PRODUTO de vetores(escalar- vetorial

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FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
NOME: _____________________________________ MATRÍCULA: ________________________________ 
 
 
PROFESSOR RESPONSÁVEL: Prof. Douglas BATISTA 
Disciplinas: Geometria analítica - Vetores lista: produto de vetores (escalar/ vetorial) Aplicações 
Curso: Engenharia Mecânica /produção 
 
 
Campus I - Nova Iguaçu 
Av. Abílio Augusto Távora, 2134 - Nova Iguaçu - RJ – Brasil - CEP: 26275-580 – Tel.: 20765-4051 
 
Propriedade do MÓDULO de um vetor. 
Questão 1 
1.1) Determine o módulo da composição dos vetores: |2u⃗ − 3v⃗ |, onde u⃗ = (−1,3) e v⃗ = −2i − j 
1.2) Dados os pontos A (2,-1) e B (-1,4), ache a distância entre A e B, usando o módulo de um vetor. 
1.3) Determinar a distância entre os pontos A (8,3) e B (-4,8) 
1.4) Sendo a distância entre os pontos A (-1, 2,3) e B (1, -1, m) é 7, calcule m. 
1.5) Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C tem as seguintes coordenadas: A (1,5), B (-2,1) e C (4,1) 
 
VERSOR de um vetor. (super poderes rs!). 
Questão 2 
2.1) Verificar se são unitários os seguintes vetores, caso não seja, transforme-os em unitários: 
a) �⃗� = (1,1,1) 
b) 𝑣 = (
1
√6
,
2
√6
,
1
√6
) 
c) �⃗⃗� = (2,-3) 
2.2) Para os vetores abaixo: 
a) 𝑣 = (-4,2), achar o vetor que seja paralelo a 𝑣 e que tenha o mesmo sentido de 𝑣 e módulo igual a 8. 
b) 𝑣 = (-1,2), achar o vetor que seja paralelo a 𝑣 e que tenha sentido contrário de 𝑣 e módulo igual a 2. 
2.3) Determinar o valor de n para que o vetor 𝑣 = (𝑛,
2
5
,
4
5
) seja unitário. 
 
Produto escalar. 
Questão 3 
3.1) Sejam os vetores u⃗ = (2,−3,−1) , v⃗ = (1,−1,4). Calcular: 
a) (u⃗ + 3v⃗ ) ∙ (v⃗ − 2u⃗ ) 
b) (u⃗ + v⃗ ) ∙ (2u⃗ − v⃗ ) 
3.2) Dados os vetores u⃗ = (1, a, −2a − 1) , v⃗ = (a, a − 1,1) e , w⃗⃗⃗ = (a, −1,1). Determinar a de modo que: 
u⃗ ∙ v⃗ = (u⃗ + v⃗ ) ∙ w⃗⃗⃗ 
3.3) Sendo |u⃗ | = 4, |v| = 2 e u⃗ ∙ v⃗ = 3, Calcular (3u⃗ + 2v⃗ ) ∙ (−u⃗ + 4v⃗ ) 
 
 
 
 
 
 
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Disciplinas: Geometria analítica - Vetores lista: produto de vetores (escalar/ vetorial) Aplicações 
Curso: Engenharia Mecânica /produção 
 
 
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Definição geométrica do produto escalar. (u⃗ ∙ v⃗ = |u⃗ | |v⃗ | cos θ) 
Questão 4 
4.1) Seja o triângulo de vértice A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3-2,1). Determinar o ângulo interno ao vértice B 
4.2) Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais 
a) �⃗� = (1,−2,3) e 𝑣 = (4,5,2) 
b) 𝑖 e 𝑗 
4.3) Provar que o triangulo de vértice A (2,3,1), B(2,1,1) e C(2,2,-2) é um triângulo Retângulo. 
4.4) Dado o módulo dos vetores |�⃗� | = 2 e |𝑣 | = 3. Calcular �⃗� ∙ 𝑣 , sabendo que 𝜃 = 1200 
4.5) Sabendo que o ângulo entre os vetores �⃗� = (2,1,−1) e 𝑣 = (1,−1,𝑚 + 2) é 
𝜋
3
. Determine m. 
4.6) Calcular n para que seja de 300 o ângulo entre os vetores �⃗� = (1, 𝑛, 2) e 𝑗 . 
 
Aplicação na Física 
Questão 5 
5.1) Calcular o trabalho realizado Pela força constante, F⃗ ,Fa⃗⃗⃗⃗ , FN⃗⃗ ⃗⃗ e P⃗⃗ e pela força resultante, para 
deslocar o bloco de A até B, sabendo que F⃗ = 10 N, Fa⃗⃗⃗⃗ = 8N, FN⃗⃗ ⃗⃗ = P⃗⃗ = 3P⃗⃗ N d = AB̅̅ ̅̅ = 10m. 
 
 
 
 
 
 
5.2) Calcular o trabalho realizado pela força F⃗ para deslocar o corpo de A até B , sabendo que F⃗ , 
d = AB̅̅ ̅̅ = 20m e θ = 300 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Definição de Produto vetorial 
Questão 6 
Calcular �⃗� 𝑥 𝑣 , para os vetores abaixo: 
6.1) �⃗� = 5𝑖 + 4𝑗 + 3�⃗� e 𝑣 = 𝑖 + �⃗� 
6.2) �⃗� = 2𝑖 − 1𝑗 + 1�⃗� e 𝑣 = −𝑖 + 2𝑗 + 2�⃗� 
 
Características do Produto vetorial 
Questão 7 
Dados os vetores abaixo, verificar se (�⃗� 𝑥 𝑣 ) é ortogonal a �⃗� e a 𝑣 
7.1) �⃗� = (3,1,2) e 𝑣 = (−2,2,5) 
7.2) �⃗� = (1,−1,0) e 𝑣 = (−1,2,2) 
 
Interpretação Geométrica do módulo do Produto vetorial 
Questão 8 
8.1) Considere os pontos A( -1,0,2), B(2,1,1) e C(3,1,0), sendo vértice do triangulo ABC. Calcule a 
área do triangulo. 
8.2). sejam os vetores �⃗� = (1,−1,−4) e 𝑣 = (3,2,−2). Determinar um vetor que seja: 
a) ortogonal a �⃗� e 𝑣 
b) ortogonal a �⃗� e 𝑣 e unitário 
c) ortogonal a �⃗� e 𝑣 e tenha módulo 4 
d) ortogonal a �⃗� e 𝑣 e tenha cota igual a 7 
8.3) seja o triangulo equilátero ABC de lado 10 (Fig3) . 
Calcule |𝐴𝐵̅̅ ̅̅ | × |𝐴𝐶̅̅ ̅̅ | . 
8.4) Dados os vetores �⃗� = (1,−1,1) e 𝑣 = (3, −3,4). Calcule: 
a) A área do paralelogramo determinado por �⃗� e 𝑣 . 
 
Fig. 3 
 
 
 
 
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b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor �⃗� 
8.5) Determinar a distância do ponto P(5,1,2) a reta r que passa por A(3,1,3) e B(4,-1,1). 
 
 
 
 
 
 
 
8.6) dados os vetores �⃗� = (2,1,−1) e 𝑣 = (1,−1, 𝛼), calcule o valor de α para que a área do 
paralelogramo determinado por �⃗� e 𝑣 seja igual a √62 
8.7) Dados os pontos A(2,1,1) e B(3,-1,0) e C(4,2,-2), determine : 
a) a área do triangulo ABC 
b) a altura do triangulo relativa ao vértice C. 
Aplicação do Produto vetorial na física 
Questão 9 
Calcule o torque sobre a barra 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ onde 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑑 = (2𝑗)metros, 𝐹 = (10 𝑖 )N e o eixo de 
rotação é o eixo Z. 
 
 
 
 
⃗⃗ ⃗𝑑 
 
 
 
 
𝑑 
 
 
 
 
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Estático Equilíbrio de um corpo rígido 
Questão 10 
Uma escada de peso 78 N apoiada numa parede áspera e encontra-se em equilíbrio de acordo com a figura abaixo. Se a 
força de atrito trocada entre as paredes e a escada vale 𝑓𝑎𝑡1 = 30 𝑁. Determine a força de atrito 𝑓𝑎𝑡2 que o chão 
aplica na escada. 
 
 
 
 
 
Questão 11 
A barra da figura (de comprimento 7m) esta em equilíbrio sobre os pontos A e B sobre a ação das forças exercidas 
pelos suportes. Esta é homogênea de peso P = 700N. Um bloco de peso P= 500N, encontra-se apoiado em equilíbrio 
na extremidadedireita da barra. Determine as forças exercidas na barra nos pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
5 m 2 m 
6 m 10 m