Trabalho de Algebra capitulo 4

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PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS-PUC-GO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
TRABALHO DE ATIVIDADE EXTRA DISCIPLINAR - AED 
Kamilla Correa Adorno Rassi
Maria Eduarda Lima
Gabriela Moreira Lopes
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS- APOSTILA INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR 
Trabalho destinado ao Departamento de
Engenharia Civil como requisito de Atividade 
Externa da Disciplina Álgebra Linear.
Orientação: Prof. Cristian Patricio Novoa Bustos.
GOIÂNIA – GOIÁS
2019
Capítulo 4. Espaços Vetoriais
Exercícios - Página 61
Exercício 01. Seja V= R³. Verifique se W e um subespaço vetorial e de V.
a)
 e 
 
Onde: + = + 
 + = + 
 + = = + 
 + = 0 
Então e , pois não depende do valor de , que pode ser qualquer valor.
b) 
 e onde 
 
Onde: + = + 
 + = + 
 + = 
Não tem como saber o valor de x, pois ele depende do valor , onde o pode admitir qualquer valor. Então W não e um subespaço vetorial de V. 
c)
 
 
Onde: + = + 
 + = + 
 + = 
Portanto qualquer valor elevado ao quadrado será positivo e se for zero também aceita na solução uma. Então W e u subespaço vetorial de V.
Exercício 02- se V = Mn (K), onde n ≥ 2. Verifique se os seguintes subconjuntos de V são subespaços vetoriais de V. 
a) W = 
Resposta:
 T é fixo. W = 
i) ō ϵ W?? ; ōT = ō , e Tō = ō ō ϵ W
ii) Sejam A, B ϵ W ( AT = TA e BT = TB )
 α ϵ K 
 ( A + αB ) ϵ W ??, então :
 ( A + αB ) T = AT + αBT 
 = TA + αTB
 = T ( A + αB ) 
Logo , o subconjunto W= é um subespaço vetorial.
b) W = 
Resposta:
 A, B ϵ W ( A2 = A , B2 = B )
i) ō ϵ W ?? – ( ō2 = ō ) 
ii) α ϵ K , ( A + αB ) ϵ W ??, então :
 ( A + αB )( a + αB ) = A2 + αAB + αBA + α2B2 
 = A + αAB + αBA + α2B ≠ ( A + αB )
Logo , o subconjunto W = não é um subespaço vetorial ,pois
 ( A + αB )2 ≠ ( A + αB ).
c) W = {A ∈ V/det(A) ≠ 0}.
 ∈ W, pois det = 0. Em W temos matrizes tal que det(A) = 0.
∴ o subconjunto NÃO É subespaço vetorial (S.E.V).
d) W = {A ∈ V/det(A) = 0}.
 ∈ W, pois det = 0, logo A, B ∈ W e det(A) = det(B), α ∈ k.
A+Αb ∈ W? Caso contrário,
det(A+B)= + = = 1 + 1 = 2 ≠ 0
∴ o subconjunto NÃO É subespaço vetorial (S.E.V).
Exercícios - Página 65
Exercício 02- Decida se o seguinte conjunto é LI ou LD e justifique.
a) 
Resposta:
 Esse conjunto é LI, pois:
 αu + βv = ō
 α (1,-3) + β (3,5) =ō
 (α ,- 3α) + ( 3β , 5β ) = ( 0,0 )
 ( α + 3β , -3α + 5β ) = (0,0)
 
 
 
 14β = 0
 β= 0 α = 0. ( Há apenas uma solução , então é LI ). 
b) 
Resposta:
 Esse conjunto é LI, pois:
 αu + βv =ō
 α (4,3,-3) + β (2,7,5) =ō
 (4α,3α,-3α) + (2β,7β,5β) = (0,0,0)
 ( 4α + 2β, 3α + 7β, -3α + 5β ) = (0,0,0)
 
 α = 
 , β = 0 α = 0 (Há apenas uma solução , então é LI ).
d) {p1(t) = 3t2 + 3t − 8, p2(t) = −t2 + 5t + 7}.
α1p1(t) + α2p2(t) = 0
≡ α1(3t2 + 3t – 8) + α2(−t2 + 5t + 7) = 0
 
α1 = α2 = 0 ∴ o conjunto é L. I.