Aplicações das derivadas parciais

Prévia do material em texto

18 
 
 
 
 CAPÍTULO 26 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
 
 
1 ) Equação de Laplace 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e 
2
2
x
z
, 
2
2
y
z
 
ordem, chamamos de EQUAÇÃO DE LAPLACE, a seguinte expressão : 
 
 
 0
2
2
2
2
y
z
x
z
 
 
 
 
 
 Analogamente, para w = f(x,y,z) temos a EQUAÇÃO DE LAPLACE : 
 
 
 
 0
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
 
 
 
 
 
 Nestes casos, dizemos que z e w ( Respectivamente ) satisfazem a Equação de 
Laplace. 
 
 
 
 
 Obs. : Chamamos de LAPLACIANO a expressão ...
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
f
 devido a sua 
 similaridade com a Equação de Laplace 0...
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
f
. 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Exemplos : 
 
 
 
Equação de Laplace. 
 
 
a ) w = x² -2y² +z² 
 
Resolução : 
 
 
 22
***
2
2
x
x
w
 
 
 44
***
2
2
y
y
w
 0242
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
 
 
 22
***
2
2
z
z
w
 Logo w satisfaz à . 
 
 
 
 
b ) Idem para z = ex.seny 
 
Resolução : 
 
 
yeeyeyeeye
x
z xxxxxx sen.0.sen.sen.0.sen.
***
2
2
 
 
yeyeyyeyey
y
z xxxx sen.sen.cos.0cos.cos.sen.0
***
2
2
 
 
0sen.sen.
2
2
2
2
yeye
y
z
x
z xx ; logo z satisfaz à . 
 
 
 
Exercício : 
 
em para w = 222 zyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
2 ) Diferencial Total ( ou Derivada Total ) 
 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e 
x
z
, 
y
z
 z = f(x,y), 
chamamos de Diferencial ( ou Derivada ) Total a seguinte expressão : 
 
 
 
yxz y
z
x
z
.. OU 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
.. 
 
 
 
 
 Analogamente, para w = f(x,y,z) temos : 
 
 
 
zyxw z
w
y
w
x
w
... OU 
t
z
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
... 
 
 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
 
 
1 ) z = 3x²y + ln ( x²y³ ) 
 
Resolução : 
 
 
 
x
z
 = 6xy + 
32
32
yx
xy
 = 6xy + 
x
2
 = 
x
yx
x
yx )13(226 22
 
 
y
z
 = 3x² + 
32
223
yx
yx
 = 3x² + 
y
3
 = = 
y
yx
y
yx )1(333 22
 
 
dt
dy
y
x
dt
dx
y
xy
dt
dz 3
3
2
6 2 = 
dt
dy
y
yx
dt
dx
x
yx )1(3)13(2 22
. 
 
 
 
 
 
 
21 
 
2 ) Idem para z = 
22 3
2
yx
xy
 
 
Resolução : 
 
 
x
z
 = 
222
23
222
232
222
22
)3(
26
)3(
462
)3(
2.2)3.(2
yx
yxy
yx
yxyyx
yx
xxyyxy
 
 
 
y
z
 = 
222
23
222
223
222
22
)3(
62
)3(
1262
)3(
)6.(2)3.(2
yx
xyx
yx
xyxyx
yx
yxyyxx
 
 
dt
dy
yx
xyx
dt
dx
yx
xy
dt
dz y
222
23
222
23
3
62
3
26
. 
 
 
 
 
 
Exercícios : 
 
1 ) Idem para z = x³.e3x + 4y² 
 
 
2 ) Idem para z = 3x²y.sen ( 2x + 3y ) 
 
 
3 ) Idem para z = sec ( x² + 2xy³ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
3 ) Vetor Gradiente 
 
 Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e 
x
z
, 
y
z
 z = f(x, y). 
 Seja P0 (x0, y0), um ponto do plano xy z curvas 
de nível e 
0Px
z
, 
0Py
z
as derivadas calculadas no ponto Po, plano R2 chamamos de 
Vetor Gradiente ao seguinte vetor : 
 
 
 
0P
z = 
00 PP y
z
,
x
z
 
 
 
 O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto P0 (x0, 
y0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Po 
 20 
 40 
 70 
 100 
 120 
z = f(x, y) 
Curvas 
de 
Nível 
 150 
y0 
z 
y 
x 
x0 
Reta 
Tangente 
0P
z 
O Vetor Gradiente aponta para onde 
 z = f(x,y) tem maior velocidade. 
 Obs : Em Geometria Analítica, o Vetor Gradiente recebe o nome de Vetor Normal. 
 
 
23 
 
Analogamente, quando temos w = f(x, y, z), o Vetor Gradiente será ortogonal ao 
plano tangente à uma superfície de nível por um ponto P (x0, y0, z0) do espaço R3, daí : 
 
 
 
Pz = PPP z
z
,
y
z
,
x
z
 
 
 
 
Exemplos : 
 
Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po plano R2. 
 
 
1 ) z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ). 
 
Resolução : 
 
x
z
 = 0
1
0
10
0.22
22)1,0(22 x
z
yx
x
 
 )1,0(z = ( 0, 2 ) 
 
 
y
z
 = 2
1
2
10
1.22
22)1,0(22 y
z
yx
y
 
 
 
 
 
2 ) z = x.sen y em Po ( 1, 
2
 ). 
 
Resolução : 
 
x
z
 = 1
2
sensen0.sen.1
2
,1x
z
yxy 
 
2
,1
z = ( 1, 0 ) 
 
y
z
 = 0
2
cos
2
cos.1cos.cos.sen.0
2
,1y
z
yxyxy 
 
 
 
 
Exercícios : 
 
 
 
24 
 
 
1 ) Idem para z = 3.x²y³.e2xy em Po ( 1, -1 ) . 
 
2 ) Idem para z = 
32
22
yx
yx
 em Po ( -1, 1 ) .