cauculo aplicado varias variaveis atv 4

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Usuário JANDIR PAIXAO DE OLIVEIRA 
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
GR0551211 - 202110.ead-29779045.06 
Teste ATIVIDADE 4 (A4) 
Iniciado 20/03/21 10:18 
Enviado 20/03/21 11:34 
Status Completada 
Resultado da 
tentativa 
10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 1 hora, 16 minutos 
Resultados 
exibidos 
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
• Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem 
ser expressas por meio da seguinte forma: , onde e são 
funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos 
escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau. 
 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de 
segunda ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas. 
II. ( ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais. 
III. ( ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem é 
expressa por . 
IV. ( ) A equação auxiliar de raízes complexas e apresenta como 
solução a função . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, F, F. 
Resposta Correta: 
V, F, F, F. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na 
teoria das equações diferenciais lineares e homogêneas de 
segunda ordem, temos que, entre as afirmativas 
apresentadas, apenas a afirmativa I é verdadeira, sendo 
 
todas as outras falsas. Portanto, a sequência correta é V, F, 
F, F. 
 
• Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade 
inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. 
Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor 
elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação 
diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente 
na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa 
teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043% após 15 anos. 
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é . 
II. A função que representa o problema descrito é . 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. 
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I e II, apenas. 
Resposta Correta: 
I e II, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a 
equação diferencial separável , temos que as 
afirmativas I e II estão corretas, pois 
, onde . 
Para , concluímos que e, 
para concluímos . Portanto, a função que 
representa o problema descrito é . 
 
 
• Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 
m. Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 
22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, 
em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento 
realizado obedece à equação diferencial: , onde é uma função do 
tempo que indica a posição da massa e é a constante 
elástica. 
 
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de 
Hooke: ). 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A posição da massa em qualquer momento é 
expressa por 𝑥(𝑡) = 0,3 𝑐𝑜𝑠(5𝑡). 
Resposta Correta: 
A posição da massa em qualquer momento é 
expressa por 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado 
fornece as seguintes condições: (a mola no 
tempo está esticada em 0,8 m sendo seu comprimento 
natural de 0,5 m; portanto, está deformada em 0,3 m) 
e (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a 
função velocidade é a derivada primeira da função posição). 
Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante elástica 
é: . Tomando e na EDO , obtemos a 
EDO . Resolvendo o PVI: , e temos que a 
solução geral da EDO é , portanto, a solução do PVI 
é . Portanto, 
 
 
• Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada 
função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. 
Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, 
devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e 
 
verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é 
solução, se não for verdadeira, não é solução. 
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a 
seguir: 
 
I. A função é solução da equação diferencial . 
II. A função é solução da equação diferencial . 
III. A função é solução da equação diferencial . 
IV. A função é solução da equação diferencial . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
Resposta Selecionada: 
II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
II e IV, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo 
com a definição de solução de uma equação diferencial, 
temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . 
Repare que Trocando na equação diferencial, 
temos: 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função , 
temos e . Trocando , e na equação 
diferencial, temos: 
. 
 
 
• Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma 
grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte 
problema de valor inicial: 
 , 
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou 
negativa. Considere a seguinte situação: 
 
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento 
é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que 
corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
 
 
 
 
Resposta Selecionada: 𝑁(𝑡) = 10.000𝑒𝑘𝑡 . 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema 
pode ser descrito pela seguinte equação diferencial , 
onde é a função quantidade de bactérias que depende 
do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: 
para temos . Resolvendo a equação diferencial, 
temos 
, onde e são constantes e . 
Como temos . Portanto, a função que descreve o 
crescimento dessa população de bactérias é . 
 
 
• Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem 
constante de um capacitor com capacitância de e um resistor 
com uma resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado 
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: , 
onde é a carga, medida em coulombs. 
 
Dado que , assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: A função corrente é expressa por l(t)=12 𝑒−4𝑡. 
A função corrente é expressa por . 
Resposta Correta: 
A função corrente é expressa por . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A função 
corrente é a derivada da função carga, isto é, . A 
EDO é uma equação linear de primeira ordem cuja 
solução pode ser expressa por . Dada a EDO , 
temos que e . Portanto, sua solução geral é . 
Como , segue que e, assim, a função carga é 
expressa por . Por fim, concluímos que a função 
corrente é . 
 
• Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
Leia o excerto a seguir: 
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A 
queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff 
diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . 
Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que 
modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537). 
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: CengageLearning, 2016. 2 v. 
 
Considerando uma resistência de , uma indutância de e uma 
voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à 
expressão da corrente do circuito quando o interruptor é ligado em . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
 
Resposta Correta: 𝐴𝑙(𝑡) = 5 − 5𝑒−3𝑡. 
. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da 
equação diferencial fornecida no enunciado, , e dos 
valores fornecidos, e , temos que . Arrumando 
a expressão da equação diferencial, temos 
. 
Tomando temos . Para , temos que , 
portanto a expressão da corrente é . 
 
• Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. 
O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas 
características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações 
diferenciais escritas na forma são ditas equações diferenciais 
separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da 
igualdade. 
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, 
analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A solução da equação é . 
II. A solução da equação é . 
III. A solução da equação é . 
IV. A solução da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I e III, apenas. 
Resposta Correta: 
I e III, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando 
adequadamente o método de solução nas equações 
 
diferenciais separáveis, temos que: 
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis: . 
Integrando a equação: , onde . 
Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: . 
Integrando a equação: , onde . 
 
• Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua 
linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear . 
As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas 
propriedades: Considere que a variável independente é e a variável 
dependente é , temos que: (i) A variável dependente e todas as 
suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada 
coeficiente depende apenas da variável independente . 
 
Considere a variável uma função da variável , isto é, . 
Analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação diferencial é linear. 
II. A equação diferencial é linear. 
III. A equação diferencial é linear. 
IV. A equação diferencial é linear. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, III e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I, III e IV, apenas. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com 
as condições de linearidade de uma equação diferencial, 
temos que as afirmativas I, III e IV estão corretas, pois em 
todas elas temos que a variável dependente e todas as 
 
suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende 
apenas da variável independente . 
 
• Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, 
podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não 
são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. 
Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um 
dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é 
chamada de Problema de Valor Inicial (PVI) . 
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais 
ordinárias , 2003. Disponível 
em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso 
em: 20 dez. 2019. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 𝑥2 + 𝑦2 = 25. 
. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação 
dada é separável, assim, podemos resolvê-la separando as 
variáveis e , integrando ambos os lados da 
igualdade em seguida: . 
Da condição inicial dada, temos que se então . 
Trocando esses valores na solução, obtemos: . 
Portanto, a solução do PVI é .