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Resistência dos Materiais I Engenharia Mecânica Prof.: Eduardo de Castro Barbalho Universidade Newton Paiva Carga Axial eduardo.barbalho@newtonpaiva.br O diagrama Tensão x Deformação Convencional ou de Engenharia Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Definção Tração Quando um corpo é submetido a ação de duas forças de mesma intensidade, mesma direção, sentidos contrários e que tendem a alongá-lo denomina-se por Tração. Compressão Quando um corpo é submetido a ação de duas forças de mesma intensidade, mesma direção, sentidos contrários e que tendem a alongá-lo denomina-se por Compressão. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Ductilidade, Tenacidade e Fragilidade Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Materiais Dúcteis • Material que possui boa deformação elástica e grande deformação plástica. • Material que possa ser submetido a grandes deformações plásticas antes de sofrer ruptura. • A deformação plástica continua até uma redução na área para posterior ruptura. Essa diminuição localizada da seção transversal é muito acentuada. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão O comportamento da tensão–deformação de materiais dúcteis, tenazes e frágeis submetidos à Tração Resistência dos Materiais O comportamento da tensão–deformação de materiais dúcteis, tenazes e frágeis submetidos à Tração Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Materiais Tenazes • Material que possui média deformação elástica e média deformação plástica. • Material que possa ser submetido a médias deformações plásticas antes de sofrer ruptura. • A deformação plástica continua até uma redução na área para posterior ruptura. No entanto, essa diminuição localizada da seção transversal não é tão acentuada quanto nos materiais dúcteis Resistência dos Materiais Materiais frágeis • Caracterizados por apresentarem baixa deformação elástica e ausência de deformação plástica. • Materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento antes da falha são denominados materiais frágeis. • não ocorre deformação plástica, requerendo menos energia que a fratura dúctil que consome energia para o movimento de discordâncias e imperfeições no material. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão O comportamento da tensão–deformação de materiais dúcteis, tenazes e frágeis submetidos à Tração Fundamentos do cálculo da Tensão Normal Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão A força e o momento agem em um ponto específico da área seccionada de um corpo. O material é contínuo, ou seja, possui distribuição uniforme de matéria. O material é coeso, ou seja, sem trincas ou separações. Nesta análise, vamos considerar apenas o efeito desencadeado pela resultante das forças e analisar os efeitos da componente normal à área da seção transversal. Resistência dos Materiais Substituiremos a força resultante por três componentes ΔFx, ΔFy, ΔFz; As componentes da pequena força ΔF age sobre uma pequena área ΔA; Por hora,a nossa análise se deterá na força perpendicular (Normal) à área da seção trensversal Se ΔA tende a zero o mesmo ocorrerá com ΔF. Por hora, a nossa análise se deterá na força perpendicular (Normal) à área da seção transversal; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Fundamentos do cálculo da Tensão Normal Resistência dos Materiais Tensão Normal É o quociente entre a força e a seção transversal do componente submetido à solicitação, quando essa força é perpendicular à referida área. Ou seja, a força faz com o plano da seção transversal um ângulo de 90°. De uma outra forma, é a força por unidade de área que age perpendicurlamente a ΔA. Esse fenômeno físico é definido como Tensão Normal. Definição de Tensão É o quociente da intensidade de força interna sobre um plano específico ou área que passa por um ponto. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Tensão normal média em uma barra prismática com carga axial Considerações • Barra prismática => possui seção transversal constante ao longo do comprimento longitudinal. • A barra prismática deve permanecer reta. • A seção deve continuar plana durante a aplicação da força • A força deve atuar no eixo do centroide para a deformação ser uniforme • Os materiais são homogêneos (pois possuem as mesmas propriedades físicas e mecânicas) e isotrópicos (tem a mesma propriedade em todas as direções. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Onde: ζ = Tensão Normal Média (MPa) F= Força normal interna resultante (N) A= Área da seção transversal da barra prismática Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Diagrama tensão x deformação convencional ii A F A N •A tensão nominal, ou tensão de engenharia, é determinada pela divisão da carga aplicada F pela área original da seção transversal do corpo de prova, Ai. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão (mm²); al transversseção da inicial Area (N); Externa Normal Carga ou (MPa); Média Normal Tensãoou Engenhria de Tensãoou Nominal Tensão : iA FN Onde A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida à carga mostrada. Exercício de Aprendizagem: 1 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Por inspeção, as forças internas axiais são constantes, mas têm valores diferentes. Graficamente, o diagrama da força normal é como mostrado abaixo: Exercício de Aprendizagem: 1 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Por inspeção, a maior carga é na região BC, onde: N. 10³ x 30 kN 30 BCP Visto que a área da seção transversal da barra é constante, a maior tensão normal média é: (Resposta) MPa 7143,85 ²1035 1030 3 mm N A PBC BC Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais A peça fundida mostrada é feita de aço Inoxidável, cujo peso específico é Ɣ= 80kN/m³. Determine a tensão de compressão média que age nos pontos A e B. Exercício de Aprendizagem: 2 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Desenhando um diagrama de corpo livre do segmento superior, a força axial interna P nesta seção é a mesma para ambos os pontos. Nota:1m³ = 1 x 109 mm³. 0²²200800 ³101 ³1080 0 ;0 9 aço mmmm mm N P WP Fz A tensão de compreensão média em A e em B torna-se: ²²200 4772,8042 ² mm N r P A P Solução: (Resposta) 4kN/m²60,064MPaN/mm 064,0 2 N8,0424772kN 4772,8042 P Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Deformação: Quando corpos materiais são submetidos a cargas, como resultado, os pontos no corpo material sofrerão deslocamentos ou mudanças de posição. Ou seja, sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformações. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão •A deformação nominal, ou deformação de engenharia, é determinada pela divisão da variação, δ, no comprimento de referência do corpo de prova, pelo comprimento de referência original do corpo de prova, Li. Unidades A deformaçãonormal é uma quantidade adimensional, visto que é uma razão entre dois comprimentos. Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão iii if LL L L LL s ss ' méd if LL ss 1 1' +ε reta se alonga -ε reta se contrai (mm); Final oCompriment (mm); Inicial oCompriment (mm); ocompriment do Variação Unitária;Deformaçãoou Média Normal Deformaçãoou Engenhria de Deformaçãoou Nominal Deformação : méd f i L L L Onde Se a deformação normal for conhecida, então o comprimento final é: Ductilidade em termos de Deformação Percentual Corresponde à variação total do comprimento do material devido à deformação plástica. Resistência dos Materiais 100 )( % x L LL i if oAlongament Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão (mm); Final oCompriment (mm); Inicial oCompriment ;Percentual Média Normal Deformação : % f i L L Onde Resistência dos Materiais Componentes Cartesianas da deformação Considerar que as dimensões do elemento infinitesimal são muito pequenas; Que o elemento infinitesimal é um cubo que, após deformado se assemelhará a um paralelepípedo; A deformação normal muda os comprimentos dos lados do elemento retangular; A deformação por cisalhamento muda os ângulos de cada lado; Pela equação em relação aos segmentos de reta Δx, Δy, Δz, os comprimentos aproximados dos lados do paralelepípedo são: ss 1' x1 y1 z1 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais 2/131040 zz A haste delgada cria uma deformação normal na haste de , onde z é dado em metros. Determine (a) o deslocamento da extremidade B devido ao aumento de temperatura e (b) a deformação normal média na haste. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Solução: Parte (a) Visto que a deformação normal é dada em cada ponto ao longo da haste, terá um comprimento deformado de: dzzLfz 2/1310401' A soma total desses segmentos ao longo do eixo dá como resultado o comprimento deformado da haste, isto é: Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais A parcela da equação é o comprimento inicial Li . E a parcela da equação é o comprimento da barra ΔLz. A somatória de ambas parcelas totalizará o comprimento final ao longo da direção z. (Resposta) mm39,2m00239,02,020239,0 BL dz 2,0 0 dzz 2,0 0 2/131040 Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é: Parte (b) Considerando que a haste tem um comprimento orginal de 200 mm e há uma mudança no comprimento de 2,39 mm (Resposta) mm/mm 0119,0 200 39,2' méd Li L Li LiL s ss Bf Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Uma chapa é deformada até a forma representada pelas linhas tracejadas mostradas na figura ao lado. Se, nessa forma deformada, as retas horizontais na chapa permanecerem horizontais e seus comprimentos não mudarem, determine a deformação normal ao longo do lado AB. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Solução: Parte (a) A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ após a deformação. Logo, o comprimento da reta é: mm 018,24832250 22' ABL Portanto, a deformação normal média para AB é: mm/mm 1093,7 250 250018,248' 3 méd AB ABAB AB NOTA: O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Escoamento Um pequeno aumento na tensão acima do limite de elasticidade resultará na deformação permanentemente do material. Esse fenômeno é nitidamente observado em alguns metais de natureza dúctil, como aços de baixo teor de carbono. Caracteriza-se por um grande alongamento sem acréscimo de carga. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão *Não ocorre escoamento propriamente dito. Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão DEFORMAÇÃO ELÁSTICA Precede à deformação plástica É reversível Desaparece quando a tensão é removida É proporcional à tensão aplicada (obedece a lei de Hooke) • No Comportamento elástico a tensão é proporcional à deformação e o material é linearmente elástico. Resistência dos Materiais DEFORMAÇÃO PLÁSTICA Inicia-se no Escoamento É irreversível Não apresenta mais o comportamento Linear Elástico Portanto, não há mais proporcionalidade entre a deformação e a Tensão Normal. Elástica Plástica Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Lei de Hooke Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão •A lei de Hooke define a relação linear entre tensão e deformação dentro da região elástica; •O Módulo de Elasticidade E pode ser usado somente se o material tiver relação linear–elástica. Onde: σ = Tensão Normal Média (MPa) E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young ou Módulo de Rigidez (GPa) ε = Deformação Unitária E Fórmula Geral Resistência dos Materiais Lei de Hooke e e E Onde: E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young ou Módulo de Rigidez (GPa) σLp = Tensão do Limite de Proporcionalidade (MPa); σe = Tensão de Escoamento (MPa); εLp = Deformação do Limite de Proporcionalidade εe = Deformação de Escoamento Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Lp Lp E Materiais de comportamento Dúctil Materiais de comportamento Tenaz Fragilidade, Ductilidade e Tenacidade Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Módulo de Resiliência Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, a densidade da energia de deformação é denominada Módulo de Resiliência, Ur. Corresponde à capacidade do material de absorver energia quando este é deformado elasticamente. Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 2 ² 2 ² 2 E E U r Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Fórmula Geral Onde: Ur = Módulo de Resiliência (MJ/m³); E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young ou Módulo de Rigidez (MPa) σ = Tensão Normal (MPa); ε = Deformação Unitária Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 2 ee rU E U er 2 2 2 2 e r E U 2 plpl rU E U pl r 2 2 2 2 pl r E U Materiais Dúcteis Materiais Tenazes Onde: Ur = Módulo de Resiliência (MJ/m³); E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young ou Módulo de Rigidez (MPa) σLp = Tensão do Limite de Proporcionalidade (MPa); σe = Tensão de Escoamento (MPa); εLp = Deformação do Limite de Proporcionalidade εe = Deformação de Escoamento Resistência dos Materiais Módulo de tenacidade •Módulo de tenacidade, Ut, representa a área inteira sob o diagrama tensão-deformação. •Indica a densidade de energia de deformação do material um pouco antes da ruptura ou corresponde à capacidade do material de absorver energia até sua ruptura. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão rup rLp trup rLp t UU 2 ou 2 Materiais Dúcteis Materiais Tenazes Onde: Ut = Módulo de Tenacidade (MJ/m³); σLp = Tensão do Limite de Proporcionalidade (MPa);σe = Tensão de Escoamento (MPa); σ u = Tensão Última (MPa); σ r = Tensão Limite de Resistência (MPa); σ rup = Tensão de Ruptura (MPa); εrup = Deformação de Ruptura rup re trup re t UU 2 ou 2 Materiais Frágeis ruputruprt UU 3 2 ou 3 2 Resistência dos Materiais A Resistência à Tração de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e é determinada por métodos experimentais pelo ensaio de Tração ou Compressão. É medida quando o material é submetido à uma carga ou força de tração, paulatinamente crescente, que promove uma deformação progressiva de aumento de comprimento. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão É calculada dividindo-se a carga máxima suportada pelo material pela área de seção reta inicial; RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (N/mm2 = MPa) Limite de Resistência Quando o escoamento tiver terminado, pode-se aplicar uma carga adicional ao corpo de prova, o que resulta em uma curva que cresce continuamente, mas torna- se mais achatada até atingir uma tensão máxima denominada limite de resistência. Corresponde à tensão máxima aplicada ao material antes da ruptura; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais No diagrama Tensão x Deformação Convencional o limite de ruptura é geralmente inferior ao limite de resistência em virtude de que a área da seção reta para um material dúctil reduz-se antes da ruptura. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Tensão de Ruptura (N/mm2 = MPa) Resistência dos Materiais •Estricção No limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova. O corpo de prova quebra quando atinge a tensão de ruptura. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Mecanismo da fratura dúctil Resistência dos Materiais a- formação do pescoço; b- formação de cavidades; c- coalescimento das cavidades para promover uma trinca ou fissura; d- formação e propagação da trinca em um ângulo de 45 graus em relação à tensão aplicada; e- rompimento do material por propagação da trinca; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Ductilidade expressa como estricção Resistência dos Materiais 100 )( % x A AA Estricção i if Onde: Af = Área Final Ai = Área Inicial Corresponde à redução na área da seção reta do corpo, imediatamente antes da ruptura; Os materiais dúcteis sofrem grande redução na área da seção reta antes da ruptura; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Endurecimento por deformação •Se um corpo de prova de material dúctil for carregado na região plástica e, então, descarregado, a deformação elástica é recuperada. •Entretanto, a deformação plástica permanece, e o resultado é que o material fica submetido a uma deformação permanente. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão O diagrama tensão-deformação para uma liga de alumínio utilizada na fabricação de peças de aeronaves é mostrado ao lado. Se um corpo de prova desse material for submetido à tensão de tração de 600 MPa, determine a deformação permanente no corpo de prova quando a carga é retirada. Calcule também o módulo de resiliência antes e depois da aplicação da carga. Exemplo 1 Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Solução: Quando o corpo de prova é submetido à carga, a deformação é aproximadamente 0,023 mm/mm. a) Cálculo do Módulo de Elasticidade E A inclinação da reta OA é o módulo de elasticidade, isto é, b) Cálculo da deformação Elástica recuperada Pelo triângulo CBD, temos que: mm/mm 008,0100,75 10600 9 6 CD CDCD BD E GPa 0,75 006,0 450 E Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão c) Cálculo da deformação permanente Essa deformação representa a quantidade de deformação elástica recuperada. Assim, a deformação permanente é: (Resposta) MJ/m 40,2 2 008,0600 2 (Resposta) MJ/m 35,1 2 006,0450 2 3 3 lplp fimr lplp inícior U U (Resposta) mm/mm 0150,0008,0023,0 OC d) Cálculo dos módulos de resiliência no início e no fim Note que no sistema SI, o trabalho é medido em joules, onde 1 J = 1 N • m. Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais • Coeficiente de Poisson, ʋ, estabelece que dentro da faixa elástica, a razão entre essas deformações é uma constante, já que estas são proporcionais. long lat v O coeficiente de Poisson é adimensional. Valores do coeficiente de Poisson compreende o intervalo de 0 ≤ ʋ ≤ 0,5. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais •A expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e vice- versa. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradas abaixo. Se uma força axial P = 80 kN for aplicada à barra, determine a mudança em seu comprimento e a mudança nas dimensões da área de sua seção transversal após a aplicação da carga. O material comporta-se elasticamente. Exemplo 2 Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Solução: A tensão normal na barra é: mm/mm 100,8 ²/0,200000 ²/0,16 5 aço mmN mmN E z z MPa mm N A P z 0,16 ²50100 1080 3 Da tabela para o aço A-36: => Eaço = 200 GPa = 200000MPa = 200000 N/mm² Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão O alongamento axial da barra é, portanto: As deformações de contração em ambas as direções x e y são m/m 6,25/0000256,0100,832,0 5aço mmmmv zyx m12012,01500100,8 5z mmmmLzz Assim, as mudanças nas dimensões da seção transversal são: m28,105,010106,25 m56,21,010106,25 66 66 yyy xxx L L Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Tensão Normal Admissível e Coeficiente de Segurança Ks e adm Ks r adm OU OU Ks u adm •São muitos fatores desconhecidos que influenciam na tensão real de um elemento. •O fator de segurança é um método para especificação da carga admissível para o projeto ou análise de um elemento. •A Tensão Admissível (ζadm) é a razão as Tensões de Escoamento (ζe) ou de Resistência (ζr) sobre o coeficiente de segurança (Ks). Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Tensão Normal Admissível Ks e adm Onde: ζadm = Tensão Normal Adimissível ζe = Tensão de Escoamento Ks = Coeficiente de segurança (Ks). Quando usar a Tensão de escoamento para calcular a Tensão Normal Admissível? Usa-se a tensão de escoamento para cálculo da tensão normal admissível quando o material for dúctil (tipo alumínio, cobre, latão etc) ou quando for um aço ao carbono normalizado ou recozido com teores de carbono variando de 0,008% C a 0,40%C (tipo SAE 1010, SAE 1020, SAE 1030, SAE 1040). Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Tensão Normal Admissível KsKs ru adm Onde: ζadm = Tensão Normal Adimissível ζe = Tensão de Escoamento Ks = Coeficiente de segurança (Ks). Quando usar o Limite de Resistência ou a Tensão Última para calcular a Tensão Normal Admissível? Usa-se o Limite de Resistência ou a TensãoÚltima para cálculo da Tensão Normal Admissível quando o material for frágil (tipo Ferro Fundido, vidro etc) ou quando for um aço ao carbono normalizado/recozido com teores de carbono acima de 0,40%C (tipo SAE 1045, SAE 1050, SAE 1060, SAE 1070) ou quando for um aço carbono ou aço liga temperado e revenido . Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais •O uso deste tipo de diagrama (Convencional) é maior já que a maioria dos projetos de engenharia é feita dentro da faixa elástica. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Diagrama tensão–deformação real • Os valores da tensão e da deformação calculados por essas medições são denominados tensão real e deformação real. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Princípio de Saint-Venant O princípio Saint-Venant afirma que a deformação e tensão localizadas nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a “nivelar-se” a uma distância suficientemente afastada dessas regiões. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Considerando um corpo de material com Módulo de Elasticidade constante e área da seção transversal constante, resultante axial interna constante e, utilizando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes de determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais. Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento A F E ε Li L ε Conforme visto no capítulo 2, a deformação normal linear é dada pelas seguintes equações Levando 2 em 1 temos: E L L i Como visto no capítulo 3 a tensão normal é dada pela seguinte equação. Levando 4 em 3 temos: EA LF L i 1 2 3 4 5 ΔL = Deslocamento de um ponto na barra relativo a outro; Li = Distância Inicial; F = Força Axial Interna na Seção; A = Área da Seção Transversal da Barra; E = Módulo de Elasticidade Transversal; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Pode haver situações na engenharia que somente a resultante interna axial varia em função do comprimento do corpo e as demais condições de contorno mantenham-se constantes. Se somente a força variar em função do comprimento, o deslocamento total será a somatória de todos os pequenos dδLz, ao longo de todo o comprimento. Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento L z EA dzF L 0 Δdz = Variação do comprimento infinitesimal em função da aplicação da força; ΔLz = Deslocamento total da barra em função da força axial Li = Comprimento inicial da barran; Fz = Força Axial Interna na Seção A = Área da Seção Transversal da Barra;n E = Módulo de Elasticidade Longitudinal; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Pode haver situações na engenharia que tanto a resultante interna axial quanto a área da seção transversal podem variar em função do comprimento do corpo e as demais condições de contorno mantenham-se constantes. Se tanto a força quanto a área da seção transversal variarem em função do comprimento, o deslocamento total será a somatória de todos os pequenos dδLz, ao longo de todo o comprimento. Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial L z z EA dzF L 0 Δdz = Variação do comprimento infinitesimal em função da aplicação da força; ΔLz = Variação total do comprimento em função da força; L = Comprimento Inicial da barra Fz = Força Axial Interna na Seção Transversal da barra Az = Área da Seção Transversal da Barra E = Módulo de Elasticidade Longitudinal Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Convenção de sinais Força e deslocamento são positivos se provocarem tração; Força e deslocamentos são negativos se provocarem compressão. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exercício de aprendizagem 1 Para uma barra cilíndrica de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, o comprimento é 600mm, o esforço de tração é de 80 kN, a tensão de escoamento é 210 MPa e o coeficiente de segurança é 3. Pede-se: a) Dimensionar a barra; b) O valor do alongamento; c) O valor da deformação linear normal unitária Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Solução: a) Cálculo da tensão Admissível MPa Ks admadm e adm 70 3 210 b) Cálculo do diâmetro da barra mmdd F d Fd F A A F admadm adm adm 1,38 70 ³10804 4 4 ² mmLL Ed LF L E d LF L EA LF L iii 200,0 ³10210²1,38 600³10804 ² 4 4 ² c) Cálculo alongamento d) Cálculo da deformação unitária MPa Li L 10333,3 600 200,0 4 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exercício de aprendizagem 2 Dimensionar uma barra cilíndrica de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, o comprimento é 800mm, submetida a um esforço de tração é de 50 kN, para que o alongamento máximo seja de 0,4 mm. mmdd EL LF d E d LF L EA LF L iii 623,24 ³102104,0 800³105044 ² 4 ² Solução: Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exercício de aprendizagem 3 Calcular a deformação unitária de uma barra cilíndrica de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, submetida a um esforço de tração de 50 kN, sabendo-se que seu diâmetro é 30 mm. MPa d F d F A F 7344303,70 ²30 ³10504 ² 4 4 ² Solução: a) Cálculo da Tensão b) Cálculo da deformação 1036836,3 ³10210 7344303,70 4 E Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exercício de aprendizagem 4 Uma barra cilíndrica de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, tem comprimento de 800 mm e sofre um encurtamento de 0,8 mm. Calcular o valor da força de compressão, sabendo-se que o volume da barra é de 640 cm³. ²800 800 ³10640 mmA A Li V ALiAV Solução: a) Cálculo da área b) Cálculo da força kNFNF F Li EAL F EA LF L i 168168000 800 ³102108008,0 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exercício de aprendizagem 5 Uma barra cilíndrica oca de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, tem comprimento de 3000 mm é submetida a um esforço de compressão de 60 kN. Dimensionar o cilindro sabendo-se que seu encurtamento foi de 1 mm e que di = 2/5 de. ²142857,857 ³102101 3000³1060 mmAA EL LF A EA LF L ii a) Cálculo da área Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais b) Cálculo dos diâmetros mmD Logo mmD D A D DADDA DDADDA i e ee eee eeie 24,15 , 1,3875,0 142857,8574 75,0 4 ²75,0 4 ²25,0² 4 ²5,0² 4 ²² 4 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exercício de aprendizagem 6 Uma barra cilíndrica oca de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, tem comprimento de 1200 mm, possui diâmetro interno de 60 mm e diâmetro externo igual a 100 mm, é submetida a um esforço de compressão de 120 kN. Calcular o encurtamento e a tensão de trabalho atuante. mmLL EDD LF L EDD LF L EA LF L ie i ie ii 13642,0 ³10210²60²100 41200³10120 ²² 4 ²² 4 a) Cálculo do encurtamento Solução: Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais b) Cálculo da Tensão Normal MPa DD F DD F A F ie ie 873,23 ²60²100 ³101204 ²² 4 ²² 4 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exemplo 4.1 do Livro resistência dos Materiais – 7Ed. Hibbeler O navio é impulsionado na água pelo eixo de uma hélice de aço A-36 com 8 m de comprimento medido desde a hélice até o mancal de encosto D no motor. Se o eixo tiver diâmetro externo de 400 mm e espessura de parede de 50 mm, determine a quantidade de contração axial do eixo quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre o eixo Os apoios B e C são mancais de deslizamento. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais b) Cálculo do encurtamento mmLL EDD LF L EDD LF L EA LF L ie i ie ii 10363783,3 ³10200²300²400 48000³105 ²² 4 ²² 4 3 a) Cálculo do diâmetro interno mmDDeDD iiei 3005024002 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exemplo 4.4 do Livro resistência dos Materiais – 7Ed. Hibbeler O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento forem: dAB=20 mm; dBC=25 mm; dCD=12 mm; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais a) Cálculo do deslocamento de AB kNNNkN oFx 40040 mmL mmNmm mmN L ED LN L E D LN L EA LF L BA BA AB AB BA AB AB BA AB i BA 020115,2 ²/³10126²²20 2000³10404 ² 4 4 ² / / / // Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais b) Cálculo do deslocamento de BC kNNNkNkNkN oFx 100252540 mmL mmNmm mmN L ED LN L E D LN L EA LF L CB CB BC BC CB BC BC CB BC i CB 6063045,0 ²/³10126²²25 3750³10104 ² 4 4 ² / / / // Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais c) Cálculo do deslocamento de CD kNNNkN oFx 30030 mmL mmNmm mmN L ED LN L E D LN L EA LF L CD CD CD CD CD CD CD CD CD i CD 26306028,5 ²/³10126²²12 2500³10304 ² 4 4 ² / / / // d) Cálculo do deslocamento A em relação a D Resposta)(mm 84835,3 2630603,56063045,0020115,2 / / //// DA DA CDCBBADA Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exemplo 4.2 do Livro resistência dos Materiais – 7Ed. Hibbeler O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção transversal de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kN for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade C da barra em relação à sua posição original. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa ) Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais mm 143,1143,1 ³1070400 400³1080 mm EA LP B b) Cálculo do deslocamento da extremidade B em relação à extremidade fixa A. mm 056,3 ³10200 4 ²10 6001080 3 / EA LP BC Solução: a) Cálculo o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade B. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais c) Cáculo do deslocamento de C em relação à sua posição original Visto que ambos os deslocamentos são para direita, o deslocamento resultante de C em relação à extremidade fixa A é a soma do deslocamento de B em relação a A e de C em relação a B Resposta)(mm 199,4 143,1056,3 // C C BCABC Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Deformação elástica de uma barra prismática ou de uma barra circular submetida a ação do próprio Peso EA dyP L A deformação a que o pequeno elemento diferencial está submetido é dado por: Onde: ΔL= alongamento a que o pequeno elemento diferencial está sofrendo P= peso abaixo do pequeno elemento diferencial; dy= Espessura do pequeno elemento diferencial A = Área da seção transversal do pequeno elemento diferencial E= Módulo de elasticidade longitudinal 1 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais yAV Onde: V= volume do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial. ɤ= Peso específico do material. P= Peso do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial VP Onde: V= volume do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial. A = Área da seção transversal do pequeno elemento diferencial y= Comprimento do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial 2 3 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Levando a equação 2 em 3 temos: EA LLA L EA LA L y EA A L dyy EA A L EA dyyA L L L L 2 2 ² 2 ² 0 0 0 yAP 4 Levando a equação 4 em 1 temos: EA dyyA L Integrando a equação 5 teremos o alongamento total no corpo em função do peso próprio: 5 E L L EA LP L 2 ² 2 6 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Deformação elástica de um cone submetido a ação do próprio Peso EA dyP L A deformação a que o pequeno elemento diferencial está submetido é dado por: Onde: ΔL= alongamento a que o pequeno elemento está sofrendo P= peso abaixo do pequeno elemento diferencial; dy= Espessura do pequeno elemento diferencial A = Área da seção transversal do pequeno elemento diferencial E= Módulo de elasticidade longitudinal 1 O pequeno elemento está submetido às seguintes forças. ΣFy=0 +↑ -↓ P-P’=0=> P=P’ Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais yAV 3 1 Onde: V= volume do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial. ɤ= Peso específico do material. P= Peso do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial VP Onde: V= volume do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial. A = Área da seção transversal do pequeno elemento diferencial y= Comprimento do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial 2 3 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Levando a equação 2 em 3 temos: EA LLA L EA LA L y EA A L dyy EA A L EA dyyA L L L L 6 6 ² 2 ² 3 3 3 0 0 0 yAP 3 1 4 Levando a equação 4 em 1 temos: EA dyyA L 3 Integrando a equação 5 teremos o alongamento total no corpo em função do peso próprio: 5 E L L EA LP L 6 ² 6 6 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Outra forma de se determinar o alongamento em um cone em função do próprio peso é o seguinte. O raio x do cone em função de y é determinado por cálculo proporcional. Isto é: y L r x L r y x oo ; 2 2 2 2 y L r xyA o A área de seção transversal também é função da posição y. Temos: 1 2 O pequeno elemento está submetido às seguintes forças. ΣFy=0 +↑ -↓ P-P’=0=> P=P’ Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Visto que P , a força interna no pequeno elemento diferencial torna-se: VP y L yr VyxVyAV o 2 2 2 ² 3 1 3 1 3 1 Visto que V , o volume do pequeno elemento diferencial do cone torna-se: 3 2 2 3 y L r V o Logo, levando 3 em 4 temos que o peso P do pequeno elemento diferencial do cone torna-se: 3 2 2 3 y L r P o 3 4 5 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais EA dyP L A deformação a que o pequeno elemento diferencial está submetido é dado por: 6 2 ² 33 3 00 0 y E Ldyy E L dy E y L LL L Levando a equação 5 em 6 temos: dy Eyr L y L r L E L yr dyy L r L o o o o ²3 ² 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 Integrando a equação 7 teremos o alongamento total no corpo em função do peso próprio: 8 E L L EA LP L 6 ² 6 dy E y L 3 7 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exercício de Aprendizagem A barra cilíndrica ilustrada está submetida somente à ação do próprio peso. Dados: L = 900 mm; d = 100 mm; Aço SAE 1020 LQ; E = 210 GPa; Ɣ = 78500 N/m³; α = 1,167 x 10-5/ ̊C; Determine: a) A Tensão Normal na face AB; b) A Tensão Normal na face CD; c) O Alongamento total da barra; d) A deformação normal linear da barra; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais a) Cálculo da Tensão Normal na face AA Solução , 0 Logo NF Mas A F AA AA AA MPaAA 0 b) Cálculo da Tensão Normal na face BB Na face BB a única carga que atua é o próprio peso da Barra. Então, mmmmN L A LA A P A F BB BB BB BBBB BB 900³/1078500 9 MPaBB 07065,0 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais c) Cálculo do deslocamento ΔL Solução d) Cálculo da Deformação Linear Normal na direção y é: ²/³102102 900³/1078500 2 2 ² 9 mmN mmmmN E L L E L L L y i y i i y i y 10682,1 7y ²/³102102 ²²900³/1078500 2 ² 2 2 9 / / / / mmN mmmmN L E L L EA LLA L EA LP L BA BA BA BA mmL BA 10514,1 4 / Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exercício de Aprendizagem A barra cilíndrica ilustrada está submetida à ação do próprio peso e à carga externa F = 50 kN. Dados: F= 50 kN L = 800 mm; d = 100 mm; Aço SAE 1020 LQ; E = 210 GPa; Ɣ = 78500 N/m³; α = 1,167 x 10-5/ ̊C; Determine: a) A Tensão Normal na face AB; b) A Tensão Normal na face CD; c) O Alongamento total da barra; d) A deformação normal linear da barra; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais a) Cálculo da Tensão Normal na face AA Solução ²²100 ³10504 ² 4 4 ² mm N d F d F A F AA AA AAAA AA AAAA MPaAA 3662,6 b) Cálculo da Tensão Normal na face BB Na face BB a única carga que atua é o próprio peso da Barra. Então, 80010785003662,6 ² 4 9 BB AABBBB BBBB LL d F A P A F A FF AA AABBAA MPaBB 428998,6 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais c) Cálculo do deslocamento ΔL ³102102 ²8001078500 ³10210²100 800³10504 2 ² ² 4 2² 4 2 4 ² 9 / / / / / BA iiAA BA iiiAA BA iiAA BA PFBA L E L Ed LF L EA LLA Ed LF L EA LP E d LF L LLL mmL BA 1043718018,2 2 / d) Cálculo da Deformação Linear Normal na direção y é: 800 1043718018,2 2 y i y L L 100464751,3 5y Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exercício de Aprendizagem A barra cilíndrica ilustrada, possui um rebaixo e está submetida à ação do próprio peso e à carga externa F = 100 kN. Dados: F= 100 kN L1 = 700 mm; L2 = 900 mm; d1 = 90 mm; d2 = 120 mm; Aço SAE 1020 LQ; E = 210 GPa; Ɣ = 78500 N/m³; α = 1,167 x 10-5/ ̊C; Determine: a) A Tensão Normal na face AA; b) A Tensão Normal na face BB; c) A Tensão Normal na face CC; d) O Alongamento do corpo 1 da barra; e) O Alongamento do corpo 2 da barra; f) O Alongamento total; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais a) Cálculo da Tensão Normal na face AA Solução ²²90 ³101004 ² 4 4 ² mm N d F d F A F AA AA AAAA AA AAAA MPaAA 719,15 b) Cálculo da Tensão Normal na face BB ²120 7001078500²90 ²120 ³101004 ² ² ² 4 4 ² 4 ² ² 4 ² 4 ² 4 9 2 11 22 1 1 2 1 22 BB BBBB BBBB BBBB d Ld d F d L d d F A LA d F L d F A P A F A FF AAAA BB AAAAAA BBBB AA BB BBAA MPaBB 87285,8 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais c) Cálculo da Tensão Normal na face CC 9001078500 ²120 7001078500²90 ²120 ³101004 ² ² ² 4 4 ² 4 ² ² 4 4 ² 9 9 2 2 11 2 2 2 1 1 2 21 2 2121 BB BBBB BBBBBB L d Ld d F L d L d d F A LA A LA d F A P A P A F A PPF AAAA CC CC CC AAAA CCCCCC AA CC AA MPacC 9435,8 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais d) Cálculo do deslocamento ΔL ³102102 ²7001078500 ³10210²90 700³101004 2 ² ² 4 2² 4 2 4 ² 9 / 1 / 11 1 1 / 11 1 1 /1/ BA iiAA BA AA AAAA BA AA AA BAPFBA L E L Ed LF L EA LLA Ed LF L EA LP E d LF LLLL mmL BA 102488272,5 2 / Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais e) Cálculo do deslocamento ΔL ³102102 ²9001078500 ³10210²120 9001078500700 4 ²90 ³101004 2 ² ² 4 ² 4 2 ² ² 4 2² 4 2 4 ² 2 9 9 / 2 2 21 1 / 2 2 21 / 22 2 21 / 22 2 21 / 2221 /2/ CB AA CB AAAA CB CC CCAA CB CC AA CB CCCC AA CBPFCB L E L Ed LL d F L E L Ed LLAF L EA LLA Ed LPF L EA LP E d LPF L EA LP EA LPF LLLL mmL BA 108177896,3 2 / Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais f) Cálculo do deslocamento ΔLf mmmmL LLL f CBBAf 108177896,3102488272,5 22 // mmLf 100666167,9 2 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Vigas Estaticamente Determinadas ou Vigas Isostáticas •A barra é Estaticamente Determinada ou Isostática quando as equações de equilíbrio são suficientes para determinar as reações, ou seja, o número de equações da Estática é igual ao número de Restrições. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Vigas Estaticamente Determinadas ou Isostáticas Exemplos Viga bi apoiada com um apoio fixo e um apoio móvel. Viga engastada. Restrições = 3 Equações da estática = 3 Grau de Indeterminação = 0 Restrições = 3 Equações da Estática = 3 Grau de Indeterminação = 0 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais •A barra é Estaticamente Indeterminada ou Hiperestática quando as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações, ou seja, o número de equações da Estática é menor que o número de Restrições. Vigas Estaticamente Indeterminadas ou Vigas Hiperestáticas Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Vigas Estaticamente Indeterminadas ou Vigas Hiperestáticas Exemplos Viga bi apoiada com dois apoios fixos Viga engastada e com um apoio fixo. Restrições = 4 Equações da estática = 3 Grau de Indeterminação = 1 Restrições = 5 Equações da Estática = 3 Grau de Indeterminação = 2 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais •A barra é Hipoestática quando as equações de equilíbrio são mais que suficientes para determinar as reações, ou seja, o número de equações da Estática é maior que o número de Restrições. Vigas Hipoestáticas Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Vigas Hipoestáticas - Exemplo Viga bi apoiada com dois apoios móveis Neste caso o número de Equações da Estática é maior do que o número de Restrições. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Já sabemos que, quando a barra é Estatisticamente Indeterminada, não se consegue determinar os valores das Restrições somente com as Equações da Estática. Alguns métodos são aplicados para solucionar o problema. Vamos estudar dois métodos. xAB / A equação que indica as condições para o deslocamento é denomindada Condição de Compatibilidade ou Condição Cinemática Primeiro método: Condição de Compatibilidade ou Condição Cinemática ;0 ;0 ;0 z y x M F F Além das Equações da Estática, para solucionar, necessita-se analisar as condições do deslocamento (Alongamento e Encurtamento). Onde: x pode ser = 0 ou ≠ 0 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Primeiro método: Condição de Compatibilidade ou Condição Cinemática Considerando que o deslocamento (δ) seja zero e considerando que a Área (A) e que o Módulo de Elasticidade Longitudinal (E) são constantes, podemos resolver essas duas equações para as reações da seguinte forma: (1) 0 ;0 BA BA x FF PFF F )2(0/ AB Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais )5( . L LP F CBA CBBACA CBBACA CBBACA ABAB LFLF EA LF EA LF EA LF EA LF // 0 )4( .)( , L LP FP L LLF P L LF L LF PF L LF Logo AC B AC CBACB AC ACB AC CBB B AC CBB Portanto, fazendo o raciocínio inverso, temos: NOTA: Se o delocamento não for nulo, essas fórmulas para FA e FB não valem!!! Se realmente o deslocamento for nulo, AE for constante e estiver dentro do comportamento linear elástico, essa equação, em termos de uma relação carga-deslocamento, pode ser expressa: )3( AC CBB A L LF F )3( CB ACA B L LF F Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B’ e a haste. Determine as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C. (Eaço = 200 GPa). Exemplo 4.5 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais 400 800 400 ³10200 4 ²5 400800³10200 4 ²5 800400³10200 4 ²5 4 ² 1 B A AB BA CBBACA F F FF FF LFLFE d A condição de compatibilidade para a haste é: mm 1/ AB Usando a relação carga-deslocamento, Solução: O equilíbrio da haste exige: (1) 01020 ;0 3 BAx FFF E d LFLF E d LF E d LF EA LF EA LF CBBACA CBBACA CBBACA AB 4 ² 1 4 ² 4 ² 1 1/ 4770425,98172 BA FF Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Solução: Substituindo 2 em 1 temos: 3 5229575,10182 4770425,9817200003 200004770425,98172 B B BB F F FF NF Logo NF A B 8256808,16605 , 17431917,3394 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais O parafuso de liga de alumínio 2014-T6 e é apertado de modo a comprimir um tubo cilíndrico de liga de magnésio Am 1004-T61. O tubo tem raio externo de 10 mm, e consideramos que o raio interno do tubo e o raio do parafuso são ambos 5 mm. As arruelas nas partes superior e inferior do tubo são consideradas rígidas e têm espessura desprezível. Inicialmente, a porca é apertada levemente a mão; depois é apertada mais meia-volta com uma chave de boca sextavada. Se o parafuso tiver 25 fios por polegada, determine a tensão no parafuso. Dados: 1” = 25,4 mm; Ep = 75 GPa; Et = 45 GPa; Exemplo 4.8 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exemplo 4.8 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Exemplo 4.8 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler Solução: a) Cálculo do passo da rosca e do aperto executado O passo de uma rosca é a distância entre dois filetes consecutivos tomados em pontos homólogos. O passo para uma rosca com 20 fpp é obtido pela equação: fpp P N P fpp 25 4,25"1 "1 b) Cálculo do deslocamento inicial Meia volta do parafuso em torno do próprio eixo equivale a meio passo. E esse valor equivale ao deslocamento do ponto B (posição da porca) em relação ao ponto A (cabeça do parafuso). 2 016,1 / mm ABmmP 016,1 mmAB 508,0/ Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais ;0yF pt 508,0c) Análise das forças na direção y Na direção y o equilíbrio exige: d) Análise da Condição de compatibilidade Quando a porca é apertada, o tubo encurta e o parafuso alonga. (1) 0 tptp FFFF Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais 5 9 5 050382,448855 5 9 0100765,89771 5 9 60 ³104575508,0 60³1075²5 60³1045510 60 ³1045510508,0 ³1075²5 60 508,0 ³1045510 60 508,0 2222 22 p t p t p t p t pt pt F F F F F F F F FF 9 5050382,448855 2 5 9050382,448855 t p p t F F ou F F Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais e) Substituindo 2 em 1 temos: 55555555555,1 7833758,49872 7833758,4987255555555555,1 055555555555,07833758,49872 0 9 5050382,448855 t t tt t t F F FF F F kNFF NF pt t 061,32 0750274,32061 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais e) Cálculo das tensões no parafuso e no tubo ²²5 0750274,32061 mm N A F b b b 22 510 0750274,32061 t t t A F (Resposta) MPa 214,408N/mm 214,408 2 b (Resposta) MPa 071,136N/mm 071,136 2 t Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Segundo Método: Método de Análise de Forças ou Método de Análise de Flexibilidade Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Segundo Método: Método de Análise de Forças ou Método de Análise de Flexibilidade Nesse método, para escrever a equação de compatibilidade, escolheremos qualquer um dos apoios como sendo redundante; Redundante nesse caso, significa que não há necessidade do mesmo para manter a barra em equilíbrio estático; Logo, imaginando a retirada do apoio considerado redundante, a barra torna-se Estaticamente Determinável; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Segundo Método: Método de Análise de Forças ou Método de Análise de Flexibilidade Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais A haste de aço A-36 tem diâmetro de 5 mm. Está presa à parede fixa em A e, antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine as reações em A e B’. Exemplo 4.9 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais (1) 1 BP ² ³10200²²5 400³1020 mm N mm mmN EA LP AC P Solução: 1mm 80371832715,2 1 mmB PB a) Análise de flexibilidade b) Cálculo do deslocamento provocado pela força P mm 80371832715,2 P c) Cálculo do deslocamento provocado pela força FB mmB 80371832715,1 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais mm mm N mmmm F mm N mm mmF mm EA LF B B ABB B 1200 ² ³10200² 4 ²5 80371832715,1 ² ³10200² 4 ²5 1200 80371832715,1 d) Cálculo de FB kNF NF B B 394,3 17431918,3394 Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais 017431918,3394³1020 ;0 NNFF Ax Pelo diagrama de corpo livre, e) Cálculo de FA (Resposta) 16,605kNN05,8256808166 AF Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Todos os corpos se expandem ou se contraem em função do aumento ou da redução da temperatura; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Os objetos metálicos variam de volume mais facilmente; Engenheiros e projetistas escolhem com cuidado seus materiais de trabalho, levando em conta os efeitos da dilatação térmica; Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais 2- As pontes precisam de vãos entre as placas de concreto (juntas de dilatação), para evitar rachaduras em sua estrutura. 1- Os trilhos de algumas ferrovias também apresentam espaçamentos para que não surjam rupturas nas linhas férreas. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais 4- Falha de projeto do tabuleiro do viaduto por falta de junta de dilatação ou variação e temperatura acima do esperado. 3- Falha no projeto da junta de dilatação ou acidente que gerou uma variação de temperatura acima do esperado pelos engenheiros e projetistas. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais A magnitude com que um corpo varia de comprimento, dilatando-se ou contraindo-se, depende de duas condições: a) do estado físico do mesmo; b) do material de que ele é constituído. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Os corpos em estado sólido, possuem forma bem definida, e o volume sofre variações infinitesimais, pois suas partículas formam uma rede cristalina, com posições bem determinadas. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCOrR7IbDs8gCFQIUkAodhKgLNA&url=http%3A%2F%2Festagionaobra.blogspot.com%2F2013%2F03%2Fhoje-na-aula_2926.html&bvm=bv.104615367,d.Y2I&psig=AFQjCNHGMNfNZ4mA02oI-GELsalIrRsbuA&ust=1444415956100290 Mas o controle de tal fenômeno também proporciona aplicações práticas interessantes, tais como: na fixação de chapas com rebites; na fabricação de termômetros; na vedação eficiente de blocos de motores de automóveis. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Com a variação na temperatura de um sólido, as partículas que o constituem vibram, menos ou mais, em torno de sua posição de equilíbrio. Nessa rede, as partículas não apresentam movimento de translação, mas vibram em torno de suas posições de equilíbrio. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões de um material. A dilatação linear de uma barra é proporcional à sua temperatura e ao seu comprimento inicial. 1 iL LT Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Coeficiente de Dilatação Térmica Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais 2 Dilatação superficial dos sólidos Dilatação superficial É a variação da área da superfície de um corpo em função da variação da temperatura. São as dilatações e contrações em mais de uma dimensão. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais 3 Dilatação volumétrica dos sólidos A dilatação afeta todas as dimensões de um corpo. A variação no volume é proporcional à variação de temperatura (t) e ao volume inicial (V0) do corpo. A constante de proporcionalidade é o coeficiente de dilatação volumétrica. Dilatação Volumétrica Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais 1 iL LT Como vimos, se o material for homogêneo e isotrópico, o deslocamento linear em função da variação da temperature é expresso pela seguinte equação: = coeficiente linear de expansão térmica, propriedade do material = variação na temperatura do elemento = comprimento inicial do elemento =variação no comprimento do elemento T iL L Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais :que temos1 equaçãoDa i i T LT L iLT E : temos3 com 2 Igualando 2 Então, iLT Mas, i T L 3 Mas, E 4 Logo, iLTE Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais Uma barra rígida está presa à parte superior de três postes feitos de aço A-36 e alumínio 2014-T6. Cada um dos postes tem comprimento de 250 mm quando não há nenhuma carga aplicada à barra e a temperatura é de T1 = 20°C. Determine a força suportada por cada poste se a barra for submetida a um carregamento distribuído uniformemente de 150 kN/m e a temperatura aumentar até T2 = 80°C. Exemplo 4.12 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais (1) 010902 ;0 3alaço FFFy a) Cálculo de P Solução b) Diagrama de corpo livre m 0,6kN/m 150P LwP kN 90 P NOTA: Trata-se de um Sistema indeterminado. A viga é hiperestática pois temos mais restrições do equações da estática para solucionar o problema. c) Somatória das forças na direção y Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais (2) alaço A parte superior de cada poste sofre o mesmo deslocamento. Em consequência, d) Condição de Compatibilidade FT FT alalal açoaçoaço A posição final da parte superior de cada poste é igual ao deslocamento causado pelo aumento da temperatura e a força de compressão axial interna. Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais FTFT alaçoaçoaço e) Cálculo da FAço (3) 216,1³109,165 ³101,73 4 ²30 250 25020801023 ³10200 4 ²40 250 25020801012 alaço al6 aço6 FF F F f) Cálculo de Faço e FAl kN 123al F Aplicando a equação 2, temos Resolvendo equações 1 e 3 simultâneamente, ³1090216,1³109,165 ³10902 alal alaço FF FF kN 4,16 , aço F Logo Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão Resistência dos Materiais “Sonhos não morrem... Apenas adomercem na alma da gente.” Chico Xavier “Se um dia a sorte foi alheia ao teu sustento... É porque não houve harmonia entre ação e pensamento.” Renato Russo Mensagem Resistência dos Materiais Obrigado! Resistência dos Materiais
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