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Cálculo Diferencial e Integral Integrais Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano Revisão Textual: Prof. Ms.Claudio Brites 5 • Primitivas • Valor inicial e Equações Diferenciais • Diferencial de uma função Ao término desse estudo, esperamos que você seja capaz de interpretar e conceituar uma integral, aplicar os métodos de integração para resolver problemas, saber distinguir uma integral definida de uma integral indefinida e interpretar a motivação geométrica no cálculo de uma integral. Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além de treinar com as atividades práticas disponíveis, que apresentam suas resoluções ao final do conteúdo. Não deixe de assistir, também, a apresentação narrada do conteúdo e de fazer os exercícios resolvidos. Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e aos prazos de realização e envio. Nesta unidade, vamos trabalhar a segunda das duas grandes ideias do cálculo: a integração, que é o processo de recuperar uma função a partir de sua taxa de variação. Estudaremos ainda a motivação geométrica da área e como fazer o cálculo de uma área abaixo de uma curva. Desenvolveremos técnicas para calcular integrais e aprenderemos a fazer a distinção entre uma integral definida e uma integral indefinida. Integrais • Integração 6 Unidade: Integrais Contextualização Custo Marginal e Variação no Custo Total Se C(q) representa o custo de produção de q itens, a derivada de C´(q) representa o seu custo marginal. Então, podemos concluir que o custo marginal é a taxa de variação da função custo (C) em relação à quantidade. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos: ( ) b a C q dq′∫ A integral acima representa a variação total da função custo entre as quantidades a e b, ou seja, qual é o custo do aumento de produção de a para b unidades. Para produzir zero unidades, é igual ao custo fixo C(0). A área da região sob uma curva do custo marginal entre zero e b é o aumento de uma produção nula para uma produção de b unidades, e é chamada custo variável total. Somando-se a isso o custo fixo, obtêm-se o custo total de produção de b unidades. Resumindo: ( ) C q Custo Marginal′ → ( )0 C Custo Fixo→ O custo total de produção de “b” unidades é igual ao custo fixo mais o custo variável total. Portanto, o custo total de produção de b unidades CT (b) é: ( ) ( ) ( )0 . b T a C b C C q dq= ′+ ∫ 7 Primitivas Até agora, tratamos do “problema das tangentes”. Dada uma curva, achar o coeficiente angular de sua tangente; ou, de modo equivalente, dada uma função, achar sua derivada. Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de Geometria e Física dependem de “derivação para trás” ou “antiderivação”. Esse é, às vezes, chamado problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função. De agora em diante, trabalharemos com as mesmas regras de derivação; no entanto, aqui, essas regras são usadas no sentido contrário e levam em consideração a “integração” de polinômios. Primitivação ou antiderivação é o processo de recuperar uma função por meio de sua derivada (taxa e variação instantâneas). Uma função F cuja derivada (F’) é a função f chama-se primitiva de f. Qual é a primitiva de f(x) = 2x? Qual é a função que ao ser derivada dá 2x? Mentalmente conseguimos resolver: a função que ao ser derivada dá f(x)=2x é a função F(x)= x2. Para Pensar Será que x2 é a única primitiva de 2x? Observe as primitivas das funções a seguir: F(x)=x2 é a primitiva de f(x)=2x. F(x)=x2 + 1 é a primitiva de f(x)=2x. F(x)=x2 + 2 é a primitiva de f(x)=2x. F(x)=x2 + 3 é a primitiva de f(x)=2x. F(x)=x2 + 4 é a primitiva de f(x)=2x. Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais geral de f em I é: F(x)+ C C = constante de integração ou constante arbitrária. Ideias-chave Ao calcular a primitiva de uma função f(x), o resultado será uma família de funções que diferem umas das outras por uma constante arbitrária “C”. Observe x2, x2 + 1.x2 + 2…, elas são das primitivas de 2x. 8 Unidade: Integrais Ao calcular uma primitiva, encontraremos uma família de funções cujos gráficos são translações verticais uns dos outros. Exemplo: F(x)=x3+C O valor C é o local em que a função (linha colorida) corta o eixo do y. Na verde, C é igual a -2; na branca, é igual a -1; na amarela, é igual a zero; na vermelha, é igual a 1; e na azul, é igual a 2. Fórmula para o cálculo de primitivas: 1 1 n n xx C n + = + + Exemplo: ( ) ( ) 3 1 3 3 1 xf x x F x C + = → = + + ( )F x C= + 9 Se você quiser saber se o cálculo de uma primitiva está correto, basta você derivar a primitiva: se o resultado for a função original, a primitiva encontrada estará correta. Vamos analisar o nosso exemplo: Temos que 4 ( 4 ) xF x C= + é a primitiva de f(x) = x3. A derivada de F(x) tem que dar f(x) para estar correto. Então: 4 ( 4 ) xF x C= + ( ) 34 0 4 xF x′ = + Observe que podemos cancelar o 4 do numerador com o 4 do denominador. A letra C representa uma constante (um número) e, como aprendemos na unidade anterior, a derivada de uma constante é zero, portanto: F’ (X)=x3=f(x) Conclusão, a derivada está correta. Assim, a primitiva mais geral de F é uma família de funções que diferem por uma constante arbitrária. É possível selecionar nessa família de funções uma primitiva específica, atribuindo um valor à constante arbitrária C. Exemplo: Determine uma primitiva de f(x)=2x que satisfaça a condição F(0)=1. Como já vimos anteriormente, a primitiva mais geral de f(x) é: F(x)=x2+C, que fornece todas as primitivas de f(x). Quando foi especificada uma condição, F(0)=1, está sendo determinado um valor específico para C, substituindo o F(0) na função, isto é, quando o x for zero, o F(x) = 1, é possível calcular o valor de C. F(x)=x2+C Fazendo a substituição: 1=02+C C=1 A primitiva de f(x) = 2x que atende a condição F(0)=1 é: F(x)=2x+1 10 Unidade: Integrais Tabela de primitivas imediatas, sendo k uma constante diferente de zero: Nº Função Primitiva Geral 1 xn n 1x C n 1 + + + 2 sen x -cos x+C 3 cos x sen x+C 4 ex ex 5 ekx kx 1 e C k + 6 1 x ln|x|+C,x≠0 7 akx kx 1 a C, a 0 1 k ln a ea+ > ≠ Determinando primitivas com o auxílio da tabela: Exemplo 1: f(x)=x4 Vamos usar a fórmula 1: n 1x C n 1 + + + ( ) 4 1 4 1 xF x C + = + + ( ) 5 5 xF x C= + Usa-se a letra maiúscula para representar a primitiva de uma função. Exemplo: A função f(x) tem primitiva F(x). A função g(x) tem primitiva G(x). A função h(x) tem primitiva H(x). E assim por diante. 11 Exemplo 2: ( ) 1g x x = Vamos usar a fórmula 1: n 1x C n 1 + + + , contudo, teremos que fazer alguns ajustes para usar essa regra: 1 2x x= . Se passarmos o denominador para o numerador, o expoente ficará negativo, portanto: ( ) 1 2g x x − = ( ) 1 1 2 1 1 2 xG x C − + = + − + ( ) 1 2 2 1 1 2 xG x C x C= + = + Exemplo 3: ( ) h x sen x= Vamos usar a fórmula 2: -cos x+C H(x)= -cos x+C Exemplo 4: ( ) cosi x x= Vamos usar a fórmula 3: sen x+C I(x)= sen x+C ( ) 2G x x C= + 12 Unidade: Integrais Exemplo 5: ( ) 4xj x e−= Vamos usar a fórmula: kx 1 e C k + ( ) 41 4 xJ x e C−= + − J(x)=-1/4 e^(-4x)+C Exemplo 6: ( ) 3xk x = Vamos usar a fórmula: kx1 a C, a 0 1 k ln a ea+ > ≠ ( ) 1 3 ln 3 xK x C = + Valor inicial e Equações Diferenciais Achar a primitiva para uma função f(x) é o mesmo que encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação: ( )dy f x dx = Essa equação é chamada de equação diferencial e envolve uma função desconhecida “y” que está sendo derivada (diferenciada). Para resolver essa equação, precisamos de uma função y(x) que a satisfaça, ou seja, achar uma função que ao ser derivada seja igual a f(x). Esse problema é resolvido achando a primitiva de f(x). Para fixar o valor da constante arbitrária “C” que compõea fórmula da primitiva, é preciso especificar uma condição inicial que nos permita calcular o valor de C: y(x0 ) = y0. Exemplo: Determine a curva cujo coeficiente angular no ponto (x,y) é 3x2, sabendo que ela deve passar pelo ponto (1,-1). 13 Temos aqui um exemplo que pode ser resolvido utilizando o problema do valor inicial. Os passos a seguir são: 1) Achar a primitiva da função; 2) Substituir na primitiva os valores da condição inicial para achar o valor da constante arbitrária; 3) Escrever a função da curva. ( ) 23f x x= ( ) ( ) ( ) 2 1 3 33 3 1 2 1 3 x xF x C C F x x C Passo + = + = + → = + + ( ) ( ) ( )33 1 1 1 1 2 2F x x C C C C Passo= + → − = + → − − = → = − ( ) ( )3 2 3 F x x Passo é a resposta= − → A primitiva mais geral F(x) + C fornece a solução geral da equação diferencial ( )dy f x dx = . A solução geral dá todas as soluções da equação diferencial, pois há infinitas soluções, uma para cada valor de C. Portanto, primeiro achamos a solução geral e depois a solução particular que satisfaça a condição inicial: y(x0)=y0. O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida da função f em relação à variável x. A notação de integral indefinida é: ( ).f x dx∫ ( ).f x dx∫é o simbolo da integral f(x) é a função que está sendo integrada dx indica a variável de integração Calcular ou determinar a integral indefinida de uma função f(x) é achar a primitiva dessa função utilizando as regras descritas na tabela das primitivas imediatas. 14 Unidade: Integrais Importante Regras de linearidade para integrais indefinidas (primitivas) Regra Função Primitiva Geral Regra da multiplicação por constante ( ).kf x dx∫ ( ).k f x dx∫ Regra da soma/subtração ( ) ( )( ).f x g x dx±∫ ( ) ( ). .f x dx g x dx±∫ ∫ Regra da multiplicação por uma constante Se houver uma constante multiplicando uma função, é possível tirar a constante “para fora” do sinal de integração, achar a integral definida e multiplicar o resultado pela constante. Exemplo: 27 .x dx∫ O número 7 é uma constante que está multiplicando x2, portanto, é possível tirar a constante para fora e integrar a função usando a regra de integração: 2 1 3 27 . 7( ) 7 2 1 3 x xx dx C C + = + → + +∫ Regra da soma/subtração A integral de uma soma (ou de uma diferença) é igual à soma (ou à diferença) de suas integrais. Exemplo: 2( 3)x x dx+ −∫ Temos a integral de um polinômio, a regra em questão permite que façamos a integral de forma direta ou separando os termos. Fazendo de forma direta: ( ) 1 1 3 1 1 xF x x C + = − + + ( ) 3 2 3 3 2 x xF x x C= + − + 15 Ideias-chave Para resolver a integral, observe: 1. Quando se integra a função, o símbolo “∫“ some; 2. A função a ser integrada tinha uma constante, o número 3. Quando se integra uma constante, deve-se acrescentar a ela a variável de integração, nesse caso, a variável x. Vamos verificar agora se a soma das integrais dará o mesmo resultado e assim confirmar a propriedade: 2 2( 3) . . 3.x x dx x dx x dx dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫ Vamos resolver cada integral isoladamente: 2 1 3 2. 2 1 3 x xx dx C C + = + = + +∫ 1 1 2 . 1 1 2 x xx dx C C + = + = + +∫ 3. 3dx x C= +∫ Somando as três integrais, grifadas em amarelo, teremos: ( ) 3 2 3 3 2 x xF x C C x C= + + + − − É possível cancelar um C, portanto o resultado dará exatamente igual à integração do polinômio sem separar os termos: ( ) 3 2 3 3 2 x xF x x C= + − + Atenção Ao se integrar uma função, podemos integrar cada parcela e deixar para acrescentar a constante arbitrária “C” apenas no final, que o resultado não se alterará. 16 Unidade: Integrais Diferencial de uma função Se y = f(x) é uma função derivável, define-se como diferencial de y = f(x) como: dy=f´(x).∆x dy = diferencial de y, ou seja, a variação de y. ∆x= acréscimo da variável independente, que indicamos por dx. Na notação de Leibniz, a derivada de y em relação a x é indicada por: dy dx Definição: Seja y = f(x) uma função derivável, a diferencial dx é uma variável independente e a diferencial dy (variável dependente) é: dy=f’ (x).dx Observe: dy é a variável dependente (depende de x e de dx). dx é uma variável independente. Se atribuirmos um número do domínio de f a x, um valor específico para dx, dy estará determinado. Exemplo 1: Determine dy se y = x5 + 37x dy=f’ (x).dx dy=(5x4+37).dx Exemplo 2: Determine dy quando x = 1 e dx = 0,2. dy=(5x4+37).dx dy=(5.(1)4+37)0,2=8,4 Chamam-se primitivas imediatas aquelas funções que conseguimos integrar diretamente com o auxílio da tabela que nos dá as fórmulas básicas de integração. Quando as funções ficam mais complexas, temos algumas técnicas para integrar essas funções e são alguns desses métodos que iremos aprender agora. 17 Integração Integração por substituição de variável Usa-se a regra da cadeia de forma invertida. Se u = g(x) é uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e f, é contínua em I, então: ( )( ) ( ) ( ). . .f g x g x dx f u du=′∫ ∫ Quando se busca uma integral indefinida, sempre temos que incluir uma constante arbitrária “C”. Distinção entre as integrais: Integral definida ( ). ú . b a f x dx n mero=∫ =número. Integral indefinida ( ).f x dx∫ =função +uma constante arbitrária “C” . Exemplo 1: ( )22 . 1x cos x dx+∫ Observe que existem duas funções sendo multiplicadas e é falso dizer que a solução se obtém integrando as funções isoladamente e multiplicando os resultados. A técnica para resolver esse tipo de integral é colocar outra variável, fazendo uma substituição de forma conveniente. 1) A função cos(x2+1) tem como variável x^2+1. 2) Vamos chamar x2+1 de u. 3) Vamos achar o diferencial de u: u=x2+1 du=2x.dx Notem que, ao achar o diferencial de “u”, encontramos uma função idêntica na função que queremos integrar, o que permitirá a substituição da variável. Eis a função que queremos integrar: ( )22 . 1x cos x dx+∫ Podemos substituir x2 + 1 por u e 2x.dx por du. 18 Unidade: Integrais Vamos reescrever a função na ordem em que faremos as substituições: ( )2 1 .2 .cos x x dx+∫ Fazendo as substituições: .cosu du∫ A integral que temos agora é imediata, ou seja, conseguimos calcular com o auxílio da tabela. ( )F x senu C= + Para concluir, basta substituir o valor de u: ( ) ( )2 1F x sen x C= + + Exemplo 2: 2 .1 xCalcule dx x +∫ Para “enxergar” melhor, vamos reescrever a função: 2 1 . 1 xdx x +∫ 2 1 2 .u x du x dx= + → = Observe que é preciso substituir x.dx (grifado em amarelo). Ao calcular o diferencial, encontramos 2x.dx. Então, é preciso isolar o x.dx: 2 du xdx= Agora podemos fazer as substituições adequadas: 2 1 1 1 1. . . . 1 2 2 duxdx du x u u = = +∫ ∫ ∫ 1 1 2 du u∫ ( ) 1 2 F x ln u C= + 19 Substituímos o valor de “u”: ( ) 21 1 2 F x ln x C= + + Integrais: método de integração por partes O método de integração por partes resolve o problema da integração de um produto quando o método da substituição (u/du) não funciona. A integral de um produto é diferente do produto das integrais. Para calcular a integral de um produto, vamos aplicar a fórmula da integração por partes: . . .u dv u v v du= −∫ ∫ Estratégia para integração por partes Integrar por partes é transferir o cálculo de uma integral ∫u.dv para o cálculo de uma integral ∫v.du, que espera-se saber calcular. Ao integrar um produto f(x).g(x), ou seja, ∫[f(x).g(x)]dx, devemos escolher entre as duas funções: • Uma delas como o fator u; • E a outra como parte de uma diferencial dv. Essa escolha deve ser feita de modo conveniente, para que essa manipulação recaia em uma integral mais simples, que nos permita fazer o cálculo. Sugerimos um critério para a escolha de u e v que foi publicado em uma antiga revista, American Mathematical Monthly. Considere o seguinte esquema de funções elementares: L I A T E Logarítmicas Inversas de Trigonométricas Algébricas Trigonométricas Exponenciais No esquema acima, as letras do anagrama LIATE são iniciaisde diferentes tipos de funções. Uma estratégia que funciona na maioria dos casos é: • Escolher como função u a função que se posiciona mais à esquerda no anagrama; • Escolher como dv a função que se posiciona mais à direita do anagrama. 20 Unidade: Integrais Exemplo 1: . .xe x dx∫ Temos a multiplicação de duas funções: • Uma função exponencial (grifada em amarelo); • Uma função algébrica (grifada em azul). Usando o anagrama LIATE, verificamos que a função algébrica posiciona-se antes da função exponencial, portanto, vamos fazer as seguintes escolhas: u=x dv=ex.dx Nossa ação agora será: Achar o diferencial de u: u=x du=dx Integrar dv: ∫ex . dx ex Agora é só aplicar a fórmula: ∫u . dv = u . v - ∫v . du ∫x . ex . dx = xex - ∫ex dx ∫x . ex . dx = xex - ex + C Exemplo 2: ∫x lnx.dx x algébrica lnx - logarítimica No diagrama LIATE, a função logarítmica vem antes da função algébrica, portanto: 1u lnx du dx x = → = 2 2 . . 2 2 x xdv x dx x dx v= → = → =∫ 21 Substituir na fórmula da integração por partes: . . .u dv u v v du= −∫ ∫ 2 2 1 . . . 2 2 x xlnx x dx lnx dx x = −∫ ∫ 2 21 . . . 2 2 x xlnx x dx lnx dx x = −∫ ∫ 2 1 . . 2 2 xlnx x dx lnx x dx= −∫ ∫ 2 21 . . 2 2 2 x xlnx x dx lnx C= − +∫ 2 2 . 2 4 x xlnx x dx lnx C= − +∫ Ideias-chave Após escolher quem será “u” (usando o diagrama LIATE), o que resta será o “dv”. O próximo passo é achar o diferencial de “u” e integrar ”dv”. Feito isso, basta substituir na fórmula de integração por partes para resolver o problema. Deixe para acrescentar “C” apenas no final da operação. Integral Definida Na Geometria clássica, o grande avanço foi à obtenção de fórmulas para determinar a área e o volume de triângulos, esferas e cones. O método que iremos estudar, a integração, serve para calcular a área e o volume dessas formas e de outras; mas vai além disso, pois também nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até, por exemplo, o consumo de energia e força atuantes contra as comportas de uma represa. A ideia básica da integração é que muitas quantidades podem ser quebradas em pedaços pequenos e depois se soma a contribuição que cada uma dessas partes dá. Integrais e derivadas estão intimamente relacionadas: a integral é a operação inversa da derivada. Em termos de área, a integral de uma função determina a área sob a curva dessa função no plano cartesiano. 22 Unidade: Integrais Definição: Seja f uma função contínua em um intervalo [a,b]. Dividiremos esse intervalo em n partes iguais de largura ∆x, sendo que ( ) b ax n ∆ − = . Vamos chamar de x_j um número pertencente ao j-ésimo intervalo, para j = 1,2,3 ...n. Nesse caso, a integral definida de f em [a,b], que é denotada por ( ). b a f x dx∫ , é dada por: ( ) 1 . lim ( ) b n jn ja f x dx f x x ∞→+ = = ∆ ∑∫ Se esse limite existir, se uma função é contínua em um intervalo, então ela é integrável nesse intervalo. Interpretação geométrica da integral Seja y = f(x) contínua e positiva em um intervalo [a,b]. Dividiremos esses intervalos em n subintervalos de comprimentos iguais ( ) ( ) b a b ax n n − − = = ∆ de modo que a = a0 < a1 < a2 < ... < an = b. Seja xj um ponto qualquer no subintervalo [ ak-1, ak ], k = 1,2,3 ...n. Constrói-se em cada um desses subintervalos retângulos com base ∆x e altura f(xj). A soma das áreas dos n retângulos construídos é dada pelo somatório das áreas de cada um deles. â 1 ( ) n ret mgulos j j A f x x = = ∆ ∑ 23 Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce o ∆x diminui, e o somatório anterior vai convergindo para a área da região limitada pelo gráfico de f no intervalo [a,b], portanto, a área A dessa região é dada por: 1 lim ( ) n jn j A f x x ∞→+ = = ∆ ∑ Perceba que esse limite é igual ao da definição de integral definida, ou seja, observa-se que a integral definida de uma função contínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a área da região limitada pelo gráfico de f , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b. Na definição de integral definida, uma função contínua qualquer pode assumir valores negativos. Nesse caso, o produto de f(xj)∆x representa o negativo da área do retângulo. Se f(x) < 0 para x ϵ [a,b], a área da região limitada pelo gráfico de f (pelo eixo x e x=a e x=b) é dada por: ( ). b a f x dx−∫ Calcular uma integral definida por meio da definição em alguns casos é muito complexo ou, dependendo da função, até mesmo inviável. Para calcular as integrais definidas, utiliza-se um teorema que é considerado um dos mais importantes de cálculo. Teorema Fundamental do Cálculo Se y = f(x) é uma função contínua no intervalo [a,b] e F’(x) = f(x), isto é, F(x) é uma primitiva ou antiderivada de f(x), então: ( ) ( ) ( ) ( ). a a f x dx F x F b F a= = −∫ Ideias-chave Notação: ∫a b f (x) dx ∫ símbolo da integral a limite inferior de integração b limite superior de integração f(x) é o integrando dx ”x “ é a variável de integração 24 Unidade: Integrais Propriedades das integrais definidas Se f e g são funções contínuas no intervalo [a, b], então: 1) ( ) ( ) . . , é ; b b a a c f x dx c f x dx em que c uma constante=∫ ∫ ,em que c é uma constante; 2) ( ) ( ) ( ) ( ). . . ; b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ 3) ( ) [ ]0, , f x x a b≥ ∀ ò ( ). 0 b a f x dx ≥∫ ; 4) ( ) ( ) [ ], , f x g x x a b≥ ∀ ò ( ) ( ). . b a f x dx g x dx≥∫ Exemplo 1: Calcule a integral definida de f(x) = 2x + 1 no intervalo [1,2]. Vamos entender o problema: 1. O integrando é a função f(x); 2. Os limites de integração são dados pelo intervalo [1,2], respectivamente limite inferior e limite superior de integração. Vamos indicar a operação: ( ) 2 1 2 1 .x dx+∫ Para calcular essa integral definida, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que consiste em achar a primitiva dessa função [F(x)] e, em seguida, achar F(2) – F(1). ( )F x x C= + + F(x)=x2+x+C Achamos a primitiva da função, agora vamos calcular: F(2) = (2)2+2+C = 6+C F(1) = (1)2+1+C = 2+C 25 Próximo passo: F(2) - F(1) 6 + C - (2+C) 6 + C - 2 - C 4 ∫12 (2x+1). dx = 4 Trocando Ideias Ao calcular uma integral definida, não é preciso preocupar-se com o valor da constante arbitrária, pois, ao fazermos F(b)-F(a), ela vai se cancelar. Exemplo 2: Calcule a área abaixo da curva de f(x) = -x2+4, no intervalo: [-1,1]. 2 4.x dx− +∫ ( ) 3 4 3 xF x x= − + ( ) ( ) ( ) 31 1 111 4 1 4 3 3 3 F = − + = − + = ( ) ( ) ( ) 31 1 111 4 1 4 3 3 3 F − − = − + = + − = − ( ) ( ) 11 11 221 1 3 3 3 F F − − = − − = Exemplo 3: Calcule: 3 2 1 ( 4 )x x dx−∫ 26 Unidade: Integrais ( ) 3 24 3 2 x xF x = − ( ) 3 22 3 xF x x= − ( ) ( ) ( ) 3 233 2 3 9 18 9 3 F = − = − = − ( ) ( ) ( ) 3 21 1 51 2 1 2 3 3 3 F = − = − = − ( ) ( ) 5 5 223 1 9 9 3 3 3 F F − = − − − = − + = − Lembre-se que uma função definida abaixo do eixo x assume valores negativos e, nesses casos, encontraremos o “negativo” da área. Para saber o valor da área, basta multiplicar por -1. 3 2 1 22 22( 4 ) 1 3 3 x x dx − = − − = ∫ A área grifada da figura a seguir mostra a área (integral definida) que foi calculada. y x 1 3 27 Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre os limites, consulte os sites e as referências a seguir: • https://www.youtube.com/watch?v=0QeSkTuo2aE • https://www.youtube.com/watch?v=CdEUV9mcEJ8 • https://www.youtube.com/watch?v=TPRt6MpP7R0 • https://www.youtube.com/watch?v=DFP20IRQ3mI • https://www.youtube.com/watch?v=Covl8sgci7E • https://www.youtube.com/watch?v=Covl8sgci7E • https://www.youtube.com/watch?v=066aewMA338&list=PLD785E767CD25501A&src_ vid=myXmrEAq-NY&feature=iv&annotation_id=annotation_509607 Outra indicação • É o capítulo 5 do livro Cálculo, de George B. Thomas Jr., volume 1, páginas de 355 até 407. 28 Unidade: Integrais Referências FLEMMING, Diva Marília;GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001/2002. HUGHES-HALLET [et al.]. Cálculo a uma e a várias variáveis, volume I. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. LAPA, Nilton. Matemática Aplicada. São Paulo Saraiva, 2012. STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) george b. thomas jr. 12. ed. São Paulo: Addison- Wesley, 2003. 29 Anotações www.cruzeirodosulvirtual.com.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, 868 CEP 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000