Deflexao Vigas Cap 9

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C A P Í T U L O
9Defl exão de vigasDefl exão de vigas 9
A foto mostra uma ponte de múltiplas tramas durante a construção. O projeto das vigas da ponte baseia-
-se nas considerações de resistência e avaliação das defl exões.
550 Defl exão de vigas 9.1. Introdução
No capítulo anterior, aprendemos a projetar vigas considerando critérios 
de resistência. Neste capítulo vamos nos preocupar com outro aspecto do pro-
jeto de vigas: a determinação da defl exão. A defl exão máxima de uma viga 
sob um determinado carregamento tem importância especial, pois as especifi -
cações de projeto de uma viga geralmente incluem um valor máximo admis-
sível para sua defl exão. Interessa também o fato de que o conhecimento das 
defl exões é necessário para analisar as vigas indeterminadas, que são as vigas 
nas quais o número de reações nos apoios excede o número de equações de 
equilíbrio disponíveis para determinar as incógnitas.
Vimos na Seção 4.4 que uma viga prismática submetida à fl exão pura é 
fl exionada em um arco de circunferência e que, dentro do regime elástico, a 
curvatura da superfície neutra pode ser expressa como
 
(4.21)
1
r
M
EI
em que M é o momento fl etor, E, o módulo de elasticidade, e I, o momento de 
inércia da seção transversal em relação à linha neutra.
Quando uma viga é submetida a um carregamento transversal, a Equação 
(4.21) permanece válida para qualquer seção transversal, desde que se aplique 
o princípio de Saint-Venant. No entanto, o momento fl etor e a curvatura da 
superfície neutra variam de uma seção para outra. Chamando de x a distância 
da seção a partir da extremidade esquerda da viga, escrevemos
 
(9.1)
1
r
M1x2
EI
O conhecimento da curvatura em vários pontos de uma viga carregada nos 
permitirá tirar algumas conclusões gerais referentes à deformação dessa viga. 
(Seção 9.2).
Para determinarmos a inclinação e a defl exão transversal da viga em qual-
quer ponto, primeiro determinamos a equação diferencial linear de segunda 
ordem, dada a seguir, que governa a linha elástica e caracteriza a forma da 
viga deformada (Seção 9.3):
 
d 2y
dx2
M1x2
EI
Se o momento fl etor pode ser representado para todos os valores de x por uma 
função simples M(x), como no caso das vigas e dos carregamentos mostrados 
na Fig. 9.1, a inclinação u � dy�dx e a defl exão y em qualquer ponto da viga po-
dem ser obtidas por meio de duas integrações sucessivas. As duas constantes de 
integração introduzidas no processo serão determinadas a partir das condições 
de contorno indicadas na fi gura.
No entanto, se forem necessárias funções analíticas diferentes para 
representar o momento fl etor nas várias partes da viga, serão necessárias Fig. 9.1
B
B
xA
A
y
y
(a) Viga em balanço
(b) Viga biapoiada
[ yA�0 ] [ yB�0 ]
x
[ yA�0]
[ A� 0]�
também diferentes equações diferenciais, que nos levarão a diferentes funções 
defi nindo a linha elástica nas várias partes da viga. Por exemplo, no caso da 
viga e carregamento da Fig. 9.2, são necessárias duas equações diferenciais, 
uma para a parte AD da viga e outra para a parte DB. A primeira equação 
produz as funções u1 e y1, e a segunda, as funções u2 e y2. Ao todo, devem 
ser determinadas quatro constantes de integração; duas serão obtidas escre-
vendo-se que a defl exão é zero em A e B, e as outras duas expressando-se o 
fato de que as partes AD e BD da viga têm a mesma inclinação e a mesma 
defl exão em D.
Você observará na Seção 9.4 que, no caso de uma viga suportando uma 
força distribuída w(x), a linha elástica pode ser obtida diretamente de w(x) 
por meio de quatro integrações sucessivas. As constantes introduzidas nesse 
processo serão determinadas pelos valores de contorno de V, M, u e y.
Na Seção 9.5, discutiremos as vigas estaticamente indeterminadas, em 
que as reações nos apoios envolvem quatro ou mais incógnitas. As três equa-
ções de equilíbrio devem ser complementadas com equações obtidas a partir 
das con dições de contorno impostas pelos apoios.
O método descrito anteriormente para a determinação da linha elástica 
quando várias funções são necessárias para representar o momento fl etor M 
pode ser muito trabalhoso, pois requer que se imponha a condição de que as 
inclinações e as defl exões em cada ponto de transição sejam iguais. Você verá 
na Seção 9.6 que o uso de funções de singularidade (já discutido na Seção 
5.5) simplifi ca consideravelmente a determinação de u e y em qualquer ponto 
da viga.
A próxima parte do capítulo (Seções 9.7 e 9.8) é dedicada ao método 
da superposição, que consiste em determinar separadamente e, em seguida, 
adicionar a inclinação e a defl exão provocadas pelas várias forças aplicadas a 
uma viga. Esse procedimento pode ser facilitado usando-se a tabela do Apên-
dice D, que fornece as inclinações e as defl exões de vigas para vários carrega-
mentos e vários tipos de apoio.
Na Seção 9.9, serão usadas certas propriedades geométricas da linha 
elástica para determinar a defl exão e a inclinação de uma viga em deter-
minado ponto. Em lugar de expressar o momento fl etor como uma função 
M(x) e integrar essa função analiticamente, será traçado o diagrama re-
presentando a variação de M�EI ao longo do comprimento da viga e serão 
deduzidos dois teoremas dos momentos de área. O teorema do primeiro 
momento de área nos permitirá calcular o ângulo entre as tangentes à viga 
em dois pontos; o teorema do segundo momento de área será usado para 
calcular a distância vertical de um ponto na viga a uma tangente no se-
gundo ponto.
Os teoremas dos momentos de área serão usados na Seção 9.10 para de-
terminar a inclinação e a defl exão em pontos selecionados das vigas em ba-
lanço e vigas com carregamentos simétricos. Na Seção 9.11 você verá que, 
em muitos casos, as áreas e os momentos de áreas defi nidos pelos diagramas 
M�EI podem ser mais facilmente determinados traçando-se o diagrama de 
momento fl etor por partes. Quando você estudar o método dos momentos de 
área, observará que ele é particularmente efi caz no caso de vigas com seção 
transversal variável.
Na Seção 9.12, serão consideradas as vigas com carregamentos assimé-
tricos e vigas biapoiadas com balanço. Uma vez que em um carregamento 
Fig. 9.2
BA
D
y
[x � 0, y1 � 0]
� �
x
x � L, 1 � 2
1
4[ [ 
x � L, y1 � y2
1
4[ [
x � L, y2� 0[ [
P
 5519.1 Introdução
552 Defl exão de vigas assimétrico a defl exão máxima não ocorre no centro da viga, você aprenderá 
na Seção 9.13 a loca lizar o ponto em que a tangente é horizontal para deter-
minar a defl exão máxima. A Seção 9.14 será dedicada à solução de problemas 
envolvendo vigas estaticamente indeterminadas.
9.2. Deformação de uma viga sob 
carregamento transversal
No início deste capítulo, recordamos a Equação (4.21) da Seção 4.4, que 
relaciona a curvatura da superfície neutra e o momento fl etor em uma viga em 
fl exão pura. Destacamos que essa equação permanece válida para qualquer 
seção transversal de uma viga submetida a carregamento transversal, desde 
que o princípio de Saint-Venant seja aplicável. No entanto, tanto o momento 
fl etor quanto a curvatura da superfície neutra irão variar de uma seção para 
outra. Chamando de x a distância da seção a partir da extremidade esquerda 
da viga, escrevemos
 
(9.1)
1
r
M1x2
EI
Considere, por exemplo, uma viga em balanço AB de comprimento L sub-
metida a uma força concentrada P em sua extremidade livre A (Fig. 9.3a). 
Temos M(x) � �Px e, substituindo em (9.1),
 
1
r
Px
EI
que mostra que a curvatura da superfície neutra varia linearmente com x, des-
de zero em A, em que o próprio rA é infi nito, até �PL�EI em B, em que 
�rB� � EI�PL (Fig. 9.3b).
Considere agora a viga biapoiada com um balanço AD da Fig. 9.4a que 
suporta duas forças concentradas conforme mostra a fi gura. No diagrama 
de corpo livre da viga (Fig. 9.4b), vemos que as reações nos apoios são 
RA � 1 kN e RC � 5 kN, respectivamente, e traçamos o diagrama do mo-
mento fl etor correspondente (Fig. 9.5a). Notamos no diagrama que Me, 
portanto, a curvatura da viga são ambos zero nas extremidades da viga, 
assim como no ponto E localizado em x � 4 m. Entre A e E o momento 
fl etor é positivo e a viga tem a concavidade voltada para cima; entre E e D 
Fig. 9.4
Fig. 9.3
B
A x
A5 `
(a)
P
L
B
A
(b)
P
3
r
Br
D
B C
A
(a) (b)
4 kN 2 kN
3 m 3 m 3 m
DA
B C 
4 kN 2 kN
 RC � 5 kN RA � 1 kN
3 m 3 m 3 m
o momento fl etor é negativo e a viga tem a concavidade voltada para baixo 
(Fig. 9.5b). Notamos também que o maior valor da curvatura (isto é, o me-
nor valor do raio da curvatura) ocorre no apoio C, em que �M� é máximo.
Com base nas informações obtidas a respeito de sua curvatura, temos 
uma ideia razoavelmente boa sobre a forma da viga deformada. No entanto, a 
análise e o projeto de uma viga geralmente exigem informações mais precisas 
sobre a defl exão e a inclinação da viga em vários pontos. Particularmente 
importante é o conhecimento da defl exão máxima da viga. Na próxima seção, 
a Equação (9.1) será usada para obter uma relação entre a defl exão y medida 
em determinado ponto Q no eixo da viga e a distância x desse ponto em rela-
ção a alguma origem fi xa (Fig. 9.6). A relação obtida será a equação da linha 
elástica, isto é, a equação da curva na qual o eixo da viga é transformado sob 
determinado carregamento (Fig. 9.6b).†
9.3. Equação da linha elástica
Primeiro recordamos do cálculo elementar que a curvatura de uma curva 
plana em um ponto Q(x,y) pode ser expressa como
 
(9.2)
1
r
d2y
dx 2c1 ady
dx
b2 d 3 2
em que dy�dx e d 2y�dx2 são a primeira e a segunda derivadas da função y(x) 
representada por essa curva. Mas, no caso da linha elástica de uma viga, a 
inclinação dy�dx é muito pequena, e seu quadrado é desprezível comparado 
com a unidade. Escrevemos então
 
(9.3)
1
r
d2y
dx2
Substituindo 1�r de (9.3) em (9.1), temos
 
(9.4)
d2y
dx2
M1x2
EI
Uma equação diferencial linear de segunda ordem é obtida; ela é a equação 
dife rencial que governa a linha elástica.
†Devemos notar que, neste capítulo, a letra y representa um deslocamento vertical, embora tenha 
sido usada em capítulos anteriores para representar a distância de um ponto em uma seção transversal 
a partir da linha neutra dessa seção.
Fig. 9.5
Fig. 9.6
 5539.3 Equação da linha elásticaM
A
B
E C CD
D4 m
3 kN · m 4 kN 2 kN
�6 kN · m
B E
A
x
(a) (b)
x
D
C
C
y
y
A
D
Q
Q
A
x
Linha
elástica
(a)
(b)
P2P1
554 Defl exão de vigas O produto EI é conhecido como rigidez à fl exão e, se ele varia ao longo 
da viga, como no caso de uma viga de altura variável, devemos expressá-lo 
como uma função de x antes de integrar a Equação (9.4). No entanto, no caso 
de uma viga prismática, que é o caso considerado aqui, a rigidez à fl exão é 
constante. Podemos então multiplicar ambos os membros da Equação (9.4) 
por EI e integrar em x. Escrevemos
 
(9.5)EI 
dy
dx
x
0
M1x2 dx C1
em que C1 é uma constante de integração. Chamando de u(x) o ângulo, medi-
do em radianos, que a tangente com a linha elástica em Q forma com a hori-
zontal (Fig. 9.7), e lembrando que esse ângulo é muito pequeno, temos
 
dy
dx
tg u u1x2
Assim, escrevemos a Equação (9.5) na forma alternativa
 
( )9.5¿EI u1x2 x
0
M1x2 dx C1
Integrando ambos os membros da Equação (9.5) em x, temos
 
(9.6) EI y
x
0
dx
x
0
M1x2 dx C1x C2
 EI y
x
0
c x
0
M1x2 dx C1 d dx C2
em que C2 é uma segunda constante de integração, e onde o primeiro termo no 
membro da direita representa a função de x obtida integrando-se duas vezes 
em x o momento fl etor M(x). Se não fosse pelo fato de que as constantes C1 
e C2 estão ainda indeterminadas, a Equação (9.6) defi niria a defl exão da viga 
em qualquer ponto Q, e a Equação (9.5) ou (9.5’) defi niria de modo semelhan-
te a inclinação da viga em Q.
As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições de contorno ou, 
mais precisamente, pelas condições impostas à viga pelos seus apoios. Limi-
tando nossa análise nessa seção a vigas estaticamente determinadas, isto é, a 
vigas vinculadas de uma forma que as reações nos apoios podem ser obtidas 
pelos métodos da estática, notamos que somente três tipos de vigas precisam 
ser considerados aqui (Fig. 9.8): (a) a viga biapoiada, (b) a viga biapoiada 
com balanço e (c) a viga em balanço.
Nos dois primeiros casos, os apoios consistem em um apoio fi xo em A 
e um apoio móvel em B, e requerem que a defl exão seja zero em cada um 
desses pontos. Fazendo primeiro x � xA, y � yA � 0 na Equação (9.6), 
e depois x � xB, y � yB � 0 na mesma equação, obtemos duas equações 
que podem ser resolvidas para C1 e C2. No caso da viga em balanço (Fig. 
9.8c), notamos que a defl exão e a inclinação em A devem ser zero. Fazendo 
x � xA, y � yA � 0 na Equação (9.6), e x � xA, u � uA � 0 na Equação (9.5�), 
obtemos novamente duas equações que podem ser resolvidas para C1 e C2.
Fig. 9.7
y
y(x) (x)
x
O
Q
�
x
P
P
BA
y
y
y
(a) Viga biapoiada
yA� 0 yB� 0
x
yA� 0
B
B
xA
A x
(c) Viga em balanço
(b) Viga biapoiada com balanço
yA� 0
A� 0�
yB� 0
Fig. 9.8 Condições de contorno para vigas estati-
camente determinadas.
EXEMPLO 9.1
A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e suporta 
uma força P na sua extremidade livre A (Fig. 9.9). Determine a 
equação da linha elástica, a defl exão e a inclinação em A.
Usando o diagrama de corpo livre da parte AC da viga (Fig. 
9.10), em que C está localizado a uma distância x da extremidade 
A, encontramos
(9.7)M Px
Substituindo M na Equação (9.4) e multiplicando ambos os mem-
bros pela constante EI, escrevemos
EI 
d 2y
dx2
Px
Integrando em x, obtemos
(9.8)EI 
dy
dx
1
2Px
2 C1
Observamos agora que na extremidade engastada B temos x � L e 
u � dy�dx � 0 (Fig. 9.11). Substituindo esses valores na Equação 
(9.8) e resolvendo para C1, temos
C1
1
2PL
2
que usamos novamente na (9.8):
(9.9)EI 
dy
dx
1
2Px
2 1
2PL
2
Integrando ambos os membros da Equação (9.9), escrevemos
(9.10)EI y 16Px
3 1
2PL
2x C2
Mas em B temos x � L, y � 0. Substituindo na Equação (9.10), 
temos
 C2
1
3PL
3
0 16PL
3 1
2PL
3 C2
Utilizando o valor de C2 novamente na Equação (9.10), obtemos 
a equação da linha elástica:
ou
(9.11)y
P
6EI
1 x3 3L2x 2L32
EI y 16Px
3 1
2PL
2x 13PL
3
A defl exão e a inclinação em A são obtidas fazendo x � 0 nas 
Equações (9.11) e (9.9). Encontramos
yA
PL3
3EI
e uA adydxbA PL22EI
EXEMPLO 9.2
A viga prismática biapoiada AB está submetida a uma força w 
uniformemente distribuída por unidade de comprimento (Fig. 
9.12). Determine a equação da linha elástica e a defl exão má xima 
da viga.
Desenhando o diagrama de corpo livre da parte AD da viga 
(Fig. 9.13) e tomando os momentos em relação a D, vemos que
(9.12)M 12wLx
1
2wx
2
Substituindo M na Equação (9.4) e multiplicando ambos os mem-
bros desta equação pela constante EI, escrevemos
(9.13)EI
d 2y
dx2
1
2
wx2
1
2
wL x
Integrando duas vezes em x, temos
(9.14) EI 
dy
dx
1
6
wx3
1
4
wLx2 C1
(9.15) EI y
1
24
wx4
1
12
wLx3 C1x C2
555
L
P
BA
P
V
MA
x
C
Fig. 9.9 Fig. 9.10
BO
y
yA
A
L
x
[x � L, � 0]�
[x � L, y � 0]
Fig. 9.11
Fig. 9.12 Fig. 9.13
B
w
A
L
A
2
x
D
M
V
wx
RA � wL
x
2
1
Observando que y � 0 em ambas as extremidades da viga (Fig. 
9.14), calculamos primeiro x � 0 e y � 0 na Equação (9.15) e 
obtemos C2 � 0. Depois calculamos x � L e y � 0 na mesma 
equação e escrevemos
 C1
1
24 wL
3
 0 124 wL
4 1
12 wL
4 C1L
Utilizando os valores de C1 e C2 na Equação (9.15), obtemos a 
equação da linha elástica:
ou
(9.16)y
w
24EI
1 x4 2Lx3 L3x2
EI y 124 wx
4 1
12 wL x
3 1
24 wL
3x
Substituindo na Equação (9.14) o valor obtido para C1, verifi -
camos que a inclinação da viga é zero para x � L�2 e que a linha 
elástica tem um mínimo no ponto médio C da viga (Fig. 9.15). 
Usando x � L�2 na Equação (9.16), temos
yC
w
24EI
a L4
16
2L
L3
8
L3
L
2
b 5wL4
384EI
A defl exão máxima ou, mais precisamente, o valor máximo 
absoluto da defl exão é então 
0y 0máx 5wL4384EI
Em cada um dos doisexemplos considerados até agora, foi necessário 
somente um diagrama de corpo livre para determinar o momento fl etor na 
viga. Consequentemente, foi usada uma única função de x para representar M 
ao longo da viga. Isso, no entanto, não é o que geralmente ocorre. Forças con-
centradas, reações nos apoios ou descontinuidades em uma força distribuí-
da tornam necessárias a divisão da viga em várias partes e a representação do 
momento fl etor por uma função M(x) diferente em cada uma dessas partes da 
viga (Fig. 9.16). Cada uma das funções M(x) levará então a uma expressão 
diferente para a inclinação u(x) e para a defl exão y(x). Como cada uma das 
expressões obtidas para a defl exão deve conter duas constantes de integração, 
teremos de determinar um grande número de constantes. Conforme você verá 
no próximo exemplo, as condições de contorno adicionais necessárias podem 
ser obtidas observando-se que, embora a força cortante e o momento fl etor 
possam ser descontínuos em vários pontos em uma viga, a defl exão e a incli-
nação da viga não podem ser descontínuas em nenhum ponto.
EXEMPLO 9.3
Para a viga prismática e o carregamento mostrados (Fig. 9.17), 
determine a inclinação e a defl exão no ponto D.
Devemos dividir a viga em duas partes, AD e DB, e determi-
nar a função y(x) que defi ne a linha elástica para cada uma dessas 
partes.
BA
L
y
x
 x �0, y � 0 x � L, y � 0[[ [[
B
C
L/2
A
y
x
Fig. 9.14
Fig. 9.15
Fig. 9.16 Uma função diferente M(x) é 
necessária em cada parte dos braços 
em balanço.
Fig. 9.17
B
D
A
3L/4
L/4
P
556
1. De A a D (x , L�4). Desenhamos o diagrama de corpo 
livre de uma parte AE da viga, de comprimento x � L�4 (Fig. 
9.18). Tomando os momentos em relação a E, temos
(9.17)M1
3P
4
x
ou, usando a Equação (9.4),
(9.18)EI
d2 y1
dx2
3
4
Px
em que y1(x) é a função que defi ne a linha elástica para a parte 
AD da viga. Integrando em x, temos
(9.19) EI u1 EI
dy1
dx
3
8
Px2 C1
(9.20) EI y1
1
8
Px3 C1x C2
2. De D a B (x . L�4). Desenhamos agora o diagra ma de 
corpo livre de uma parte AE da viga de comprimento x � L�4 
(Fig. 9.19) e escrevemos
(9.21)M2
3P
4
x Pax L
4
b
ou, usando a Equação (9.4) e rearranjando os termos,
(9.22)EI
d 2y2
dx2
1
4
Px
1
4
PL
em que y2(x) é a função que defi ne a linha elástica para a parte 
DB da viga. Integrando em x, temos
(9.23) EI u2 EI
dy2
dx
1
8
 Px2
1
4
 PLx C3
(9.24) EI y2
1
24
Px3
1
8
PLx2 C3x C4
Determinação das constantes de integração. As 
condições que devem ser satisfeitas pelas constantes de integra-
ção foram resumidas na Fig. 9.20. No apoio A, em que a defl exão é
defi nida pela Equação (9.20), devemos ter x � 0 e y1 � 0. No 
apoio B, onde a defl exão é defi nida pela Equação (9.24), de-
vemos ter x � L e y2 � 0. Além disso, o fato de que não deve 
haver nenhuma variação brusca na defl exão ou na inclinação no 
ponto D requer que y1 � y2 e u1 � u2 quando x � L�4. Temos 
portanto:
(9.25)
(9.26)
(9.27)
(9.28)
PL3
512
C1 
L
4
11PL3
1536
C3 
L
4
C4
3x L 4, y1 y2 4 , Equações 19.202 e 19.242:
3
128
 PL2 C1
7
128
 PL2 C3
3x L 4, u1 u2 4 , Equações 19.192 e 19.232:
0
1
12
 PL3 C3L C4
3x L, y2 0 4 , Equação 19.242:3x 0, y1 0 4 , Equação 19.202: 0 C2
Resolvendo essas equações simultaneamente, encontramos
C1
7PL2
128
, C2 0, C3
11PL2
128
, C4
PL3
384
Substituindo C1 e C2 nas Equações (9.19) e (9.20), escrevemos 
que para x � L�4,
(9.29) EI u1
3
8
 Px2
7PL2
128
(9.30) EI y1
1
8
Px3
7PL2
128
 x
Usando x � L�4 em cada uma dessas equações, vemos que a in-
clinação e a defl exão no ponto D são, respectivamente,
uD
PL2
32EI
e yD
3PL3
256EI
Observamos que, como uD � 0, a defl exão em D não é a defl e-
xão máxima da viga.
Fig. 9.18 Fig. 9.19
Fig. 9.20
A
E
M1
V1
x
3
4 P
x � L14
V2
M2A
D
x
E
P
3
4 P
557
D
BA
y
x x �0, y1 � 0 
x � L, y2� 0[
[
[
[
� �x � L, 1 �
1
4[ [ 
x � L, y1 � y2
2
1
4[ [
P
558 Defl exão de vigas *9.4. Determinação direta da linha elástica com 
base na força distribuída
Vimos na Seção 9.3 que a equação da linha elástica pode ser obtida inte-
grando-se duas vezes a equação diferencial
(9.4)
d2y
dx2
M1x2
EI
em que M(x) é o momento fl etor na viga. Recordamos agora da Seção 5.3 que, 
quando uma viga suporta uma força distribuída w(x), temos dM�dx � V e 
dV�dx � �w em qualquer ponto. Diferenciando ambos os membros da Equa-
ção (9.4) em relação a x e considerando que EI seja constante, temos então
 
(9.31)
d3y
dx3
1
EI
dM
dx
V1x2
EI
e, diferenciando novamente,
 
d 4y
dx4
1
EI
dV
dx
w1x2
EI
Concluímos que quando uma viga prismática suporta uma força distribuída 
w(x), sua linha elástica é governada pela equação diferencial linear de quarta 
ordem
 
(9.32)
d 4y
dx4
w1x2
EI
Multiplicando ambos os membros da Equação (9.32) pela constante EI e 
integrando quatro vezes, escrevemos
 
(9.33)
 EI y1x2 dx dx dx w1x2 dx 1
6
C1x
3 1
2
C2x
2 C3x C4
 EI
dy
dx
EI u 1x2 dx dx w1x2 dx 1
2
C1x
2 C2x C3
 EI
d2y
dx2
M1x2 dx w1x2 dx C1x C2
 EI
d 3y
dx 3
V1x2 w1x2 dx C1
 EI
d 4y
dx4
w1x2B
B
xA
A
y
y
(a) Viga em balanço
(b) Viga biapoiada
[ yA� 0 ]
x
[ yA�0]
[ A� 0]�
[ VA�0]
[MB�0]
[ yB� 0 ]
[MB� 0 ][MA� 0 ]
Fig. 9.21 Condições de contorno para vigas 
submetidas a uma força distribuída.
As quatro constantes de integração podem ser determinadas a partir das con-
dições de contorno. Essas incluem (a) as condições impostas na defl exão ou 
na inclinação da viga por seus apoios (Seção 9.3) e (b) as condições de que V 
e M sejam zero na extremidade livre de uma viga em balanço, ou que M seja 
zero em ambas as extremidades de uma viga biapoiada (Seção 5.3). Isso foi 
ilustrado na Fig. 9.21.
O método apresentado aqui pode ser utilizado efi cazmente com vigas em 
ba lanço ou biapoiadas submetidas a uma força distribuída. Porém, no caso de 
viga biapoiada com balanço, as reações nos apoios provocarão descontinui-
dades na força cortante, isto é, na terceira derivada de y, e seriam necessárias 
outras funções para defi nir a linha elástica sobre toda a viga.
EXEMPLO 9.4
A viga prismática biapoiada AB suporta uma força uniformemen-
te distribuída w por unidade de comprimento (Fig. 9.22). Deter-
mine a equação da linha elástica e a defl exão máxima da viga. 
(Este é o mesmo caso resolvido no Exemplo 9.2.)
Como w � constante, as primeiras três equações das Equa-
ções (9.33) resultam em
(9.34) EI
d 2y
dx2
M1x2 1
2
wx2 C1x C2
 EI
d3y
dx3
V1x2 wx C1
 EI 
d 4y
dx4
w
Observando que as condições de contorno requerem que 
M � 0 em ambas as extremidades da viga (Fig. 9.23), primeiro 
usamos x � 0 e M � 0 na Equação (9.34) e obtemos C2 � 0. 
Depois usamos x � L e M � 0 na mesma equação e obtemos 
C1 � ½ wL.
Utilizando esses valores de C1 e C2 de volta na Equação 
(9.34), e integrando duas vezes, escrevemos
 EI y
1
24
wx4
1
12
wL x3 C3x C4 19.352
 EI
dy
dx
1
6
wx3
1
4
wL x2 C3
 EI
d2y
dx2
1
2
wx2
1
2
wL x
Mas as condições de contorno também requerem y � 0 em 
ambas as extremidades da viga. Utilizando x � 0 e y � 0 na 
 
Equação (9.35), obtemos C4 � 0; usando x � L e y � 0 na mesma 
equação, escrevemos
 C3
1
24wL
3
 0 124wL
4 1
12wL
4 C3L
Utilizando os valores de C3 e C4 novamente na Equação (9.35) e 
dividindo ambos os membros por EI, obtemos a equação da linha 
elástica:
(9.36)y
w
24EI
1 x4 2L x3 L3x2
O valor da defl exão máxima é obtido calculando-se x � L�2 
na Equação (9.36). Temos0y 0máx 5wL4384EI
B
w
A
L
w
L
BA
y
x 5 0, M 5 0
x
[ ] x 5 L, M 5 0[ ]
x 5 L, y 5 0[ ]x 5 0, y 5 0[ ]
Fig. 9.22
Fig. 9.23
 5599.4. Determinação direta da linha elástica 
com base na força distribuída
560 Defl exão de vigas 9.5. Vigas estaticamente indeterminadas
Nas seções anteriores, nossa análise esteve limitada a vigas estaticamente 
determinadas. Considere agora a viga prismática AB (Fig. 9.24a), que tem uma 
extremidade engastada em A e a outra apoiada em B. Desenhando o diagrama 
de corpo livre da viga (Fig. 9.24b), notamos que as reaçõesenvolvem quatro 
incógnitas, embora tenhamos apenas três equações de equilíbrio, que são
 (9.37)gFx 0 gFy 0 gMA 0
Como somente Ax pode ser determinado por meio dessas equações, concluí-
mos que a viga é estaticamente indeterminada.
Porém, recordamos, dos Capítulos 2 e 3, que, em um problema estatica-
mente indeterminado, as reações podem ser obtidas considerando-se as de-
formações da estrutura envolvida. Iremos, portanto, prosseguir com o cálculo 
da inclinação e da defl exão ao longo da viga. Seguindo o método utilizado 
na Seção 9.3, primeiro expressamos o momento fl etor M(x) em um ponto 
qualquer de AB em função da distância x de A, da força aplicada e das reações 
desconhecidas. Integrando em x, obtemos expressões para u e y contendo duas 
incógnitas adicionais, que são as constantes de integração C1 e C2. Mas ao 
todo estão disponíveis seis equações para determinar as reações e as constan-
tes C1 e C2; elas são as três equações de equilíbrio (9.37) e as três equações 
expressando que as condições de contorno estão satisfeitas, isto é, que a in-
clinação e a defl exão em A são zero e que a defl exão em B é zero (Fig. 9.25). 
Assim, podem ser determinadas as reações nos apoios e pode ser obtida a 
equação da linha elástica.
EXEMPLO 9.5
Determine as reações nos apoios da viga prismática da Fig. 
9.24a.
Equações de equilíbrio. Do diagrama de corpo livre da Fig. 
9.24b escrevemos
(9.38)
ggMA 0: MA BL 12wL2 0
cgFy 0: Ay B wL 0
S gFx 0: Ax 0
Equação da linha elástica. Desenhando o diagrama de cor-
po livre de uma parte da viga AC (Fig. 9.26), escrevemos (9.39)ggMC 0: M 12wx2 MA Ay x 0
B
w
A
A
L
(a)
B
wL
A x
Ay
L
L/2
(b)
MA
B
w
B
x
x � 0, � 0[ ]
x � L, y � 0[ ]
x � 0, y � 0[ ]
A
�
y
Fig. 9.24
Fig. 9.25
Fig. 9.26
A
MA
x/2
C
M
V
wx
Ay
Ax
x
Resolvendo a Equação (9.39) para M e substituindo na Equação 
(9.4), escrevemos
EI
d2y
dx2
1
2
wx2 Ay x MA
Integrando em x, temos
(9.40) EI u EI
dy
dx
1
6
wx3
1
2
Ay x
2 MAx C1
(9.41) EI y
1
24
wx4
1
6
Ayx
3 1
2
MAx
2 C1x C2
Utilizando, agora, as condições de contorno indicadas na Fig. 
9.25, usamos x � 0, u � 0 na Equação (9.40), x � 0, y � 0 na 
Equação (9.41), e concluímos que C1 � C2 � 0. Assim, escreve-
mos a Equação (9.41) da seguinte forma:
(9.42)EI y 124 wx
4 1
6 Ay x
3 1
2MAx
2
Mas a terceira condição de contorno requer y � 0 para x � L. 
Usando esses valores em (9.42), escrevemos
ou
(9.43)3MA AyL
1
4 wL
2 0
0 124wL
4 1
6AyL
3 1
2 MAL
2
Resolvendo essa equação simultaneamente com as três equações 
de equilíbrio (9.38), obtemos as reações nos apoios:
Ax 0 Ay
5
8 wL MA
1
8 wL
2 B 38 wL
No exemplo que acabamos de considerar, havia uma reação redundan-
te, isto é, havia uma reação a mais do que podia ser determinada por meio, 
somente, das equações de equilíbrio. Dizemos que a viga correspondente é 
estaticamente indeterminada com um grau de indeterminação ou um grau de 
hiperasticidade. Outro exemplo de uma viga indeterminada de um grau de in-
determinação é o fornecido no Problema Resolvido 9.3. Se os apoios da viga 
são tais que duas reações são redundantes (Fig. 9.27a), dizemos que a viga é 
indeterminada com dois graus de indeterminação. Embora tenhamos agora 
cinco reações desconhecidas (Fig. 9.27b), descobrimos que quatro equações 
podem ser obtidas das condições de contorno (Fig. 9.27c). Assim, temos um 
total de sete equações disponíveis para determinar as cinco reações e as duas 
constantes de integração.
L
L
w
w
w
MB
MA
y
x
A
A
B
B
A
B
Ax
Ay B
(b)
(a)
(c)
Extremidade engatada
Superfície isenta
de atrito
x � 0, � 0[ ] x � L, � 0[ ]
x � L, y � 0[ ]x � 0, y � 0[ ]
� �
Fig. 9.27
561
562
PROBLEMA RESOLVIDO 9.1
A viga de aço biapoiada com balanço ABC suporta uma força concentrada P na ex-
tremidade C. Para a parte AB da viga, (a) determine a equação da linha elástica, (b) 
determine a defl exão máxima e (c) avalie ymáx para os seguintes dados:
W 360 � 101 I � 302 � 106 mm4 E � 200 GPa
P � 220 kN L � 4,5 m a � 1,2 m
SOLUÇÃO
Diagramas de corpo livre. Reações: RA � Pa�L ↓ e RB � P(1 � a�L) ↑. Utili-
zando o diagrama de corpo livre da parte AD da viga, de comprimento x, encontramos
M P 
a
L
 x 10 6 x 6 L2
Equação diferencial da linha elástica. Utilizando a Equação (9.4) e escrevemos
EI
d2y
dx2
P
a
L
 x
Considerando que a rigidez à fl exão EI é constante, integramos duas vezes e encontramos
(1) EI
dy
dx
1
2
P
a
L
x2 C1
(2) EI y
1
6
P
a
L
x3 C1x C2
Determinação das constantes. Para as condições de contorno mostradas, temos
[x � 0, y � 0]: Da Equação (2), encontramos C2 � 0
[x � L, y � 0]: Utilizando novamente a Equação (2), escrevemos
 
EI102 1
6
P
a
L
L3 C1L C1
1
6
PaL
a. Equação da linha elástica. Substituindo C1 e C2 nas Equações (1) e (2), temos
(3)
dy
dx
PaL
6EI
c1 3a x
L
b2 d EI dy
dx
1
2
P 
a
L
x2
1
6
PaL
142 y PaL2
6EI
c x
L
a x
L
b3 d EI y 1
6
P
a
L
x3
1
6
PaL x
b. Defl exão máxima na parte AB. A defl exão máxima ymáx ocorre no ponto E 
em que a inclinação da linha elástica é zero. Utilizando dy�dx � 0 na Equação (3), 
determinamos a abscissa xm do ponto E:
0
PaL
6EI
c1 3axm
L
b2 d xm L23 0,577L
Substituímos xm�L � 0,577 na Equação (4) e temos
ymáx 0,0642 
PaL2
EI
ymáx
PaL2
6EI
3 10,5772 10,57723 4
c. Avaliação de ymáx. Para os dados fornecidos, o valor de ymáx é
ymáx 5,7 10
3 m 5,7 mm
ymáx 0,0642
1220 103 N2 11,2 m2 14,5 m221200 109 N m22 1302 10–6 m42
B
P
C
A
L a
RA � P
V
B
D
y
P
M
RA RB
C
x
L a
A
A
L
a
B
C
x
L a
A
y
[ x � 0, y � 0 ] [ x � L, y � 0 ]
C
x
xm
ymáx
A
B
E
y
563
PROBLEMA RESOLVIDO 9.2
Para a viga e o carregamento mostrados, determine (a) a equação da linha elástica, (b) 
a inclinação na extremidade A, (c) a defl exão máxima.
SOLUÇÃO
Equação diferencial da linha elástica. Da Equação (9.32),
(1)EI
d 4y
dx4
w1x2 w0 sen pxL
Integrando a Equação (1) duas vezes:
(2)EI
d 3y
dx3
V w0
L
p
 cos 
px
L
C1
(3)EI
d 2y
dx2
M w0
L2
p2
 sen 
px
L
C1x C2
Condições de contorno:
[x � 0, M � 0]: Da Equação (3), encontramos C2 � 0
[x � L, M � 0]: Utilizando novamente a Equação (3), escrevemos
0 w0
L2
p2
 sen p C1L C1 0
Assim:
(4)EI
d2y
dx2
w0
L2
p2
 sen 
px
L
Integrando a Equação (4) duas vezes:
(5) EI
dy
dx
EI u w0
L3
p3
 cos 
px
L
C3
(6) EI y w0
L4
p4
 sen 
px
L
C3x C4
Condições de contorno:
[x � 0, y � 0]: Utilizando a Equação (6), encontramos C4 � 0
[x � L, y � 0]: Utilizando novamente a Equação (6), encontramos C3 � 0
a. Equação da linha elástica EIy w0
L4
p4
 sen 
px
L
b. Inclinação na extremidade A. Para x � 0, temos
uA
w0L
3
p3EI
EI uA w0
L3
p3
 cos 0 c
c. Defl exão máxima. Para x � 1
2
 L
ymáx
w0L
4
p4EI
 TELymáx w0
L4
p4
 sen 
p
2
B
w � w0 sen
A
x
L
x
y
�
L
B
x
L
A
y
[ x � 0, M � 0 ]
[ x � 0, y � 0 ]
[ x � L, M � 0 ]
[ x � L, y � 0 ]
L/2 L/2
A B
y
x
ymáxA�
564
PROBLEMA RESOLVIDO 9.3
Para a viga uniforme AB, (a) determine a reação em A, (b) determine a equação da 
linha elástica e (c) determine a inclinação em A. (Note que a viga é estaticamente 
indeterminada com um grau de indeterminação.)
SOLUÇÃO
Momento fl etor. Utilizando o diagrama de corpo livre mostrado, escrevemos
bgMD 0: RAx 12aw0 x2L b x3 M 0 M RAx w0x36L
Equação diferencial da linha elástica. Utilizando a Equação (9.4) e escrevemos
EI 
d2y
dx2
RAx
w0x
3
6L
Considerando que a rigidez à fl exão EI é constante, integramos duas vezes e temos
(1) EI
dy
dx
EI u
1
2
RAx
2
w0x
4
24L
C1
(2) EI y
1
6
 RAx
3 w0x
5
120L
C1x C2
Condições de contorno. As três condições de contorno que devem ser sa tisfeitas 
são mostradas no desenho
(3)
(4)
(5)
1
6
 RAL
3 w0L
4
120
C1L C2 03x L, y 0 4 :
1
2
 RAL
2
w0L
3
24
C1 03x L, u 0 4 : C2 03x 0, y 0 4 :
a. Reação em A. Multiplicando a Equação (4) por L, subtraindo a Equação (5) 
membro a membro da equação obtida e observando que C2 � 0, temos
RA
1
10 w0L c
1
3 RAL
3 1
30 w0L
4 0
Notamos que a reação é independente de E e I. SubstituindoRA � 
1
10
 w0L na 
Equação (4), temos
1
2 1 110 w0L2L2 124 w0L3 C1 0 C1 1120 w0L3
b. Equação da linha elástica. Substituindo RA, C1 e C2 na Equação (2), temos
y
w0
120EIL
1 x5 2L2x3 L4x2
EI y
1
6
 a 1
10
w0Lb x3 w0x5120L a 1120 w0L3b x
c. Inclinação em A. Derivamos a equação acima em relação a x:
Utilizando x 0, temos uA
w0L
3
120EI
 c uA
w0L
3
120EI
u
dy
dx
w0
120EIL
1 5x4 6L2x2 L42
A B
L
w0
A
w � w0
x
L(w0 ) x12
x13 x
L
D
x
M
V
RA
x
y
[ x � 0, y � 0 ]
[ x � L, y � 0 ]
[ x � L, � 0 ]�
A B
A
L
B
x
�A