Lista 05

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Matemática
Disciplina: Geometria Analítica AL
Profo Danilo Santos
5a Lista de Exercícios
Questão 1. Obtenha a equação paramétrica do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 3) e é paralelo aos
vetores ~u = (1, 3,−1) e ~v = 2~i− 2~j + ~k
Questão 2. Escreva as equações paramétricas e cartesianas do plano que passa pela origem e e paralelo
ao plano π : 5x+ 2y − 3z + 6 = 0
Questão 3. Determine as equações paramétricas do plano π que contém os ponto A = (7, 2,−3) e
B = (5, 6 − 4), e é paralelo ao eixo 0x. O ponto médio do segmento AB pertence a π? Justifique sua
resposta!
Questão 4. Determine a equação do plano π que contém o ponto A = (1,−2, 4) e é paralelo ao plano
x0z. A origem pertence a π? Justifique sua responta!
Questão 5. Obtenha a equação do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 2) e é paralelo aos vetores
~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1,−2). Obtenha 5 pontos que pertençam a esse plano.
Questão 6. Considere o plano π : 2x − y − 3z = −5. Determine o valor de m de modo que o ponto
P = (m,m+ 2, 2) pertença a π.
Questão 7. Obtenha um vetor unitário perpendicular ao plano π : 3x− y+ z = −4. Escreva as equações
paramétricas desse plano.
Questão 8. Obtenha um vetor perpendicular o plano π :

x = 2− 3t− s
y = 1 + t− 2s
z = −t− s
t, s ∈ R que tenha norma
igual a 15. Escreva a equação cartesiana desse plano.
Questão 9. Determine as equações paramétricas e cartesiana do plano que passa pelos pontos A =
(2, 1,−1), B = (0,−1, 1) e C = (1, 2, 1).
Questão 10. Determine as equação paramétricas do plano que passa pelos ponto P1 = (−1, 1 − 2),
P2 = (1, 2, 1) e P3 = (1, 4, 3). Verifique se os pontos A = (−1, 3, 0) e B = (1, 1,−2) pertencem a esse
plano.
Questão 11. Determine a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 3) e tem vetor
normal ~n = (3,−1, 2)
Questão 12. Encontre a equação cartesiana do plano que contém os ponto A = (2,−1, 3) e B = (3, 1, 2)
e é paralelo ao vetor ~v = 3~i−~j − 4~k.
Questão 13. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A = (2, 1,−1) e é ortogonal ao vetor
~v = ~i − 2~j + 3~k. Os pontos B = (−1, 1, 0) e C = (0, 1,−1, ) pertencem a esse plano? Justifique sua
resposta.
Questão 14. Escreva as equações paramétricas do plano π : 3x− y + 2z + 6 = 0
Questão 15. Considere o plano π :

x = 4− t+ 2s
y = 2 + t
z = 3t− s
t, s ∈ R. Determine sua equação cartesiana de
π.
Questão 16. Encontre as equações paramétricas e cartesianas do plano que contém os ponto P1 = (3, 1, 2),
P2 = (4,−1,−1) e P3 = (2, 0, 2).
Questão 17. Escreva as equações paramétricas e cartesiana dos plano coordenados x0y, x0z e y0z.
Questão 18. Determine a equação do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 0) e é perpendicular aos
planos π1 : 3x− y − 2z − 3 = 0 e π2 : 2x+ y − 3z + 1 = 0.
Questão 19. Encontre o ângulo entre o vetor ~u = (1,−1, 3) e e vetor normal ao plano π :
x = 2− 3t+ 2s
y = 1− 3t+ s
z = 3 + t− 2s
t, s ∈ R.
Questão 20. Escreva a equação do plano que contém o eixo 0z e um vetor na direção da bissetriz do
ângulo entre ~i e ~j.
Questão 21. Determine uma base ortonormal negativa {~u,~v, ~w} tal que ~u seja normal ao plano
2x− 5y + 4z − 3 = 0 e os vetores ~v e ~w sejam paralelos a esse plano.
Questão 22. Escreva a equação do plano contém os pontos A = (1,−1,−2) e B = (3, 1, 1) e é
perpendicular ao plano π : x− y + 3z = 5
Questão 23. Determine a equação do plano que passa pelo ponto A = (2, 1− 1) e é perpendicular a reta
r :

x = −4 + 3t
y = 1 + 2t
z = t
t ∈ R
Questão 24. Em cada caso abaixo determine a equação do plano que contém as retas:
(a) r1 :
{
y = 2x+ 1
z = −3x− 2
e r2 :

x = −1 + 2t
y = 4t
z = 3− 6t
t ∈ R
(b) r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 2
e r2 :

x = 1 + 3t
y = −1
z = 1 + 5t
t ∈ R
(c) r1 : x−12 =
y+2
3
= z−3−1 e r1 :
x−1
−2 =
y+2
−1 =
z−3
2
2
Questão 25. Encontre a equação do plano que contém o ponto P0 = (3,−2 − 1) e a reta
r :
{
x+ 2y + z − 1 = 0
2x+ y − z + 7 = 0
Questão 26. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto A = (1, 2, 3) e é perpendicular aos planos
π1 : 2x− y + 3z = 0 e π2 : x+ 2y + z − 1 = 0.
Questão 27. Obtenha a equação do plano que passa pelo ponto A = (2, 2,−1) e é paralelo aos eixos 0x
e 0y.
Questão 28. Escreva a equação do plano que passa pelo eixo 0z e pelo ponto A = (4, 3, 1)
Questão 29. O ponto A = (2,−1,−1) é o pé da perpendicular baixada da origem a um plano. Ache a
equação desse plano.
Questão 30. Determine a equação do plano que contém ponto A = (4, 0, 1) e é perpendicular aos planos
π1 : 2x− 4y − 4z = 0 e π2 : x+ y + 2z − 3 = 0.
Questão 31. Mostre que um plano π : ax+ by + cz + d = 0 passa pela origem, então d = 0. A reciproca
desta afirmação é verdadeira? Justifique sua resposta!
Questão 32. Encontre a equação de reta que passa pelo ponto P0 = (1,−1, 1) e é peralela a reta interseção
dos plano π1 : 3x− y + z = 0 e π2 : x+ 2y − z = 0
Questão 33. Dados os pares de plano determine sua posição relativa, a reta interseção (caso exista) e o
ângulo.
(a) π1 : x+ 2y + z − 10 = 0 e π2 : 2x+ y − y + 1 = 0
(b) π1 : 2x+ 3y + 3z − 5 = 0 e π2 : −4x− 6y − 6z + 2 = 0
(c) π1 : 3x− y + 3z − 9 = 0 e π2 : 2x− 23y + 2z = 6
(d) π1 : 6x+ 3y − 2z = 0 e π2 : x+ 2y + 6z = 12
(e) π1 : 2x+ y − z − 1 = 0 e π2 : 3x− 5y + z = 4
(f) π1 : 2x− 2y + 6z = 6 e π :

x = −3t− s
y = −s
z = t
t, s ∈ R
(g) π1 : 3x+ 6y = 27− 3z e π2 : 2x+ 2y + 2z = 14
(h) π1 : 2x− y + z − 3 = 0 e π2 : x+ 3y + 2z + 4 = 0
(i) π1 : 2x+ y − 2 = 0 e π2 : z = 5
Questão 34. Determine o valor de a e b de modo que os planos π1 : ax + by + 4z − 1 = 0 e
p2 : 3x− 5y − 2z + 5 = 0 sejam paralelos.
Questão 35. Determine o valor dem de modo que os planos π1 : 2mx+2y−z = 0 e p2 : 3x−my+2z−1 = 0
sejam ortogonais.
3
Questão 36. Determine o valor dem de modo que os planos π1 : x+my+2z−7 = 0 e p2 : 4x+5y+3z−2 = 0
formem um ângulo de 30o.
Questão 37. Em cada item abaixo determine a posição relativa, interseção (caso exista) e o ângulo entre
a reta r e o plano π
(a) r : x−2
3
= y−4 =
z+1
5
e π : 2x− y + 7z − 1 = 0
(b) r :
{
y = −2x
z = 2x+ 1
e π : x− y + 5 = 0
(c) r :

x = −8 + 15t
y = 5− 9t
z = 0
t ∈ R e 3x+ 5y − 1 = 0
(d) r : x− 3 = y−2
2
= z−2
4
e π :

x = 5− 2t
y = 1− t+ 4s
z = 2 + t− 2s
t, s ∈ R
(e) r :

x = 2− t
y = 1 + 2t
z = 1 + t
t ∈ R e π :

x = 1− p− 4q
y = −2 + 2p− 8q
z = 1 + p− q
p, q ∈ R
(f) r :

x = 1 + 2t
y = 2− t
z = 3 + t
t ∈ R e π : x− 2y − 4z + 5 = 0.
Questão 38. Ache a interseção do plano π : 3x+ 2y − z = 5 com os eixos coordenados.
Questão 39. Determine o valor dem de modo que a reta r : x+1
3
= y−2
m
= z+3
2
e o plano π : x−3y+6z+7 =
0 sejam:
(a) paralelos
(b) concorrentes
(c) r esteja contido em π
Questão 40. Encontre a distância do ponto P0 = (−1, 2, 1) as retas encontradas na Questão 9 da 4o
Lista de Exercícios.
Questão 41. Calcule a distância do ponto P0 = (−3,−1, 1) aos planos encontrado nos itens Questão
24, Questão 25 e Questão 26 desta lista.
Questão 42. Determine a distância entre os pares de retas abaixo
(a) r1 : x−26 =
y+1
4
= z−3−4 e r2 : r2 :
x−1
9
= y−2
6
= z+3−6
(b) r1 :

x = −2 + 2t
y = −3t
z = 1 + 4t
t ∈ R e r2 :

x = 3 + s
y = 1 + 4s
z = 2s
s ∈ R
4
(c) r1 :

x = 2 + 6t
y = −1 + 4t
z = 3− 4t
t ∈ R e r2 :

x = 8 + 9s
y = 3 + 6s
z = −1− 6s
s ∈ R
(d) r1 :

x = 1
y = t
z = 1
t ∈ R e r2 :

x = s
y = 0
z = 1
s ∈ R
(e) r1 : x− 3 = z−27 ; y = 4 e r2 :
x−6
2
= z−4
14
; y = 8
(f) r1 :

x = 1 + 3t
y = 2 + 5t
z = 1 + 7t
t ∈ R e r2 :

x = 7 + 6s
y = 12 + 10s
z = 6 + 14s
s ∈ R
(g) r1 : x+ 1 = y−12 ; z = 5 e r1 :

x = 1 + 4n
y = 5 + 2n
z = 2 + 3n
n ∈ R
Questão 43. Calcule a distancia entre os plano da Questão 33 desta lista.
Questão 44. Calcule a distância entre a reta r e o plano π dados nos itens da Questão 37 desta lista.
Questão 45. Determine a equação da reta r que intersecta ortogonalmente as retas r1 :
x = 2 + t
y = 3 + 5t
z =5 + 6t
t ∈ R e r2 :

x = 1 + 3s
y = s
z = −7 + 2s
s ∈ R
Divirta-se!!!
5