METODOS QUANTITATIVOS QUESTIONARIO III

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· Pergunta 1
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Analise as afirmações abaixo:
 
I) y'' + 3xy' + 5x = 0 é uma equação de 1ª ordem e 2º grau.
II)  é uma equação de 4ª ordem e 3º grau.
III) é uma equação de 2ª ordem e 1º grau.
Assinale a alternativa que contenha as afirmações corretas:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
III.
	Respostas:
	a. 
I.
	
	b. 
II.
	
	c. 
III.
	
	d. 
I e II.
	
	e. 
II e III.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: C
Comentário:
Pela definição de ordem e grau, temos:
•         a ordem de uma equação diferencial é a ordem mais alta derivada que nela aparece;
•         o grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas derivadas, é dado pela maior potência que define a ordem da equação.
Assim, é uma equação de 2ª ordem e 1º grau. A derivada de maior ordem dessa equação é y'', que é de segunda ordem; logo, a equação também é de segunda ordem.
	
	
	
· Pergunta 2
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Determine a solução geral da equação diferencial 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: C
Comentário:
Primeiramente, devemos escrever a EDO na forma de uma diferencial:
 dy = 3y cos xdx
Integrando ambos os membros, teremos:
	
	
	
· Pergunta 3
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	A proporção carbono-14/carbono-12 presente na matéria orgânica viva é constante.  No entanto, na matéria orgânica morta, a quantidade de C diminui com o tempo, a uma taxa proporcional à quantidade existente. Se designarmos essa quantidade por Q, teremos então que a variação de Q por unidade de tempo é proporcional a Q:
, em que k é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo é necessário de forma a garantir que Q decresça com o tempo. Será mais correto falar em termos de variação instantânea:
O resultado que constitui a base do processo de datação por carbono-14 é igual a:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: E
Comentário:
Esta EDO resolve-se facilmente por separação de variáveis:
Sabendo que no início Q(t = 0) = Q 0, então:
Esse resultado constitui a base do processo de datação por carbono-14.
	
	
	
· Pergunta 4
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada instante t, em segundos, a velocidade é o quíntuplo da posição. A função posição é igual a:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: D
Comentário:
	
	
	
· Pergunta 5
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	A função y = C 1 . cos x + C 2 . sen x é uma solução geral da equação diferencial y'' + y = 0. Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
É uma solução geral e a igualdade é 0 = 0.
	Respostas:
	a. 
É uma solução geral e a igualdade é  sen x = sen x.
	
	b. 
Não é uma solução geral porque a desigualdade é 1 cos x.
	
	c. 
É uma solução geral e a igualdade é 0 = 0.
	
	d. 
Não é uma solução geral e a desigualdade é -sen x 0.
	
	e. 
É uma solução geral e a igualdade é cos x = cos x.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: C
Comentário:
Primeiro, determinar as derivadas da função dada:
y' = - C 1.sen x + C 2..cos x
y'' = - C 1.cos x - C 2..sen x
Substituindo na equação diferencial, temos:
y'' + y = 0
- C 1.cos x - C 2..sen x + ( C 1.cos x + C 2..sen x) = 0
 
- C 1.cos x - C 2..sen x + C 1.cos x + C 2..sen x = 0
0 = 0
Portanto, y = C 1.cos x + C 2..sen x é uma solução geral da equação diferencial dada com duas constantes arbitrárias distintas.
	
	
	
· Pergunta 6
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	A função y = C.e -2x é uma solução para a equação diferencial  y' + 2y = 0. A solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3 é igual a:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
y = 3.e-2x
	Respostas:
	a. 
y = 2 + ex
	
	b. 
y = 2.ex
	
	c. 
y = 3+e-3x
	
	d. 
y = 3.ex
	
	e. 
y = 3.e-2x
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: E
Comentário:
Sabemos que y = C.e -2x é solução porque y' = - 2.C.e -2x e y' + 2y = - 2.C.e -2x
+ 2.(C.e -2x) = 0.
 Usando a condição inicial y(0) = 3, ou seja, y = 3 e x = 0, obtém-se:
y = C.e -2x
    3 = C e -2.0
    C = 3
E concluímos que a solução particular é y = 3.e -2x
	
	
	
· Pergunta 7
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Suponha que uma cultura de bactérias inicie com 200 bactérias e cresça a uma taxa proporcional a seu tamanho. Considere que depois de 1 hora existam 8.000 bactérias. A equação para o número de bactérias após t horas é igual a:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
N(t) = 200  e 3,69 t
	Respostas:
	a. 
N(t) = 200  e3,69 t
	
	b. 
N(t) = 600 + c et
	
	c. 
N(t) = et
	
	d. 
N(t) = 8000 - c
	
	e. 
N(t) = 200 + c e3,69 t
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: A
Comentário: 
Para t = 0, temos  N = 200.
Logo 200 = c e 0  c = 200
Para t = 1 h, temos N = 8000.
Logo 8000 = 200 e k . 1  e k
= 40  k = ln 40   k = 3,69
A equação para o número de bactérias após t horas é dada por:
N(t) = 200 e 3,69 t
	
	
	
· Pergunta 8
0 em 0,4 pontos
	
	
	
	Assinale a alternativa que corresponda a uma equação diferencial ordinária de 1º grau de ordem 2:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
y ’ + x cos x = 0
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
y ’” – 4 y ” + xy = 0
	
	d. 
(y’”) 3 – x y’ + y” = 0
	
	e. 
y ’ + x cos x = 0
	
	
	
· Pergunta 9
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Determine a solução geral da equação diferencial x 2 y y’ – 2 x y 3
= 0:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
1 + 2 y lnx + c = 0
	Respostas:
	a. 
y lnx + c = 0
	
	b. 
1 + 2 y lnx + c = 0
	
	c. 
2 lnx + c = 0
	
	d. 
2 - y lnx + c = 0
	
	e. 
- y lnx + c = 0
 
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: B
Comentário:
Sabemos que x 2 y y’ – 2 x y 3
= 0 pode ser escrita como
Integrando cada membro da equação, temos:
	
	
	
· Pergunta 10
0,4 em 0,4 pontos
	
	
	
	Resolvendo a equação de valor inicial y’ = 6y com y(0) = 6, temos como solução:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
y = 6 e 6x
	Respostas:
	a. 
y = 6 e3x
	
	b. 
y = 6 e6x
	
	c. 
y =  e3x
	
	d. 
y = 3 e3x
	
	e. 
y = - 6 e3x
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta:  B
Comentário:
Reescrevendo a equação, temos:
Integrando cada membro da equação, temos:
A solução da equação é: y = 6 e6 x