Derivadas Parciais e Composição

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o fragmento de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como 
constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta 
que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. 
Nota: 10.0 
 
A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, temos: 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3z
y)=−3y. 
 
(Livro-base, p. 80). 
 
B ∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y. 
 
C ∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y. 
 
D ∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z. 
 
E ∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz. 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o excerto de texto a seguir: 
 
"Se considerarmos C uma curva da equação y=f(x)y=f(x), em que a função ff é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b][a,b], isso nos permite 
determinar o comprimento do arco da curva C, de aa até bb. [Para calcular tal comprimento utiliza-se a fórmula ∫ba√1+[f′(x)]2 dx∫ab1+[f′(x)]2dx. ]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 21. 
 
 
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, a equação f′(x)=x3/2−4f′(x)=x3/2−4 e o 
intervalo [a,b]=[1,4][a,b]=[1,4]. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco de f(x)f(x) no intervalo [a,b][a,b]: 
Nota: 10.0 
 
A 80√10−√13 88010−138 
 
B 80278027 
 
C 80√10−13√13 278010−131327 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcularmos o comprimento da curva, devemos ter a derivada da função f, 
Se f(x)=x3/2−4f(x)=x3/2−4 então f′(x)=3x1/22f′(x)=3x1/22. 
Aplicando a fórmula a ∫ba√1+[f′(x)]2 dx∫ab1+[f′(x)]2dx. teremos: 
a ∫ba√1+[f′(x)]2 dx∫41√ 1+[3x1/22]2 dx∫41√ 1+9x4 dx∫ab1+[f′(x)]2dx∫141+[3x1/22]2dx∫141+9x4dx 
Agora, para podermos integrar esta raiz, o que está fora dela deve ser a derivada do que está dentro dela. 
Como a derivada de 1+9x41+9x4 é 9/4, inserimos esta fração e tiramos fora da integral. Assim fica fácil a integração. 
C=49∫41√ 1+9x4 94dxC=49∣∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣∣(1+9x4)3/232∣∣ 
∣ 
∣ 
∣ 
∣∣41=827(1+9x4)3/2∣∣ 
∣∣41827[(1+9⋅44)3/2−(1+9⋅14)3/2]=827[(1+9)3/2−(1+94)3/2]=827[(10)3/2−(134)3/2]=827[10√10−134√ 134 ]=827[10√10−138√13 ]=827[80√1
0−13√13 8]=80√10−13√13 27C=49∫141+9x494dxC=49|(1+9x4)3/232|14=827(1+9x4)3/2|14827[(1+9⋅44)3/2−(1+9⋅14)3/2]=827[(1+9)3/2−(1+94)3/2
]=827[(10)3/2−(134)3/2]=827[1010−134134]=827[1010−13813]=827[8010−13138]=8010−131327 
 
(Livro-base p. 24). 
 
 
D √10 21610216 
 
E 827(80√10−√13 )827(8010−13) 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o excerto de texto a seguir: 
 
"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente 
do campo escalar". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86. 
 
 
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a 
função f(x,y)=lnx−lny.f(x,y)=lnx−lny. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de ff no ponto P=(12,−13)P=(12,−13), na direção do 
vetor unitário ⃗u=(35,−45).u→=(35,−45). 
Nota: 10.0 
 
A ∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂f∂u→(35,−13)=85. 
 
B ∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂f∂u→(35,−13)=−135. 
 
C ∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂f∂u→(35,−13)=−65. 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos 
que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂f∂u→(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5).∂f∂u→(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5).
 Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y,∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y, temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3)∇f(1/2,−1/3)=(2,3) e, 
portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂f∂u→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65. 
 
(livro-base, p. 86). 
 
D −57.−57. 
 
E −85.−85. 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
No espaço tridimensional, estabelecemos três relações representadas por valores do conjunto domínio Dm(f), expresso por (x,y,z), com respectiva imagem 
Im(f) expressa pela função f(x,y,z). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a 
função f(x,y,z)=x2+y2|√ z−1 |f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a alternativa correta 
que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): 
Nota: 10.0 
 
A 132132 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme a seguinte solução: substituindo os valores de x, y e z em f(x,y,z) temos: 
 
f(2,3,5)=22+32|√ 5−1 |=4+9|√ 4 |=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. 
 
(livro-base, p. 77). 
 
B 145145 
 
C 133133 
 
D 115115 
 
E 154154 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, 
mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os 
limites constantes de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.. 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que 
apresenta o valor da integral repetida ∫21∫102xydydx∫12∫012xydydx: 
Nota: 0.0 
 
A 11 
 
B 3232 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos 
a variável x. Então, 
∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣21222−12242−12=32∫12∫012xydydx=2∫12x[∫01ydy]dx
=2∫12x[y22]01dx=2∫12x[122−022]dx=2∫12x12dx=∫12xdx=x22|12222−12242−12=32 
 
(Livro-base p. 43-47). 
 
C 1212 
 
D 5252 
 
E 7272 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todasas outras variáveis constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que 
apresenta o valor das derivadas parciais, ao calcular a função f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z: 
Nota: 10.0 
 
A fx=3;fy=5;fz=−6fx=3;fy=5;fz=−6 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Então as derivadas parciais 
de f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z são: 
 
fx=3fx=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo xx. 
fy=5fy=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo yy. 
fz=−6fz=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo zz. 
 
(livro-base, p. 80). 
 
B fx=−3;fy=−5;fz=−5fx=−3;fy=−5;fz=−5 
 
C fx=5;fy=3;fz=−6fx=5;fy=3;fz=−6 
 
D fx=6;fy=5;fz=−3fx=6;fy=5;fz=−3 
 
E fx=−6;fy=5;fz=3fx=−6;fy=5;fz=3 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, 
mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites 
constantes de integração cc e dd". 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta 
o valor da integral repetida ∫10∫10xdydx∫01∫01xdydx: 
Nota: 10.0 
 
A 1414 
 
B 1313 
 
C 11 
 
D 22 
 
E 1212 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos 
a variável x. Então, 
∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12∫01∫01xdydx=∫01x[∫01dy]dx=∫01x[y]01dx=∫01x[1−0]dx=∫01xdx
=[x22]01=122−022=12 
 
(Livro-base página 43-47). 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do domínio, e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis 
em t0t0, de modo que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é tal que: 
dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0)dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e 
a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sentx=sent e y=cost.y=cost., assinale a alternativa correta que apresenta a derivada 
de zz em relação à variável tt: 
Nota: 10.0 
 
A dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como xx e yy estão em função de tt, temos 
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.
dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. 
 
(livro-base, p. 79) 
 
B dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sentdzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent 
 
C dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cos⁡t 
 
D dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent. 
 
E dzdt=(3x2−8xy+y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos 
quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla 
∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02x2y3dydx , identifique a alternativa correta que apresenta o valor correspondente às integrais: 
Nota: 10.0 
 
A 6 
 
B 10 
 
C 12 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: 
 
 
∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2−14x2dx=4⋅[x33]2−1=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12∫−12∫0
2x2y3dydx==∫−12x2∫02y3dydx=∫−12x2⋅[y44]02dx=∫−12x2⋅[244−044]02dx=∫−12x2⋅[4−0]dx=∫−124x2dx=4⋅[x33]−12=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12 
 
(livro-base, p. 43-72). 
 
D 15 
 
E 16 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, 
mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os 
limites constantes de integração cc e dd". 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que 
apresenta o valor da integral repetida ∫1−1∫1−1dydx∫−11∫−11dydx é: 
Nota: 10.0 
 
A 2 
 
B 1 
 
C zero 
 
D 4 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos 
a variável x. Então, 
∫1−1∫1−1dydx=∫1−1[y]1−1dx=∫1−1[1−(−1)]dx=∫1−12dx=2∫1−1dx=2[y]1−1=2[1−(−1)]=4∫−11∫−11dydx=∫−11[y]−11dx=∫−11[1−(−1)]dx=∫−112dx=2∫−11d
x=2[y]−11=2[1−(−1)]=4 
(Livro-base p. 43-47). 
 
E 10