AULA 01

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FUNÇÕES IMPLÍCITAS E EXPLÍCITAS
 Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se 
apresentam de forma explícita: y = f(x), isto é, uma das variáveis é fornecida 
de forma direta ( explícita ) em termos da outra.
 y = 4x - 5
 Por exemplo: s = -25t² - 18t
 u = 9w – 35w²
 Nelas dizemos que y, s, e u são funções de x, t e w, EXPLICITAMENTE. 
Muitas funções, porém, apresentam-se na forma implícita, veja o exemplo 
abaixo:
● Ache a derivada 
 
 
 da função xy = 1. 
FUNÇÕES IMPLÍCITAS E EXPLÍCITAS
quarta-feira, 10 de fevereiro de 2021 17:12
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Este processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, 
o que não ocorre, por exemplo, com y4 + 3xy + 2lny = 0.
 Para tanto, podemos utilizar um método chamado DERIVAÇÃO 
( OU DIFERENCIAÇÃO ) IMPLÍCITA, que nos permite derivar uma função sem a 
necessidade de explicitá-la.
 
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FUNÇÕES ALGÉBRICAS E FUNÇÕES TRANCENDENTES
segunda-feira, 22 de fevereiro de 2021 08:39
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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
 Esta derivação é feita em relação a x. Resolvendo normalmente as derivadas 
que envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos 
a Regra da Cadeia, uma vez que y é uma função de x.
Exemplos :Derivar y em função de x
1 ) 2x + y³=0
1 ) 2x + y³=0
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
quarta-feira, 10 de fevereiro de 2021 17:16
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2 ) x + 3y = 3
 
3 ) xy²=0
 
4 ) 4x² + 9y² = 36
 
5 ) x4 + y4 + x² + y² + x + y = 1
6 ) x²y5 = y + 3
7 ) x² + y² = 1
8 ) x² + 5y³ - x = 5
9 ) x³ - y³ - 4xy = 0
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8 ) x² + 5y³ - x = 5
9 ) x³ - y³ - 4xy = 0
10 ) x²y + 3xy³ - 3 = x
11 ) x² + 4y² = 4
12 ) y³ + y² - 5y – x² = -4
13 ) x -
 
 
 = 2
14 ) x³y³ - y = x
15 ) 
 
 
 
 
 
 
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Função Exponencial
A Função Exponencial é uma função 
 definida por onde 
a lR , a > 0 e a 1.
O gráfico de f(x) = ax depende do valor da base a.
 a > 1 
 função crescente
Função Exponencial
quarta-feira, 10 de fevereiro de 2021 17:18
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 0 < a < 1
função decrescente
 A fórmula f(t) = fo at gera uma família de funções exponenciais com parâmetro fo 
e base a. A base tem a mesma importância para uma função exponencial do que a 
declividade tem para uma função linear. 
O crescimento ou decaimento exponencial é descrito com frequência em forma de 
porcentagem. Por exemplo, se uma população está aumentando 20%, o fator de 
crescimento é a = 1 +
 
 
 = 1 + 0,20 = 1,2. De modo análogo, se uma população está 
diminuindo 20%; o fator de decaimento é a = 1 -
 
 
 = 0,8.
Ex 01- Suponha que exista inicialmente 1 bactéria em certa cultura. Sabendo que a 
cada hora o número de bactérias duplica, escreva a lei da função que relaciona o 
número de bactérias com o tempo em horas.
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Ex 02 - A pressão que a camada de ar exerce sobre um corpo, ao nível do mar, é de 1 
atm(atmosfera). Para cada metro de altitude acima do nível do mar, essa pressão cai 
em 10 %. Construa uma tabela que forneça a pressão, em atmosferas, em função da 
altitude, em metros. Escreva a lei que relaciona a pressão com a altitude.
Observação: No Ex 01, o número de bactérias está aumentando exponencialmente 
100% a cada hora, logo o fator de crescimento é a = 2. No Ex 02, a pressão está 
diminuindo exponencialmente 10% a cada metro de altitude, logo o fator de 
decrescimento é a = 1 – 0,10 = 0,9.
Ex 03 - Suponha que Q= f(t) é uma função exponencial de t. Se f(4) = 8.100 e f(7) = 
218.700:
 a) Encontre a base.
 b) Encontre a taxa de crescimento percentual.
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 b) Encontre a taxa de crescimento percentual.
 c) Calcule f(0). 
 
 d) Calcule f(10).
Ex 04 - Uma droga é injetada na corrente sanguínea de um paciente ao longo de um 
intervalo de cinco minutos. Durante esse tempo, a quantidade de droga no sangue 
cresce linearmente. Após os cinco minutos a injeção é interrompida, e, então, a 
quantidade de droga decai exponencialmente. Esboce um gráfico da quantidade 
versus tempo.
Ex 05 - Investigar o valor de 
 
 
 para valores de x cada vez maiores.
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Função Exponencial Natural
 Se a = e (Número de Euler), a função exponencial é chamada função 
exponencial natural e é notada por f(x) = ex .
Crescimento e Decrescimento Exponencial
 Uma função f cresce exponencialmente se f (x) = foekx e decresce 
exponencialmente se f(x) = foe-kx onde fo é o valor f(0).
Ex 06 - Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 
50e0,02t milhões de habitantes.
 a) qual é a população atual do país?
 
 b) qual será a população, daqui a 30 anos?
Ex 07 - Uma certa máquina desvaloriza de tal forma que, após t anos, seu valor é 
dado pela função Q(t) = Qoe-0,04t . Após 20 anos, a máquina vale R$ 8.986,58. Qual 
era seu valor original?
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Ex 08 - Suponha que existam inicialmente 2000 bactérias em certa cultura e que 
existirão 6000 bactérias 20 minutos depois. Sabendo que o número de bactérias 
cresce exponencialmente, determine o número de bactérias que existirão, após uma 
hora.
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LOGARÍTMO
segunda-feira, 22 de fevereiro de 2021 10:19
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A Função logarítmica é a função 
 , definida por f(x) = loga x , onde a lR, 
a > 0 e a 1.
A função logarítmica de base a é a inversa da função exponencial de base a.
1.14.1. Propriedades dos Logaritmos
 1. 
 2. 
 3. 
 4. 
 
 
 
 5. 
 
 
 
 
 6.
EX 09 - Resolva as equações:
 a)2x = 16 
 
quarta-feira, 10 de fevereiro de 2021 17:21
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 b)3x = 5 
 c)2t = 7
Função Logaritmo Natural
Se a = e (Número de Euler), a função Logaritmo é chamada função logarítmica 
natural e é notada por:
 f(x) = ln x ou f(x) = L(x)
 Como a função logarítmica natural é a inversa da função exponencial, temos:
 y = ln x  ey = x
Mudança de Base
As calculadoras científicas, geralmente, fornecem teclas para calcular logaritmos 
decimais e logaritmos naturais. Para calcular o utiliza-se umas seguintes fórmulas
 =
 
 
 ou =
 
 
 
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FUNÇÕES TRANSCENDENTES INVERSAS
segunda-feira, 22 de fevereiro de 2021 10:26
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1. Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de bactérias 
em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo de acordo com a lei 
 
 sendo uma constante que depende da natureza das 
bactérias; o número irracional vale aproximadamente e é a quantidade 
inicial de bactérias.
Se uma cultura tem inicialmente bactérias e, minutos depois, aumentou 
para quantas bactérias estarão presentes depois de hora? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. A mitose é uma divisão celular, na qual uma célula duplica o seu conteúdo, 
dividindo-se em duas, ditas células-filhas. Cada uma destas células-filhas se divide, 
dando origem a outras duas, totalizando quatro células-filhas e, assim, o processo 
continua se repetindo sucessivamente.
Assinale a alternativa que corresponde, corretamente, à função que representa o 
processoda mitose. 
a) dada por 
b) dada por 
c) dada por 
d) dada por 
 
e) dada por 
 
3. Uma aplicação financeira tem seu rendimento, que depende do tempo, dado 
pela função definida por e Dessa forma, é 
igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
e) 
 
4. Em um dia num campus universitário, quando há alunos presentes, 20% 
ATIVIDADES 
quarta-feira, 10 de fevereiro de 2021 17:29
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4. Em um dia num campus universitário, quando há alunos presentes, 20% 
desses alunos souberam de uma notícia sobre um escândalo político local. Após 
horas alunos já sabiam do escândalo, onde 
 
 
 e são 
constantes positivas. Se 50% dos alunos sabiam do escândalo após 1 hora, quanto 
tempo levou para que 80% dos alunos soubessem desse escândalo? 
a) 2 horas 
b) 3 horas 
c) 4 horas 
d) 5 horas 
e) 6 horas 
 
5. A partir do momento em que é ativado, um vírus de computador atua da 
seguinte forma:
- ao longo do primeiro minuto, ele destrói 40% da memória do computador 
infectado;
- ao longo do segundo minuto, ele destrói 40% do que havia restado da memória 
após o primeiro minuto;
- e assim sucessivamente: a cada minuto, ele destrói 40% do que havia restado da 
memória no minuto anterior.
Dessa forma, um dia após sua ativação, esse vírus terá destruído aproximadamente 
a) 50% da memória do computador infectado. 
b) 60% da memória do computador infectado. 
c) 80% da memória do computador infectado. 
d) 90% da memória do computador infectado. 
e) 100% da memória do computador infectado. 
 
6. Considere o gráfico da função , com x real, e da reta r, 
apresentados na figura abaixo. 
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a) Utilizando a aproximação determine a equação da reta r.
b) Como a reta r está próxima da curva, para valores de x entre 0 e log(2), utilize a 
equação de r para obter uma estimativa dos valores de 100,06 e de log(1,7). 
 
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7. Biólogos e Matemáticos acompanharam em laboratório o crescimento de uma 
cultura de bactérias e concluíram que esta população crescia com o tempo 
ao dia, conforme a lei 
 onde P0, é a população inicial da cultura (t = 0) 
e é uma constante real positiva. Se, após dois dias, o número inicial de bactérias 
duplica, então, após seis dias, esse número é: 
a) 10P0 
b) 6P0 
c) 3P0 
d) 8P0 
e) 4P0 
 
8. Os dados estatísticos sobre violência no trânsito nos mostram que é a segunda 
maior causa de mortes no Brasil, sendo que 98% dos acidentes de trânsito são 
causados por erro ou negligência humana e a principal falha cometida pelos 
brasileiros nas ruas e estradas é usar o celular ao volante. Considere que em 2012 
foram registrados 60.000 mortes decorrentes de acidentes de trânsito e destes, 
40% das vítimas estavam em motos.
Texto Adaptado: Revista Veja, 19/08/2013.
A função 
 fornece o número de vítimas que estavam de moto a 
partir de 2012, sendo o número de anos e o número de vítimas que estavam 
em moto em 2012. Nessas condições, o número previsto de vítimas em moto para 
2015 será de: 
a) 41.472. 
b) 51.840. 
c) 62.208. 
d) 82.944. 
e) 103.680. 
 
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9. As matas ciliares desempenham importante papel na manutenção das 
nascentes e estabilidade dos solos nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do 
agronegócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares vêm sendo destruídas. 
Um dos métodos usados para a sua recuperação é o plantio de mudas. 
O gráfico mostra o número de mudas a serem 
plantadas no tempo (em anos), numa determinada região. 
De acordo com os dados, o número de mudas a serem plantadas, quando 
 é igual a 
a) 2.137. 
b) 2.150. 
c) 2.250. 
d) 2.437. 
e) 2.500. 
 
10. No acidente ocorrido na usina nuclear de Fukushima, no Japão, houve a 
liberação do iodo Radioativo 131 nas águas do Oceano Pacífico. Sabendo que a 
meia-vida do isótopo do iodo Radioativo 131 é de 8 dias, o gráfico que representa a 
curva de decaimento para uma amostra de 16 gramas do isótopo 
 é: 
a) 
 
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b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
11. Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente 
quando a temperatura atingir 65°C será possível segurar um de seus pedaços com 
as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus 
Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em minutos, pela expressão 
 Qual o tempo necessário para que se possa segurar um 
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 Qual o tempo necessário para que se possa segurar um 
pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? 
a) 0,25 minutos. 
b) 0,68 minutos. 
c) 2,5 minutos. 
d) 6,63 minutos. 
e) 10,0 minutos. 
 
12. A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico 
modelado pela fórmula onde q representa a quantidade de 
substância radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o 
tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da 
constante k é 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
13. A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório de biologia 
construiu o gráfico a seguir a partir dos dados obtidos no monitoramento do 
crescimento de uma cultura de micro-organismos. 
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Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia 
segundo o modelo matemático, com t em horas e N em milhares de 
micro-organismos. 
Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, 
o orientador coletou novos dados com t = 4 horas e t = 8 horas. 
Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse período, o 
orientador deve ter obtido um aumento na quantidade de micro-organismos de 
a) 80.000. 
b) 160.000. 
c) 40.000. 
d) 120.000. 
 
14. Um trabalhador possui um cartão de crédito que, em determinado mês, 
apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento do cartão, mas não contém 
parcelamentos a acrescentar em futuras faturas. Nesse mesmo mês, o trabalhador 
é demitido. Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o 
cartão de crédito e também não tem como pagar as faturas, nem a atual nem as 
próximas, mesmo sabendo que, a cada mês, incidirão taxas de juros e encargos por 
conta do não pagamento da dívida. Ao conseguir um novo emprego, já 
completados 6 meses de não pagamento das faturas, o trabalhador procura 
renegociar sua dívida. O gráfico mostra a evolução do saldo devedor.
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Com base no gráfico, podemos constatar que o saldo devedor inicial, a parcela 
mensal de juros e a taxa de juros são 
a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês. 
b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês. 
c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês. 
d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao mês. 
e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês. 
 
15. Pretende-se diluir 800 ml de ácido contidos em um recipiente. Para tanto, 
inicialmente, substituem-se a ml do ácido por a ml de água. l Essa nova solução é 
homogeneizada e, com ela, repete-se o mesmo procedimento, usando-se o mesmo 
volume a. Esse procedimento é repetido certo número de vezes, até se conseguir a 
diluição desejada.
a) Considerando que o procedimento é repetido cinco vezes e que, na solução final 
obtida, restam 25 ml de ácido, determine a quantidade da solução a que foi 
substituída por água em cada uma das cinco etapas.
b) Considerando essa solução com 25 ml de ácido, determine quanto se deve 
substituir dela por água pura, para se obter uma nova solução com 20 ml de ácido. 
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