CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL - Pratique e Compartilhe 1

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CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL – Pratique e Compartilhe 1 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS SENTENÇAS E NOÇÕES GEOMÉTRICAS DE LIMITES 
 
Segundo Benttley (1972), muitos filósofos e matemáticos acreditavam em números mágicos. Um deles é o 
número fi ou 
 
𝛷 = 1,6180339887498948482. . . . .. 
 
...... O número fi foi encontrado a partir da sequência de Fibonacci 
 
(	𝑓𝑛) 
 
definida pelas condições: 
 
𝑓! =, 𝑓" = 1 
 
, 
 
𝑓# = 𝑓#$! + 𝑓#$" 
 
. Nessa sequência, cada termo é a soma dos dois termos anteriores. Os primeiros termos são escritos como: 
 
{1, 1, 2, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610	. . . } 
 
A sequência numérica mostrada a seguir é muito especial ao observarmos a sua convergência, formada pela 
divisão de cada um dos seus números pelo seu antecessor, como se mostra a seguir: 
 
3
2 = 1,5 
 
5
3 = 1,666…	 
8
5 = 1,6	 …………………….	 
377
233 = 1,618025751…	 
610
377 = 1,618037135. .. 
 
De acordo com Stewart (2011) o limite do termo geral da sequência: 
 
𝑎# 		=
𝑓#%!
𝑓#
=
1
2 91 +
√5; = 1,6180339887498948482……… 
 
é igual ao número fi. Portanto, dizemos que essa sequência é convergente. 
 
O limite do termo geral da sequência 
 
𝑒 = 2,718281828. . . . . .. 
 
é um dos limites fundamentais, base do logaritmo neperiano. Graficamente, também, podemos verificar que 
 
lim
#→'
@1 +
1
𝑛A
#
= 	𝑒 
 
Observe a figura: 
 
Fonte: 
Elaborada pelo autor. 
 
Vamos Praticar 
Dada a função 𝑓(𝑥) a seguir, construa o seu gráfico e preencha a tabela com os valores dos limites solicitados, 
assim como os valores da função em determinados pontos. Depois, é solicitado a você avaliar a continuidade 
da função nesses pontos. 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
 
lim
(→$)!
𝑓(𝑥) = lim
(→$)"
𝑓(𝑥) = lim
(→	$)
𝑓(𝑥) = A função é contínua em? Justifique. 
lim
(→+!
𝑓(𝑥) = lim
(→+"
𝑓(𝑥) = lim
(→	+
𝑓(𝑥) = A função é contínua em? Justifique. 
lim
(→)!
𝑓(𝑥) = lim
(→)"
𝑓(𝑥) = lim
(→	)
𝑓(𝑥) = A função é contínua em? Justifique. 
𝑓(−3) = 𝑓(0) = 𝑓(3) = 
 
 
Referências 
BENTLEY, P. O livro dos números: uma história ilustrada da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 1972. 
STEMART, J. Cálculo. Tradução norte-americana. 6. ed. Editora: Cenage Learning. São Paulo, 2011. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
lim
(→$)!
𝑓(𝑥) = lim
(→$)"
𝑓(𝑥) = lim
(→	$)
𝑓(𝑥) = A função é contínua em? Justifique. 
lim
(→+!
𝑓(𝑥) = lim
(→+"
𝑓(𝑥) = lim
(→	+
𝑓(𝑥) = A função é contínua em? Justifique. 
lim
(→)!
𝑓(𝑥) = lim
(→)"
𝑓(𝑥) = lim
(→	)
𝑓(𝑥) = A função é contínua em? Justifique. 
𝑓(−3) = 𝑓(0) = 𝑓(3) = 
 
 
 
lim
(→$)!
𝑓(𝑥) = -4 -3,5 -3,1 -3,01 -3,001 
-1 -2 -10 -100 -1000 
 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 + 3 
=
1
(−4) + 3 =
1
(−3,5) + 3 =
1
(−3,1) + 3 =
1
(−3,01) + 3 =
1
(−3,001) + 3 
=
1
(−1) =
1
(−0,5) =
1
(−0,1) =
1
(−0,01) =
1
(−0,001) 
= −1 = −2 = −10 = −100 = −1000 
 
 
lim
(→$)"
𝑓(𝑥) = -2 -2,5 -2,9 -2,99 -2,999 
6 8,25 10,41 10,94 10,994 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥# + 2 
= (−2)# + 2 = (−2,5)# + 2 = (−2,9) + 2 = (−2,99)# + 2 = (−2,999)# + 2 
= 4 + 2 = 6,25 + 2 = 8,41 + 2 = 8,94 + 2 = 8,994 + 2 
= 6 = 8,25 = 10,41 = 10,94 = 10,994 
 
lim
(→$)
𝑓(𝑥) è 𝑓(−3) 	= 𝑥" + 2 
𝑓(−3) 	= (−3)" + 2 
𝑓(−3) 	= 9 + 2 
𝑓(−3) 	= 11 
 
 
lim
(→+!
𝑓(𝑥) = -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 
3 2,25 2,01 2,0001 2,0000001 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥# + 2 
= (−1)# + 2 = (−0,5)# + 2 = (−0,1) + 2 = (−0,01)# + 2 = (−0,001)# + 2 
= 1 + 2 = 0,25 + 2 = 0,01 + 2 = 0,001 + 2 = 0,000001 + 2 
= 3 = 2,25 = 2,01 = 2,001 = 2,000001 
 
 
lim
(→+"
𝑓(𝑥) = 1 0,5 0,1 0,01 0,001 
0 -0,693 -2,302 -4,605 -6,907 
 
𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 
= ln(1) = ln(0,5) = ln(0,1) = ln(0,01) = ln(0,001) 
= 0 = −0,693 = −2,302 = −4,605 = −6,907 
 
lim
(→+
𝑓(𝑥) è 𝑓(0) 	= 𝑥" + 2 
𝑓(0) 	= (0)" + 2 
𝑓(0) 	= 2 
 
 
lim
(→)!
𝑓(𝑥) = 2 2,5 2,9 2,99 2,999 
0,693 0,916 1,064 1,095 1,098 
 
𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 
= ln(2) = ln(2,5) = ln(2,9) = ln(2,99) = ln(2,999) 
= 0,693 = 0,916 = 1,064 = 1,095 = 1,098 
 
 
lim
(→)"
𝑓(𝑥) = 4 3,5 3,1 3,01 3,001 
-1 -1,5 -1,9 -1,99 -1,999 
𝑓(𝑥) = ⌈𝑥 − 3⌉ − 2 = ⌈4 − 3⌉ − 2 = ⌈3,5 − 3⌉ − 2 = ⌈3,1 − 3⌉ − 2 = ⌈3,01 − 3⌉ − 2 = ⌈3,001 − 3⌉ − 2 
= 1 − 2 = 0,5 − 2 = 0,1 − 2 = 0,01 − 2 = 0,001 − 2 
= −1 = −1,5 = −1,9 = −1,99 = −1,999 
 
lim
(→)
𝑓(𝑥) è 𝑓(3) 	= ln(3) 
𝑓(3) 	= 1,098 
 
 
A função é contínua em? 
 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 + 3 , 𝑠𝑒	𝑥 < −3 
A função é continua em ] − ∞,+∞[ 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥" + 2, 𝑠𝑒 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 0 
A função é continua em [−3,0] 
 
𝑓(𝑥) = ln(𝑥), 𝑠𝑒	0 < 𝑥 ≤ 3 
A função é continua em ] − ∞, 3] 
 
𝑓(𝑥) = ⌈𝑥 − 3⌉ − 2, 𝑠𝑒	𝑥 > 3 
A função é continua em ]3, +∞[