Nota de aula_Capítulo 1_2020_1

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Andréa Regina Dias da Silva DECIV|EM|UFOP CIV209|Teoria das Estruturas II 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
Neste capítulo será feito um resumo sobre conteúdos já tratados em outras disciplinas do 
curso, tais como Teoria das Estruturas I e Resistência dos Materiais, para enfatizar assuntos 
ou termos que serão necessários em todos os outros capítulos. Portanto, considera-se que 
esse capítulo seja de conhecimento prévio do leitor e, por isso, será brevemente apresentado. 
Em todo desenvolvimento, admite-se que as estruturas apresentam comportamento elástico 
linear, ou seja, o material obedece a lei de Hooke. 
 
1.1 GENERALIDADES 
Uma estrutura é considerada hiperestática quando apresenta vínculos externos (reações de 
apoio) ou internos (esforços internos) excedentes em relação ao número de equações de 
equilíbrio. Considera-se vínculo externo uma condição externa que garante o equilíbrio da 
estrutura restringindo deslocamentos em alguma posição, e vínculo interno é uma condição 
estabelecida para ligação entre as partes da estrutura. Para solução de uma estrutura 
hiperestática, além das equações de equilíbrio da estática, equações adicionais provenientes 
da deformação da estrutura devem ser utilizadas. Por esse motivo, uma estrutura 
hiperestática é também referida como estrutura estaticamente indeterminada. 
O objetivo deste curso é basicamente estudar os métodos de análise de estruturas reticuladas 
hiperestáticas direcionados para solução manual. A análise estrutural consiste na idealização 
do comportamento da estrutura através da determinação de reações de apoio, esforços 
internos e deslocamentos. Atualmente faz-se uma simulação computacional do 
comportamento estrutural com o uso de recursos de computação gráfica para visualização 
da resposta. Trata-se da fase preliminar ao dimensionamento. 
 
1.2 ESTRUTURAS RETICULADAS 
As estruturas reticuladas são aquelas constituídas por barras. As barras são elementos com 
um eixo claramente definido. A análise do comportamento global ou parcial da estrutura 
usando elementos de barras é bastante comum na prática da Engenharia Estrutural. A 
Figura 1.1 mostra dois sistemas nos quais os elementos estruturais são idealizados por barras. 
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Tem-se um esqueleto de um edifício (Figura 1.1a) e a estrutura de uma cobertura (Figura 
1.1b). Nos dois casos verifica-se a representação tridimensional para as estruturas. Destaca-se 
que, aqui, apenas problemas planos serão estudados. 
Dentre os modelos de estruturas reticuladas planas, será dada atenção aos pórticos, às vigas 
e às treliças. Os pórticos, também chamados quadros, são estruturas formadas por uma 
associação de elementos estruturais. 
 
 
 
(a) Estrutura de um edifício (b) Estrutura de uma cobertura 
Figura 1.1. Idealização de sistemas estruturais reticulados 
 
Na Figura 1.2a é exibida a geometria básica de um pórtico formado por três barras. A barra 
horizontal é chamada viga e as duas barras verticais são as colunas. Tanto a viga quanto a 
coluna são elementos estruturais reticulados, porém com características distintas na prática. 
O eixo das barras é uma reta formada por um conjunto de pontos, na qual cada um deles 
representa o centroide das infinitas seções transversais do modelo. É bastante comum na 
análise estrutural focar em algumas seções transversais principais. Através de cálculos 
efetuados nessas posições, pode-se obter a resposta desejada para toda estrutura. Tais seções 
são chamadas nós. Na Figura 1.2a quatro nós (centroide das seções transversais) estão em 
destaque: A, B, C e D. Os nós A e B representam as seções das extremidades do modelo, 
enquanto os nós C e D fazem a ligação entre a viga e as colunas. 
Esse pórtico está sendo submetido a dois tipos de carregamentos: carga uniformemente 
distribuída q (modelo usado para representar o peso do elemento estrutural ou de uma outra 
estrutura ou elemento fixo sobre a viga) e uma força horizontal concentrada P no topo da 
coluna esquerda, que pode estar indicando, como exemplo, a ação do vento na estrutura. 
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Ressalta-se que as cargas podem ser permanentes — tem posição fixa e atua durante toda a 
vida útil da estrutura —, acidentais — com posição fixa, mas com duração intermitente —, 
ou móveis — possui posição variável e duração intermitente. Essas últimas serão consideradas 
no capítulo final do curso. 
 
 
 
(a) Geometria e carregamento (b) Configuraçaõ deformada 
Figura 1.2. Pórtico plano: elementos principais e configuração deformada 
 
Num elemento estrutural define-se grau de liberdade de uma seção como os deslocamentos 
possíveis de ocorrer. Os graus de liberdade dependem da solicitação atuante no modelo. Para 
o pórtico plano os graus de liberdade são três: duas translações nas direções dos eixos globais 
X e Y, respectivamente, e uma rotação em torno do eixo Z. Na Figura 1.2b os graus de 
liberdade estão destacados para as quatro seções principais (os quatro nós do modelo). A 
linha tracejada na figura representa a nova configuração da estrutura após a ação do 
carregamento sobre ela. Essa configuração respeita as condições de continuidade do modelo 
e serão comentadas durante os demais capítulos. As translações dos nós estão indicadas por 
∆, e a rotação pela letra grega θ. A rotação é representada marcando o ângulo que a tangente 
à configuração deformada faz com o eixo indeformado da barra. 
Os nós de extremidade apresentam restrição de deslocamentos. Observe ainda na 
configuração deformada exibida na Figura 1.2b que, a seção A não sofre nenhum 
deslocamento (os três graus de liberdade estão impedidos), já a seção B sofre apenas uma 
rotação (os outros dois graus de liberdade estão impedidos). Isso é possível com o uso de 
elementos que são usados para garantir a estabilidade de um modelo estrutural através da 
q
P
A B
C D
X
Y
Y
C∆
X
C∆
X
D∆
Y
D∆
Cθ Dθ
Bθ
BXR
BYR
AXR
AYR
A B
C D
AM
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restrição de alguns graus de liberdade. Tais elementos são os apoios. Na figura tem-se um 
apoio do 3º gênero em A (restrição dos três graus de liberdade) e um apoio do 2º gênero em 
B (restrição de dois graus de liberdade). Para impedir uma translação ou rotação, o meio 
externo (elemento de apoio) exerce uma força ou momento sobre a estrutura na direção do 
grau de liberdade com restrição, chamada reação de apoio. Então, em A, vê-se três reações 
(RAX, RAY e MA), enquanto em B, apenas duas (RBX e RBY). 
Em cada seção transversal são determinados, numa análise estrutural, os esforços internos, 
que são forças e momentos de ligação entre as partes da estrutura. Os esforços internos 
podem ser representados através de uma resultante de força e de momento. Porém, é comum 
decompor essas resultantes na direção dos eixos coordenados. Além disso, são calculados a 
nível de seção transversal, ou seja, em cada seção se desenvolvem esforços internos em função 
do deslocamento que ali ocorre. 
Os esforços internos surgem para garantir a compatibilidade de deformação do modelo e 
dependem, portanto, dos graus de liberdade do elemento estrutural. Antes de definir esses 
efeitos, faz-se necessário indicar o sistema de coordenadas local a ser utilizado em cada 
elemento estrutural que compõe o modelo. A Figura 1.3 exemplifica esse sistema representado 
em um elemento estrutural de seção transversal retangular. A reta x é o eixo da barra, ou 
seja, o eixo que contém os centroides das seções transversais desse elemento. Os eixos y e z 
são os eixos da seção transversal. Destaca-se que as seções transversais são perpendiculares 
ao eixo local da barra, eixo x. Qualquer plano de corte perpendicular ao eixo x definirá uma 
seção transversal. 
 
 
Figura 1.3. Definição do sistema de coordenadaslocal no elemento reticulado 
 
Como os graus de liberdade de um pórtico plano são três, os esforços internos desenvolvidos 
z
y
x
seção
transversal
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nas seções transversais também são três. Para o cálculo a nível de seção transversal, 
considera-se os graus de liberdade em relação ao sistema de coordenadas local. Dessa forma 
os seguintes esforços internos são definidos: 
• Esforço Normal (N): Força na direção do eixo longitudinal da barra. Surge em função do 
alongamento ou contração, ∆x, do elemento estrutural. 
• Esforço Cortante (V): Força na direção do eixo y da seção transversal em decorrência do 
cisalhamento, ∆y, do elemento estrutural na posição correspondente à respectiva seção. 
• Momento fletor (M): Momento que atua em torno do eixo z devido à rotação, θz, da seção 
transversal, o que gera a flexão do elemento estrutural. Esse é o esforço interno mais 
relevante num pórtico. 
Para cálculo dos esforços internos é necessário ter a garantia da estabilidade do modelo 
estrutural (a estrutura deve estar em equilíbrio estático, ou seja, as cargas externas e as 
reações de apoio precisam estar em equilíbrio, com a estrutura em repouso e sem vibração). 
Definida a posição na estrutura na qual se deseja obter os esforços internos é preciso 
estabelecer uma seção de corte perpendicular ao eixo local x do elemento estrutural para 
separar a estrutura em duas partes. 
Na Figura 1.4a ilustra-se o corte (linha tracejada) na posição S da viga, ou simplesmente na 
seção transversal S. Na Figura 1.4b estão as duas partes obtidas a partir desse corte. Verifica-
se a consideração de todas as cargas aplicadas e forças reativas nas duas porções da estrutura. 
Em cada uma dessas partes, na seção S, indicam-se os esforços internos definidos 
anteriormente. O sentido indicado é o sentido positivo desses esforços: N é positivo se 
provocar o alongamento ou tração do elemento estrutural, V é positivo se o momento gerado 
por esse esforço em relação a qualquer ponto da porção considerada girar no sentido horário, 
e o momento M é positivo se tracionar as fibras inferiores da seção. Os esforços internos 
representam o efeito estático das forças atuantes em uma das porções agindo sobre a outra. 
Destaca-se que para uma estrutura reticulada, a atuação dos esforços internos é no centroide 
da seção transversal. 
Para cálculo dos esforços internos basta estabelecer o equilíbrio estático ( 0Σ =xF , 0Σ =yF e 
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0SMΣ = ) de uma das partes isoladas. Ressalta-se que esse é o procedimento adotado quando 
se tem uma estrutura isostática. Para as estruturas hiperestáticas, muitas vezes esse 
procedimento não é viável, as etapas da análise estrutural não seguem o caminho comumente 
utilizado para uma estrutura isostática. 
 
 
 
(a) Seção transversal (b) Esforços internos N, V e M atuando na seção S 
Figura 1.4. Esforços internos em um pórtico simples 
 
A Figura 1.5 exemplifica uma situação onde a aplicação direta das equações de equilíbrio 
não é suficiente para o cálculo dos esforços internos. Mostra um pórtico de dois pavimentos 
e objetiva-se calcular os esforços internos numa seção S1 da viga do primeiro pavimento. 
Sabe-se que o procedimento inicial é isolar uma parte da estrutura de outra. Isso se consegue 
estabelecendo uma seção de corte perpendicular ao eixo da barra na qual essa seção se 
encontra. Observe que, para isolar duas partes, tal seção deve ser prolongada até atingir a 
viga superior. Sendo assim, duas barras são cortadas, e duas seções são definidas: S1 e S2. 
Na Figura 1.5b indicam-se os esforços internos desenvolvidos nas duas seções transversais. 
Tem-se seis incógnitas (N, V e M com subíndices 1 e 2) e, sendo assim, a aplicação das três 
equações de equilíbrio não são suficientes para determiná-los. Trata-se de um problema 
estrutural onde os vínculos internos são excedentes em relação ao número de equações de 
equilíbrio da estática. Há então a necessidade de equações adicionais que considerem a 
deformabilidade da estrutura para cálculos desses esforços. Quando isso acontece a estrutura 
é dita hiperestática. 
q
P
A B
C DS
seção de corte
P
A
C
q
B
D
N N
V V
M M
S S
q
AXR
AYR
AM
BXR
BYR
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Um elemento importante nas estruturas aporticadas são as ligações entre vigas e colunas. 
Vários são os procedimentos adotados para a ligação entre esses membros, mas no geral as 
ligações podem ser classificadas como: rígidas, rotuladas ou articuladas, e semirrígidas. 
 
 
(a) Seções de corte (b) Esforços internos 
Figura 1.5. Esforços internos em um pórtico de mais de um pavimento 
 
A Figura 1.6 ilustra um pórtico onde as ligações da viga com a coluna são feitas através de 
uma ligação rígida (à esquerda) e outra rotulada (à direita). Perceba através da visualização 
da Figura 1.6b que, após a atuação do carregamento, o ângulo entre a viga e a coluna da 
esquerda permanece como na configuração indeformada, ou seja, 90o. Nesse caso ocorre a 
transferência total de momento da viga para coluna (Figura 1.6c). 
 
 
(a) Pórtico indeformado (b) Deformada (c) Momento fletor 
Figura 1.6. Ligação viga-coluna rígida e articulada 
 
q
P
1
S
seção de corte
q
P
2
S
P N2
V2
M2
2
S
q
P N1
V1
M1
1
S
q
Ligação
rígida
Ligação
articulada
Iguais
M = 0
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Já para a ligação articulada, esse ângulo, inicialmente reto, se altera. A função da ligação 
articulada ou rótula numa estrutura é liberar a rotação da seção transversal. Sendo assim, o 
comportamento estrutural dos membros interligados é independente. Como a rotação está 
liberada, o momento fletor nessa seção é nulo (Figura 1.6c). Esses dois tipos de ligação são 
uma idealização bastante comum na análise estrutural mas, na prática, todas as ligações são 
semirrígidas, ou seja, um caso intermediário entre a ligação perfeitamente rígida e a 
idealmente rotulada. A incorporação do comportamento semirrígido de uma ligação é fonte 
de estudos experimentais e teóricos em cursos de pós-graduação, portanto, não será tratada 
aqui. 
As vigas também são elementos reticulados numa direção única, a direção horizontal. Em 
geral, as cargas aplicadas na viga são perpendiculares ao eixo longitudinal ou momentos em 
torno no eixo z. Os graus de liberdade são dois e definidos em função dessas solicitações: 
translação na direção Y e rotação em torno do eixo Z. Portanto, têm-se dois esforços internos: 
esforço cortante e momento fletor. A Figura 1.7 ilustra alguns tipos de vigas e a nomenclatura 
utilizada para representá-las. Tem-se a viga isostática biapoiada (um apoio do 2º gênero 
numa extremidade, e outro do 1º gênero em outra) na Figura 1.7a, e em 1.7b mostra-se uma 
extensão dessa anterior onde as extremidades estão em balanço. 
O balanço (ou viga engastada-livre) é esquematizado na Figura 1.7c. Trata-se de uma 
estrutura isostática com um apoio do 3º gênero em uma das extremidades e livre na outra. 
Ressalta-se que se pode analisar a viga 1.7b como uma associação de três vigas mais simples: 
um balanço, uma viga biapoiada central, e outro balanço. A viga com três vãos (distância 
de apoio a apoio) da Figura 1.7d é chamada viga contínua. 
Por fim, na Figura 1.7e é exibida uma viga Gerber. A viga Gerber é o tipo de viga utilizada 
em pontes e viadutos. Pode-se observar a presença de ligações articuladas, as juntas de 
separação ou dilatação, que permitem que as partes da estrutura se comportem de forma 
independente. Alguns elementos nessa viga estão destacados. Tem-se os “dentes Gerber” que 
permitem o apoio simples de um trecho da estrutura sobre outro, e mostra-se também o 
esquema de uma junta sob apoio. Esseapoio pode ser, por exemplo, um pilar ou coluna. 
Cabe ressaltar que é mais comum, nas estruturas que serão estudadas nesse curso, liberar a 
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rotação de uma seção transversal e usar o pequeno círculo para representar tal ação. 
Entretanto, os demais graus de liberdade podem ser liberados e uma simbologia para cada 
caso é usada e encontrada na literatura. 
 
 
(a) viga biapoiada (b) viga biapoiada com extremidades em balanço 
 
(c) viga em balanço (engastada-livre) (d) viga contínua 
 
(e) viga Gerber (viga de pontes e viadutos) 
Figura 1.7. Tipos de vigas 
 
Numa treliça as ligações entre as barras são articuladas, e definem os nós. Para análise, o 
carregamento nessa estrutura é todo transferido para os nós. O único grau de liberdade da 
treliça é o deslocamento axial, ou seja, o alongamento ou contração de cada barra. Sendo 
assim, o esforço interno associado a tal grau de liberdade é o esforço normal. O cálculo dos 
esforços normais nas barras de uma treliça isostática é feito através do Método do Equilíbrio 
dos Nós, ou o Método das Seções. Na Figura 1.8b e 1.8c mostra-se os sentidos positivo e 
negativo para o esforço normal na barra CD caracterizando, respectivamente, o esforço de 
tração e compressão nessa barra. Como todos os nós são articulados, os apoios numa treliça 
são do primeiro ou segundo gênero. 
Falando um pouco sobre a geometria de uma treliça, a disposição das barras na forma de 
um triângulo define uma configuração estável. A Figura 1.9 ilustra as geometrias de três 
juntas de separação
junta sob apoio dentes Gerber
pilar
neoprene
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treliças nas quais se observa ou não a disposição triangular das barras. A treliça da Figura 
1.9a, na qual a disposição das barras é retangular, caracteriza uma estrutura instável. Nas 
outras duas, Figuras 1.9b e 1.9c, têm-se treliças estáveis, sendo possível observar a disposição 
triangular das barras. Mais adiante, no próximo capítulo, essa geometria e a estabilidade da 
treliça será estudada com mais detalhe. 
 
 
 
(a) Treliça plana (b) Esforço de tração (c) Esforço de compressão 
Figura 1.8. Treliça plana: geometria e esforço normal nas barras 
 
 
(a) Instável (b) Estável (c) Estável (redundante) 
Figura 1.9. Geometria da treliça: disposição das barras 
 
Outros tipos de estruturas reticuladas (grelhas, pórticos espaciais, arcos e cabos) não serão 
discutidos aqui pois não se tratará da análise de tais sistemas estruturais. 
 
1.3 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE 
Na análise de estruturas hiperestáticas serão usadas condições de equilíbrio e de 
compatibilidade na obtenção da resposta estrutural. A condição de equilíbrio garante o 
equilíbrio estático da estrutura. São condições necessárias, mas não suficientes para 
determinação dos efeitos elásticos. As relações de compatibilidade são condições geométricas 
que garantem a continuidade do modelo estrutural, e são estabelecidas através de relações 
entre deslocamentos e deformações. 
A B
C
D E
N
N
D
C N
N
D
C
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Nos métodos de análise de estruturas hiperestáticas, se as variáveis forem forças, a 
indeterminação é dita estática. Caso as incógnitas sejam deslocamentos, a indeterminação é 
cinemática. 
 
1.4 RELAÇÕES ENTRE DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS 
Para se obter as relações entre deformações e deslocamentos considere um elemento de barra 
de seção transversal qualquer como ilustrado na Figura 1.10 a seguir. A partir dessa barra 
será extraída uma parte de comprimento dx. Essa porção é representada pela região 
hachurada na figura. Considere dx muito pequeno. A partir do elemento diferencial serão 
estabelecidas as relações entre deformações e deslocamentos. 
 
 
Figura 1.10. Elemento infinitesimal de barra 
 
Inicialmente, considere que a barra esteja submetida a solicitações axiais centradas (aplicadas 
no centroide ou centro de gravidade da seção transversal). Nesse caso, as seções transversais 
sofrem deslocamento axial e, portanto, define-se a deformação longitudinal, εx, através da 
relação: 
x
du
dx
ε = (1.1) 
na qual du representa o deslocamento axial relativo, e dx é o comprimento inicial do elemento 
como mostra a Figura 1.11. 
Quando se tem a flexão da seção transversal, ou seja, a presença do momento fletor, também 
se define a deformação longitudinal. Nesse caso, considerando que as seções permanecem 
planas e indeformadas após a deformação, a expressão pode ser obtida através da análise da 
Figura 1.12a. Nessa figura, mostra-se a rotação dθ sofrida pela seção transversal da direita. 
Observe que a seção transversal da esquerda permanece na posição original para simplificar 
y
x
z
CG
dx
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os cálculos. Verifica-se ainda que as fibras do elemento sofrem diferentes alterações de 
comprimento. Considere então uma fibra distante y do centroide, de forma que: 
tand
y
δ
θ = (1.2) 
Considerando pequenos deslocamentos, assume-se que tan dθ l dθ e, portanto, 
d yd
y
δ
θ= ∴δ = θ (1.3) 
em que δ representa o alongamento sofrido pela fibra distante y do eixo que passa pelo 
centroide. Assim, usando (1.3) define-se a deformação longitudinal por flexão: 
x
d
y
dx dx
δ θ
ε = = (1.4) 
 
 
Figura 1.11. Deformação longitudinal provocada por esforço axial 
 
Por outro lado, a relação entre a distorção por efeito cortante e o deslocamento transversal 
pode ser encontrada através da Figura 1.12b. Pode-se escrever: 
tan
dh dh
dx dx
γ = ∴γ = (1.5) 
sendo γ a distorção, e dh o deslocamento transversal relativo. 
 
 
 
(a) Deformação por flexão (b) Deformação por esforço cortante 
Figura 1.12. Deformações nas barras 
dx du
u du+
u
dx dθ
δ
y
x
dx
γ
dh
x
dh
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1.5 RELAÇÕES ENTRE ESFORÇOS INTERNOS E DESLOCAMENTOS 
Para estabelecer as relações entre os esforços internos e os deslocamentos, considere que o 
material tenha comportamento elástico linear e a lei de Hooke é válida, ou seja, 
x xEσ = ε (1.6) 
Para o esforço normal na seção transversal e considerando as relações (1.1) e (1.6), tem-se: 
x
N N du
E
A A dx
σ = ∴ = (1.7) 
Dessa relação, chega-se a: 
N
du dx
EA
= (1.8) 
na qual E é o módulo de elasticidade longitudinal, A é a área da seção transversal e o termo 
EA é chamado rigidez axial. 
Para o momento fletor, usando a expressão para a tensão na flexão, e as relações (1.3) e 
(1.6), vem: 
x
z z
My My d
Ey
I I dx
θ
σ = ∴ = (1.9) 
Assim, a relação entre a rotação relativa e o momento fletor é dada por: 
z
M
d dx
EI
θ = (1.10) 
sendo Iz o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo z, e o termo EI é 
chamado rigidez à flexão. 
Como já destacado, admite-se que o material tem comportamento elástico linear. Portanto, 
pode-se também usar a relação linear entre a tensão cisalhante e a deformação por 
cisalhamento, ou seja, 
Gτ = γ (1.11) 
onde G é o módulo de elasticidade transversal ou módulo de cisalhamento. 
Usando a expressão para calcular a tensão cisalhante nos problemas de flexão de barras, e a 
Equação (1.5) em (1.11) tem-se: 
�
1τ
τ = ∴ = = ⋅
τ
z
dh VQ
G dh dx dx
dx G bI G
 (1.12) 
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com, 
fV
dh dx
GA
= (1.13) 
em que f é o fator de forma da seção transversal, e Q é o momento estático da área da seção. 
Aqui o termo GA é a rigidez ao cisalhamento. 
Percebe-se que as relações entre deslocamento e esforço interno, Equações (1.8), (1.10) e 
(1.13), podem ser sintetizadas na seguinte expressão: 
esforço
deslocamento dx
rigidez
= (1.14) 
 
1.6 DESLOCAMENTOS PROVOCADOS POR VARIAÇÃO DE TEMPERATURAQuando uma estrutura é exposta a uma condição que altera a sua condição térmica, ou seja, 
sofre aquecimento ou resfriamento, ocorre a sua deformação. Quando a distribuição de 
temperatura é uniforme ao longo de todas as fibras, a barra se desloca na direção do seu eixo 
longitudinal. Nesse caso, define-se, o deslocamento axial como: 
Tdu Tdx= α∆ (1.15) 
na qual α é o coeficiente de dilatação térmica e ∆T é a variação de temperatura. 
Porém, quando a variação de temperatura não é uniforme, como mostra a Figura 1.13, ocorre 
a flexão da barra com a rotação da seção. Considere que a fibra mais inferior sofre um 
acréscimo de temperatura ∆Ti, e a mais superior um aquecimento ∆TS. Tais fibras sobrem 
então um alongamento de intensidade α∆Tidx e α∆TSdx, respectivamente. Percebe-se então 
a rotação da seção transversal, que pode ser calculada através da expressão: 
( )i ST T Td dx
h
α ∆ −∆
θ = (1.16) 
sendo h a altura da seção transversal. 
Como o deslocamento axial provocado por uma alteração na temperatura pode ser variável 
ao longo das fibras, tal grandeza é medida pela fibra que passa pelo centroide da seção, ou 
seja, 
T
CGdu T dx= α∆ (1.17) 
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Figura 1.13. Variação de temperatura na barra 
 
1.7 PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS 
O Princípio das Forças Virtuais (PFV) será a ferramenta utilizada para cálculo de 
deslocamentos em estruturas. Tal princípio trabalha com um sistema real, e um sistema 
auxiliar (sistema virtual). O sistema real é a estrutura da qual se quer calcular um 
deslocamento ou rotação. O sistema virtual faz uso da mesma estrutura do sistema real, mas 
com solicitações diferentes. As cargas externas no sistema virtual são força (ou momento) 
na direção do deslocamento que se quer determinar. 
O PFV estabelece que o trabalho das forças externas virtuais ( EW ) com os correspondentes 
deslocamentos externos reais deve ser igual à energia interna de deformação virtual (U ) 
armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos virtuais com os 
correspondentes deslocamentos relativos internos reais, ou seja, 
EW U= (1.18) 
. . .estrut estrut estrut
P Ndu Md Vdh∆ = + θ +   (1.19) 
em que ∆ é deslocamento (ou rotação) a ser obtido(a) no sistema real, , e N M V são, 
respectivamente, o esforço normal, momento fletor e esforço cortante no sistema virtual 
provocados por P , que é a carga virtual genérica associada ao deslocamento (ou rotação) a 
ser calculado conforme mostra a Figura 1.14b a seguir. 
Substituindo as Equações (1.8), (1.10) e (1.13) em (1.19) chega-se à expressão a ser utilizada 
quando se tem carregamentos aplicados (peso próprio, carga de vento, cargas de ocupação, 
dx
Tdθ
ST∆
h
x
TduiT∆
ST dxα∆
iTdxα∆
y
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cargas móveis, entre outras) como ilustra a Figura 1.14 a para uma estrutura isostática: 
. . .estrut estrut estrut
N M fV
P N dx M dx V dx
EA EI GA
∆ = + +   (1.20) 
sendo N, M e V são, respectivamente, o esforço normal, momento fletor e esforço cortante 
no sistema real provocados pelo carregamento externo. 
 
 
(a) Sistema Real (Estado de Deformação) 
N, V e M 
(b) Sistema Virtual (Estado de Carregamento) 
, , N M V e reações 
 
(c) Sistema Real (Estado de Deformação) 
Solicitação Térmica 
(d) Sistema Real (Estado de Deformação) 
Solicitação: Recalque de Apoio 
Figura 1.14. Cálculo de deslocamento através do PFV 
 
Quando se tem variação de temperatura na estrutura isostática, ou seja, uma solicitação 
térmica como ilustra Figura 1.14c, a equação para cálculo de deslocamento ou rotação, 
usando (1.19) com (1.16) e (1.17), é: 
( )
. .
i S
CG
estrut estrut
T T
P N T dx M dx
h
α ⋅ ∆ − ∆
∆ = ⋅α ⋅ ∆ ⋅ + ⋅ ⋅  (1.21) 
Já para solicitações dadas por recalques de apoio conforme mostra a Figura 1.14d, a 
expressão para cálculo de deslocamento ou rotação em uma estrutura isostática é: 
q
S
m
P
S
m
1=P
iT∆
ST∆
S
m
S
m
ρ
Andréa Regina Dias da Silva DECIV|EM|UFOP CIV209|Teoria das Estruturas II 
 
 
recalques
P R∆ = −  ⋅ρ  (1.22) 
em que ρ representa um recalque de apoio genérico na estrutura real, e R , que é a reação de 
apoio no sistema virtual correspondente ao recalque real ρ. 
Importante esclarecer que em uma estrutura isostática com solicitações devido à variação de 
temperatura ou recalque de apoio nenhum esforço interno é desenvolvido. Além disso, as 
forças reativas virtuais só podem gerar trabalho se houver um recalque nessa posição como 
em (1.22).