matematica financeira 2

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SUMÁRIO 
 
1.MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................................................................................... 4 
1.2 Números proporcionais ........................................................................................................................ 4 
1.1.1 Proporção: ................................................................................................................................... 6 
1.1.2 Propriedades de proporção ......................................................................................................... 7 
1.1.3 Grandezas diretamente proporcionais....................................................................................... 11 
1.1.4 Grandezas Inversamente Proporcionais..................................................................................... 12 
 
2.REGRA DE TRÊS SIMPLES ................................................................................................................ 14 
 
3.REGRA DE TRÊS COMPOSTA ........................................................................................................... 17 
 
4.OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS ................................................................................................ 20 
4.1 Lucro sobre a venda ...................................................................................................................... 21 
4.2 Prejuízo sobre a venda ................................................................................................................. 22 
4.3. Abatimentos sucessivos ...................................................................................................... 22 
4.4 Aumentos Sucessivos .................................................................................................................... 23 
 
5.TAXA DE JUROS .............................................................................................................................. 24 
5.1 Taxas de Aumentos Sucessivos ..................................................................................................... 25 
5.2 Taxa de Descontos Sucessivos ...................................................................................................... 26 
5.3 Taxas Sucessivas de Aumentos e Descontos ................................................................................. 27 
5.4 Taxa SELIC ..................................................................................................................................... 28 
 
6. JURO EXATO E JURO COMERCIAL .................................................................................................. 34 
6.1 Juro Exato ..................................................................................................................................... 34 
6.2 Juro Bancário ................................................................................................................................ 36 
 
7. INFLAÇÃO ..................................................................................................................................... 36 
7.1 Inflação de Demanda .................................................................................................................... 36 
7.2 Inflação de Custos ......................................................................................................................... 37 
7.3 Índices de Inflação ........................................................................................................................ 37 
 
8. CAPITALIZAÇÃO: ............................................................................................................................ 38 
8.1 Capitalização Simples ou Juros Simples ........................................................................................ 38 
8.2 Juros Simples ................................................................................................................................ 38 
8.3 Outra forma de fazer por regra de três simples: ........................................................................... 40 
8.4 Mais uma forma de fazer por regra de três simples: .................................................................... 41 
 
9. MONTANTE DE JUROS SIMPLES .................................................................................................... 41 
 
10. DESCONTOS SIMPLES .................................................................................................................. 43 
 
 
 
5 
 
 
5 
 
10.1 Modalidades de Descontos: ........................................................................................................ 44 
10.2 Desconto comercial ou Bancário ................................................................................................. 44 
10.3 Uniformizar as unidades de tempo que estão diferentes. .......................................................... 45 
10.4 Desconto Racional ...................................................................................................................... 45 
 
11. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ........................................................................................................ 46 
11.1 Juros Compostos ......................................................................................................................... 47 
 
12. MONTANTE SIMPLES ................................................................................................................... 48 
12.1 Montante a Juros Compostos ..................................................................................................... 53 
 
13. DESCONTO COMPOSTO ............................................................................................................... 61 
13.1 Taxas de Descontos Equivalentes a Taxas de aumentos ............................................................. 61 
13.2 Taxas de Aumentos Equivalentes a Taxas de Descontos ............................................................. 62 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
4 
 
 
4 
 
 
1. MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
A Matemática Financeira é o ramo da Matemática que estuda o 
comportamento do dinheiro no tempo, buscando quantificar as 
transações que ocorrem com o Capital no universo financeiro. 
 
1.1 NÚMEROS PROPORCIONAIS 
 
Razão de dois números é o quociente do primeiro pelo segundo (uma 
simples divisão). 
 
 
b
a
 onde a = Antecedente (Numerador) e b = Consequente 
(Denominador), 
desde que b ≠ 0. 
 
Ex: 
2
3
 onde 3 é o Antecedente (Numerador) e 2 é o Consequente 
(Denominador). 
 
Exemplos 
 
01 – Num feirão foram negociados no total de 300 imóveis, sendo 120 
apartamentos, 150 casas e o restante de terrenos. 
 
a) Qual a razão entre o número de apartamentos e o total? 
 
%401004,0
5
2
60:300
60:120
300
120
 
 
 
b) Qual a razão entre o número de casas em relação ao total? 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
5 
 
 
5 
 

300
150
%501005,0
2
1
150:300
150:150
 
 
c) Qual a razão entre o número de terrenos em relação ao total? 
 
%101001,0
10
1
30:300
30:30
300
30
 
 
Observe que a soma das porcentagens dos imóveis vendidos 
corresponde a 100%. 
 
02 – De cada 200 imóveis vistoriados, 30 são terrenos, 50 são apartamentos 
e 120 são casas. 
 
a) Qual a razão entre o número de apartamentos e o total de imóveis 
vistoriados? 
4
1
50:200
50:50
200
50
 
 
b) Qual a razão entre o número de casas e o total? 
5
3
40:200
40:120
200
120
 
 
c) Qual a razão entre o número de terrenos e o total? 
20
3
10:200
10:30
200
30
 
 
 
Vejamos quando somamos as três frações irredutíveis: 
 
1
20
20
20
3125
20
)3(1
20
)3(4
20
)1(5
20
3
5
3
4
1






 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
6 
 
 
6 
 
Ou: 
 
%100%15%60%2520
3
5
3
4
1
 
 
 
1.1.1 Proporção: é a igualdade entre duas ou mais razões: 
 
SEJA, 
D
C
B
A
 com B e D ≠ 0 , SENDO B EC DENOMINADOS DE MEIOS E 
A E D OS EXTREMOS, LOGO TEREMOS QUE O PRODUTO DOS MEIOS É 
IGUAL AO PRODUTO DOS EXTREMOS. 
 
Exemplos 
 
 01 – Verificar se ocorre proporção: 
 
303010365
10
6
5
3
 )!(ok 
Onde 5 e 6 são Meios e 3 e 10 são os Extremos 
 
 
02 – Qual o valor de x de forma que forme uma proporção. 
 
21014)35()6()14()(
35
146
 xx
x
 15
14
210
 xx 
 
Exercícios 
 
01 - Escrever uma proporção com os números 3, 20, 5 e 12. 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
7 
 
 
7 
 
02 - Calcular o valor de x nas proporções: 
 
a) 
2
4
1
3



x
x
 b) 
3
1
18
2

x
 
 
 
03 - Dados os números 2, 7 e 10, determinar um quarto número que, junto 
com esses e nessa ordem, forme uma proporção. 
 
1.1.2 Propriedades de proporção 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos 
 
Seja 
D
C
B
A
 DACB  
 
 
 
Ex: 1. 
 
10
8
5
4
 , onde 4 e 10 são extremos e 5 e 8 são meios. 
Logo 4·10 = 5·8 => 40 = 40 (ok!) 
 
Calcular o valor de y de forma a compor uma proporção: 
 
6
37

y
 
Solução: 7· 6 = 3· y => y = 42/3 => y = 14 
Verificação: 7· 6 = 14· 3 => 42 (ok!) 
 
Outra propriedade 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
8 
 
 
8 
 
A soma ou subtração dos antecedentes está para a soma ou 
subtração dos conseqüentes, assim como cada antecedente está 
para seu conseqüente. 
 
Seja D
C
B
A

, então 
 
B
A
DB
CA



 ou ainda = D
C
 
 
 
B
A
DB
CA



ou ainda = 
D
C
 , desde que nenhum denominador 
seja nulo. 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
01 – 
4
7
12
21
 
 
D
C



4
7
4:16
4:28
16
28
4
7
412
721
 )!(ok 
 
D
C



4
7
2:8
2:14
16
28
12
21
412
721
)!(ok 
 
02 – 
6
8
3
4
 
 
D
C



3
4
3:9
3:12
9
12
3
4
63
84
)!(ok 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
9 
 
 
9 
 
 
3
4
3
4
3
4
36
48



)!(ok 
 
03 – Calcular x e y na proporção 
127
yx
 , sabendo que 76 yx : 
28
19
532
)7()76()()19(
719
76
7127



xxx
xxyx
 
 
48287676)28(28  yyyx
 
Exercícios 
 
01 – Areia e cimento estão misturados no total de 280 kg, na razão de 9:5. 
Achar a quantidade de cada substância. 
 
02 – Na série de razões 
142010
zyx
 , calcular yx, e z , sabendo 
que 88 zyx . 
 
03 – Dois corretores ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma 
delas recebeu R$ 00,500.4 a mais que o outro. Descubra qual é a comissão 
de cada uma, sabendo que eles estão na razão 
9
4 . 
 
04 – Numa imobiliária há 12 moças e 25 rapazes. 
 
a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes? 
b) qual a razão do número de rapazes para o número de moças? 
c) Qual a razão do número de rapazes para o total de funcionários? 
d) Qual a razão do número de moças para o total de funcionários? 
 
05 – Um lote de terreno tem 140m² de área e 40m² de área construída. 
Qual a razão da medida da área construída para a área livre? 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
10 
 
 
10 
 
06 – Ricardo vendeu 3 em 7 imóveis anunciados e Bruna vendeu 5 em 10. 
Quem obteve melhor resultado? 
 
 
07 – Calcule o valor de x nas proporções: 
 
a) 
x
2
3
1
2
1
1


 b) 
10
2
6


xx
 
 
c) 
4
92
1

x
 d) 
2
1
2
3
2
1
2
1

x
 
 
 
08 – Para que se verifique a igualdade ,
20
5
8
9

x
y
os valores de x e y 
devem ser respectivamente que valores: 
 
09 – Qual o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 assim como 
28 está para 20? 
 
 
10 – Dois corretores realizaram uma venda, cuja a diferença da comissão é 
R$ 1.200,00, estão na relação 
5
8
. Quais os valores de cada comissão? 
 
11 – A soma do valor de três imóveis corresponde a R$ 555.000,00. O 
primeiro está pra o segundo como 8 está para 5, e a diferença entre esses 
dois Imóveis é de R$ 69. 000, 00. Qual o valor de cada imóvel? 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
11 
 
 
11 
 
1.1.3 Grandezas diretamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, 
aumentado uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira. 
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros 
números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente 
proporcionais aos números dados e cuja soma reproduza o próprio número. 
Exemplos 
01 – Dois corretores trabalham na venda de um imóvel, sendo que A o fez 
em 6 horas e B em 5 horas. Como poderão dividir com justiça os R$ 
3.300,00 apurados na comissão? 
No nosso problema, temos: 
 x + y = 3300 
 x/6 = y/5 
 Usando as propriedades das proporções, teremos: 
 
656
xyx



=> 3300/11 = x/6 => 11·x = 3300·6 
 x = 19800/11 => x = 1800 
 1800 + y = 3300 => y = 3300 – 1800 => y = 1500 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
12 
 
 
12 
 
Exercícios 
01 – Dois corretores trabalham na venda de um imóvel, sendo que A o fez 
em 12 horas e B em 10 horas. Como poderão dividir com justiça os R$ 
9.900,00 apurados na comissão? 
 
 
02 – Dividir R$ 7.200,00 a três corretores, em partes diretamente 
proporcionais, 4 dias ao corretor A, 6 dias ao corretor B e 8 dias ao corretor 
C de trabalho. 
 
 1.1.4 Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, 
aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção. 
Dividir um número em partes inversamente proporcionais a 
outros números dados é encontrar partes desse número que sejam 
diretamente proporcionais aos inversos dos números dados e cuja soma 
reproduza o próprio número. 
Exemplo 
01 – Suponha que duas pessoas A e B trabalharam durante um 
mesmo período para vender um imóvel por R$ 160.000,00. Se A chegou 3 
dias atrasado ao trabalho e B 5 dias, como efetuar a divisão com justiça. 
 x + y = 160000 e devem-se levar em consideração que aquele que 
atrasa mais, deve receber menos, então as grandezas são inversamente 
proporcionais; 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
13 
 
 
13 
 
 
5
1
3
1
yx
 
 


3
1
5
1
3
1
xyx
 => Fazendo o M.M.C. do primeiro 
membro temos: 
 
 
xx
xxxyx




38
2400000
3
8
2400000
1
3
18
15
1
160000
3
1
15
8
160000
3
1
15
8
 
 
 00,000.100
24
2400000
 xx 
 
 00,000.60100000160000160000)100000(160000  yyyyx
 
Observação: Veja que o corretor A sua parte da venda foi R$ 100. 000, 00 
mais sua comissão é de 5% que igual a R$ 5. 000,00 e corretor B o valor de 
sua venda foi de R$ 60. 000,00 então sua comissão corresponde a 5% que é 
de R$ 3.000,00. 
 
Exercícios 
01 – Suponha que dois corretores A e B trabalharam durante um mesmo 
período para vender um imóvel por R$ 640.000,00. Se A chegou 6 dias 
atrasado ao trabalho e B 10 dias, como efetuar a divisão com justiça. Qual a 
comissão de cada corretor? 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
14 
 
 
14 
 
02 – Dividir o uma comissão de R$ 6.500,00 em partes inversamente 
proporcionais a 2 horas, 3 horas e 4 horas de atraso. 
 
2. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Nada mais é que a resolução de uma proporção, onde há uma 
variável conhecida e outra a conhecer; então analisamos se são 
diretamente ou inversamente proporcionais e resolvemos com as 
propriedades da proporção. 
Uso das setas para definir se a grandeza é diretamente ou 
inversamente proporcional à outra. 
 Grandezas diretamente proporcionais => setas no mesmo 
sentido 
 
ou 
 
 Grandezas inversamente proporcionais => setas em 
sentidos diferentes 
ou 
 
Observação: Quando houver setas diferentes temos que trocar a 
ordem dos números nas proporçõespara forçar a proporcionalidade. 
Exemplos 
01 – Uma imobiliária vendeu 120 imóveis num feirão de fim de semana com 
4 corretores. Nesse próximo feirão que haverá, quantos imóveis venderá se 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
15 
 
 
15 
 
aumentar o número de corretores para 6, supondo-se que a probabilidade 
de vender seja a mesma. 
Nº de imóveis nº de corretores 
 120 4 
 x 6 
Analisando se as grandezas são direta ou inversamente 
proporcionais: quanto mais corretores tiverem, mais imóveis venderemos, 
então são grandezas diretamente proporcionais. 
6
4120

x
 => 4·x = 120·6 => x = 720/4 => x = 180 imóveis 
Verificação: 180·4 = 120·6 => 720 = 720 (ok!) 
02 – Numa fábrica 15 operários fabricam 600 peças, num determinado 
tempo. Se reduzirmos a produção para 500 peças, no mesmo tempo, 
precisaremos de quantos operários? 
Se aumentarmos o nº de operários => aumentamos o nº de peças 
fabricadas e vice-versa => são grandezas diretamente proporcionais. 
Nº de operários nº de peças 
 
x
15
 
500
600
 
 
15/x = 600/500 => 15/x = 6/5 => 6.x = 15.5 => x = 75/6 
 x = 12,5 operários 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
16 
 
 
16 
 
Verificação: 12,5 · 600 = 15.500 => 7500=7500 (ok!) 
03 – Um carro sai da cidade de João Pessoa e desenvolve uma constante de 
120 km/h e chega em 1,5 horas na cidade de Natal. Se aumentar a 
velocidade para 140km/h, em quanto tempo chegará no mesmo destino? 
Velocidade (km/h) tempo(h) 
140
120
 
x
5,1
 
 
Se aumentarmos a velocidade, chegaremos a menos tempo => 
grandezas inversamente proporcionais, então temos que trocar a ordem 
dos números na proporção para forçar a proporcionalidade. 
120/140 = x/1,5 => 12/14 = x/1,5 => 14x=12.1,5=> x= 18/14=> 
x=1,29 horas 
 
Verificação: 120.1,5 = 140.1,29 => 180 = 180 (Ok!) 
 
 
04 – Uma empresa de Engenharia trabalha com 12 funcionários e executa a 
construção de uma ponte em 6 meses. Se aumentar o número de operários 
em 38, poderá executar o mesmo projeto em quanto tempo? 
 
Nº de funcionários tempo (meses) 
 
 
50
12
 
x
6
 
 
Se aumentamos o número de operários, poderemos diminuir o 
tempo da execução da ponte, então grandezas inversamente proporcionais, 
temos que inverter a ordem na proporção. 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
17 
 
 
17 
 
12/50 = x/6 => 50·x = 12·6 => x = 72/50 => x = 1,44 meses. 
 
3. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Utilizar o mesmo procedimento da regra de três simples no que diz 
respeito à análise das grandezas envolvidas e como tem mais de duas. Fixar 
sempre uma delas e analisar as outras em relação àquela que foi fixada. 
 
Exemplos 
 
01 – Numa fábrica 10 máquinas trabalhando 20 dias, produzem 2.000 
camisetas. Quantas máquinas serão necessárias para se produzir 1.680 
peças em 6 dias? 
 
Nº de máquinas nº de dias nº de camisetas 
 10 20 2.000 
 x 6 1.680 
 
 
Fixando o número de dias inicialmente, teremos: 
 
 Se tivermos a mesma quantidade de dias para realizar o serviço, 
então quanto mais máquinas, teremos mais camisetas fabricadas, 
logo nº de máquinas e quantidade de camisetas são grandezas 
diretamente proporcionais, setas no mesmo sentido; 
 
Fixando agora a quantidade de camisetas, teremos, 
 
 Para fabricar o mesmo número de camisetas, se aumentarmos o 
número de máquinas, realizaremos a tarefa em menos dias, logo 
número de máquinas e número de dias são grandezas 
inversamente proporcionais, setas ao contrário; 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
18 
 
 
18 
 
120
3360
3360120
336
12010
33600
1200010
168020
2000610





x
x
xxx
 
 
 
X= 23 MÁQUINAS
 
02 – Num certo loteamento um terreno de 10 metros de frente por 15 de 
fundos, custa R$ 20.000,00. Quanto custará, no mesmo loteamento, um 
terreno de 15 metros de frente por 12 metros de fundos. 
 Frente Fundos Preço 
 10 15 20.000 
 15 12 x 
 
Fixando a frente, temos: 
 Se aumentarmos os fundos então o preço aumentará, logo, fundos 
e preço são grandezas diretamente proporcionais, então setas no 
mesmo sentido; 
 
Fixando os fundos, temos: 
 Se aumentarmos a frente, então o preço também aumentará. 
Frente e preço serão grandezas diretamente proporcionais, logo, 
setas no mesmo sentido. 
 
20000/x=10·15/15·12=> 20000/x=150/180=> 20000/x=15/18 
=>15·x=20000·18=> 
x=360000/15=> x=24.000 
 
03 – Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros 
executam 5 trechos de estradas. Quantos engenheiros seriam necessários 
para executar 8 trechos, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias? 
 
Nº de engenheiros Nº horas/dia Nº de dias Nº trechos 
10 6 10 5 
x 8 15 8 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
19 
 
 
19 
 
 
 
Fixando o número de dias e os trechos, temos: 
 Se aumentarmos o nº de horas de trabalho por dia, necessitaremos 
de menos engenheiros, grandezas inversamente proporcionais, 
setas divergentes; 
 
 
Fixando o número de horas/dia e os trechos, temos; 
 Se aumentarmos o número de dias para trabalhar, podemos 
executar com menos engenheiros, grandezas inversamente 
proporcionais, setas divergentes; 
 
Fixando as horas/dia e os dias, temos: 
 
 Se aumentarmos os trechos, precisaremos de mais engenheiros 
para executá-los, grandezas diretamente proporcionais, setas no 
mesmo sentido. 
 
Temos duas setas para cima e duas setas para baixo, pois 
precisamos inverter duas para forçar a proporcionalidade. 
 
10/x = 8·15·5/6·10·8 => 10/x = 600/480=> 10/x=60/48 
=>60·x=10·48=>x=480/60=>x=8 engenheiros 
 
Exercícios 
 
01 – Comprei 60 metros de caibo para construção por R$ 720,00. Quanto 
gastaria se tivesse comprado 80 metros? 
 
02 – Se 60 operários fazem a metade trecho da duplicação de uma rodovia 
federal em 100 dias. Só que agora a empreiteira conta com 200 operários. 
Quantos dias serão necessários para concluir o restante da obra? 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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03 – Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia; 
quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo 
200 km por dia? 
 
04 – Uma betoneira enche uma laje em 12 horas, três betoneiras juntas, 
para encher uma mesma laje levará quanto tempo? 
 
05 – Uma roda dá 2000 voltas em 25 minutos. Em 13 minutos quantas 
dará? 
 
06 – Um automóvel consome, em média, 8 litros de álcool num trecho de 
72 km. O mesmo veículo percorrendo uma nova distância de 120 km terá o 
seu gasto aumentado em quanto? 
 
07 – Em um navio com a tripulação de 800 marinheiros há viveres para 45 
dias. Quantos tempos durarão os víveres se o navio receber mais de 100 
marinheiros? 
 
08 – Uma empreiteira calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 
15 operários. Tento conseguido apenas 12 operários, em quantos dias 
terminaria o mesmo trabalho? 
 
 
 
4. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 
 
Lucro sobre a compra 
 
Preço de venda = (1 + taxa sobre a compra) x preço de compra. 
 
Exemplo 
01 – Por quanto devo vender uma casa que comprei por R$ 400.000,00 a 
fim de obter um lucro de 20% sobre a compra. 
Pv = (1 + 20/100) x 400000 => Pv = R$ 480.000,00 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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Prejuízo sobre a compra 
Preço de venda = (1 – taxa) x preço de compra 
 
Exemplo 
01 – Calcularo prejuízo e o preço de venda de um terreno que 
comprei por R$ 60.000,00, tendo uma perda de 30% sobre o preço de 
compra. 
 
Pv = (1 – 30/100) x 60000 => Pv = (1 – 0,3) x60000 
Pv = 0,7x6000 => Pv = R$ 42.000,00 
 
4.1 Lucro sobre a venda 
Preço de Venda = preço de compra 
 (1 – taxa sobre a venda) 
 
Exemplo 
 
01 – Calcular o lucro e por quanto devo vender um apartamento que 
comprei por R$ 80.000,00 para ganhar 5% sobre o preço de venda. 
 
Pv = 80000 => 80000/0, 95 => Pv = R$ 84.210,53 
 1 – 5/100 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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22 
 
4.2 Prejuízo sobre a venda 
 
Preço de venda = preço de compra 
 (1 + taxa sobre a venda) 
 
Exemplo 
 
01 – Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma granja que comprei por 
R$ 185.000,00 tendo perdido 25% do preço de venda. 
Pv = 185000 => Pv = 185000 / 1+0,25 => Pv = R$ 185000/1,25 
 1 + 25/100 
 
Pv = R$ 148.000,00 
 
 
 
4.3. Abatimentos sucessivos 
 
Valor líquido = valor bruto. (1 – 1ª taxa). (1-2ª taxa). ..... (1-
enésima taxa) 
 
 
Exemplo 
 
01 – Sobre um imóvel de R$100.000,00 são feitos descontos sucessivos de 
10% mais 6% e mais 3%. Qual é o valor líquido da fatura. 
VL = 100.000· (1-10/100) · (1-6/100) · (1-3/100) 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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23 
 
VL = 100.000· (1- 0,1) · (1-0,06) · (1-0,03) 
VL= 100.000· (0,9) · (0,94) · (0,97) 
VL= 82.062 
 
4.4 Aumentos Sucessivos 
 
Valor após os aumentos = valor antes dos aumentos (1 + 1ª taxa). (1+2ª 
taxa). (1+3ª taxa)..... (1+enésima taxa). 
 
Exemplos 
 
01 – Uma residência que custava R$ 150.000,00. Recebeu dois aumentos 
sucessivos de 4% e 6%. Qual o valor após os dois aumentos? 
 
Valor = 150000 (1+4/100). (1+6/100) 
Valor = 150000 (1+0,04) · (1+0,06) 
Valor = 150000 ·1,04·1,06=> Valor = R$ 165.360,00 
 
02 – Uma cobertura na cidade João Pessoa recebeu três aumentos 
sucessivos de 5%, 10% e 15% em determinado período. Se antes dos 
aumentos o imóvel custava R$1.000.000,00, determine quanto passaram a 
ganhar após os aumentos. 
 
Valor = 1000000(1 + 5/100) · (1+10/100). (1+15/100) 
Valor = 1000000(1+0,05) · (1+0,10) · (1+0,15) 
Valor = 1000000(1,05) · (1,10) · (1,15) =>Valor= 
R$ 1.328.250,00 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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Exercícios 
 
01 – Por quanto devo vender um terreno que comprei por R$ 400.000,00, 
se desejo lucrar 5% sobre a compra. 
 
02 – A quanto devo vender um lote que comprei por R$112.900,00 para 
lucrar 5% sobre a venda? 
 
03 – Uma intercalada de R$ 5.000,00 sofrerá descontos sucessivos de 5% e 
mais 8%. Por quanto será liquidada? 
 
04 – Na venda de um objeto ganhou-se 5% sobre o preço de venda, ou seja, 
R$ 2.000,00. Qual foi o preço de custo? 
 
05 – Uma casa foi vendida por R$ 85.000,00, após dois aumentos sucessivos 
de 2% e 5%. Determine o valor da casa antes dos aumentos. 
06 – Um apartamento que foi anunciado para venda por R$ 90.000,00 
sofreu três abatimentos sucessivos de 10%, 8% e 5%. Qual o seu valor 
líquido? 
 
5. TAXA DE JUROS 
 
É um mecanismo que o governo utiliza para controlar, através do 
Banco Central, a política econômica do país. Ou seja, quando o governo 
deseja aquecer a economia, a taxa de juros cai. Quando ele deseja 
desaquecer a economia para combater a inflação, a taxa de juros sobe. Nas 
reuniões do COPOM (Comitê de Política Monetária) são decididas as taxas 
de juros que deverá ser empregadas nos empréstimos entre bancos. 
As taxas de juros cobradas pelos bancos para empréstimos e 
financiamentos têm como base a taxa definida pelo COPOM mais uma 
variedade enorme de índices e outras taxas como juros internacionais, taxa 
de câmbio, previsão de inflação, etc. 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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25 
 
É absurda a diferença entre a taxa de juros definida pelo governo e 
a cobrada pelas instituições financeiras através dos empréstimos. Isso nos 
leva a outra definição importante: o spread. 
Spread é a diferença entre as taxas de juros que o banco cobra para 
emprestar dinheiro e o que ele paga ao captar o dinheiro somado ao custo 
de inadimplência, o custo operacional e o lucro. 
Se você precisa de dinheiro, seja para uma emergência ou para 
alavancar seu empreendimento, você deve prestar bem atenção aos juros 
cobrados pelas instituições financeiras antes de contrair um empréstimo. 
As instituições financeiras estabelecem a taxa de juros através de uma 
composição da taxa básica do mercado, conhecida como Selic, e o spread. 
 
5.1 Taxas de Aumentos Sucessivos 
 
A conjugação de aumentos acumulados são taxas sobre taxas e 
podemos resolvê-las através do produto de suas taxas de montantes. 
 
Exemplos 
 
01 – Uma mercadoria recebeu dois aumentos sucessivos de 4% e 6% . Qual 
o aumento total recebido? 
 
1ª taxa de montante = 100+4 = 104% 
2ª taxa de montante = 100+6 =106% 
 
104/100 x 106/100 = 1,04 x 1,06 = 1,1024 que representa um 
aumento de 10, 24 % que é o valor que ultrapassa 1 = 100% = 100/100 
 
02 – Trabalhadores de uma empresa receberam três aumentos salariais 
sucessivos de 5%, 10% e 15%, em determinado período. Se antes dos 
aumentos ganhavam R$ 1.000,00, determine quanto passaram a ganhar 
após os aumentos? 
 
1ª taxa de montante = 100 + 5 = 105% 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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2ª taxa de montante = 100 + 10 = 110% 
3ª taxa de montante = 100 + 15 = 115% 
 
105/100 x 110/100 x 115/100 = 1,05 x 1,10 x1, 15 = 1,32825 
 
O que excede de 1 é 32,825% que é o aumento conjunto. 
Logo Salário depois dos aumentos = 1.000 x 1,3282 = R$ 1.328,25 
 
Exercício 
 
01 – Um carro foi vendido por R$ 9.000,00, após dois aumentos sucessivos 
de 2% e 5%. Determine o valor do carro antes dos aumentos. 
 
 
 
5.2 Taxa de Descontos Sucessivos 
 
A taxa conjunta de descontos sucessivos é igual ao produto de 
suas taxas líquidas. 
 
Exemplo 
 
01 – O preço de uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 4% e 
8%. Qual o desconto total sofrido pela mercadoria? 
 
1ª taxa líquida = 100 – 4 = 96% 
2ª taxa líquida = 100 – 8 = 92% 
 
96/100 x 92/100 = 0,96 x 0,92 = 0,8832. Como é menor que 100% = 
100/100 = 1 então é o que falta pra chegar a 1. 
1-0, 8832 = 11,68% 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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27 
 
Exercício 
 
01 – Um produto sofreu três descontos sucessivos de 10%, 8% e 
5%. Qual o seu valor líquido? 
 
 
5.3 Taxas Sucessivas de Aumentos e Descontos 
 
Exemplo 
 
01 – Uma mercadoria após ser vendida, teve um abatimento de 15%. Como 
as vendas continuavam baixas, deu-se um novo desconto de 5%. Mas 
devido à escassez do produto no mercado o vendedor aumentou o preço 
da mercadoria em 10 % . Pode-se dizer que o comerciante teve lucro ou 
prejuízo? E de quanto? 
 
1ª taxa líquida = 100 – 15 = 85% 
2ª taxa líquida = 100 – 5 = 95% 
1ª taxa de montante = 100 + 10 = 110% 
 
85/100 x 95/100 x 110/100 =0,85 x 0,95 x 1,10 = 0,88825 e como é 
menor que 1, então ele teve prejuízo de 1-0,88825 = 11,18. 
 
Exercício 
 
01 – Na bolsa de valores as ações de certa empresa tiveram altas e baixas 
sucessivas em determinado período. Se as taxas de valorização foram de 7% 
e 8% e as de desvalorização de 5% e 6%, os investidores ganharam ou 
perderam ao investir nessas ações? E quanto? 
 
Portanto, o saldo devedor se anula com o pagamento da última 
prestação e o método parece estar correto. Se o saldo devedor não fosse 
corrigido, a parte devedora teria um saldo credor no final do 
financiamento. 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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28 
 
5.4 Taxa SELIC 
 A taxa SELIC é um índice pelo qual as taxas de juros cobradas pelo 
mercado se balizam no Brasil. É a taxa básica utilizada como referência pela 
política monetária. A taxa overnight do Sistema Especial de Liquidação e de 
Custódia (SELIC), expressa na formaanual, é a taxa média ponderada pelo 
volume das operações de financiamento por um dia, lastreadas em títulos 
públicos federais e realizadas no SELIC, na forma de operações 
compromissadas. É divulgada pelo Comitê de Política Monetária (Copom). 
Conforme o Banco Central do Brasil o conceito de taxa Selic é: 
É a taxa apurada no Selic, obtida mediante o cálculo da taxa média 
ponderada e ajustada das operações de financiamento por um dia, 
lastreadas em títulos públicos federais e cursadas no referido sistema ou 
em câmaras de compensação e liquidação de ativos, na forma de operações 
compromissadas. Esclarecemos que, neste caso, as operações 
compromissadas são operações de venda de títulos com compromisso de 
recompra assumido pelo vendedor, concomitante com compromisso de 
revenda assumido pelo comprador, para liquidação no dia útil seguinte. 
Ressaltamos, ainda, que estão aptas a realizar operações compromissadas, 
por um dia útil, fundamentalmente as instituições financeiras habilitadas, 
tais como bancos, caixas econômicas, sociedades corretoras de títulos e 
valores mobiliários e sociedades distribuidoras de títulos e valores 
mobiliários. 
A taxa média ajustada das mencionadas operações de 
financiamento é calculada de acordo com a seguinte fórmula: 
 
onde, 
 
Lj: fator diário correspondente à taxa da j-ésima operação; 
Vj: valor financeiro correspondente à taxa da j-ésima operação; 
n: número de operações que compõem a amostra. 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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29 
 
 
 A amostra é constituída excluindo-se do universo as operações 
atípicas, assim consideradas: 
 No caso de distribuição simétrica: 2,5% das operações com os 
maiores fatores diários e 2,5% das operações com os menores 
fatores diários; 
 No caso de distribuição assimétrica positiva: 5% das operações com 
os maiores fatores diários; 
 No caso de distribuição assimétrica negativa: 5% das operações 
com os menores fatores diários. 
A taxa Selic é, no Brasil, a taxa de financiamento no mercado 
interbancário para operações de um dia, ou overnight, que possuem lastro 
em títulos públicos federais, títulos estes que são listados e negociados no 
Sistema Especial de Liquidação e de Custódia, ou Selic. Também é 
conhecida como taxa média do over que regula diariamente as operações 
interbancárias. A taxa Selic reflete o custo do dinheiro para empréstimos 
bancários, com base na remuneração dos títulos públicos. 
Em outras palavras, esta taxa é usada para operações de curtíssimo 
prazo entre os bancos, que, quando querem tomar recursos emprestados 
de outros bancos por um dia, oferecem títulos públicos como lastro 
(garantia), visando reduzir o risco, e, consequentemente, a remuneração da 
transação (juros). Esta taxa é expressa na forma anual para 252 dias úteis. 
Assim, como o risco final da transação acaba sendo efetivamente o 
do governo, pois seus títulos servem de lastro para a operação e o prazo é o 
mais curto possível, ou apenas um dia, esta taxa acaba servindo de 
referência para todas as demais taxas de juros da economia. 
Esta taxa não é fixa e varia praticamente todos os dias, mas dentro de 
um intervalo muito pequeno, já que, na grande maioria das vezes, ela tende 
a se aproximar da meta da Selic, que é determinada oito vezes por ano, 
consoante regulamentação datada de 2006. 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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30 
 
Todas as negociações interbancárias realizadas no Brasil, com prazo 
de um dia útil (overnight), envolvendo títulos públicos federais, são 
registradas nos computadores do DEMAB, cuja sede fica no Rio de Janeiro, 
e que faz parte do Banco Central do Brasil. Depois do fechamento do 
mercado, o DEMAB calcula a taxa média ponderada pelo volume dos 
negócios realizados naquele dia. Esta será a taxa média Selic daquele dia, 
que normalmente é publicada por volta das 20h00 do próprio dia. Também 
é chamada simplesmente de "taxa básica". 
Taxa de Juros Selic 
 A taxa de juros relativa ao mês de outubro de 2010, aplicável na 
cobrança, restituição ou compensação dos tributos e contribuições 
federais, a partir do mês de novembro de 2010, é de 0,81%. 
% 1 995 1 996 1 997 1 998 1 999 2 000 2 001 2 002 2 003 2 004 2 005 2 006 2 007 2 008 2 009 2 010 
JAN 0,00 2,58 1,73 2,67 2,18 1,46 1,27 1,53 1,97 1,27 1,38 1,43 1,08 0,93 1,05 0,66 
FEV 3,63 2,35 1,67 2,13 2,38 1,45 1,02 1,25 1,83 1,08 1,22 1,15 0,87 0,80 0,86 0,59 
MAR 2,60 2,22 1,64 2,20 3,33 1,45 1,26 1,37 1,78 1,38 1,53 1,42 1,05 0,84 0,97 0,76 
ABR 4,26 2,27 1,66 1,71 2,35 1,30 1,19 1,48 1,87 1,18 1,41 1,08 0,94 090 084 0,67 
MAI 4,25 2,01 1,58 1,65 2,02 1,49 1,34 1,41 1,97 1,23 1,50 1,28 1,03 0,88 0,77 0,75 
JUN 4,04 1,98 1,61 1,60 1,67 1,39 1,27 1,33 1,86 1,23 1,59 1,18 0,91 0,96 0,76 0,79 
JUL 4,02 1,93 1,60 1,70 1,66 1,31 1,50 1,54 2,08 1,29 1,51 1,17 0,97 1,07 0,79 0,86 
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AGO 3,84 1,97 1,59 1,48 1,57 1,41 1,60 1,44 1,77 1,29 1,66 1,26 0,99 1,02 0,69 0,89 
SET 3,32 1,90 1,59 2,49 1,49 1,22 1,32 1,38 1,68 1,25 1,50 1,06 0,80 1,10 0,69 0,85 
OUT 3,09 1,86 1,67 2,94 1,38 1,29 1,53 1,65 1,64 1,21 1,41 1,09 0,93 1,18 0,69 0,81 
NOV 2,88 1,80 3,04 2,63 1,39 1,22 1,39 1,54 1,34 1,25 1,38 1,02 0,84 1,02 0,66 - 
DEZ 2,78 1,80 2,97 2,40 1,60 1,20 1,39 1,74 1,37 1,48 1,47 0,99 0,84 1,12 0,73 - 
Juros 
É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente 
divulgado e utilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu 
naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre 
o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a 
desvalorização da moeda levariam normalmente a idéia de juros, pois se 
realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro. 
Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe 
pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função 
de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar: 
1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é 
chamado de capital(C). 
2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo 
aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros (i). 
3. O tempo(t) deve sempre ser indicado na mesma unidade a 
que está submetida à taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a 
conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam 
compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade. 
4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao 
capital mais os juros, é denominado montante (M). 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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32 
 
Unidades de tempo usuais: 
a.a. = ao ano 
a.m. = ao mês 
a.s. = ao semestre 
a.t. = ao trimestre 
a.b. = ao bimestre 
a.q. = ao quadrimestre 
Taxas equivalentes 
 
Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital 
durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo 
montante. 
 
 
Exemplo 
 
01 – Seja um capital aplicado por um ano a uma taxa anual (ia) 
M = C(1+ ia)
1 
 Consideremos agora o mesmo capital aplicado por 12 meses a uma taxa 
mensal im 
M’ = C(1+ im)
12 
Por definição, M = M’ então 
 
C(1+ ia)
1 = C( 1+ im )
12 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+ im )
12 porque 1 ano = 12 meses 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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33 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma 
determinada taxa mensal 
 
(1+ im)
1 = ( 1+ id )
30 porque 1 mês tem 30 dias ( comercial) 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa mensal equivalente a uma 
determinada taxa diária 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+ is )
2 porque 1 ano = 2 semestres 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma 
determinada taxa semestral 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+ im )
6 porque 1 ano = 6 meses 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma 
determinada taxa mensal 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+ it )
4porque 1 ano = 4 trimestres 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma 
determinada taxa trimestral 
 
(1+ ia)
1 = ( 1+iq )
3porque 1 ano = 3 quadrimestres 
 
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma 
determinada taxa quadrimestral 
 
(1+ it)
1 = ( 1+ im )
3porque 1 trimestre = 3 meses 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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34 
 
6. JURO EXATO E JURO COMERCIAL 
Imagine uma dívida, no valor de R$ 1.000,00; vencida em 10/01/08, e 
que só tenha sido paga em 11/07/08, tendo sido cobrados juros simples, a 
uma taxa de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos: 
Temos que: 
J = ? 
i = 36% a.a. 
t = número de dias entre 10/01/08 e 11/07/08 
C = 1.000 
Vamos adotar períodos diários. Assim, temos de tomar duas 
providências inicialmente: 
 Transformar a taxa anual em diária; 
 Contar o número de dias entre as datas dadas. 
Para o cálculo dos juros existem três convenções utilizadas na 
matemática financeira. O examinador deverá dizer qual delas devemos 
utilizar. As convenções são: juro exato, juro comercial (ou ordinário) e juro 
bancário. 
6.1 Juro Exato 
Característica: a contagem do número de dias (n) se faz utilizando o ano 
civil (aquele que é representado no calendário). 
Portanto, dada uma taxa anual (ianual), os juros (J) produzidos por um capital 
(C), durante n dias, serão dados por: 
J = C. ianual. n/365 
n = número de dias contados no calendário do ano civil. 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
35 
 
 
35 
 
OBS: 
1. O número de dias (n) deve ser contado no calendário, portanto você 
deve saber o número exato de dias de cada mês do calendário; 
 
2. Caso o ano seja bissexto, a divisão na expressão acima será feita por 366 
e não por 365, já que o ano bissexto tem um dia a mais. 
Aplicando juro exato ao nosso problema, os juros seriam: 
J = 100. 0,36. 183/366 = 180 
No denominador da expressão acima utilizamos o valor 366 porque 
2008 é ano bissexto. O número n de dias entre 10/01/08 e 11/07/08 
contados segundo o calendário civil é 183, conforme pode ser verificado na 
tabela abaixo: 
Juro Comercial 
Característica: a contagem do número de dias se faz utilizando o ano 
comercial (1 ano = 360 e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro). 
Para o caso de juro comercial: 
J = C. ianual. n/360 
n = no de dias contados no calendário do ano comercial. 
Aplicando ao nosso problema: 
J = 1000. 0,36. 181/360 = 181 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
36 
 
 
36 
 
6.2 Juro Bancário 
Característica: a contagem do número de dias (n) se faz pelo calendário ano 
civil, mas o juro diário é calculado utilizando o ano comercial. 
Para o caso do juro bancário: 
J = C. ianual. n/360 
n = no de dias contados no calendário do ano civil. 
Aplicando ao nosso problema ao nosso problema: 
J = 1.000. 0,36. 183/360 = 183 
7. INFLAÇÃO 
A inflação é o aumento persistente e generalizado no valor dos 
preços onde esse aumento é contínuo. Quando a inflação chega a zero 
dizemos que houve uma estabilidade nos preços. A inflação pode ser 
dividida em: 
7.1 Inflação de Demanda 
É quando há excesso de demanda agregada em relação à produção 
disponível. As chances da inflação da demanda acontecer aumenta quando 
a economia produz próximo do emprego de recursos. 
Para a inflação de demanda ser combatida, é necessário que a 
política econômica se baseie em instrumentos que provoquem a redução 
da procura agregada. 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
37 
 
 
37 
 
7.2 Inflação de Custos 
É associada à inflação de oferta. O nível da demanda permanece e 
os custos aumentam. Com o aumento dos custos ocorre uma retração da 
produção fazendo com que os preços de mercado também sofram 
aumento. 
As causas mais comuns da inflação de custos são: os aumentos 
salariais, que fazem com que o custo unitário de um bem ou serviço 
aumente, o aumento do custo de matéria prima que provoca um super 
aumento nos custos da produção, fazendo com que o custo final do bem ou 
serviço aumente; e por fim, a estrutura de mercado que algumas empresas 
aumentam seus lucros acima da elevação dos custos de produção. 
7.3 Índices de Inflação 
A inflação possui vários índices entre eles o IGP (Índice Geral de 
Preços), IPA (Índice de Preços no Atacado), INPC (Índice Nacional de Preços 
ao Consumidor), IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), INCC 
(Índice Nacional do Custo da Construção), CUB (Custo Unitário Básico). 
Inflação do aluguel desacelera em outubro de 2010. 
Segundo informações da FGV, IGP-M variou 1,01% em outubro. 
A inflação medida pelo Índice Geral de Preços – Mercado (IGP-M), 
que reajusta a maioria dos contratos e aluguel, variou 1,01%, em outubro, 
segundo informações divulgadas pela Fundação Getúlio Vargas (FGV), nessa 
quinta-feira, dia 28. Em setembro, o índice variou 1,15%. O IGP-M é 
calculado com base nos preços coletados entre os dias 21 do mês anterior e 
20 do mês de referência. 
O Índice de Preços ao Produtor Amplo (IPA), que representa 60% do 
IGP-M, apresentou taxa de variação de 1,30% no mês. Em setembro, a taxa 
foi de 1,60%. 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
38 
 
 
38 
 
O índice referente ao grupo Bens Intermediários variou 0,21%. O 
subgrupo materiais e componentes para a manufatura registrou 
decréscimo em sua taxa de variação, que passou de 0,26% para 0,06%, 
sendo o principal responsável pela desaceleração do grupo. 
O grupo da Habitação apresentou avanços em suas taxas, 
aumentando de 0,22% para 0,28%. Nesta classe de despesa, a maior 
contribuição partiu dos materiais para reparos de residência, indo de 0,40% 
para 0,88%. 
O Índice Nacional de Custo da Construção (INCC) registrou, em 
outubro, variação de 0,15%, abaixo do resultado do mês anterior, de 0,20%. 
Os três grupos componentes do índice apresentaram desaceleração: 
Materiais e Equipamentos, de 0,36% para 0,26%, Serviços, de 0,32% para 
0,29%, e Mão de Obra, de 0,04% para 0,03%. 
8. CAPITALIZAÇÃO: 
é o processo de incorporação do juro capital. 
REGIME OU SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO é a forma como 
adicionamos os juros ao capital ao longo do tempo 
8.1 Capitalização Simples ou Juros Simples 
Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES, o juro de qualquer período constante 
e sempre calculado sobre o CAPITAL INICIAL, isto é, o capital que foi 
aplicado inicialmente. 
8.2 Juros Simples 
Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. 
Para calcular os juros simples j de um capital c, durante t períodos 
com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula: 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
39 
 
 
39 
 
100
tic
j

 
Exemplos 
01 – Se eu aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de 5% ao mês a 
JUROS SIMPLES, durante 4 meses, todo mês irei receber a mesma quantia a 
título de juro: 5% de R$ 800, 00, que é igual a R$ 40,00. No final dos 4 
meses terei recebido, de juros, 4 vezes R$ 40, 00, que é igual a R$ 160,00. 
Meu montante, no final do quarto mês, será dado capital aplicado mais os 
juros que ele rendeu, ou seja, R$ 800,00 + R$ 160, 00, que é igual a R$ 
960,00. 
 
02 – O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este 
aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais, porém, o 
preço passa a ser de R$ 652,50. Sabendo-se que a diferença entre o preço a 
prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, 
qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja? 
A diferença entre os preços dados pela loja é: 
652,50 - 450,00 = 202,50 
A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 
202,50 / 5 = R$ 40,50 
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser 
resolvido da seguinte forma: 
x% de 450,00 = 40,50 
x/100·450,00 = 40,50 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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40 
 
450 x / 100 = 40,50 
450 x = 4050 
x = 4050 / 450 
x = 9% 
A taxa de juros é de 9% ao mês. 
8.3 Outra forma de fazer por regra de três simples: 
450,00 → 100% 
40,50 → x → 450,00·x = 40,50 · 100 → x = 4.050/450 → x =9% 
a.m. 
03 – Uma aplicação feitadurante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu 
R$ 1.920,00 de juros. Qual foi o capital aplicado? 
O capital que a aplicação rendeu mensalmente de juros foi de: 
1920,00/2 = 960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema 
pode ser expresso por: 
3% de C = 960,00 
3/100· C = 960,00 
3·C / 100 = 960,00 
3·C = 96000 
C = 96000/3 = 32000,00 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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41 
 
O capital aplicado foi de R$ 32. 000, 00 
8.4 Mais uma forma de fazer por regra de três simples: 
1920/2 = 960 que equivale aos 3% mensais 
960 → 3% 
x → 100% → 3 x = 960 x 100 → x = 96000/3→ x = 32. 000 
9. MONTANTE DE JUROS SIMPLES 
 
MONTANTE é igual à soma do capital inicial com juros relativos ao período de 
aplicação. 
 
Exemplos: 
 
01 – Qual o montante de uma aplicação de R$ 29.800,00 à taxa de 12% a.m. 
durante 6 meses? 
 
C= 29.800 
i=12%a.m 
t=6meses 
M=? 
Para resolvermos precisamos verificar se o tempo e a taxa de juros 
estão no mesmo período. Se não estiverem temos que homogeneizar. 
M = 29800 (1 + 12.6/100) => M = 29800(1+ 0,72) M=29800·1,72 
=>M=R$ 51.256,00 
 
Ou ainda, 
M = J + C e J = 29800·12· 6/100 => J = R$ 21. 456,00 
M = 21. 456 + 29800 => M = 51.256 
 
Ou ainda, 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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42 
 
12% = 12/100=0,12 · 29800= 3576 · 6meses = 21456 de juros + 
29800 = 51. 256 
 
Ou ainda usando a tabela anexa, para 12% durante 30 dias que é 1 
mês comercial, temos o fator 0,1200 e como são 6 meses = 0,12x6=0,72 
0,72·29800=21.456 de juros + 29800=51.256 
 
02 – Calcular o juro simples que um capital de R$ 2.500,00 rende à taxa de 
27% a.m, quando aplicado de 1º de fevereiro até 14 de maio? 
C=2.500 
i=27%a.m 
t= mês de fevereiro=28 dias+30dias de março+30 dias de abril+14 
dias de maio=102 dias 
O tempo da taxa de juros é em mês e o tempo da aplicação é em 
dias, temos que transformar na mesma unidade de tempo. 
27/30 = 0,9 % a.d. 
Então J = 2.500 · 0,9·102/100=> J =2500 · 0, 918=>J=R$ 2.295,00 
 
Ou ainda, 
27.2500/100= 675 de juros por mês. 102/30 = 3,4 meses => 3,4 · 
675=2.295 
Ou ainda, 
 
0,9/100 = 0,009 · 2500 = 22,5 · 102 dias = 2.295 
 
03 – Qual l taxa mensal de juros simples deve incidir num capital para que 
ele duplique de valorem um ano? 
T = 1 ano 
J = C·i·t/100 
Para ele duplicar de valor é porque o juro é igual ao Capital inicial=> 
J=C e substituindo na fórmula acima, temos: 
C = C·i·t/100 => C/C = i·t/100 => 1 = i·t/100 => 1 = i·1/100=> 1=i/100 
=> 
i=100% a.a. 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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43 
 
Exercícios 
 
01 – Numa operação financeira em curto prazo, um capital de valor R$ 
50.000,00, durante 2 anos, a uma taxa de 30% ao ano, rende quanto de 
montante? 
02 – Determine um capital que, 9 meses, a 6% ao mês, renderá o valor de 
R$ 32.400,00 de juros. 
03 – Na compra de imóvel localizado na Capital, cujo valor à vista é R$ 
120.0000,00, foi dada uma entrada de 20% e o restante foi financiado em 
duas prestações mensais. Sabendo que a taxa foi de 18% ao mês, determine 
o valor de cada prestação. 
04 – Ricardo empregou R$ 35.000,00 a juros de 9,5% ao mês. Depois de 90 
dias, quanto ele terá? 
05 – A importância de R$ 48.000,00, emprestada a 60% ao ano, no fim de 7 
meses, terá um rendimento de quanto? 
06 – Uma pessoa toma um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 à taxa de 
juros de 10% ao mês. Após pagar, pontualmente, duas prestações mensais 
de R$ 20.000,00. Quanto resta no saldo devedor? 
07 – Um capital de R$ 13.000,00 em 1 ano e 3 meses, produziu juros de R$ 
5.850,00. Qual o valor da taxa a ser cobrada? 
08 – Um casal tendo o interesse na aquisição da casa própria toma um 
empréstimo ao banco no valor de R$ 500.000,00 e, após 8 meses, paga o 
montante (capital + juros) de R$ 980.000,00. Determine a taxa do 
empréstimo. 
09 – Apliquei R$ 12.000,00 por um prazo de 4 meses e devo receber de 
juros R$ 3.840,00. Determine o montante e a taxa usada na operação 
financeira. 
10 – O gerente de um banco na cidade de João Pessoa empresta o valor de 
R$ 72.000,00 por 60 dias à taxa de 8,2% ao mês. (Além disso, tudo a juros 
simples). Após o vencimento determine o montante a ser pago ao banco. 
 
10. DESCONTOS SIMPLES 
 
O desconto é um abatimento que é praticado pela ação de 
pagamento antecipado, ou por promoção. 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
44 
 
 
44 
 
 
 
10.1 Modalidades de Descontos: 
 
 Desconto comercial ou bancário 
 Desconto racional 
 
10.2 Desconto comercial ou Bancário 
 
O desconto é um juro ao contrário. Ao invés de aumentar o valor do 
capital inicial, ele o reduz. E o capital inicial passa a ser chamado de valor 
nominal (N). 
 
J = C.i.t, trocando por desconto teremos: Dc = N.i.t 
 
Se vai haver um desconto então vai haver também um valor líquido 
(L) que passa a ser: 
L = N – D e substituindo o valor de D nesta fórmula teremos: 
 
L = N – (N.i.t), colocando-se em evidência N, fica assim: 
L = N(1 – i.t), onde 
N = valor nominal de um título 
L = valor líquido, após o desconto 
Dc = desconto comercial ou bancário 
I = taxa de desconto simples 
t = período de tempo 
 
Exemplos 
 
01 – Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o 
desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses 
antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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45 
 
N=10.000 
I = 5%a.m. 
t =3 meses 
Dc = N.i.t 
Dc = 10.000 x 5/100 x 3 => Dc = R$ 1.500,00 
 
02 – Qual o desconto a 5%a.m., sobre um título de R$750,00, pago 2 meses 
e 10 dias antes do seu vencimento? 
 
10.3 Uniformizar as unidades de tempo que estão diferentes. 
 
 2 meses e 10 dias = 70 dias 
5%AM= 5/30 = 0,17%a.d 
 Dc = 750 x 0,17/100 x 70 => Dc = R$ 89,25 
 
Exercício 
 
01 – Um título de R$1.200,00 pago 5 meses antes do vencimento ficou 
reduzido a R$ 900,00. Qual foi a taxa mensal usada? 
 
 
10.4 Desconto Racional 
 
O desconto racional ou por dentro é aquele em que a taxa de 
desconto incide sobre o valor líquido. 
 
Ao invés do valor nominal, ele será denominado de valor líquido. 
Dr = L.i.t e L = N – Dr => N = L + Dr=> N = L + L.i.t, colocando em 
evidência, temos: N = L ( 1 + i.t) => L = N/1 + i.t 
 
 
Exemplo 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
46 
 
 
46 
 
01 – Calcular o desconto por dentro de um título de R$ 6.864,00 à taxa de 
12% a.m., 1 mês e 6 dias antes do vencimento. 
 
N = 6.864 
i=12%a.m. = 12/30 = 0,4%a.d. 
t=1 mês e 6 dias= 36 dias 
Dr = ? 
 
L = 6864 / 1 + 0,4/100 x 36 => 6864 / 1,144 => L = 6.000 
Dr = N – L => Dr = 6864 - 6.000 => Dr =R$ 864,00 
 
11. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 O juro de cada período é calculado sobre o MONTANTE do período 
é calculado sobre o MONTANTE do período anterior, isto é, o CAPITAL 
INICIAL mais os JUROS ACUMULADOS até então. 
 Agora, se eu aplicar os mesmos R$ 800,00 que aplicamos a juros 
simples à mesma taxa de 5% ao mês, durante prazo idêntico de 4 meses, só 
que a JUROS COMPOSTOS, isso vai ocasionar um resultado diferente para o 
valor do meu montante no final da aplicação. Neste caso, no primeiro mês 
vou ganhar R$ 40,00 de juro (5% de R$ 800,00); no segundo mês ou ganhar 
R$ 42,00 (5% R$ 840,00); no terceiro mês, R$ 44,10, e assim por diante, 
conforme a tabela seguinte: 
Mês Juro do mês Montante apurado 
1 5% de 800 = 40 800 + 40 = 840 
2 5% de 840 = 42 840 + 42 = 882 
3 5% de 882 = 44,1 882 + 44,1 = 926,1 
4 5% de 926,1 = 46,3 926,1 + 46,3 = 972,4 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
47 
 
 
47 
 
Veja que o montante obtido a juros compostos (R$ 972,40) foi a maior do 
que o obtido a juros simples; isto ocorre porque no regime a juros 
compostos correm juros sobre juros. 
Existem fórmulas matemáticas que permitem determinar o juro e o 
montante em cada regime de capitalização. 
11.1 Juros Compostos 
 
O sistema de juros compostos é o maiscomum no sistema 
financeiro e o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros 
gerados a cada período são incorporados ao capital inicial para o cálculo 
dos juros do período seguinte, em função da capitalização. 
Capitalização é o momento em que os juros são incorporados ao 
capital inicial. 
 
Exemplos 
 
01 – Em 4 meses de capitalização temos que a cada mês o tempo (t) 
corresponde a 1: 
 
1º Mês........ M = C(1+i·1/100) => M = C(1+i/100) 
 
2º Mês .... o Capital inicial é agora igual ao montante do mês 
anterior..... 
M = C(1+i./100). ( 1+i/100) => M = C(1+i/100)2 
 
3º Mês..... M = C(1+i/100)2. (1+i/100) => M = C(1+i/100)3 
 
4º Mês..... M = C(1+i/100)3. (1+i/100) => M = C(1+i/100)4 
 
E assim por diante se fossem mais meses, o que simplifica a fórmula 
em: 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
48 
 
 
48 
 
=> )1()1001( iCMiCM
n
n
t
  
 
Mais uma vez lembramos a importância de termos uniformidade 
entre as unidades de tempo, referidas as taxas (i) e os períodos de tempo 
(t), aplicados ao capital. 
 
Exemplo: 
 
01 – Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 20% a. m. 
Calcule o montante ao final de 3 meses, para juros simples e para juros 
compostos: Para cada mês t=1, porque a capitalização é mensal. 
 
12. MONTANTE SIMPLES 
 
A fórmula para montante simples ou composto é: 
M = C + J 
 
No caso de juros simples: 
M = C + C.i.t/100 e como t = 1 em cada mês => M = C + C.i/100 
Observar que a taxa de juros na modalidade simples, se aplica 
sempre sobre o capital inicial. 
No caso de juros compostos: 
M= C + C.i.t/100 e como t=1 => M = C + C.i/100 
Observar que a taxa de juros na modalidade composta se aplica 
sobre o montante anterior. 
 
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital 
através de juros simples e de juros compostos.. 
 
 
CAPITAL 
Nº de meses 
JUROS SIMPLES 
Montante simples 
JUROS COMPOSTOS 
Montante composto 
1 M = 400 + (400.20/100) = 480 M = 400 + (400.20/100) = 480 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
49 
 
 
49 
 
2 M = 480 + (400.20/100) = 560 M = 480 + (480.20/100) = 576 
3 M = 560 + (400.20/100) = 640 M = 576 + (576.20/100) = 
691,20 
 
 
Valor Futuro de um Pagamento Único: multiplique o valor presente pelo 
fator da tabela e encontre o valor futuro de um único pagamento, isto é, VF 
= VP* (1+i)^n, a tabela dá o valor (1+i)^n. 
 
i
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 
 
 
Exemplos 
 
01 – Calcular o montante de um capital inicial de R$ 5.000,00 a juros 
compostos de 5%a.m., durante 6 meses. 
C = 5.000 
i = 5% a.m. 
t = 6 meses 
M = ? 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
50 
 
 
50 
 
Usando a calculadora eletrônica que possua tecla exponencial 
M = 5.000* (1+5/100)6 
M = 5.000* (1+0,05)6 => M = 5.000* (1,340095641) =>M = R$ 
6.700,48 
 
02 – Calcular o montante de um capital inicial de R$ 256.000,00 a juros 
compostos de 7%a.m., durante 9 meses. 
M = 256000* (1+7/100)9 
M = 256000* (1,07)9 
M = 256000* (1,8385) 
M = 470.656,00 
 
Exercícios 
 
01 – Numa operação financeira com um capital de valor R$ 
12.000,00, durante 2 meses, a uma taxa de 30% ao ano, rende quanto de 
montante composto? 
 
02 – Determine um capital que, 9 meses, a 6% ao mês, renderá o 
valor de R$ 32.400,00 de juros composto? 
 
03 – Na compra de imóvel localizado na Capital, cujo valor à vista é 
R$ 500.0000,00, foi dada uma entrada de 40% e o restante foi financiado 
em duas prestações mensais. Sabendo que a taxa foi de 7% ao mês, 
determine o valor de cada prestação. 
 
04 – Ricardo empregou R$ 35.000,00 a juros de 2,5% ao mês. 
Depois de 90 dias, quanto ele terá na modalidade de juros composto? 
 
05 – A importância de R$ 23.980,00, emprestada a 60% ao ano, no 
fim de 7 meses, terá um rendimento de quanto? 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
51 
 
 
51 
 
06 – Uma pessoa toma um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 à 
taxa de juros de 10% ao mês. Após pagar, pontualmente, duas prestações 
mensais de R$ 20.000,00. Quanto resta no saldo devedor? 
 
07 – Um capital de R$ 17.635,45 em 1 ano e 3 meses à taxa de 2,8% 
ao mês. Terá quanto de juros composto? 
 
08 – Apliquei R$ 12.000,00 por um prazo de 4 meses quanto devo 
receber de juros composto sabendo que à taxa cobrada foi de 15 ao ano. 
 
10 – O gerente de um banco na cidade de João Pessoa empresta o 
valor de R$ 5.856,00 por 120 dias à taxa de 8,2% ao mês. Após o 
vencimento determine o montante a ser pago ao banco. 
 
Fórmulas para Juros compostos (valor de prestações) 
 
i
i n
p
i
M )1(1
)1(
 


 , primeira parcela na hora da compra; 
i
i n
pM
)1(1  
 , primeira parcela 30 dias após a compra; 
i
i n
piM
)1(1
)1(
 
 , primeira parcela 60 dias após a compra: 
 
 
Exemplo 
 
01 – Uma imobiliária, para aumentar suas vendas, oferece um terreno em 
26 prestações mensais iguais, Determine o valor das prestações, sabendo 
que os juros são de 2% ao mês e que o preço do terreno à vista é de R$ 
28.500,00. Supondo que a primeira prestação será paga: 
 
a) No ato da compra 
i
i n
p
i
M )1(1
)1(
 


 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
52 
 
 
52 
 
 
65,388.1$
12103576,20
18,27941
12103576,2018,27941
02,0
597579284,01
18,27941
02,0
)02,1( 261
02,1
28500
02,0
)02,01( 261
)02,01(
28500
Rp
ppp
pp







 


 
Observe que nessa modalidade fica uma 1+25 no caso uma entrada de R$ 
1.388,65 mais 25 prestações de R$ 1.388,65 
 
b) Um mês após a compra
i
i n
pM
)1(1  
 
43,416.1$
12103576,20
28500
12103576,2028500
02,0
597579284,01
28500
02,0
)02,1( 261
28500
02,0
)02,01( 261
28500
Rp
ppp
pp







 

 
 
c) Dois meses após a compra
i
i n
piM
)1(1
)1(
 
 
 
76,444.1$
12103576,20
29070
12103576,2029070
02,0
597579284,01
29070
02,0
)02,1( 261
)02,1(28500
02,0
)02,01( 261
)02,01(28500
Rp
ppp
pp







 

 
 
 
 
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53 
 
Exercícios 
 
01 – Uma concessionária de automóveis, para aumentar suas vendas, 
oferece um modelo em 24 prestações postecipadas mensais iguais, 
devendo o primeiro pagamento ser efetuado 30 dias após a compra. 
Determine o valor das prestações, sabendo que os juros são de 5% ao mês 
e que o preço do veiculo à vista é de R$ 38.000,00. 
 
02 – Uma fazenda é vendida em 8 prestações mensais iguais antecipadas. 
Calcule o valor das prestações, sabendo que a taxa dos juros é 6% ao mês e 
que o preço à vista do produto é de R$ 4.989.800,00. 
 
03 – Uma casa é vendida em 12 prestações mensais iguais e seu preço à 
vista é R$ 105.000,00. Calcule o valor das prestações, a uma taxa de 5% ao 
mês sobre o saldo devedor, supondo que a primeira prestação será paga: 
a) No ato da compra; 
b) Um mês depois da compra; 
c) Dois meses após a compra: 
12.1 Montante a Juros Compostos 
 
Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a 
uma taxa de juros compostos i ao período. 
 
Calculemos o montante Mn no final dos n períodos utilizando o 
mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, período a período. 
 
M1= C(1 + i) 
M2 = M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2 
M3 = M2 (1 + i) = C(1 + i)2 . (1 + i) = C(1 + i)3 
 
Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica: 
M1 = C(1 + i) 
 
Para o montante do segundo período, encontramos: 
M2 = C(1 + i)2 
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54 
 
 
54 
 
 
 
Para o montante do terceiro, 
M3 = C(1 + i)3 
 
É fácil concluir que a fórmula do montante do enésimo período 
será: 
 
Mn = C(1 + i)n 
 
O fator (1 + i)n é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO CAPITAL 
para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, 
sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, 
ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para 
JUROS SIMPLES, dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros 
simples como no regime de juros compostos, o montante é dado pelo 
produto do capital pelo respectivo fator de acumulação. 
 
A fórmula dos juros compostos acumulados ao final do prazo é 
obtida a partir da fórmula geral de juros, conforme segue: 
J = M – C 
J = C(1 + i)n – C 
 
Colocando C em evidência, obtemos: 
 
Jn = C [(1+ i)n – 1] 
 
Como saber se um problema é de juros simples ou juros 
compostos? 
Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo da matemática 
financeira. 
 
Existem determinadas expressões que indicam o regime de 
capitalização composta, tais como: 
 
 * juros compostos 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
55 
 
 
55 
 
 * capitalização composta 
 * montante composto 
 * taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com 
capitalização anual) 
 * taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente (indica juros 
compostos com capitalização a cada bimestre) 
 
A principal diferença entre o regime simples e o composto, 
entretanto, é que, em juros compostos, é necessário que saibamos, através 
do enunciado do problema, o período das capitalizações. Em juros simples 
podíamos escolher o período de capitalização que nos conviesse, por 
exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos 
transformar a taxa para mensal (2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou 
transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual. Em juros 
compostos não podemos fazer isso, pois o problema dirá como devemos 
CAPITALIZAR A TAXA, ou seja, se os períodos serão mensais, anuais etc. 
 
Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela 
deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA. 
 
Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, 
devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o 
conceito de TAXAS PROPORCIONAIS. 
 
Exemplos: 
 
 * dada uma taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA MENSALMENTE, 
devemos transformá-la em uma taxa igual a 4% ao mês. 
 * dada a taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA SEMESTRALMENTE, 
devemos tranformá-la em uma taxa de 24% ao semestre. 
 
Se não houver nenhuma indicação de como a taxa deva ser 
capitalizada ou nenhuma referência a regime composto, presumimos que o 
regime de capitalização seja simples. 
 
 
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56 
 
Exercícios resolvidos 
 
1. Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 
meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados mensalmente. Calcular 
o montante no final do prazo. 
 
Resolução: 
 
C = 10.000 
prazo (t) = 11 meses; como a capitalização é mensal, 
n = 11 
i = 5% a.m. = 0,05 a.m. 
 
M = C (1 + i)n 
M = 10.000 (1 + 0,05)11 
 
O problema está em calcular o fator de acumulação do capital. Não 
se desespere, esse valor é dado pelo examinador: 
 
a) no início da prova; exemplo: (1,05)11 = 1,7103; ou 
 
b) por meio de uma tabela financeira, semelhante ao modelo a 
seguir; nessa tabela, o valor de acumulação de capital que procuramos 
pode ser facilmente encontrado no cruzamento da coluna i = 5% com a 
linha n = 11: 
 
Voltando ao cálculo do montante: 
 
M = 10.000 . 1,710339 (você deve utilizar todas as casas decimais 
fornecidas para o fator) 
 
M = 17.103,39 
 
2. Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros 
compostos de 60% a.a., capitalizados mensalmente, durante um ano. 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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57 
 
Resolução: 
 
Temos que: 
C = 100 
i = 60% a.a. capitalizados mensalmente 
prazo de aplicação (t) = 1 ano = 12 meses 
 
Este exemplo traz uma novidade importantíssima. Como já 
dissemos anteriormente, em juros compostos é fundamental que se diga 
qual o PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO dos juros. Vimos, também, que nem 
sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exercício, por 
exemplo, a taxa é anual, mas a capitalização é mensal. Precisamos 
determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que tenha periodicidade 
idêntica ao período da capitalização, e fazemos isto, como já foi dito, 
utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS. 
 
 
Exemplo: 
Se o examinador der uma taxa nominal de 36% a.a. e disser que 
deve ser capitalizada mensalmente, devemos determinar a taxa mensal 
proporcional à taxa de 36% a.a., ou seja, 3% a.m. – é este valor que 
utilizaremos na fórmula do montante composto. Se ele der a mesma taxa 
nominal de 36% a.a., mas disser que deve ser capitalizada semestralmente, 
deveremos agora calcular a taxa semestral proporcional à taxa de 36% a.a., 
isto é, 18% a.s. 
No nosso exemplo, a taxa é de 60% a.a., com capitalização mensal; 
logo, considerando que um ano tem doze meses, a taxa proporcional 
mensal será um doze avos da taxa nominal, ou seja: i = 60% a.a. = 5% a.m. = 
0,05 a.m. 
Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida é 
uma TAXA NOMINAL. A taxa nominal tem a desvantagem de não poder 
introduzida diretamente na fórmula do montante composto, pois possui 
período diferente do da capitalização. 
Outro cuidado que você deve tomar é com o PRAZO. Da mesma 
forma que a periodicidade da taxa, o prazo de aplicação também deve estar 
expresso na mesma unidade de medida de tempo do período de 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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58 
 
capitalização. Assim, se a capitalização é mensal, o prazo tem que ser 
expresso em meses, se a capitalização é trimestral, o prazo tem que ser 
expresso em trimestres etc. 
No prazo de um ano fornecido no enunciado do exercício, temos 12 
períodos mensais, logo n = 12. 
Aparadas todas estas arestas, podemos agora calcular o montante: 
M = C (1 + i)n 
M = 100 (1 + 0,05)12 
 
Devemos ir à tabela fornecida anteriormente, onde iremos verificar 
que, para i = 5% e n = 12, 
(1 + 0,05)12 = 1,795856 
 
Logo, 
M = 100. 1,795856 
M = R$ 179,59 
 
Após ter certeza de que compreendeu os exemplos anteriores, leia 
as observações abaixo e reflita sobre elas. 
 
a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de 
juros SIMPLES, de quanto seria o montante? 
 
Resposta: seria de R$ 160,00. 
 
Por quê? 
 
Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros 
simples de 60% a.a. durante um ano é dado por: 
 
M = C (1 + in) 
M = 100 (1 + 0,60. 1) = 160,00 
 
Por que o montante a juros compostos é maior? 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
59 
 
 
59 
 
Porque a cada mês o juro é adicionado ao capital, produzindo um 
montante que será utilizado para calcular o juro do período seguinte. 
 
Portanto, calculamos juros sobre juros. 
 
Para deixarmos ainda mais clara a diferença entre o regime simples 
e o composto, montamos a tabela abaixo, mostrando como ficam os 
montantes intermediários, em cada mês, de R$ 100,00 aplicados a 5% a.m., 
nos dois regimes: 
 
b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, 
em um ano, aumentou de 79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Daí 
se conclui que a taxa nominal (60% a.a.) é apenas uma taxa de referência. 
Deve ser capitalizada de acordo com o período determinado pelo 
problema. 
 
A taxa produzida na capitalização da taxa nominal é chamada de 
TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto uma taxa nominalde 60% a.a., 
capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de 79,59%. 
 
c) Outra coisa importante é que, para uma mesma taxa nominal, se 
mudarmos o período de capitalização, a taxa efetiva também mudará. 
 
Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas 
com capitalização TRIMESTRAL. Neste caso, considerando-se que em um 
ano temos quatro trimestres, escrevemos que: 
 
i = 15% a.t. = 0,15 a.t. 
n = 4 
O montante composto será dado por: 
M = C(1 + i)n 
M = 100(1 + 0,15)4 
M = 100 x 1,749006 
M = R$ 174,90 
 
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60 
 
O montante foi menor porque diminuímos o número de 
capitalizações (antes elas estavam sendo feitas a cada mês; agora, de três 
em três meses). A taxa efetiva nesse caso será igual a 74,90% a.a. 
 
Exercícios resolvidos 
 
3. Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma 
taxa de 16% a.a., com capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses. 
 
Resolução: 
 
Como capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa 
anual em semestral e expressar o prazo em semestres 
 
C = 8.000 
i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s. 
t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41 
M = C (1 + i)n 
M = 8.000 (1 + 0,08)41 
 
Vamos na tabela no final deste capítulo e … não tem n = 41. Na 
tabela dada, n só vai até 30. O que fazer? 
Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma 
base: 
(1 + 0,008)41 = (1 + 0,008)30. (1 + 0,008)11 
(1 + 0,008)41 = 10,06266. 2,331639 = 23,462490 
M = 8.000. 23,462490 
 
M = 187.699,92 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
61 
 
 
61 
 
13. DESCONTO COMPOSTO 
 
O desconto composto é calculado sempre com taxas sobre o valor atual e 
representa a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
 
Valor Atual é aquele que aplicado à taxa de juros compostos, se 
transforma em valor nominal. 
 
N = Va (1 + i) t => Va = N / (1 + i)t 
 
D= N – Va 
 
Exemplo 
 
01 – Calcule o valor atual de um título de R$ 12.000,00 à taxa de 9% a.m., 
disponível em 8 meses. 
 
Va = 12000 / ( 1 + 9/100 ) 8 
Va = 12.000 / ( 1 + 0,09 )8 => Va = 12000 / 1,99256 
 Va = R$ 6.022,40 
 
 
Exercício 
 
01 – Calcule os três tipos de descontos possíveis (bancário, racional e 
composto), para um título de R$ 9.000,00, à taxa de 5% a.m. resgatado 5 
meses antes do seu vencimento. 
 
13.1 Taxas de Descontos Equivalentes a Taxas de aumentos 
 
Um título qualquer que valia 100% foi aumentado e agora passa a 
valer 
100% + taxa de aumento = taxa de montante 
 
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62 
 
 
62 
 
Se quisermos calcular a taxa de desconto equivalente a uma taxa de 
aumento, é só estabelecer a razão entre a taxa de aumento e a taxa de 
montante e multiplicar por 100 
 
id = taxa de aumento/ taxa de montante x 100 
 
Exemplos 
 
01 – Um imóvel foi aumentado em 30%. Como ocorreu um período de 
recessão, resolveu-se desconta-lo de forma que equivalesse ao preço 
anterior. Qual a taxa de desconto que se deve aplicar? 
 
id = 30 / 100 + 30 => id = 30/130 x 100 => id = 23,08% 
 
02 – Uma dívida teve um aumento de 12%. No entanto, se o devedor saldá-
la dentro de determinado prazo, o credor desconsidera os juros, 
considerando um desconto equivalente ao aumento dado. Qual deve ser o 
desconto percentual? 
 
id= 12/100+12 => id = 12/112 x100 => id = 10,71% 
 
 
13.2 Taxas de Aumentos Equivalentes a Taxas de Descontos 
 
Antes o título valia 100%. Depois de ser descontado ele passa a 
valer 
 100 – taxa de desconto = taxa líquida 
 
Para calcular a taxa de aumento (ij) equivalente a taxa de desconto 
é só 
Estabelecer a razão entre a taxa de desconto e a taxa líquida e 
multiplicar por 100. 
 
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63 
 
ij = taxa de desconto /taxa líquida x 100 
 
 
 
Exemplo 
 
01 – Uma dívida ao ser paga antecipadamente, sofre um desconto de 15%. 
Qual a taxa de aumento ou de juros que foi paga nesta operação. 
 
ij = 15 / 100 – 15 => ij = 15/85 x 100=> ij = 17,65% 
 
02 – Uma mercadoria foi descontada em 5%. Para voltar ao preço anterior 
ao desconto, qual deve ser o aumento equivalente ao desconto? 
 
ij = 5 / 100 – 5 => ij = 5 / 95 x 100 => ij = 5,26% 
 
 
Outra fórmula para o cálculo do desconto composto 
 










)1(
1
1
i
nd
t
 
 
 
Exemplos 
 
01 – Uma pessoa financiou uma casa própria por um determinado banco no 
R$ 230.000,00 e quer liquidar sua dívida 4 anos antes do vencimento. 
Calcule o valor presente da dívida, sabendo que a taxa de desconto 
composto é de 7% ao ano. 
 
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64 
 
 
64 
 











?
.07,0..%7
4
00,000.230$
a
aaaai
anost
Rn
 
Devemos, primeiramente, calcular o valor do desconto que é operado, pela 
fórmula










)1(
1
1
i
nd
t
. 
Então, 
 
10,534.54237104788,0230000
)762895212,01(230000
07,1 4
1
1230000
07,01
4
1
1230000























dd
ddd
 
Como and  ,podemos escrever: 
90,465.175$00,000.23010,534.54 Raa  
 
Portanto, o valor atual da dívida é R$ 175.465,90 
 
Exercícios 
 
01 – Uma pessoa financiou uma casa própria no banco estadual por R$ 
180.000,00 e quer liquidar sua dívida 2 anos antes do vencimento. Calcule o 
valor presente da dívida, sabendo que a taxa de desconto composto é de 
8% ao ano. 
02 – Um título de R$ 80.000,00, com vencimento para 72 dias, é resgatado 
(descontada) à taxa de 60% ao ano de desconto composto. Determine o 
valor pago por esse título. 
03 – Uma empresa quer descontar, 75 dias antes do vencimento, um título 
de crédito cujo valor é de R$ 85.000,00, num banco que cobra a taxa de 
3,5% ao mês de desconto composto. Ache o valor atual desse título. 
 
No Brasil, em financiamentos de longo prazo como aquele para 
compra de imóveis é comum um considerável número de pessoas se 
MATEMÁTICA FINANCEITA 
 
 
 
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depararem com saldos impagáveis após algum tempo. Mas por que isto 
ocorre? Podem-se citar várias causas: altas taxas de juro, redução de rendas 
devido à retração econômica, atualização por índices de inflação favoráveis 
aos credores e muitas outras. Pelo menos, a aritmética não pode ser 
responsabilizada.