionalização é efetua-
da multiplicando-se, pelo fator de racionalização, o numerador e também o denominador da fração correspondente.
Dois ou mais radicais são ditos semelhantes quando apresentam o mesmo índice e o mesmo radicando.
1E
01. Reduza, se possível, a expressão y = − +8 5 2 5 10 5 a um só radical.
• Como os três radicais apresentam o mesmo índice e também o mesmo radicando, dizemos que são radicais 
semelhantes. Assim, temos:
y
y
y
= − +
= − +
=
8 5 2 5 10 5
8 2 10 5
16 5
( )
Observação: Considerando que são radicais semelhantes, o resultado poderia ser obtido de forma imediata, isto é:
y y= − + ⇒ =8 5 2 5 10 5 16 5
02. Simplifique a expressão m= + −14 3 12 2 75 , expressando-a em um só radical, se possível. 
• Observe que, embora os radicais a princípio não sejam semelhantes, podem ser reduzidos de tal forma a ficarem 
com o mesmo índice e o mesmo radicando:
m
m
m
m m
= + −
= + ⋅ − ⋅
= + ⋅ − ⋅
= + − ⇒ =
14 3 12 2 75
14 3 4 3 2 25 3
14 3 4 3 2 25 3
14 3 2 3 10 3 6 33
Situações resolvidas
Aula 03
17Matemática 1E
A seguir, observe os três casos mais comuns de racionalização de denominadores:
1o. caso: 
Quando a expressão em forma de fração apresenta no denominador apenas um radical de índice dois (raiz quadrada).
N
a
N a
a a
N a
a
=
⋅
⋅
=
Neste caso, o fator de racionalização é o próprio radical que aparece no denominador da fração dada.
2o. caso: 
Quando a expressão em forma de fração apresenta no denominador apenas um radical de índice maior que dois.
N
a
N a
a a
N a
a
N a
a
N a
axn
n xn
xn n xn
n xn
x n xn
n xn
nn
n xn
=
⋅
⋅
= = =
−
−
−
+ −
− −
O fator de racionalização é o próprio radical que aparece no denominador da fração dada, mas o expoen-
te do novo radicando, ao ser adicionado ao expoente do anterior, deve resultar o índice do radical.
3o. caso: 
Quando a expressão em forma de fração apresenta no denominador a adição ou a subtração de radicais de índice 
dois, podendo ser também um radical e um número sem radical.
N
a b
N a b
a b a b
N a b
a b
N a b
a b+
=
⋅ −
+ ⋅ −
=
−
−
=
−
−
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
O fator de racionalização corresponde à expressão que permite utilizar o produto da soma pela diferença 
de dois números (produto notável)
03. Racionalize o denominador da fração 
5 3
3 3
−
+
• Utilizamos aqui o 3.o caso de racionalização, multiplicando o numerador e o denominador por 3 3:
5 3
3 3
5 3 3 3
3 3 3 3
5 3
3 3
15 5 3 3 3 3
9 3
5 3
3 3
18
−
+
=
− ⋅ −
+ ⋅ −
−
+
=
− − +
−
−
+
=
( ) ( )
( ) ( )
−−
−
+
=
−
8 3
6
5 3
3 3
9 4 3
3
01. (EPCAR – MG) – Depois de efetuar as operações cabíveis e simplificar a fração 
363 27 12
192
, obtém-se:
02. (UFV – MG) – Simplificando a expressão 3 3
3
3
x x
x
x
−
−
≠, , obtém-se 
w
x x3 3
, onde o numerador w é:
a) 3 + x
b) 3 x
c) 3 – x
d) 3 x
e) 3x
Situações para resolver
18 Extensivo Terceirão
03. Racionalize o denominador da expressão numérica N dada por
N = −
+5 2
5 2
03.01. (CESGRANRIO – RS) – Se a e b= =8 2, então 
o valor de a b− −1 1+ é:
a) 3 2
4
b) 3
2
c) 2
2
d) 8
2
e) 1
10
03.02. (FUVEST) – O valor da expressão 
2 2
2 1
−
−
 é:
a) 2
b) 
1
2
c) 2
d) 1
2
e) 2 1+
Testes
Assimilação
Aula 03
19Matemática 1E
20 Extensivo Terceirão
03.06. (PUCCAMP – SP) – Usando a tecnologia de uma 
calculadora pode-se calcular a divisão de 2 por 43 e obter 
um resultado igual a 
a) 4 . 
b) 33 . 
c) 5. 
d) 23 . 
e) 4 2 . 
03.07. (PUCRJ) – Quanto vale 
1
2 1−
? 
a) 
1
2
1− 
b) 2 1+ 
c) 
2
2
1− 
d) 
5
2
 
e) 1
03.08. (PUCRJ) – Simplificando 9
1
3
3 243
3
3 3+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+( ), 
encontramos: 
a) 9
b) 10
c) 33 
d) 12
e) 1
03.03. (PUCRJ) – Se x e y= =2
2
1
2
, então:
a) x é o inverso de y
b) x é o dobro de y
c) x é a metade de y
d) x = y
e) x2 < y2
03.04. (UnB – DF) – Sendo x um número real maior que 
zero, a expressão 
x
x 45
, vale:
a) x10
b) x
− 4
5
c) x
4
10
d) nenhuma delas
Aperfeiçoamento
03.05. (IFCE ) – Para todo número real positivo a, a expressão 
a a a
a
+ +3 5
é equivalente a 
a) 1+ +a a.
b) 1 + a + a2. 
c) a a+ .
d) a a+ 2 .
e) 1 + a. 
Aula 03
21Matemática 1E
03.09. (PUCRJ) – Assinale a alternativa INCORRETA: 
a) o dobro de 8 é 32.
b) 100 64 6− =
c) 2 8 3 2+ =
d) 60 16 8+ =
e) 2 3 5 24+ = +
03.10. (UFRGS) – A expressão 
3
5
5
3
+ é igual a: 
a) 
8
15
 
b) 
3
5
 
c) 1
d) 
34
15
 
e) 
8 15
15
 
Aprofundamento
03.11. (UFC – CE) – Seja A e B=
+
=
−
1
3 2
1
3 2
, 
então, A + B é igual a: 
a) −2 2.
b) 3 2.
c) −2 3.
d) 3 3.
e) 2 3.
03.12. (UEL – PR) – A expressão 
1
2 2
1
2 2
1
−
−
+
− é 
equivalente a
a) –1 
b) 2 2−
c) 2 2+
d) 2 1− 
e) 2 1+ 
03.13. (CESGRANRIO – RJ) – Efetuando e simplificando
1
1
1
1+
+
−x x
, obtemos:
a) 1
1 2( )+ x
 
b) 2
1 2( )− x
 
c) 1
1( )− x
 
d) 1
1( )+ x
 
e) 2
1( )x
 
22 Extensivo Terceirão
03.14. (UFV – SP) – A expressão
7
7 + −a a
, onde a é um 
número real positivo, equivale a: 
a) 7
b) 7 + +a a 
c) 7 
d) 
7
7
 
e) 1 
03.15. (UEM – PR) – Com base nos conhecimentos sobre as 
propriedades de números reais, assinale o que for correto. 
01) (x3 – y3) = (x – y)3, para quaisquer x e y reais. 
02) 
5
3
8
5
27
5
96
10
1−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = . 
04) Se a e a a> <0 , então a a> . 
08) O resultado da soma de um número racional por um 
irracional é sempre um irracional. 
16) Para todo real a, a equação x2 = a possui solução real. 
03.16. (UPE – PE) – Qual é o valor da expressão
4
2 6
4
2 62 2( ) ( )
?
−
−
+
 
a) 0
b) 4
c) 2 6 
d) 4 6 
e) 2 2 6+ 
03.17. (ESPM – SP) – Considerando-se que x = 97312, 
y = 39072 e z = 2 ⋅ xy , o valor da expressão x y z+ − é: 
a) 6792 
b) 5824 
c) 7321 
d) 4938 
e) 7721 
03.18. (UFC – CE) – O valor exato de 
32 10 7 32 10 7+ + − é: 
a) 12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
e) 8 
Aula 03
23Matemática 1E
03.01. a
03.02. a
03.03. d
03.04. a
03.05. b
03.06. d
03.07. b
03.08. d
03.09. b
03.10. e
03.11. e
03.12. d
03.13. e
03.14. b
03.15. 10 (02 + 08)
03.16. b
03.17. b
03.18. c
03.19. 9
03.20. 2
Gabarito
Desafio
03.19. Quanto vale a soma S: 
S =
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
1
1 2
1
2 3
1
3 4
1
4 5
1
99 100
?
03.20. Simplifique a expressão E =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3 2 2
17 12 2
3 2 2
17 12 2
1
2
1
2−
−
− +
+
24 Extensivo Terceirão
Matemática
1E
Trigonometria: arcos e ângulos
Aula 04
A origem da trigonometria está relacionada com o cálculo de distâncias inacessíveis correspondentes aos lados de 
um triângulo. Atualmente, seu interesse maior é o estudo de fenômenos periódicos que, de alguma maneira, podem 
ser descritos por meio de funções trigonométricas.
–a Xo a
A B
m
Para que possamos interpretar tais fenômenos periódicos, iniciaremos aqui o estudo da trigonometria numa 
circunferência trigonométrica.
Arcos e ângulos
Quaisquer dois pontos distintos de uma circunferência dividem-na em duas 
partes, chamadas de arcos (na figura ao lado, as linhas verde e vermelha indicam 
os dois arcos AB). 
No sentido de abertura, a todo arco existe, em correspondência, um ângulo 
central.
A
B
O
Atenção:
Deve-se tomar cuidado para não confundir medida de arco com comprimento 
de arco.
Na figura ao lado, por exemplo, AB, CD, EF e GH são arcos de mesma medida 
mas de comprimentos diferentes (esses arcos têm, em correspondência, o mesmo 
ângulo central mas pertencem a circunferências de comprimentos distintos).
O
A
B
D
F
H
C
E
G
1E
Observações:
1. A relação que permite transformar graus para radianos, e radianos para graus, é: 180° = rad 
2. O arco de 1 radiano mede aproximadamente 57°: 1 rad 57° 
Aula 04
25Matemática 1E
Unidades de medida de arco
Utilizaremos duas unidades de medida de arco (ou ângulo): o grau e o radiano. Essas duas unidades são estabele-
cidas a partir da divisão de uma circunferência:
Grau
Medida do ângulo central correspondente a 1
360
 do arco 
da circunferência completa:
1 volta 360°
©
P. 
Im
ag
en
s/
Iv
on
al
do
 A
le
xa
nd
re
O minuto e o segundo são subunidades do grau:
 • 1 minuto corresponde a 1
60
 do grau: 1° = 60’
 • 1 segundo corresponde a 1
60
 do minuto: 1’ = 60”
Radiano
Medida do ângulo central correspondente ao arco cujo comprimento é 
igual à medida do raio da circunferência: 
R 1 radiano
1 rad
R
R
Vamos determinar, em radianos, a medida do arco correspondente a 1 volta:
1rad
x
 = r
2 r
x = 2 rad medida do arco ou ângulo central de uma volta
Medida do arco
1 rad
x
Comprimento do arco
r
2 r
3. Observe, nos quadros a seguir, as medidas em graus e radianos de alguns arcos importantes.
ARCO GRAU RADIANO ARCO GRAU RADIANO
90°
2
 rad 270° 3
2
 rad
180° rad 360° 2 rad
4. Há uma relação envolvendo o comprimento do arco, o raio da circunferência e também a medida, em 
radianos, do ângulo central correspondente:
L
r
Relação matemática:
θ=
L
r 
O comprimento de um arco dividido pela medida do raio 
da circunferência que contém esse arco é igual à medida, em 
radianos, do ângulo central correspondente.
01. Transforme a medida do arco de 120° para radianos.
• Utilizamos a proporção para transformar a medida do arco para radianos:
180
120
180 120
120
180
2
3
o
o
rad
x
x
x rad
=
⋅ = ⋅
=
⋅
⇒
π
π
π π
02. Transforme a medida do arco de 7
4
π radianos para graus.
• Embora possamos utilizar a proporção, uma forma mais simples é a substituição direta de radianos por 180 graus:
7
4
7 180
4
7 45 315
π
rad
o
o o=
⋅
= ⋅ =
03. Determine o comprimento do arco correspondente ao setor circular representado (em destaque) na figura a seguir.
• Utilizamos a proporção entre as medidas dos ângulos centrais e os comprimentos dos correspondentes arcos, 
lembrando que o comprimento da circunferência é 2 r:
360
30
2
360
30
2 8
12 16
4
3
o
o
o
o
r
L
L
L L cm
=
=
⋅
⋅ = ⇒ =
π
π
π
π
Situações resolvidas
8 cm
30°
26 Extensivo Terceirão
01. Sendo L a medida do com-
primento de um arco de 
circunferência, de raio R, e 
 a medida, em radianos, 
do ângulo central corres-
pondente, mostre que vale 
a relação
α =
L
R
02. Quantos graus percorre o ponteiro dos minutos de 
um relógio, em 40 min? E quantos radianos?
03. (UEL – PR) – A medida do menor ângulo determinado 
pelos ponteiros de um relógio que marca 10h20min 
é:
a) 170° b) 165° 
c) 160° d) 155° 
e) 150° 
Situações para resolver
Aula 04
27Matemática 1E
Testes
Assimilação
04.01. (EEAR – SP) – Gabriel verificou que a medida de um 
ângulo é 
3
10
π
rad. Essa medida é igual a 
a) 48o
b) 54o
c) 66o
d) 72o
04.02. (UFAL) – Se a medida de um arco, em graus, é igual 
a 128, sua medida em radianos é igual a 
a) (π/4) – 17
b) (64/15) π
c) (64/45) π
d) (16/25) π
e) (32/45) π
28 Extensivo Terceirão
04.03. (UFRGS) – Dentre os desenhos abaixo, aquele que 
representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 
radiano é
a) 0 b) 0
c) 
0
 d) 0
e) 
004.04. (UDESC) – O relógio Tower Clock, localizado em 
Londres, Inglaterra, é muito conhecido pela sua precisão e 
tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das 
horas e dos minutos deste relógio, desprezando suas larguras, 
às 15 horas e 20 minutos é: 
a) 
π
12
 
b) 
π
36
 
c) 
π
6
 
d) 
π
18
 
e) 
π
9
 
Aperfeiçoamento
04.05. (UEL – PR) – Um relógio marca que faltam 20 minu-
tos para o meio-dia. Então, o menor ângulo formado pelos 
ponteiros das horas e dos minutos é: 
a) 90° b) 100° c) 110° d) 115° e) 125° 
04.06. (UFSM – RS) – No último pleito, o horário de encer-
ramento das votações, segundo determinação do TSE para 
todo o estado do Rio Grande do Sul, foi às 17 horas. Passados 
5 minutos do encerramento, o menor ângulo entre os pon-
teiros do relógio era de 
a) 123° 
b) 122° 30’ 
c) 122° 
d) 120° 30’ 
e) 120° 
04.07. (MACK – SP) – Um veículo percorre uma pista circular 
de raio 300 m, com velocidade constante de 10 m/s, durante 
um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da 
medida, em graus, do arco percorrido é: 
a) 90 
b) 115 
c) 145 
d) 75 
e) 170 
Aula 04
29Matemática 1E
04.08. (UFRGS) – Se o ponteiro menor de um relógio percor-
re um arco de π/12 rad, o ponteiro maior percorre um arco de 
a) π/6 rad. b) π/4 rad. 
c) π/3 rad. d) π/2 rad. 
e) π rad. 
04.09. (FUVEST – SP) – Considere um arco AB de 110° numa 
circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’ 
de 60° numa circunferência de raio 5 cm.
Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’ 
(ambos medidos em cm), obtém-se: 
a) 11/6. b) 2. c) 11/3. d) 22/3. e) 11. 
04.10. (IFSP – GO) – Considere uma circunferência de 
centro O e raio 6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa 
circunferência, sabe-se que o comprimento de um arco AB 
é 5π cm. A medida do ângulo central ˆAOB, correspondente 
ao arco AB considerado, é 
a) 120°. b) 150°. 
c) 180°. d) 210°. 
e) 240°. 
04.11. (UFG) – Deseja-se marcar nas trajetórias circulares 
concêntricas, representadas na figura a seguir, os pontos A e 
B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos 
pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma 
trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem.
Linha de origem B
A
Considerando que o ponto A deverá ser marcado sobre a 
linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, 
o valor do ângulo α, em graus, será igual a 
a) 30 
b) 36 
c) 45 
d) 60 
e) 72 
04.12. (UEPG – PR) – Um relógio analógico marca duas 
horas e trinta minutos. Ao lado deste, um segundo relógio 
marca um fuso horário diferente: dez horas e trinta minutos. 
Considerando o menor ângulo formado entre o ponteiro dos 
minutos e o ponteiro das horas, em cada um dos relógios, 
assinale o que for correto. 
01) O ângulo no primeiro relógio é menor que 120°.
02) O ângulo no segundo relógio é maior que 140°.
04) No primeiro relógio, o ângulo é maior que no segundo. 
08) O módulo da diferença entre os ângulos dos dois reló-
gios é 30°.
30 Extensivo Terceirão
04.13. (UEPG – PR) – Sobre arcos e ângulos, assinale o que 
for correto. 
01) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um reló-
gio que está marcando 1 hora e 40 minutos é 170°.
02) Um trem desloca-se na velocidade constante de 
60 km/h num trecho circular de raio igual a 500 m. En-
tão, em um minuto ele percorre um arco de 2 rad.
04) Uma pessoa caminhando em volta de uma praça cir-
cular descreve um arco de 160° ao percorrer 120 m. O 
diâmetro da praça é maior que 100 m.
08) Em 50 minutos, o ponteiro dos minutos de um relógio 
percorre 
5
3
π
rad. 
04.14. (UNESP – SP) – Os pontos P e Q sobre a superfície 
da Terra possuem as seguintes coordenadas geográficas:
Latitude Longitude
P 30° N 45° L
Q 30° N 15° O
Considerando a Terra uma esfera de raio 6.300 km, a medida 
do menor arco PQ sobre a linha do paralelo 30° N é igual a 
a) 1 150 3. π km b) 1 250 3. π km 
c) 1 050 3. π km d) 1 320 3. π km 
e) 1 350 3. π km 
04.15. (FUVEST – SP) – Uma das primeiras estimativas do 
raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que 
viveu, aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo 
que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia 
do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava 
sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas 
mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. 
O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do 
solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra 
e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de 
incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido 
a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, 
aproximadamente, 7500 km.
Raios 
de sol
Alexandria
Assuã
θ
O mês em que foram realizadas as observações e o valor 
aproximado de θ são
(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre 
Assuã e Alexandria ≈ 900 km; π = 3) 
a) junho; 7°. b) dezembro; 7°. 
c) junho; 23°. d) dezembro; 23°. 
e) junho; 0,3°. 
04.16. (UFSCAR – SP) – Uma pizza circular será fatiada, a 
partir do seu centro, em setores circulares. Se o arco de cada 
setor medir 0,8 radiano, obterá um número máximo N de 
fatias idênticas, sobrando no final, uma fatia menor, que é 
indicada na figura por fatia N + 1.
fatia 2
fatia 1
fatia N + 1fatia N
Aula 04
31Matemática 1E
 Considerando π = 3,14, o arco da fatia N + 1, em radiano, é
a) 0,74 b) 0,72 c) 0,68 d) 0,56 e) 0,34
04.17. (FGV –SP) – Na figura, ABCD representa uma placa 
em forma de trapézio isósceles de ângulo da base medin-
do 60°. A placa está fixada em uma parede por AD e PA, 
representa uma corda perfeitamente esticada, inicialmente 
perpendicular à parede.
20 cm B
A
D
M
C
P
20 cm
10 cm
60º
Nesse dispositivo, o ponto P será girado em sentido horário, 
mantendo-se no plano da placa, e de forma que a corda 
fique sempre esticada ao máximo. O giro termina quando P 
atinge M, que é o ponto médio de CD. 
Nas condições descritas, o percurso total realizado por P, em 
cm, será igual a 
a) 
50
3
π
 b) 
40
3
π
c) 15π d) 10π
e) 9π
04.18. (UEL – SP) – Uma família viaja para Belém (PA) em 
seu automóvel. Em um dado instante, o GPS do veículo indica 
que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 21°20’ 
Sul e longitude 48°30’ Oeste. O motorista solicita a um dos 
passageiros que acesse a Internet em seu celular e obtenha 
o raio médio da Terra, que é de 6730 km, e as coordenadas 
geográficas de Belém, que são latitude 1°20’ Sul e longitude 
48°30’ Oeste. A partir desses dados, supondo que a superfí-
cie da Terra é esférica, o motorista calcula a distância D, do 
veículo a Belém, sobre o meridiano 48°30’ Oeste.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor 
da distância D, em km. 
a) D
9
673= π 0 b) D
18
673 2= ( )π 0 
c) D
9
673= π 0 d) D
36
673= π 0 
e) D
3
673
2
= ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
π
0 
Desafio
04.19. (FUVEST) – Um triângulo retângulo com vértices 
denominados A, B e C apoia‐se sobre uma linha horizontal, 
que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido 
horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na 
figura, o movimento começa com uma rotação em torno 
do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a 
ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, 
e assim por diante.
A
C
1
2B
Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2), 
qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice 
B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no 
solo novamente? 
a) 
3
2
π b) 
3 3
3
+ π 
c) 
13
6
π d) 
3 3
2
+ π 
e) 
8 2 3
3
+ π 
32 Extensivo Terceirão
Gabarito
04.01. b
04.02. e
04.03. b
04.04. e
04.05. c
04.06. b
04.07. b
04.08. e
04.09. c
04.10. b
04.11. e
04.12. 09 (01 + 08)
04.13. 11(01 + 02 + 08)
04.14. C
04.15. A
04.16.C
04.17. A
04.18. A
04.19. C
04.20. 26 (02 + 08 +16)
04.20. (UEM – PR) – Um brinquedo eletrônico tem um disco de 10 cm de raio, e esse disco possui 5 pontos igualmente 
distribuídos em seu bordo e numerados de 1 a 5 no sentido horário. Uma esfera magnética movimenta-se na borda desse 
disco. Quando posicionada em um ponto de número ímpar, movimenta-se para o próximo número, em sentido horário; e 
quando posicionada em um ponto de número par, movimenta-se dois números também em sentido horário. Em relação ao 
exposto, assinale o que for correto. 
01) Se a esfera é inicialmente colocada no ponto de número 5, com 1.000 movimentos, a esfera irá parar no ponto de nú-
mero 2. 
02) Se a esfera começa na posição 1, com dois movimentos, o ângulo do maior arco compreendido entre a posição 1 e a 
posição final, em relação ao centro do disco, em radianos, mede 
6
5
π
. 
04) Se a esfera começa na posição 2, com 3 movimentos, o caminho total que a esfera percorre mede 10π cm. 
08) Se a esfera não inicia na posição 5, então ela nunca passará por essa posição. 
16) Qualquer que seja a posição em que a esfera seja inicialmente colocada, ela sempre passará pela posição 4.