Atividade Contextualizada _Equações diferenciais_01196094_ENG MECÂNICA_SÉRGIO HENRIQUE TEIXEIRA MELLO

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AOL 5 – Atividade Contextualizada – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
AOL 5 – Atividade Contextualizada – Equações diferenciais 
Sérgio Henrique Teixeira Mello 
Matrícula: 01196094 
Eng. Mecânica – Uninassau Amazonas 
1. QUESTÃO PROPOSITIVA. 
Um circuito RL (resistor-indutor), ou filtro RL, é um dos circuitos mais simples 
em termos de filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógico. Ele 
consiste em um resistor e de um indutor, podendo estar ligados tanto 
em série quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão. 
No exemplo apresentado no case, o objetivo é encontrar a equação da 
corrente elétrica do circuito RL para 0 ≤ t ≤ 1. No entanto, deseja-se expandir tal 
resultado para um intervalo de 0 a 4 s, objetivando uma visualização gráfica. 
1. Definição de função degrau; 
2. Cálculos desenvolvidos para a determinação de Laplace e da solução 
geral para i(t); 
3. Gráfico referente à corrente para 0 ≤ t ≤ 4. 
Esquematizando o problema, pede-se um filtro RL com fonte de alimentação, 
semelhante a imagem abaixo é a minha escolha de um RL em série. 
 
Onde calculamos: 
𝑉𝐿(𝑡) + 𝑉𝑅(𝑡) = 𝑉0 . 𝑢(𝑡) ≈ 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖(𝑡) = 𝑉0 . 𝑢(𝑡) 
Definindo a função degrau de um RL genérico, nula para argumento negativo 
e vale 1 para argumento positivo temos: 
𝑢(𝑡) = {
 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 < 0
 1, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 > 0
 ≈ 𝑎 = 𝑡 ≈ 𝑢(𝑡 − 𝑎) = {
 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 < 𝑎
 1, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 > 𝑎
 
𝑠𝑒 𝑎 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ℒ{𝑢(𝑡 − 𝑎} = ∫ 𝑢(𝑡 − 𝑎)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 =
∞
0
∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 =
1
−𝑠
∞
0
𝑒−𝑠𝑡 ∴
𝑒−𝑎𝑠
𝑠
 
𝑠𝑒 𝑎 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ℒ{𝑢(𝑡 − 𝑎} = ℒ{1} ≈
1
𝑠
 
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Definindo determinação de Laplace e da solução geral para i(t), temos: 
𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖(𝑡) = 𝑉0 . 𝑢(𝑡), 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠: 
 
ℒ [𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖(𝑡) =
𝑉0 
𝑠
] = 𝐿{𝑠𝐼(𝑠)} + 𝑅𝐼(𝑠) =
𝑉0 
𝑠
= 𝐼(𝑠)|𝐿𝑆 + 𝑅| =
𝑉0 
𝑠
 
∴ 𝐼 =
𝑉0 
𝐿
×
1
𝑠 (𝑠 +
𝑅
𝐿)
=
𝑉0 
𝐿
×
𝐿
𝑅
[
1
𝑠
−
1
(𝑠 +
𝑅
𝐿)
] =
𝑉0 
𝑅
[
1
𝑠
−
1
(𝑠 +
𝑅
𝐿)
] → ℒ−1 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 
𝑖(𝑡) =
𝑉0 
𝑅
[1 − 𝑒−
𝑅
𝐿
𝑡] 
Definindo o gráfico referente à corrente para 0 ≤ t ≤ 4 do circuito hipotético 
RL em série, temos: 
𝑖(0) =
𝑉0 
𝑅
= 𝑖0 , 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑅 𝑒 𝐿, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ 
 
{
 
 
𝑖(1) = 𝑒−1 ≅ 0,37
𝑖(2) = 𝑒−2 ≅ 0,14
𝑖(3) = 𝑒−3 ≅ 0,05
𝑖(4) = 𝑒−4 ≅ 0,02
 
 
 
 
 
 
 
2. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 
SANTIAGO JR, John M.; Circuit Analysis for Dummies 1ª. Edition; Honoken,NJ, 
USA: For dummies,2013. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER J.; Fundamentos da Física, Vol. III. 4ª 
Edição; Rio de Janeiro: Editora LTC,1993.