ÁLGEBRA MÓDULO 2-UFRN

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Projeto Institucional
Edital nº 015/2010/CAPES/DED
Fomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação
Álgebra Linear
Módulo 2
Autovalores e autovetores
Transformações lineares
Formas quádricas
Jossana Ferreira 
Jossana Ferreira
Módulo 2
Autovalores e autovetores
Transformações lineares
Formas quádricas
Catalogação da publicação na fonte. Bibliotecária Verônica Pinheiro da Silva.
© Copyright 2005. Todos os direitos reservados a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – EDUFRN.
Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa do Ministério da Educacão – MEC
Governo Federal
Presidenta da República
Dilma Vana Rousseff
Vice-Presidente da República
Michel Miguel Elias Temer Lulia
Ministro da Educação
Aloizio Mercadante Oliva
Reitora
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Vice-Reitora
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Secretária de Educação a Distância
Maria Carmem Freire Diógenes Rêgo
Secretária Adjunta de Educação a Distância
Eugênia Maria Dantas
Pró-Reitoria de Graduação
Alexandre Augusto de Lara Menezes
Comitê Gestor
Presidente
Alexandre Augusto de Lara Menezes
Coordenação geral
Apuena Vieira Gomes
Coordenadores 
Apuena Vieira Gomes/CE 
Adir Luiz Ferreira/CE
Gleydson de Azevedo Ferreira Lima/SINFO
Marcos Aurélio Felipe/CE
Maria Carmozi de Souza Gomes/PROGRAD
Rex Antonio da Costa de Medeiros/ECT
Coordenador de Produção de Materiais Didáticos
Marcos Aurélio Felipe
Projeto Gráfi co
Ivana Lima
Revisores de Estrutura e Linguagem
Eugenio Tavares Borges
Janio Gustavo Barbosa
Jeremias Alves de Araújo
Kaline Sampaio de Araújo
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Thalyta Mabel Nobre Barbosa
Revisoras de Língua Portuguesa
Cristinara Ferreira dos Santos
Emanuelle Pereira de Lima Diniz
Janaina Tomaz Capistrano
Revisora das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Revisora Técnica
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Ilustradores
Adauto Harley
Anderson Gomes do Nascimento
Carolina Costa de Oliveira
Dickson de Oliveira Tavares
Leonardo dos Santos Feitoza
Roberto Luiz Batista de Lima
Rommel Figueiredo
Diagramadores
Ana Paula Resende
Carolina Aires Mayer
Davi Jose di Giacomo Koshiyama
Elizabeth da Silva Ferreira
Ivana Lima
José Antonio Bezerra Junior
Luciana Melo de Lacerda
Rafael Marques Garcia
Secretaria de Educação a Distância (SEDIS)
FICHA TÉCNICA
Natal – RN
Abril/2012
Módulo 2
Autovalores e autovetores
Transformações lineares
Formas quádricas
Jossana Ferreira
Álgebra Linear
Sumário
Apresentação Institucional 5
Aula 12 Autovalores e autovetores 7
Aula 13 Diagonalização de matrizes 21
Aula 14 Transformações lineares – defi nição 37
Aula 15 Transformações lineares e matrizes 57
Aula 16 Transformações lineares inversas 69
Aula 17 Transformações lineares e geometria do �2 83
Aula 18 Formas quádricas 101
Aula 19 Diagonalização de formas quádricas 115
Aula 20 Seções cônicas 125
5
Apresentação Institucional
A Secretaria de Educação a Distância – SEDIS da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, desde 2005, vem atuando como fomentadora, no âmbito local, das Políticas Nacionais de Educação a Distância em parceira com a Secretaria de Educação 
a Distância – SEED, o Ministério da Educação – MEC e a Universidade Aberta do Brasil – 
UAB/CAPES. Duas linhas de atuação têm caracterizado o esforço em EaD desta instituição: a 
primeira está voltada para a Formação Continuada de Professores do Ensino Básico, sendo 
implementados cursos de licenciatura e pós-graduação lato e stricto sensu; a segunda volta-se 
para a Formação de Gestores Públicos, através da oferta de bacharelados e especializações 
em Administração Pública e Administração Pública Municipal.
Para dar suporte à oferta dos cursos de EaD, a Sedis tem disponibilizado um conjunto de 
meios didáticos e pedagógicos, dentre os quais se destacam os materiais impressos que são 
elaborados por disciplinas, utilizando linguagem e projeto gráfi co para atender às necessidades 
de um aluno que aprende a distância. O conteúdo é elaborado por profi ssionais qualifi cados e 
que têm experiência relevante na área, com o apoio de uma equipe multidisciplinar. O material 
impresso é a referência primária para o aluno, sendo indicadas outras mídias, como videoaulas, 
livros, textos, fi lmes, videoconferências, materiais digitais e interativos e webconferências, que 
possibilitam ampliar os conteúdos e a interação entre os sujeitos do processo de aprendizagem.
Assim, a UFRN através da SEDIS se integra o grupo de instituições que assumiram o 
desafi o de contribuir com a formação desse “capital” humano e incorporou a EaD como moda-
lidade capaz de superar as barreiras espaciais e políticas que tornaram cada vez mais seleto o 
acesso à graduação e à pós-graduação no Brasil. No Rio Grande do Norte, a UFRN está presente 
em polos presenciais de apoio localizados nas mais diferentes regiões, ofertando cursos de 
graduação, aperfeiçoamento, especialização e mestrado, interiorizando e tornando o Ensino 
Superior uma realidade que contribui para diminuir as diferenças regionais e o conhecimento 
uma possibilidade concreta para o desenvolvimento local.
Nesse sentido, este material que você recebe é resultado de um investimento intelectual 
e econômico assumido por diversas instituições que se comprometeram com a Educação e 
com a reversão da seletividade do espaço quanto ao acesso e ao consumo do saber E REFLE-
TE O COMPROMISSO DA SEDIS/UFRN COM A EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA como modalidade 
estratégica para a melhoria dos indicadores educacionais no RN e no Brasil. 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
SEDIS/UFRN
Autovalores e autovetores
12
Aula
Aula 12 Álgebra Linear 9
Apresentação
Os autovalores e autovetores de uma matriz podem revelar muita informação a respeito 
de sistemas e plantas que estejam por trás dessas matrizes. Esse recurso da Álgebra Linear é 
bastante utilizado nas engenharias, física, química etc. 
Objetivo
Calcular os autovalores e autovetores a partir de matrizes quadradas.
Aula 12 Álgebra Linear 11
Autovalor 
Os autovalores de uma matriz também são chamados de valor próprio ou valor caracte-
rístico. Para entendermos sua defi nição, consideremos uma matriz A quadrada: 
A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
an1 an2 · · · ann
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
Ao multiplicarmos essa matriz A por um vetor v =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
1
2
n
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦ não nulo, obtemos um outro 
vetor também de dimensão n×1. Por outro lado, se multiplicarmos o mesmo vetor v por uma 
constante ¸, também obteremos como resultado um vetor de dimensão n×1:
A·v = vetor de dimensão n×1
¸·v = vetor de dimensão n×1
Será que existe algum valor para ¸ que torne esses dois resultados iguais? A.v = ¸.v ? 
A resposta é sim. Esses valores são chamados de autovalores.
Portanto, autovalor é um número, real ou complexo, que de certa forma pode substituir 
uma matriz quadrada, ou seja, ou autovalores podem representar essa matriz.
Observações
 � Só é possível obter autovalores e autovetores de matrizes quadradas.
 � O número de autovalores é defi nido pela ordem da matriz.
Aula 12 Álgebra Linear12
Exemplo 1 
Se multiplicarmos a matriz A =
[
2 1
1 2
]
 pelo vetor 
1 =
[
1
1
]
 temos: 
A · 1 =
[
2 1
1 2
]
·
[
1
1
]
=
[
3
3
]
. É notório que a constante que devemos multiplicar por v
1
 para 
que a igualdade A.v = ̧ .v seja satisfeita é ̧ =3: λ = 3 :
[
2 1
1 2
]
·
[
1
1
]
= 3 ·
[
1
1
]
=
[
3
3
]
 . 
Uma outra possibilidade é multiplicarmos a matriz A =
[
2 1
1 2
]
 pelo vetor 
v2 =
[
−1
1
]
. Assim, temos: A · 2 =
[
2 1
1 2
]
·
[
−1
1
]
=
[
−1
1
]
 logo, a constan-
te que devemos multiplicar por v
2 para que a igualdade A·v = ¸.v seja satisfeita é ¸=1: 
λ = 1 :
[
2 1
1 2
]
·
[
−1
1
]
= 1 ·
[
−1
1
]
=
[
−1
1
]
.
Encontrando os autovalores 
No Exemplo 1, conseguimos identifi car os autovalores da matriz A, porém, nem sempre 
essa tarefa é possível de ser alcançada simplesmente analisandoa matriz intuitivamente. 
Para obtermos o procedimento a fi m de encontrarmos os autovalores de uma matriz 
quadrada, vamos partir da própria defi nição de autovalores: 
Av =¸v
Vamos introduzir a matriz identidade sem alterar a igualdade: 
Av =¸Iv
Vamos agora somar a ambos os lados da equação o termo –Av :
Av – v = ¸Iv – Av
0 = ¸Iv – Av
Colocando o vetor v em evidência: (¸I–A)v =0
Essa equação resulta em um sistema de equações com n equações e n incógnitas, onde 
n é a ordem da matriz A. Note que o sistema é um sistema homogêneo, portanto, admite a 
solução trivial (todas as variáveis iguais a zero). No sistema de equações, v é o vetor com as 
incógnitas e a matriz (¸I–A) é a matriz dos coefi cientes. Sabemos ainda que em um sistema 
de equações, quando a matriz dos coefi cientes apresenta determinante diferente de zero, isso 
implica em um sistema possível determinado, ou seja, de única solução, e como esse sistema 
1
Aula 12 Álgebra Linear 13
é homogêneo, se apresentar uma única solução, essa solução necessariamente será a trivial, 
solução que não interessa, pois obteríamos qualquer valor para ¸. Para encontrarmos as 
soluções não triviais dessa equação, devemos garantir que o determinante da matriz (¸I–A) 
seja igual a zero: det(¸I–A)=0
Essa equação é chamada de equação característica.
Ao desenvolvermos a equação característica, nos deparamos com um polinômio em ¸, 
chamado de polinômio característico.
¸n+c
1
¸n -1+c
2
¸n -2+ ... + cn -1¸+ cn
Exemplo 2 
Encontre os autovalores da matriz A =
[
2 2
2 2
]
Fazendo det(¸I–A)=0
det
(
λ
[
1 0
0 1
]
−
[
2 2
2 2
])
= 0
det
([
λ− 2 −2
−2 λ− 2
])
= 0
 
(¸ – 2)2 – 4 = 0
¸2 – 4¸ = 0 → polinômio característico
¸(¸–4) = 0
λ1 = 0
λ2 = 4
}
 autovalores de A
Encontre os autovalores da matriz A =
[
2 −4
−4 2
]
 
Aula 12 Álgebra Linear14
Autovetor 
Quando partimos da defi nição Av =¸v encontramos os autovalores da matriz A, porém 
quando substituímos o valor de ¸, a equação não é satisfeita para qualquer vetor v, apenas 
para alguns vetores que são chamados de autovetores da matriz A.
Portanto, autovetor é o conjunto de vetores solução, não triviais, da equação Av =¸v 
ou (¸I–A)v=0, para cada valor de ¸.
Exemplo 3 
Encontre os autovetores da matriz A =
[
2 2
2 2
]
.
Para encontrarmos os autovetores de uma matriz, antes precisamos conhecer seus autovalores, 
como calculamos no Exemplo 2, sabemos que os autovalores de A são 0 e 4.
Então, vamos solucionar a equação (¸I–A)v=0 para ¸=0 e para ¸=4.
Para ¸=0
(λI −A)v = 0(
λ− 2 −2
−2 λ− 2
)(
x1
y1
)
=
(
0
0
)
(
0− 2 −2
−2 0− 2
)(
x1
y1
)
=
(
0
0
)
(
−2 −2
−2 −2
)(
x1
y1
)
=
(
0
0
)
{
−2x1 − 2y1 = 0
−2x1 − 2y1 = 0
x1 = −y1(
x1
y1
)
=
(
−y1
y1
)
= y1
(
−1
1
)
v1 = (−1, 1)
Para ¸=4
(λI −A)v = 0(
λ− 2 −2
−2 λ− 2
)(
x2
y2
)
=
(
0
0
)
(
4− 2 −2
−2 4− 2
)(
x2
y2
)
=
(
0
0
)
(
2 −2
−2 2
)(
x2
y2
)
=
(
0
0
)
{
2x2 − 2y2 = 0
−2x2 + 2y2 = 0
x2 = y2(
x2
y2
)
=
(
y2
y2
)
= y2
(
1
1
)
v2 = (1, 1)
2
Aula 12 Álgebra Linear 15
Autoespaço 
Note que em toda situação obteremos um sistema possível indeterminado porque defi -
nimos no início que det(¸I–A)=0, o que caracteriza um sistema possível indeterminado ou 
impossível, e como o sistema é sempre homogêneo, logo não pode ser impossível. Portanto, 
sempre teremos infi nitas soluções para os autovetores e, por essa razão, não dizemos que 
apenas um determinado vetor é autovetor de uma matriz e sim todo espaço gerado por essa 
base encontrada. Esse espaço solução para os autovalores possíveis é chamado de autoespaço 
associado a um determinado autovalor.
Encontre os autovetores da matriz A =
[
2 −4
−4 2
]
.
Observação:
 � O sistema tem soluções não triviais.
 � Se A é uma matriz triangular ou diagonal, então, os autovalores de A são os 
elementos da diagonal principal.
Propriedades
 � Se v é um autovetor associado a um autovalor ¸ de A, então, kv também é 
um autovetor de A associado ao mesmo autovalor.
 � Se ¸ é autovalor de A, então, ¸k é um autovalor de Ak.
 � Se ¸ é autovalor de A, então, ¸–1 é um autovalor de A–1.
 � Se ¸ é autovalor de A, então, k¸ é um autovalor de kA.
*k é um escalar.
Aula 12 Álgebra Linear16
Multiplicidade dos autovalores 
Multiplicidade algébrica 
A multiplicidade algébrica dos autovalores indica a quantidade de vezes que um determi-
nado autovalor aparece como solução do polinômio característico. 
Multiplicidade geométrica 
A multiplicidade geométrica dos autovalores indica a dimensão do autoespaço associado 
a um determinado autovalor, ou seja, a quantidade de vetores na base do autoespaço.
Exemplo 4 
Encontre a multiplicidade algébrica e geométrica da matriz A =
⎡
⎢⎣
0 0 1
0 0 1
0 0 1
⎤
⎥⎦
Encontrando os autovalores de A: 
det(λI −A) = 0
det
⎛
⎜⎝
λ 0 −1
0 λ −1
0 0 λ− 1
⎞
⎟⎠ = 0
Escolhendo a terceira linha da matriz:
detM = m31c31 +m32c32 +m33c33 = 0
detM = 0 · c31 + 0 · c32 +m33c33 = 0
detM = (λ− 1)(−1)3+3
∣∣∣∣∣ λ 00 λ
∣∣∣∣∣ = 0
(λ− 1)λ2 = 0
λ1 = 1 → Mult. Algébrica = 1
λ2 = 0
λ3 = 0
}
→ Mult. Algébrica = 2
3
Aula 12 Álgebra Linear 17
Encontrando os autovetores de A: 
Para ¸=1
(λI −A)v = 0⎛
⎜⎝
λ 0 −1
0 λ −1
0 0 λ− 1
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
x1
y1
z1
⎞
⎟⎠ =
⎛
⎜⎝
0
0
0
⎞
⎟⎠
(λI −A)v = 0⎛
⎜⎝
1 0 −1
0 1 −1
0 0 0
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
x1
y1
z1
⎞
⎟⎠ =
⎛
⎜⎝
0
0
0
⎞
⎟⎠
{
x1 − z1 = 0
y1 − z1 = 0⎛
⎜⎝
x1
y1
z1
⎞
⎟⎠ =
⎛
⎜⎝
z1
z1
z1
⎞
⎟⎠ = z1
⎛
⎜⎝
1
1
1
⎞
⎟⎠
v1 = (1, 1, 1)
Multiplicidade geométrica de ¸=1 → 1
Para ¸=0
(λI −A)v = 0⎛
⎜⎝
λ 0 −1
0 λ −1
0 0 λ− 1
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
x2
y2
z2
⎞
⎟⎠ =
⎛
⎜⎝
0
0
0
⎞
⎟⎠
(λI −A)v = 0⎛
⎜⎝
0 0 −1
0 0 −1
0 0 −1
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
x2
y2
z2
⎞
⎟⎠ =
⎛
⎜⎝
0
0
0
⎞
⎟⎠
{
−z2 = 0⎛
⎜⎝
x2
y2
z2
⎞
⎟⎠ =
⎛
⎜⎝
x2
y2
0
⎞
⎟⎠ = x2
⎛
⎜⎝
1
0
0
⎞
⎟⎠ = y2
⎛
⎜⎝
0
1
0
⎞
⎟⎠
v2 = (1, 0, 0),v3 = (0, 1, 0)
Multiplicidade geométrica de ¸=0 → 2
Encontre as multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores de 
A =
⎡
⎢⎣
0 0 1
0 0 1
1 1 1
⎤
⎥⎦.
Desafi o
Resumo
1
Aula 12 Álgebra Linear18
1) Sabendo que o polinômio característico é p(¸)= ¸3 –¸2+2¸+4, encontre det(A).
2) Conhecendo os autovalores de A, então, conhecemos os autovalores de AT?
3) Uma matriz A é inversível se um dos seus autovalores for zero?
O assunto de autovalores e autovetores é um dos mais usados da Álgebra 
Linear e é importante que nesta aula você tenha aprendido como calculá-los, 
assim como entender seu signifi cado, pois esse conteúdo será amplamente 
aplicado daqui em diante.
Autoavaliação
Encontre os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.
a) A =
[
4
]
b) A =
[
2 1
0 3
]
c) A =
[
2 1
2 3
]
d) A =
[
1 1
1 −1
]
e) A =
⎡
⎢⎣
0 1 1
1 1 0
1 0 1
⎤
⎥⎦
f) A =
⎡
⎢⎣
1 0 0
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥⎦
g) A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
2
3
4
5
6
7
Aula 12 Álgebra Linear 19
Encontre os autovalores e autovetores de A15, sendo A =
⎡
⎢⎣
−1 −2 −2
1 2 1
−1 −1 0
⎤
⎥⎦.
Encontre uma matriz de ordem 4 onde seus autovalores sejam 1, 2, 3 e 4.
Encontre uma base para o autoespaço de:
a) F =
⎡
⎢⎣
1 1 1
0 0 0
1 0 1
⎤
⎥⎦ b) H =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 1 2
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
Considere a matriz A =
[
a b
c d
]
 e responda:
a) Que condição faz com que a matriz A tenha autovalores complexos?
b) Que condição faz com que os autovalores de A tenham multiplicidade algébrica diferente 
de 1?
Se um dos autovalores de uma matriz B é zero, a matriz B é não singular? 
Justifi que.
Considere o polinômio característico de A, p(¸)= ¸(¸–2)(¸+1)3 (¸–4).
a) Qual o tamanho de A?
b) A é inversível?
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: 
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
Aula 12 Álgebra Linear20
Diagonalização de matrizes
13
Aula
1
2
3
Aula 13 Álgebra Linear 23
Apresentação
Sabemos que muitos sistemas podem ser representados pormatrizes e a manipulação dessas matrizes implica em análise, melhorias e cálculos desses sistemas. Imagine que essas matrizes, em determinados casos, não sejam simples de serem manipuladas, 
então devemos encontrar matrizes o mais simples possível para representar esses sistemas e 
assim ganhar em tempo de processamento e custo operacional. Uma das formas de obter essa 
simplifi cação consiste em encontrarmos uma matriz diagonal que seja semelhante à original, 
e a esse processo chamamos de diagonalização de matrizes.
Objetivos
Saber aplicar o processo de diagonalização de matrizes.
Diferenciar a diagonalização convencional da diagonaliza-
ção ortogonal.
Calcular a matriz que diagonaliza outra.
Aula 13 Álgebra Linear 25
Defi nição 
A diagonalização de matrizes consiste na obtenção de uma matriz diagonal que seja 
equivalente à matriz original. O que motiva a obtenção dessa matriz equivalente diagonal 
são as suas características. Por apresentar todos os elementos fora da diagonal principal 
diferentes de zero, isso implica, matematicamente, em uma redução signifi cativa no custo de 
processamento dessa matriz. 
Matrizes equivalentes 
Para entender melhor como a matriz diagonal pode ser semelhante a uma matriz qualquer 
quadrada, vejamos a seguir o que é preservado em matrizes semelhantes.
Considere duas matrizes A e B que sejam semelhantes:
 � As características (postos) são iguais.
 � As nulidades são iguais.
 � Os polinômios característicos são iguais.
 � Os determinantes são iguais.
 � Os traços são iguais.
 � Os autovalores são iguais.
 � Os autovetores são correspondentes.
Com esses pontos iguais, então podemos afi rmar que duas matrizes são semelhantes. 
O desafi o consiste então em encontrar uma matriz diagonal que preserve todos esses itens 
da matriz original.
Por defi nição, dizemos que duas matrizes A e B são semelhantes se existir uma matriz 
P, inversível, tal que:
B = P–1AP
Aula 13 Álgebra Linear26
Então, se encontrarmos a matriz P, estamos encontrando a matriz que diagonaliza A, e 
B será uma matriz diagonal. 
Matriz diagonal 
Se B é uma matriz diagonal semelhante à A e os autovalores são preservados quando 
as matrizes são semelhantes, então a única possibilidade de B ter os mesmos autovalores de 
A é se os elementos da diagonal de B forem os próprios autovalores de A:
B = D = P –1AP
Se quisermos apenas saber qual a matriz diagonal equivalente, então basta encontrar-
mos os autovalores da matriz A, porém, muitos problemas requerem encontrar a matriz que 
diagonaliza A, uma vez que essa simplifi cação na matriz de trabalho implica em uma mudança 
de coordenadas e é muito provável que todos os dados envolvidos com o sistema original 
necessitem migrar para esse novo sistema de coordenadas.
Matriz que diagonaliza a matriz A 
Para encontrarmos a matriz que diagonaliza A, devemos encontrar os autovetores da 
matriz A, uma vez conhecidos os autovetores v1, v2, v3,..., vn, basta montar a matriz P com os 
autovetores por coluna:
P = [v1|v2|v3| · · · |vn]
A única ressalva é que os autovetores sejam linearmente independentes (LI), pois P deve 
ser inversível. Portanto, se os autovetores forem LI e a quantidade de autovetores for igual à 
ordem da matriz A, então dizemos que A é diagonalizável.
D =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
λ1 0 0 · · · 0
0 λ2 0 · · · 0
0 0 λ3 · · · 0
0 0 0 · · · λn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Aula 13 Álgebra Linear 27
Encontrando os autovalores: 
 
det(λI− ) = 0
 
A =
{
λ1 = λ2 = 1
λ3 = 0
Encontrando os autovetores:
λ = 1
(λI −A)X = 0⎡
⎢⎣
1− 1 0 0
−2 1 0
0 0 1− 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
x1
x2
x3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣
0
0
0
⎤
⎥⎦
{−2x1 + x2 = 0
v1 =
⎛
⎜⎝
1
2
0
⎞
⎟⎠ ,v2 =
⎛
⎜⎝
0
0
1
⎞
⎟⎠
 λ = 1
(λI −A)X = 0⎡
⎢⎣
0− 1 0 0
−2 0 0
0 0 0− 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
x1
x2
x3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣
0
0
0
⎤
⎥⎦
{
−x1 = 0
−x3 = 0
v3 =
⎛
⎜⎝
0
1
0
⎞
⎟⎠
Verifi cando se os autovetores são LI:
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0
k1(1, 2, 0) + k2(0, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0⎧⎪⎨
⎪⎩
k1 = 0
2k1 + k3 = 0
k3 = 0
k1 = k2 = k3 = 0
Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI.
Exemplo 1 
Encontre a matriz que diagonaliza A =
⎡
⎢⎣
1 0 0
2 0 0
0 0 1
⎤
⎥⎦
Resolução:
1
Aula 13 Álgebra Linear28
Montando a matriz P:
P = [v1 v2 v3 ]
P =
[
1 0 0
2 0 1
0 1 0
]
P−1 =
[
1 0 0
0 0 1
−2 1 0
]
Verifi cando:
D = P-1AP
D =
⎡
⎢⎣
1 0 0
0 0 1
−2 1 0
⎤
⎥⎦ ·
⎡
⎢⎣
1 0 0
2 0 0
0 0 1
⎤
⎥⎦ ·
⎡
⎢⎣
1 0 0
2 0 1
0 1 0
⎤
⎥⎦
D =
⎡
⎢⎣
1 0 0
0 0 1
0 0 0
⎤
⎥⎦ ·
⎡
⎢⎣
1 0 0
2 0 1
0 1 0
⎤
⎥⎦
D =
⎡
⎢⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 0
⎤
⎥⎦
Matriz diagonal formada a partir dos autovalores de A. 
Encontre a matriz que diagonaliza A =
⎡
⎢⎣
2 0 1
1 0 1
0 0 1
⎤
⎥⎦
Potenciação de matrizes 
A diagonalização de matrizes permite-nos calcular potências de matrizes. Sabendo que
D = P–1AP, ao multiplicarmos a matriz diagonal por ela mesma, teremos:
D·D = (P–1AP)·(P–1AP)
Eliminando os parênteses, temos:
D2 = P–1A /AP = P–1A2P
Multiplicando a expressão pela esquerda por P e pela direita por P –1, temos:
Aula 13 Álgebra Linear 29
PD2P–1 = A2
Se multiplicarmos novamente por D, chegaremos à conclusão que:
Ak = PDkP–1
Onde k é qualquer expoente inteiro.
Dessa forma, se conhecemos a matriz diagonal e a matriz que diagonaliza A, podemos calcular 
qualquer potência de A.
Exemplo 2 
Calcule A15, onde A =
[
0 0
1 1
]
Resolução:
Sabemos que A15 = PD15P –1 , então devemos encontrar D e P.
Encontrando os autovalores: 
det(λI− ) = 0
{
λ1 = 1
λ2 = 0
Encontrando os autovetores:
λ1 = 1
(λI −A)X = 0[
1 0
−1 1− 1
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
{
x1 = 0
v1 =
(
0
1
)
 
λ2 = 0
(λI −A)X = 0[
0 0
−1 0− 1
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
{
−x1 − x2 = 0
v2 =
(
1
−1
)
Verifi cando se os autovetores são LI: 
Como não são múltiplos um do outro, então são LI.
Matriz diagonal: D =
[
1 0
0 0
]
, D15 =
[
115 0
0 0
]
=
[
1 0
0 0
]
Matriz que diagonaliza A: P =
[
0 1
1 −1
]
, P−1 =
[
1 1
1 0
]
2
Aula 13 Álgebra Linear30
Calcule A15, onde A =
[
1 −1
1 1
]
.
Diagonalização ortogonal 
de matrizes 
Uma particularidade no caso da diagonalização de matrizes é quando a matriz que dia-
gonaliza A é uma matriz ortogonal:
Pt = P –1
Ou seja, os vetores que representam as linhas e as colunas de P são ortonormais entre si.
A diagonalização ortogonal permite que a transição de um sistema de coordenadas para 
outro ocorra sem perda de proporções, fato que comprovaremos ao estudarmos as cônicas. 
Portanto, se houver uma matriz P, tal que D = P–1AP = PtAP, então dizemos que A é 
ortogonalmente diagonalizável.
Para saber se A pode ser diagonalizada ortogonalmente, devemos observar se A é uma 
matriz simétrica, caso contrário, já podemos descartar a possibilidade. Então:
Se At = A (simétrica), A é diagonalizável ortogonalmente.
O processo de obtenção da matriz que diagonaliza A ortogonalmente é inicialmente o 
mesmo do processo de diagonalização convencional, porém quando encontramos os autove-
tores LI, estes devem ser ortonormais e, para isso, aplicamos o processo de Gram-Schmidt e 
depois normalizamos os vetores para só então montarmos a matriz P.
As etapas para a diagonalização ortogonal são:
1) Encontrar os autovetores.
2) Se os vetores forem LI, aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
3) Normalizar os vetores.
Logo,
A15 = P 15P−1 =
[
0 1
1 −1
]
·
[
1 0
0 0
]
·
[
1 1
1 0
]
=
[
0 0
1 1
]
Aula 13 Álgebra Linear 31
Exemplo 3 
Encontre a matriz que diagonaliza A =
⎡
⎢⎣
1 0 1
0 0 0
1 0 1
⎤
⎥⎦ortogonalmente.
Resolução:
Encontrando os autovalores: 
det(λI− ) = 0
 
{
λ1 = 2
λ2 = λ3 = 0
Encontrando os autovetores:
λ1 = 2
(λI −A)X = 0⎡
⎢⎣
2− 1 0 −1
0 2 0
−1 0 2− 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
x1
x2
x3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣
0
0
0
⎤
⎥⎦
⎧⎪⎨
⎪⎩
x1 − x3 = 0
x2 = 0
−x1 + x3 = 0
{x1 = x3
v1 =
⎛
⎜⎝
1
0
1
⎞
⎟⎠
 λ2 = 0
(λI −A)X = 0⎡
⎢⎣
0− 1 0 −1
0 0 0
−1 0 0− 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
x1
x2
x3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣
0
0
0
⎤
⎥⎦
{
−x1 − x3 = 0
{
x1 = −x3
x2
v2 =
⎛
⎜⎝
−1
0
1
⎞
⎟⎠ ,v3 =
⎛
⎜⎝
0
1
0
⎞
⎟⎠
Verifi cando se os autovetores são LI:
k1v1 + k2v2+ k3v3 = 0
k1(1, 0, 1) + k2(−1, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0⎧⎪⎨
⎪⎩
k1 − k3 = 0
k2 = 0
k1 + k3 = 0
k1 = k2 = k3 = 0
Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI.
Analisando se os vetores são ortogonais:
<(1,0,1),(–1,0,1)> = 0
<(1,0,1),(0,1,0)> = 0
<(–1,0,1),(0,1,0)> = 0
3
Desafi o
Aula 13 Álgebra Linear32
Não será necessário utilizar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, pois os vetores 
já são ortogonais, é necessário então apenas normalizá-los:
Encontre a matriz que diagonaliza A =
⎡
⎢⎣
0 0 1
0 2 0
1 0 0
⎤
⎥⎦ ortogonalmente.
1) A matriz N =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦pode ser diagonalizada? E diagonalizada ortogonalmente? 
2) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, a qual possui dois autovalores distintos, onde 
cada autoespaço é unidimensional. A é diagonalizável? Justifi que.
3) Prove que A não é diagonalizável se s≠0. A =
[
r s
0 r
]
v1 =
v1
‖v1‖ =
(1, 0, 1)√
2
=
⎛
⎜⎜⎜⎜⎝
1√
2
0
1√
2
⎞
⎟⎟⎟⎟⎠ v2 =
v2
‖v2‖ =
(−1, 0, 1)√
2
=
⎛
⎜⎜⎜⎜⎝
−1√
2
0
1√
2
⎞
⎟⎟⎟⎟⎠
v3 =
⎛
⎜⎝
0
1
0
⎞
⎟⎠
Montando a matriz P:
P = [v1 v2 v3 ] P
−1 = P t
P =
⎡
⎢⎢⎣
1√
2
−1√
2
0
0 0 1
1√
2
1√
2
0
⎤
⎥⎥⎦ P−1 =
⎡
⎢⎢⎣
1√
2
0 1√
2
−1√
2
0 1√
2
0 1 0
⎤
⎥⎥⎦
Resumo
1
2
Aula 13 Álgebra Linear 33
Nesta aula, você aprendeu como obter uma matriz diagonal equivalente a 
uma matriz qualquer, assim como obter a diagonalização ortogonal. Viu ainda 
como identifi car quais os requisitos para que determinada matriz possa ser 
diagonalizada e diagonalizada ortogonalmente.
Autoavaliação
Determine se a matriz A é diagonalizável. Em caso afi rmativo, encontre a matriz 
que diagonaliza A.
Determine se a matriz A é diagonalizável ortogonalmente. Em caso afi rmativo, 
encontre a matriz que diagonaliza A ortogonalmente.
a) A =
[
2 1
0 1
]
b) A =
⎡
⎢⎣
3 0 0
1 3 0
0 1 3
⎤
⎥⎦
c) A =
⎡
⎢⎣
0 0 1
0 0 1
1 1 1
⎤
⎥⎦
d) A =
⎡
⎢⎣
2 0 2
0 0 0
2 0 2
⎤
⎥⎦
e) A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 0 1
0 0 0 1
1 1 1 1
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
a) A =
[
2 1
0 1
]
b) A =
⎡
⎢⎣
3 0 0
1 3 0
0 1 3
⎤
⎥⎦
c) A =
⎡
⎢⎣
0 0 1
0 0 1
1 1 1
⎤
⎥⎦
d) A =
⎡
⎢⎣
2 0 2
0 0 0
2 0 2
⎤
⎥⎦
e) A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 0 1
0 0 0 1
1 1 1 1
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
Anotações
3
4
Aula 13 Álgebra Linear34
Calcule A21. A =
⎡
⎢⎣
0 2 2
0 0 1
0 1 0
⎤
⎥⎦
Para que valores de x a matriz B é diagonalizável? E ortogonalmente diagonalizável? 
B =
[
1 1
0 x
]
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: 
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
Aula 13 Álgebra Linear 35
Anotações
Aula 13 Álgebra Linear36
Transformações 
lineares – defi nição
14
Aula
1
2
3
Aula 14 Álgebra Linear 39
Apresentação
No estudo de espaços vetoriais é comum que espaços distintos se relacionem entre 
si e essa interação ocorre através de funções que, em se tratando de espaços vetoriais, são 
chamadas de transformações lineares.
Objetivos
Reconhecer os espaços evolvidos na transformação linear.
Calcular núcleo e imagem de transformações lineares.
Encontrar vetores de espaços distintos que estão relacio-
nados através da transformação linear.
Es
paço
 Domínio Es
paço
 Imagem
Espaço
vetorial
W
Espaço
vetorial
V
V
2
Vn
V
1
T(V
1
)=W
1
T(V
2
)=W
2
T(Vn)=Wn
W
2
Wn
W
1
T:V→W
Aula 14 Álgebra Linear 41
Defi nição 
Transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que 
preservam a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Também pode ser chamada de 
aplicação linear ou mapa linear. 
Considerando funções da forma w =F(x), onde a variável independente x é um vetor em 
V (espaço domínio) e a variável dependente w é um vetor em W (espaço imagem), tem-se 
que a função é dita uma transformação linear F: V →W se satisfi zer as seguintes condições:
i) F(x
1
 + x
2
) = F(x
1
)+ F(x
2
)
ii) F(k·x
1
) =k·F(x
1
)
onde
x
1
 e x
2
= elementos quaisquer de V e k = constante.
Notação: Uma transformação T de um espaço vetorial V em um espaço vetorial W será 
denotada por 
T :V →W,
onde T(v)=w,
sendo v um elemento de V e w um elemento de W. A Figura 1 mostra os espaços vetoriais V 
e W relacionados através da transformação linear T.
Figura 1 – Transformação linear de V em W
Aula 14 Álgebra Linear42
Exemplo 1 
Explique se T: �→�, T(x)= 8x é uma transformação linear.
Resolução:
Para que T(x)= 8x seja uma transformação linear T: �→�, é necessário que sejam satisfeitas 
as duas condições:
i) T(x
1
 + x
2
) = T(x
1
) + T(x
2
)
T(x
1
) = 8x
1
T(x
2
) = 8x
2
T(x
1
)+ T(x
2
) = 8x
1
+8x
2 
= 8(x
1
 + x
2
)
T(x
1
 + x
2
) = 8(x
1
 + x
2
)
Como T(x
1
 + x
2
) = T(x
1
)+ T(x
2
), primeira condição satisfeita.
ii) T(k·x
1
) = k.T(x
1
)
T(k·x
1
)=8(k·x
1
)= k.8(x
1
)
k ·T(x
1
)= k·8(x
1
)
Satisfaz também a segunda condição T(k·x
1
) = k.T(x
1
). Logo, a transformação é uma 
transformação linear.
Exemplo 2 
Explique se T: �4→�2, T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w), é uma transformação linear.
Resolução:
Para que a transformação seja uma transformação linear, é necessário que sejam satisfeitas 
as duas condições:
i) T(u + v) = T(u)+ T(v),
onde u =(u
1
,u
2
,u
3
,u
4
), v =(v
1
,v
2
,v
3
,v
4
)
T(u)=(u
1 
+ u
2 
+ 1, u
3
–u
4
)
T(v)=(v
1 
+ v
2 
+ 1,v
3
– v
4
)
T(u)+ T(v) = (u
1
+v
1
+u
2
+v
2
+1+1, u
3
+v
3
–u
4
 – v
4
)= (u
1
+v
1
+u
2
+v
2
+2, u
3
+v
3
–u
4
–v
4
)
T(u + v) =(u
1
+v
1
+u
2
+v
2
+1, u
3
+v
3
–u
4
–v
4
)
Como T(u + v) ≠T(u)+ T(v), a primeira condição não foi satisfeita. Logo, a transformação 
não é linear.
1
Aula 14 Álgebra Linear 43
Em toda transformação linear T:V→W, tem-se que T(0)=0.
Essa característica da transformação linear pode ser usada para provar que 
uma determinada transformação não é linear, caso T(0) seja diferente de zero. 
Mas quando a transformação T(0) é nula, sem que seja feita nenhuma outra 
avaliação, não é possível afi rmar que a transformação é linear.
Avaliando os exemplos anteriores, tem-se que:
Exemplo 1 
T: �→�, T(x) = 8x (é uma transformação linear)
T(0)=8·0=0
Exemplo 2
T: �4→�2, T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w) (não é uma transformação linear)
T(0,0,0,0)=(0+0+1,0-0)=(1,0,0)
No exemplo 1, verifi camos que a transformação é linear, logo, T(0)=0. Já no exemplo 2, foi 
verifi cado que a transformação não é linear, T(0)≠0.
Explique se as transformações são lineares.
a) T: �2→�3, T(x,y)=(3x,–2y, x–y)
b) T: �→�, T(x)= 3x2
Aula 14 Álgebra Linear44
Princípio da superposição 
O princípio da superposição nos permite “separar” transformações lineares de somas de 
vetores, assim como deslocar constantes para fora da transformação, isso faz com que usemos 
parcelas mais simples de serem resolvidas. Na realidade, aplicaremos as características de 
adição e multiplicação por escalar das transformações lineares.
T:V→W é uma transformação linear, {v
1
,v
2
,...,vn} é base de V e ̧ 1, ̧ 2,..., ̧ n pertencem a �, então:
T(¸
1
v
1
+¸
2
v
2
+...¸nvn)= ¸1T(v1)+ ¸2T(v2)+...+ ¸nT(vn)
O princípio da superposição possibilita encontrarmos as expressões das transformações 
a partir de pares de vetores relacionados por essa transformação linear.
Exemplo 3 
Seja T: �3→�2 uma transformação linear e B={v
1
,v
2
,v
3
} uma base do �3, onde v
1
=(0,1,0), 
v
2
=(1,0,1) e v
3
=(1,1,0); determine T(v), sabendo que v=(5,3,–2), T(v
1
)=(1,–2), 
T(v
2
)=(3,1) e T(v
3
)=(0,2).
Resolução:
O vetor v pode ser escrito como combinação linear dos elementos da base B, consi-
dere ¸ constantes:
V=¸
1
v
1
+¸
2
v
2
+¸
3
v
3
v=¸
1
(0,1,0)+¸
2
(1,0,1)+¸
3
(1,1,0)
v=(¸
2
+¸
3
, ¸
1
+¸
3
, ¸
2
)
(5,3,–2)= (¸
2
+¸
3
, ¸
1
+¸
3
, ¸
2
)
¸
2
+¸
3
=5
¸
1
+¸
3
=3
¸
2
=–2
Logo,
¸
1
= –4
¸
2
= –2 
¸
3
= 7
Assim,
v=¸
1
v
1
+¸
2
v
2
+¸
3
v
3
v= –4 v
1
–2v
2
+7v
3
Aula 14 Álgebra Linear 45
Aplicando a transformação em ambos os lados da equação,temos:
T(v)=T(–4v
1
–2v
2
+7v
3
)
Usando agora o princípio da superposição podemos separar as somas e colocar as constantes 
para fora da transformação:
T(v)=–4T(v
1
)–2T(v
2
)+7T(v
3
)
T(v)=–4(1,–2)–2(3,1)+7(0,2)
T(V)=(–10,20)
Dessa forma, encontramos 
T(v)=T(5,3,–2)=(–10,20).
Exemplo 4 
Encontre, caso exista, T: �2→�3 tal que T(1,1)=(3,–2,1) e T(0,–2)=(0,1,0).
Resolução:
A primeira coisa a ser verifi cada é se {(1,1),(0,-2)} é a base do �2. Como é base, então a 
transformação existe.
Nesse exercício, queremos encontrar agora a regra da transformação linear, a equação que 
nos permite achar a transformação de qualquer vetor do domínio.
O passo seguinte é considerar um vetor genérico do espaço domínio v=(x,y) e escrevê-lo 
como combinação linear dos elementos da base:
v=(x,y)=¸
1
(1,1)+¸
2
(0,–2) 
¸1=x
¸1–2¸2=y
Logo,
λ1 = x
λ2 =
x− y
2
Depois que encontramos os pesos, escrevemos o vetor v como combinação linear dos vetores 
da base com os respectivos pesos ¸1 e ¸2:
(x, y) = λ1(1, 1) + λ2(0,−2)
(x, y) = x(1, 1) +
(
x− y
2
)
(0,−2)
Aplicamos então a transformação em ambos os lados da equação:
T (x, y) = T
(
x(1, 1) +
x− y
2
(0,−2)
)
2
Aula 14 Álgebra Linear46
Usando o teorema da superposição, temos:
T (x, y) = x · T (1, 1) + x− y
2
· T (0,−2)
T (x, y) = x(3,−2, 1) + x− y
2
(0, 1, 0)
T (x, y) =
(
3x,−2x+ x− y
2
, x
)
T (x, y) =
(
3x,
−3x− y
2
, x
)
Logo, encontramos a transformação linear.
Conferindo:
Se a regra está correta, as transformações fornecidas no enunciado da questão devem valer 
para a regra:
T (1, 1) = (3,−2, 1)
T (0,−2) = (0, 1, 0)
T (1, 1) =
(
3 · 1, (−3) · 1− 1
2
, 1
)
= (3,−2, 1)
T (0,−2) =
(
3 · 0, (−0) · 1− (−2)
2
, 0
)
= (0, 1, 0)
Logo, a transformação está correta.
Encontre, caso exista, T: �3→�3 tal que 
T(0,1,1)=(1,–1,1), T(1,0,0)=(1,1,0) e T(–1,0,1)=(–1,0,0).
Espaço V Espaço W
V
5
V
1
Vn
V
3
V
2
V
4
W
5
W
1
Wn
W
3
T:V→W
N(T) 0
Aula 14 Álgebra Linear 47
Núcleo 
De uma maneira simples, o núcleo da transformação linear corresponde ao conjunto de 
todos os elementos do espaço domínio que, quando aplicados na transformação, o resultado 
é o vetor nulo do espaço imagem.
Considerando a transformação linear T:V→W, chamamos de núcleo da transformação 
linear todos os vetores de V tal que T(v)=0. O núcleo é também chamado de Kernel de uma 
transformação linear.
N(T)=Ker(T)={v ∈V; T(v)=0}
A Figura 2 mostra a relação dos espaços com o núcleo da transformação.
Figura 2 – Núcleo de uma transformação linear
Note que o núcleo da transformação está contido em V, N(T) ⊂ V, e N(T) ≠ ∅, pois 
0 ∈ N(T), uma vez que a transformação é linear e T(0)=0.
Aula 14 Álgebra Linear48
Propriedades do núcleo
Seja T:V→W uma transformação linear, então N(T) é um subespaço vetorial de V.
Para provarmos, considere que v
1
 e v
2
 ∈ N(T), logo:
T(v
1
)=0
T(v
2
)=0
Para o subconjunto ser um subespaço, devemos verifi car três pontos:
I) Deve conter o elemento nulo do espaço:
Como T(0)=0, então o núcleo contém o elemento nulo do espaço.
II) Adição:
T(v
1
+v
2
) = T(v
1
)+T(v
2
) = 0+0 = 0
logo, v
1
 +v
2
 ∈ N(T)
III) Multiplicação por escalar:
 Seja ¸ ∈ �, então
T(¸v
1
) = ¸T(v
1
) = ¸· 0 = 0
∴ ¸·v
1
 ∈ N(T)
Espaço V Espaço W
V
5
V
1
Vn
V
3
V
2
V
4
W
5
W
1
W
4
Wn
W
3
W
2
T:V→W
Im(T)
Aula 14 Álgebra Linear 49
Imagem 
A imagem de uma transformação linear consiste no subconjunto do espaço imagem que 
contém os vetores resultantes da aplicação das transformações lineares quando inserimos os 
elementos do domínio. 
Seja T:V→W, chamamos de imagem de uma transformação linear o conjunto de vetores 
w ∈ W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈ V.
Im(T)= {w ∈ W; T(v)=w, para algum v ∈ V }
A Figura 3 mostra a relação da imagem com os espaços vetoriais envolvidos.
Figura 3 – Imagem de uma transformação linear
Note que a imagem da transformação está contida em W, Im(T) ⊂ W, e Im(T) ≠ ∅, 
pois T(0) = 0 e o vetor nulo pertencem e imagem de T, 0 ∈ Im(T).
Teorema 
Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão fi nita e T:U→V uma transforma-
ção linear, tem-se:
dim(U) = dim(N(T)) + dim(Im(T))
Aula 14 Álgebra Linear50
Exemplo 5 
Encontre o núcleo e a imagem da transformação T(x,y)=(x+y,x).
Resolução:
Núcleo
Sabemos que para o núcleo T(x,y)=0, logo
T (x, y) = (x+ y, x) = (0, 0){
x+ y = 0
x = 0
x = y = 0
Portanto, N(T)={(0,0)}
Imagem
Para encontrar a imagem, vamos escrever a transformação em coluna:
T (x, y) = (x+ y, x) =
(
x+ y
x
)
Como aparecem duas incógnitas, x e y, então separaremos em dois vetores, um para 
cada variável.
T (x, y) = x
(
1
1
)
+ y
(
1
0
)
Os vetores que aparecem são os que formam a base da imagem, desde que sejam linearmente 
independentes (LI). 
Como (1,1) e (1,0) são LI, então:
Im(T)={(1,1),(1,0)}
*Se os vetores não fossem LI, teríamos que retirar um vetor e verifi car se o conjunto rema-
nescente seria LI. Caso afi rmativo, teríamos a base da imagem e, caso fossem LD, teríamos 
que retirar mais um vetor e fazer a verifi cação quantas vezes forem necessárias.
3
Desafi o
Aula 14 Álgebra Linear 51
Exemplo 6 
Encontre o núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear T:�3→�3, onde 
T(x,y,z)=(x–y+2z , 2x+y–z , 3x+z).
Resolução:
Encontrando o núcleo:
Sabemos que para o núcleo T(x,y,z)=0
(x− y + 2z, 2x+ y − z, 3x+ z) = 0
⎧⎪⎨
⎪⎩
x− y + 2z = 0
2x+ y − z = 0
3x+ z = 0
⎧⎪⎨
⎪⎩
x
z = −3x
y = −5x
(x, y, z) = x(1,−5,−3)
N(T ) = (1,−5,−3)
Como o núcleo da transformação tem apenas um vetor na base, então
dim(N(T)) = 1.
Usando o teorema das dimensões:
dim(�3) = dim(N(T)) + dim(Im(T))
3 = 1 + dim(Im(T))
dim(Im(T)) = 2.
Encontre o núcleo, a imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem 
da transformação linear T:�3→�2, onde T(x,y,z)=(x–y+z, –x+z).
1) Encontre uma transformação linear cujo núcleo seja P
2
.
2) Seja T:P
1
→P
1
, T(x+1)=2x+3 e T(x–1)=3x–2, encontre T(ax+b).
3) Encontre N(T) e escreva dois vetores pertencentes à Im(T), sendo T:M
22
→M
22
, 
T
([
a b
c d
])
=
[
a+ b b+ c
c+ d d+ c
]
1
Resumo
Aula 14 Álgebra Linear52
Autoavaliação
Verifi que se as transformações são lineares.
a) T:�3→�3, T(x,y,z) = (x–y,x 2+z, y+2z) 
b) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w) 
c) T:�3→�3, T(x,y,z) = (0,0,0) 
d) T:�4→�2, T(x,y,z,w) = (x–y+2z+3, 3x–w+4z)
e) T : M22 → �, A =
[
a b
c d
]
, T (A) = det(A)
f) T : M22 → M44, T
([
a b
c d
])
=
⎡
⎢⎢⎢⎣
a 0 0 0
0 b 0 0
0 0 c 0
0 0 0 d
⎤
⎥⎥⎥⎦
 
g) T:Mnn→ Mnn, , Ann, T(A) = At
h) T:P
2
→R, P
2
(x)=a
2
x 2 + a
1
x + a
0
,T(P
2
) = a
2
a
1
a
0
i) T:P
2
→ P
2
, T(a
2
x2+a
1
x +a
0
) = (a
2
 –a0)x 2 + (a0+a1+a2)
j) T : P3 → P2, T (P2) = dP2
dx
 
k) T:P
2
→ P
3, 
T(p(x)) =
 
p(x) + xp(x) + x2ṕ (x)
Nesta aula, você viu uma introdução às transformações lineares e descobriu 
que é através delas que os espaços vetoriais se relacionam. Viu ainda a defi nição 
de núcleo e imagem de uma transformação linear e como calculá-los.
2
4
5
6
3
Aula 14 Álgebra Linear 53
Encontre a regra para a transformação linear, sabendo que:
a) T:�2→�2, Base do �2 = {(2,1),(0,1)}, T(2,1) = (3,7) e T(0,1) = (–1,1)
b) T:�3→�2, Base do �3 = {(1,0,1),(0,1,2),(1,1,1)}, T(1,0,1) = (3,1), T(0,1,2) = (1,2) 
e T(1,1,1) = (4,2)
c) T:�2→�4, Base do �2 = {(–1,1),(1,1)}, T(–1,1) = (0, –4, 0, –1) e T(1,1) = (4,2,2,1)
Sejam as transformações T(v
1
) = (1,1,1), T(v
2
) = (1,0,1) e T(v
3
) = (–1,2,0), 
encontre T(3v
1
 – v
2
 + 5v
3
).
Sabendo que Q(u) = x2–2 e Q(v) = 2–3x, encontre Q(3u–2v).
Encontre a imagem do vetor u nas seguintes transformações:
a) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w), onde u = (1,1,2,0,1)
b) T : M22 → M22, T
([
a b
c d
])
=
[
−a 0
0 −b
]
,u =
[
3 2
7 −2
]
c) T : P2 → P1, T (P2) = dP2dx ,u = 5x
2 − 3x+ 2
Encontre o núcleo e a imagem das transformações:
a) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (x+3y –2z–w)
b) T:�2→�2, T(x,y) = (x+3y,3y)
c) T:�→�3, T(x) = (x,0,3x)
d) T:�3→�2, T(x,y,z) = (x+y, x+z)
e) T : M22 → M22, T
([
a b
c d
])
=
[
−a 0
0 −b
]
f) T : P2 → P1,T (P2) = dP2
dx
g) T: P
2
→ P
2
, T(p(x))= xp´ (x)
7
8
Aula 14 Álgebra Linear54
Encontre a dimensão do núcleo e da imagem das transformações:
a) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (3x–w)
b) T:�2→�2, T(x,y) = (x–y, 3x+y)
c) T:�→�3, T(x) = (0,0,5x)
d) T:�3→�2, T(x,y,z) = (y,x+y+z)
e) T:M
22
→ M
22
, T : M22 → M22, T
([
a b
c d
])
=
[
−a a+ b+ c
−a− b− c −b
]
f) T : P3 → P1, T (P3) = d
2P3
dx2
 
g) T: P
2
→ P
3
, T(p(x))= xp(x)
h) T : �2 → �2, T (x, y) = 1√
2
(x+ y, x− y)
O que é o núcleo de uma transformação linear? E a imagem de uma transformação 
linear?
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
Aula 14 Álgebra Linear 55
Anotações
Aula 14 Álgebra Linear56
Transformações 
lineares e matrizes
15
Aula
1
2
Aula 15 Álgebra Linear 59
Apresentação
Temos visto ao logo de nossas aulas o quanto a representação matricial de sistemas 
pode facilitar seu manuseio, cálculo e entendimento, quando tratamos com transformações 
lineares não é diferente. Toda transformação linear pode ser representada na forma matricial, 
o que implica nas mesmas facilidades da representação matricial dos sistemas.
Objetivos
Obter transformações lineares na forma matricial.
Efetuar cálculos com transformações lineares na forma 
matricial.
Aula 15 Álgebra Linear 61
Defi nição
Consideremos uma transformação linear T:�n →�m defi nida pelas equações da forma:
w1 = a11x1 + a12x2 + · · · a1nxn
w2 = a21x1 + a22x2 + · · · a2nxn
wm = am1x1 + am2x2 + · · · amnxn
Podemos escrever essas equações como um produto de matrizes, separando as matrizes 
dos termos independentes W, dos coefi cientes A e das incógnitas X, onde 
W=A.X⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
w1
w2
wm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
am1 am2 · · · amn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
xn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
Onde A é chamada matriz canônica da transformação linear.
Prova que T(x)=A.X é uma transformação linear:
i) F(x
1
 + x
2
) = F(x
1
) + F(x
2
)
F(x
1
 + x
2
) = A(x
1
 + x
2
) = Ax
1
 + Ax
2
 = F(x
1
) + F(x
2
)
ii) F(k.x) = k.F(x)
F(k.x) = A(k.x) = A.k.x = k.A.x = k(Ax) = k.F(x)
As duas regras são satisfeitas, logo, é uma transformação linear.
Exemplo 1 
A transformação linear T:�4→�3, defi nida por:
T(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (2x
1
 – 3x
2
 + x
3
 – 5x
4
, 4x
1
 + x
2
 – 2x
3
 + x
4
, 5x
1
 – x
2
 + 4x
3
)
Pode ser representada da seguinte forma;⎡
⎢⎣ w1w2
w3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 2 −3 1 −54 1 −2 1
5 −1 4 0
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥⎥⎥⎦ → W = A · X
Note que na primeira coluna da matriz A aparecem os coefi cientes da primeira variável, x
1
, na 
segunda de x
2
 e assim sucessivamente.
Aula 15 Álgebra Linear62
Encontrando a matriz 
transformação com as bases canônicas
Podemos encontrar a matriz transformação com a aplicação dos vetores da base canônica 
à transformação linear. A matriz é montada a partir da entrada por coluna dos vetores imagem 
dos vetores da base canônica.
Exemplo 2 
A transformação linear T:�4→�3, defi nida por:
T(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (2x
1
 – 3x
2
 + x
3
 – 5x
4
, 4x
1
 + x
2
 – 2x
3
 + x
4
, 5x
1
 – x
2
 + 4x
3
)
Resolução
O primeiro passo é identifi car a base canônica do espaço domínio, nesse exemplo é o �4, 
logo, a base canônica é:
e1 = (1,0,0,0)
e2 = (0,1,0,0)
e3 = (0,0,1,0)
e4 = (0,0,0,1)
Em seguida, aplicamos a transformação aos vetores da base canônica:
T(e1) = (2.1 – 3.0 + 0 – 5.0,4.1 + 0 – 2.0 + 0,5 .1– 0 + 4.0) = (2,4,5)
T(e2) = (2.0 – 3,1 + 0 – 5.0,4.0 + 1 – 2.0 + 0,5.0 – 1 + 4.0) = (–3,1,–1)
T(e3) = (2.0 – 3.0 + 1 – 5.0,4.0 + 0 – 2.1 + 0,5.0 – 0 + 4.1) = (1, –2, 4)
T(e4) = (2.0 – 3.0 + 0 – 5.1,4.0 + 0 – 2.0 + 1,5.0 – 0 + 4.0) = (-5,1,0)
Agora, montamos a matriz transformação A com os vetores T(e1), T(e2), T(e3) e T(e4) 
por coluna:
A = [T (e1)|T (e2)|T (e3)|T (e4)] =
⎡
⎢⎣ 2 −3 1 −54 1 −2 1
5 −1 4 0
⎤
⎥⎦
Logo, 
⎡
⎢⎣ w1w2
w3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 2 −3 1 −54 1 −2 1
5 −1 4 0
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥⎥⎥⎦ → W = A · X
1
Aula 15 Álgebra Linear 63
Encontre a forma matricial da transformação linear T:�2→�5, defi nida por:
T(x
1
, x
2
) = (x
1
+2x
2
, 0, –3x
1
, –x
1
–x
2
, x
2
)
Núcleo e Imagem de uma 
transformação linear na forma matricial
A forma matricial de uma transformação linear facilita as operações envolvidas e com o 
processo de obtenção do núcleo e da imagem ocorre a mesma coisa.
Exemplo 3 
Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T:�4→�3, defi nida por:
T (X) = W =
⎡
⎢⎣ 2 0 1 01 1 0 1
0 0 −1 0
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥⎥⎥⎦ W ∈ �3 e X ∈ �4
Resolução
Núcleo
Devemos investigar que vetores do �4 resultam em um vetor nulo do �3 quando aplicados 
à transformação:⎡
⎢⎣ 2 0 1 01 1 0 1
0 0 −1 0
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 00
0
⎤
⎥⎦
Ou seja, nesse caso, corresponde a encontrarmos o espaço nulo da matriz dos coefi cientes A.
2
Aula 15 Álgebra Linear64
Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T:�3→�3, defi nida por:
T (X) =
⎡
⎢⎣ 2 0 1−1 0 0
1 1 0
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ x1x2
x3
⎤
⎥⎦
Usando a eliminação gaussiana, chegamos a:
⎡
⎢⎣ 1 0 0 00 1 0 1
0 0 1 0
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 00
0
⎤
⎥⎦
⎧⎪⎨
⎪⎩
x1 = 0
x2 + x4 = 0
x3 = 0
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
−x4
0
x4
⎤
⎥⎥⎥⎦ = x4
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
−1
0
1
⎤
⎥⎥⎥⎦ , N(T (X)) = {(0,−1, 0, 1)}
Imagem
Para encontrar a imagem, separaremos os vetores:
T (X) = x1
⎡
⎢⎣ 21
0
⎤
⎥⎦+ x2
⎡
⎢⎣ 01
0
⎤
⎥⎦+ x3
⎡
⎢⎣ 10
−1
⎤
⎥⎦+ x4
⎡
⎢⎣ 01
0
⎤
⎥⎦
Aparecem multiplicados por x
1
 todos os seus coefi cientes e o mesmo acontece para x
2
, x
3
 e x
4
.
Analisando os vetores resultantes, a base da Imagem será a maior quantidade possível de 
vetores LI desse conjunto.
Ao tomarmos os quatro vetores resultantes, percebemos que o conjunto é LD, pois temos 
quatro vetores de dimensão 3. Devemos então descartar um e analisar o conjunto resultante.
Escolhendo os três primeiros vetores (2, 1, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, –1), quando calculamos 
percebemos que o conjunto é LI, logo é uma base para a Imagem da transformação.
Im =(2,1,0),(0,1,0),(1,0,-1)
logo
Desafi o
1
2
Resumo
Aula 15 Álgebra Linear 65
Na aula sobre transformações lineares e matrizes você aprendeu como obter 
a forma matricial de uma transformação linear, assim como realizar operações 
características dessas transformações na forma matricial.
Mostre que as transformações T1 e T2 T:�3→�3 têm o mesmo núcleo e Imagem. 
T1(x, y, z) =
⎡
⎢⎣ 0 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ xy
z
⎤
⎥⎦
T2(x, y, z) =
⎡
⎢⎣ 0 0 00 1 1
0 2 1
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ xy
z
⎤
⎥⎦
Encontre o valor de a para que a dimensão do núcleo seja a mesma da imagem de 
T, onde T:�2→�2 
T (x, y) =
[
1 1
a 1
][
x
y
]
1
2
Aula 15 Álgebra Linear66
Autoavaliação
Escreva a transformação na forma matricial e encontre seu Núcleo e Imagem:
a) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w)
b) T:�2→�2, T(x,y) = (x+3y, 3y)
c) T:�→�3, T(x) = (x, 0, 3x)
d) T:�3→�2, T(x,y,z) = (x+y, x+z)
e) T : P3 → P1, T (P3) = d
2P3
dx2
f) T:P
2
→P
3
, T(p(x)) = xp(x)
g) T : �2 → �2, T (x, y) = 1√
2
(x+ y, x− y)
Sabendo que a transformação envolve polinômios, encontre a forma por extenso 
da transformação e diga qual o espaço domínio e qual o imagem:
a) T (P ) =
[
1 0
1 1
]
P 
b) T (P ) =
[
1 −1 2
2 0 1
]
P
c) T (P ) =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0
2 −1
3 0
4 −2
⎤
⎥⎥⎥⎦P
d) T (P ) =
⎡
⎢⎣ 1 0 0 −1 1−1 2 0 1 1
1 0 0 0 1
⎤
⎥⎦P
Anotações
Aula 15 Álgebra Linear 67
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
Aula 15 Álgebra Linear68
Transformações 
lineares inversas
16
Aula
1
2
3
Aula 16 Álgebra Linear 71
Apresentação
Vimos nas aulas anteriores que uma transformaçãoLinear é uma função que associa 
espaços vetoriais distintos ou não. Imaginemos que essa associação, em muitos casos, deva 
permitir o caminho de volta, ou seja, se a transformação que leva um vetor de uma espaço V 
para um espaço W permitir a transformação inversa, então, é possível partir do vetor resultante 
em W e voltar ao mesmo vetor em V de partida.
Objetivos
Saber reconhecer quando uma transformação admite inversa.
Aplicar a defi nição de inversa.
Calcular a inversa de uma Transformação Linear.
T:V→W
Espaço
vetorial
W
Espaço
vetorial
V
T -1:V→W
Aula 16 Álgebra Linear 73
Defi nição
Consideremos a Transformação Linear deV em W, T:V→W. Partindo do ponto que 
o domínio da transformação corresponde ao conjunto de vetores de V que são aplicados à 
transformação e que a imagem de T é o subespaço composto por todos os vetores em W 
gerados a partir de V através da transformação, então, se a transformação permitir o caminho 
inverso, o que era imagem da transformação T passa a ser domínio da transformação inversa 
e o que era domínio passa a ser imagem, como mostrado na Figura 1.
Notação para Transformação Linear inversa de T :T –1
Figura 1 – Transformação Linear inversa
Relações entre T e T –1
Sendo v um vetor de V e w um vetor de W, então, teremos:
T(v) = w
T –1(w) = v
T –1(T(v)) = v
T(T –1(w)) = w
Função injetora
e não sobrejetora
Domínio Imagem
1
2
3
A
D
B
C
Função sobrejetora
e não injetora
Domínio Imagem
1
2
3
4
A
B
C
Função bijetora
Domínio Imagem
1
2
3
4
A
D
B
C
Aula 16 Álgebra Linear74
Figura 2 – Função injetora, sobrejetora e bijetora
Relembrando...
Funções Injetoras, Sobrejetora e Bijetora
Uma função é dita injetora se para cada elemento do domínio existe um cor-
respondente exclusivo no contradomínio. Uma função é classifi cada como so-
brejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio. Já no caso de 
a função ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela é classificada como 
bijetora. A Figura 2 mostra a diferença entre os tipos de funções.
Critérios para transformação inversa
Para que uma Transformação Linear admita inversa ela deve ser bijetora, ou seja, deve 
ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
Transformação Injetora
Dada uma transformação linear T:V→W, e dados os vetores u e v, ambos pertencentes a 
V, diz-se que T é injetora se T(u) = T(v) apenas para u = v. Ou seja, T é injetora se as ima-
gens de vetores distintos são distintas. Uma transformação linear é injetora quando Ker(T )=0.
 Transformação Sobrejetora
Dada uma transformação linear T:V→W, tem-se que a transformação é sobrejetora se 
a imagem de T coincidir com W.
Aula 16 Álgebra Linear 75
Transformação Bijetora
A transformação é bijetora se for injetora e sobrejetora.
Quando uma transformação linear T:V→W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, 
tem-se um isomorfi smo. 
Se T é bijetora, então, cada vetor w pertencente à Im(T) é imagem de um único 
vetor v em V. Essa unicidade é que permite defi nir essa nova função, chamada 
transformação inversa de T, que leva w de volta em v.
Exemplo 1 
Verifi que se a transformação é bijetora: T :� 2→�2 T(x,y)=(x+y, x). 
Resolução
Para que a transformação seja bijetora, ela deve ser injetora e sobrejetora.
Injetora
Uma transformação é injetora se o núcleo da transformação for apenas o vetor nulo.
Encontrando o núcleo:
T(x,y) = (0,0)
(x+ y, x) = (0, 0){
x+ y = 0
x = 0
Logo, x = y = 0 , portanto, N(T(x,y))={(0,0)} → A transformação é injetora.
Sobrejetora
A transformação é sobrejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio, ou seja, o �2.
Encontrando a imagem:
T (x, y) = (x+ y, x) =
(
x+ y
x
)
= x
(
1
1
)
+ y
(
1
0
)
Analisando os dois vetores resultantes, (1,1) e (1,0), verifi ca-se que são LI, logo, a imagem 
corresponde ao espaço gerado por esses dois vetores, o próprio �2. 
Im(T(x,y)) = �2
Assim sendo, a imagem é igual ao contradomínio e a transformação é sobrejetora. Como a 
transformação é injetora e sobrejetora, logo é bijetora.
1
Aula 16 Álgebra Linear76
Verifi que se a transformação é bijetora: T:� 3→�2 T(x,y,z)=(0, x –y+z, 2x–z). 
Forma matricial e transformação inversa
Uma maneira mais simples de verifi car se uma Transformação Linear admite inversa é 
proceder a análise sob a forma vetorial. Uma vez obtida a matriz canônica da transformação, 
basta verifi car se essa matriz admite inversa, caso afi rmativo, a transformação também ad-
mite e sua transformação inversa tem a matriz canônica defi nida pela inversa da matriz da 
transformação original.
Exemplo 2 
Verifi que se a transformação admite inversa: T:� 2→�2 T(x,y)=(x+y,x). 
Resolução
Passando para a forma matricial:
T (x, y) = (x+ y, x)
T (x, y) =
(
1 1
1 0
)(
x
y
)
Analisando a matriz canônica da transformação A =
(
1 1
1 0
)
 verifi ca-se que a matriz admite 
inversa, pois det(A) = –1, logo, a transformação também admite inversa. 
Calculando a inversa de A temos:
A−1 =
(
0 1
1 −1
)
, portanto, a transformação inversa é dada por:
T−1(x, y) =
(
0 1
1 −1
)(
x
y
)
= (y, x− y)
Aula 16 Álgebra Linear 77
Uma Transformação Linear admite inversa se for bijetora e uma transformação 
apenas será bijetora se a matriz que a representa for inversível.
Exemplo 3 
Encontre a inversa da transformação caso exista. 
T:�2→�3, T(x,y)=(2x–y,y+3x, x+y)
Resolução
Passando para a forma matricial:
T (x, y) = (2x− y, y + 3x, x+ y)
T (x, y) =
⎛
⎜⎝ 2 −13 1
1 1
⎞
⎟⎠
(
x
y
)
Como a matriz canônica da transformação não admite inversa por não ser uma matriz quadrada, 
então, a transformação também não admite inversa.
Para investigarmos porque não admite inversa, vamos averiguar se ela é injetora e sobrejetora.
Verifi cando se a transformação é Injetora 
T (x, y) = (0, 0, 0)
T (x, y) = (2x− y, y + 3x, x+ y) = (0, 0, 0)
⎧⎪⎨
⎪⎩
2x− 1 = 0
y + 3x = 0
x+ y = 0
x = y = 0
N(T (x, y)) = {(0, 0)} →
N(T(x,y))= {(0,0)} → é injetora.
Verifi cando se a transformação é Sobrejetora 
T (x, y) = (2x− y, y + 3x, x+ y) =
⎛
⎜⎝ 2x− yy + 3x
x+ y
⎞
⎟⎠ = x
⎛
⎜⎝ 23
1
⎞
⎟⎠+ y
⎛
⎜⎝ −11
1
⎞
⎟⎠
Os dois vetores que obtemos são LI, logo, são a base da Imagem.
Im(T(x,y)) = {(2,3,1),(-1,1,1)}
O espaço correspondente à Imagem que é gerado por esses dois vetores não compreende todo 
o �3 e sim um plano dentro do �3. Dessa forma, a transformação não é sobrejetora, portanto, 
não admitindo inversa.
é injetora
2
Desafi o
Resumo
1
2
3
Aula 16 Álgebra Linear78
Encontre a inversa da transformação, caso exista. 
T:� 3→�3, T(x,y,z)=(2x – y –z, 2z – y+3x, x+3z)
Seja T uma transformação linear do espaço dos polinômios reais de grau menor 
ou igual a 2, definida por: 
T (1) =1+x
T (x) = 3−x2
T (x2) = 4+2x –3x2
A transformação T tem inversa? Justifique.
Seja T uma transformação linear T:� 3→�3, definida por:
T(x
1
,x
2
,x
3
) =(a
1
x
1
,a
2
x
2
,a
3
x
3
), a
i
 ∈ �.
Determine as condições que a
1
,a
2
 e a
3
 devem satisfazer para T admitir inversa. 
Obtenha a expressão de T–1.
Por que é necessário que a transformação seja bijetora para possuir inversa?
Nesta aula, você aprendeu a identifi car quando uma Transformação 
Linear admite inversa e como encontrar a transformação inversa. Aprendeu 
ainda a relacionar os vetores dos espaços ligados por transformações que 
apresentam inversa.
1
2
3
Aula 16 Álgebra Linear 79
Autoavaliação
O que é uma transformação linear injetora? E sobrejetora?
Verifi que se as transformações são injetoras e/ou sobrejetoras.
a) T:� 2 → � 4, T(x,y) = (x+y, 3x, x –2y, –y)
b) T:� 4 → � 4, T(x,y,z,w) = (x+y, 3w, z –2y, –x)
c) T:� 2 → � 2, T(x,y) = (x+y,0)
d) T (u) =
[
2 0
−2 −1
]
u
e) T−1(u) =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0 1 0
2 −2 0 0
0 1 1 3
2 0 0 −3
⎤
⎥⎥⎥⎦u
f) T (u) =
[
1 0 −1
0 1 0
]
u
g) T:P 
2
 → P
2 
, T(a
2
x2 + a
1
x + a
0
) = (a
2
– a
0
)x2
Indique a inversa das transformações, por extenso, caso existam.
a) T:� 4 → � 4, T(x, y, z, w) = (x, y, z, 0)
b) T:�2 → �2, T(x, y) = (x, 2y)
c) T (u) =
[
2 0
1 −1
]
u
d) T−1(u) =
⎡
⎢⎣ 1 1 20 10
−1 1 1
⎤
⎥⎦u
e) T:P
2
 → P
3
, T(a
2
x2 + a
1
x + a
0
) = –x (a
2
x2 + a
1
x + a
0
)
f) T:P
1
 → P
3
, T(a
1
x + a
0
) = ((a
1
+a
0
)x3 + a
1
x2 + a
0
x)
4
5
Anotações
Aula 16 Álgebra Linear80
Seja T: :�3→�3 uma transformação linear definida por T(x,y,z)=(ax,by,cz), a,b 
e c ∈ �. Determine as condições que a,b e c devem satisfazer para que T admita 
inversa. Para esses casos, encontre T –1 se possível.
Seja T:�2→�2 defi nida por T (x,y)=(k·x,x+y), k ∈ �.
a) Determine k de modo a que a transformação T admita inversa e, para esses valores, 
obtenha a transformação inversa T–1.
b) Considere k = 0. Determine a dimensão e uma base para o núcleo de T.
Referências
A NTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: 
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
g) T : P2 → P2, T (a2x2 + a1x+ a0) = xd(a2x
2 + a1x+ a0)
dx
h) T:P
2
 → P
2 
, T(p(x)) = p(x +1)
Anotações
Aula 16 Álgebra Linear 81
Anotações
Aula 16 Álgebra Linear82
Transformações lineares 
e geometria do �2
17
Aula
1
2
Aula 17 Álgebra Linear 85
Apresentação
Uma das formas mais comuns de utilizar as Transformações Lineares é a aplicação a vetores no plano. Modifi cações como expansão, rotação, refl exão etc. são utilizadas cor-riqueiramente e servem de base para a manipulação de imagens. Veremos a aplicação 
de transformações lineares no plano, porém, os princípios vistos aqui podem ser expandidos 
a espaços com dimensão superior.
Objetivos
Identifi car matrizes transformações e aplicar a vetores 
no plano.
Utilizar combinações de Transformações Lineares.
y 
x
u
y 
x
u
y 
x
u
-ku
y 
u ku
ku
0 < K < 1K > 1 K < 0
Aula 17 Álgebra Linear 87
Defi nição 
As Transformações Lineares permitem modifi carmos vetores utilizando apenas multipli-
cação de matrizes, ou seja, aplicando uma Transformação Linear a um vetor, o que resulta em 
outro vetor com uma, ou várias, alterações previamente defi nidas. Aqui, serão analisadas algumas 
dessas transformações no �2, as quais podem ser expandidas para outros espaços euclidianos.
Operações sobre vetores 
Para todos os casos, considere o vetor u = (x,y).
1) Semelhança (Expansão e contração)
Nessa operação, o vetor aumenta ou diminui de tamanho sendo mantidos a direção e 
o sentido.
Forma por extenso Forma matricial
T (x, y) = k(x, y) T (x, y) =
[
k 0
0 k
][
x
y
]
A Figura 1 mostra o vetor u e o resultado da transformação k.u para os possíveis valores 
de k. Note que as duas coordenadas são alteradas do fator k. 
Figura 1 – Vetor u e suas alterações de semelhança
x
y 
x
u u
y 
T(u)
Aula 17 Álgebra Linear88
2) Refl exão em torno do eixo Y
Forma por extenso Forma matricial
T (x, y) = (−x, y) T (x, y) =
[
1 0
0 −1
][
x
y
]
A Figura 2 mostra o vetor u e sua refl exão em torno do eixo Y. Nesse caso, apenas a 
coordenada x é modifi cada, permanecendo a mesma coordenada y.
Figura 2 – Vetor u e sua refl exão em torno do eixo Y
3) Refl exão em torno do eixo X
Forma por extenso Forma matricial
T (x, y) = (x,−y) T (x, y) =
[
1 0
0 −1
][
x
y
]
A Figura 3 mostra o vetor u e sua refl exão em torno do eixo X. Nesse caso, a coordenada 
y é modifi cada e a coordenada x permanece a mesma.
x
y 
x
u u
y 
T(u)
x
y 
x
u u
y 
T(u)
Aula 17 Álgebra Linear 89
Figura 3 – Vetor u e sua refl exão em torno do eixo X
4) Refl exão em torno da reta Y = X
Forma por extenso Forma matricial
T (x, y) = (y, x) T (x, y) =
[
0 1
1 0
][
x
y
]
A Figura 4 mostra o vetor u e sua refl exão em torno da reta Y = X. Aqui as coordenada 
x e y são invertidas.
Figura 4 – Vetor u e sua refl exão em torno da reta Y = X
5) Projeção ortogonal sobre o eixo Y
Forma por extenso Forma matricial
T (x, y) = (0, y) T (x, y) =
[
0 0
0 1
][
x
y
]
x
y 
x
u
u
y 
T(u)
x
y 
x
u u
y 
T(u)
Aula 17 Álgebra Linear90
A Figura 5 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. No caso da 
projeção ortogonal, uma das coordenadas é zerada, se for a projeção sobre o eixo Y, a 
coordenada x é descartada. 
Figura 5 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y
6) Projeção ortogonal sobre o eixo X
Forma por extenso Forma matricial
T(x,y) = (x,0)
T (x, y) =
[
1 0
0 0
][
x
y
]
A Figura 6 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. Nesse caso, a 
coordenada y é descartada. 
Figura 6 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo X
x
y 
x
u
u
y 
T(u)
θ
Aula 17 Álgebra Linear 91
7) Rotação de um vetor de um ângulo θ
Forma por extenso Forma matricial
T (x, y) = (x · cos(θ)− y · sen(θ), x · sen(θ) + y · cos(θ)) T (x, y) =
[
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
][
x
y
]
A Figura 7 mostra o vetor u e sua rotação de um ângulo θ.
Figura 7 – Vetor u e sua rotação de um ângulo θ
8) Cisalhamento de um fator k na direção X
Forma por extenso Forma matricial
T (x, y) = (x+ ky, y) T (x, y) =
[
1 k
0 1
][
x
y
]
A Figura 8 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no 
eixo X. Note que, à medida que o vetor se afasta do eixo y, a distorção é maior, perceba que, 
para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada y próximo de zero, o cisalhamento é 
menor, porém, se y for grande, então, essa distorção será maior.
y 
x
u
y 
x
u
K > 0
T(u)
y 
u
K < 0
T(u)
Aula 17 Álgebra Linear92
Figura 8 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo X
9) Cisalhamento de um fator k na direção Y
Forma por extenso Forma matricial
T (x, y) = (x, kx+ y) T (x, y) =
[
1 0
k 1
][
x
y
]
A Figura 9 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no 
eixo Y. Nesse caso, acontece a mesma proporcionalidade que foi comentada no cisalhamento 
no eixo X, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada x próximo de zero, o cisa-
lhamento é menor, porém, se x for grande, então, essa distorção será maior. 
1
y 
x
u
y 
x
u
y 
u
K < 0 K > 0
T(u)
T(u)
Aula 17 Álgebra Linear 93
Figura 9 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo Y
Exemplo 1 
Obtenha a projeção ortogonal sobre o eixo x do vetor (3,–5).
Resolução
Para obter a projeção de qualquer vetor do �2 sobre o eixo x, basta usar a transformação:
T (x, y) =
[
1 0
0 0
][
x
y
]
, logo, T (3,−5) =
[
1 0
0 0
][
3
−5
]
=
[
3
0
]
Portanto, a projeção do vetor (3,5) sobre o eixo x é o vetor (3,0).
Encontre o vetor resultante da rotação do vetor (1,4) de um ângulo de 90º.
Aula 17 Álgebra Linear94
Composição de 
transformações lineares 
Em muitas situações, há a necessidade de aplicarmos não apenas uma, mas uma sequ-
ência de transformações a um conjunto de vetores. Nessa situação, ao invés de multiplicarmos 
uma matriz transformação e depois outra e outra, o melhor a fazer é encontrar uma única matriz 
que represente a aplicação de todas as transformações desejadas. Para obtermos essa matriz 
equivalente, basta que multipliquemos as matrizes às transformações envolvidas.
Consideremos que se deseja aplicar a transformação T
1
(u) e depois T
2
(u), nessa 
ordem, onde T
1
 é a matriz transformação de T
1
(u), T
2
 é a matriz transformação de T
2
(u) 
e u um vetor, então, teremos:
T2 ◦ T1(u) = T2(T1(u)) = T2 · T1
Onde: T2 ◦ T1 �= T1 ◦ T2
Exemplo 2 
Obtenha o vetor resultante da rotação de 90º seguida de refl exão sobre o eixo y do vetor (–4,3).
Resolução
Primeiro encontramos as duas matrizes transformações:
Rotação de 90º: T (x, y) =
[
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
][
x
y
]
=
[
cos(90 ) −sen(90 )
sen(90 ) cos(90 )
][
x
y
]
T1(x, y) =
[
0 −1
1 0
][
x
y
]
Refl exão sobre o eixo Y: 
T2(x, y) =
[
−1 0
0 1
][
x
y
]
Obtendo a combinação:
T2 ◦ T1(x, y) = T2 · T1 =
[
−1 0
0 1
][
0 −1
1 0
]
=
[
0 1
1 0
]
T2 ◦ T1(x, y) =
[
0 1
1 0
][
x
y
]
T2 ◦ T1(−4, 3) =
[
0 1
1 0
][
−4
3
]
=
[
3
−4
]
2
y 
x
3
-4
-3 3
-4 -4
u
T
1
(u) T
2
(T
1
(u))
y 
x
y 
x
Vetor uRotação de 90° Reflexão em torno do eixo y
Aula 17 Álgebra Linear 95
Verifi cando grafi camente, podemos comprovar o resultado, conforme mostrado na Figura 10.
Figura 10 – Vetor u e a aplicação de duas transformações seguidas
Obtenha o vetor resultante da refl exão em t orno da reta y=x seguida da projeção 
ortogonal sobre o eixo x do vetor (–5,–3).
Exemplo 3 
Obtenha a transformação resultante da composição de duas rotações, primeiro por um ângulo 
θ1 e depois por θ2.
Resolução
As transformações são:
T1(x, y) =
[
cos(θ1) −sen(θ1)
sen(θ1) cos(θ1)
][
x
y
]
T2(x, y) =
[
cos(θ2) −sen(θ2)
sen(θ2) cos(θ2)
][
x
y
]
A composição das duas é dada por:
TR = T2 ◦ T1 = T2 · T1 =
[
cos(θ2) −sen(θ2)
sen(θ2) cos(θ2)
][
cos(θ1) −sen(θ1)
sen(θ1) cos(θ1)
]
TR =
[
cos(θ1)cos(θ2)− sen(θ1)sen(θ2) −cos(θ1)sen(θ2)− sen(θ1)cos(θ2)
sen(θ1)cos(θ2) + cos(θ1)sen(θ2) −sen(θ1)sen(θ2) + cos(θ1)cos(θ2)
]
TR =
[
cos(θ1 + θ2) −sen(θ1 + θ2)
sen(θ1 + θ2) cos(θ1 + θ2)
]
Aula 17 Álgebra Linear96
Como era de se esperar, a composição das duas rotações resulta em fazer uma transformação 
apenas com a rotação da soma dos ângulos. NESSE CASO, a ordem não infl uência.
Transformações Lineares no �3 
Para as Transformações Lineares sobre vetores no �3, não serão feitas as 
demonstrações, porém, o raciocínio é o mesmo visto para o �2.
Transformação Forma por extenso Forma matricial
Expanção-contração T (x, y, z) = (kx, ky, kz)
⎡
⎢⎣ k 0 00 k 0
0 0 k
⎤
⎥⎦
Refl exão em torno do plano xy T (x, y, z) = (x, y,−z)
⎡
⎢⎣ 1 0 00 1 0
0 0 −1
⎤
⎥⎦
Refl exão em torno do plano xz T (x, y, z) = (x,−y, z)
⎡
⎢⎣ 1 0 00 −1 0
0 0 1
⎤
⎥⎦
Refl exão em torno do plano yz T (x, y, z) = (−x, y, z)
⎡
⎢⎣ −1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎥⎦
Projeção ortogonal 
sobre o plano xy
T (x, y, z) = (x, y, 0)
⎡
⎢⎣ 1 0 00 1 0
0 0 0
⎤
⎥⎦
Projeção ortogonal 
sobre o plano xz
T (x, y, z) = (x, 0, z)
⎡
⎢⎣ 1 0 00 0 0
0 0 1
⎤
⎥⎦
Projeção ortogonal 
sobre o plano yz
T (x, y, z) = (0, y, z)
⎡
⎢⎣ 0 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎥⎦
Desafi o
Resumo
Aula 17 Álgebra Linear 97
1) Considerando as Transformações Lineares no plano T1, T2, T3 e T4, determine as matri-
zes associadas e esboce no plano a figura determinada pela aplicação das Transformações 
Lineares em sequência, T1 até T4, sobre o quadrado com vértices (0,0),(1,0),(0,1) e(1,1).
T1(x, y) = (3x− y,−y − 2x) T3(x, y) = (x+ y, 0)
T2(x, y) =
(
x+ y
2
,
x− y
2
)
T4(x, y) = (x− y, x)
2) A Transformação Linear T (x, y) =
(
x+ y
2
,
x− y
2
)
é bijetora? Justifi que.
3) Utilizando a matriz transformação que defi ne a rotação de um vetor no �2 de um ângulo 
θ, determine os vértices de um triângulo retângulo e isósceles que tem um dos lados 
coincidente com o vetor A=(2,1).
Nesta aula, você aprendeu a aplicar Transformações Lineares a vetores 
no plano, assim como a obter suas respectivas matrizes transformações. Esta 
aula contemplou ainda a composição de transformações e a determinação 
de uma matriz resultante que represente a aplicação dessas transformações 
em sequência. 
1
2
3
4
Aula 17 Álgebra Linear98
Autoavaliação
Encontre a representação matricial canônica para cada um dos operadores lineares 
em �2 descritos a seguir.
a) Gira cada vetor de 45° no sentido antitrigonométrico.
b) Refl ete cada vetor em relação ao eixo x e depois roda o vetor refl etido de 90° no sentido 
trigonométrico.
c) Dobra o comprimento do vetor, depois roda o vetor obtido de 30° no sentido trigonomé-
trico.
d) Refl ete cada vetor em relação à reta x = y e depois projeta o vetor refl etido sobre o eixo x.
Considerando as transformações lineares do �2 , descreva geometricamente o que 
elas fazem com o vetor.
Uma transformação linear T:�2→�2 é obtida a partir da rotação de um vetor de um 
ângulo de –90º, seguida de uma expansão por um fator k = 2,5, seguida de refl e-
xões em torno do eixo X e Y, exatamente nessa sequência. Qual a transformação 
linear resultante? Considere o sentido positivo como sendo o sentido anti-horário.
Conhecendo as transformações T:�3→�3 , onde Ta(x,y,z)=(x+z, 2x–z, y–2z), 
Tb(x,y,z)=(2x, 2y,2z) e Tc(x,y,z)=(y,z,x), encontre:
a) (Tc ◦ Ta)(1, 1, 1)
b) (Tb ◦ Ta)(0,−1, 2)
c) (Ta ◦ Tb ◦ Tc)(1,−1, 1)
d) (Tc ◦ Tb ◦ Ta)(1,−1, 1)
a) T (x, y) = (−x, y)
b) T (x, y) = (x
2
, 0)
c) T (x, y) = (−x, 0)
d) T (x, y) = y(e1)
e) T (x, y) = (x, y)
f) T (x,y) = (x,y)
Anotações
Aula 17 Álgebra Linear 99
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
Aula 17 Álgebra Linear100
Formas quádricas
18
Aula
1
2
Aula 18 Álgebra Linear 103
Apresentação
A Álgebra Linear pode ser usada, além de muitos outros casos, na Geometria. Nesta aula, 
veremos como equações quádricas podem ser reescritas visando uma mudança de coorde-
nadas que facilitará o traçado do seu gráfi co futuramente. 
Objetivos
Saber manipular as formas quádricas da forma por extenso 
para forma matricial e o contrário.
Reconhecer a matriz associada das formas quádricas.
Aula 18 Álgebra Linear 105
Defi nição 
Formas quádricas ou quadráticas são funções em que aparecem termos com multiplica-
ção de variáveis, fato que não ocorre nas funções lineares. 
Forma linear 
Todas as variáveis aparecem na primeira potência e não há produto de variáveis 
na expressão. 
a
1
x1 + a2x2 + ... + anxn
Forma bilinear 
As variáveis aparecem na primeira potência e há produto de variáveis distintas 
na expressão. 
a
1
x1y1 + a2x2y2 + ... + anxnyn
Forma quádrica 
É possível aparecer quadrados de variáveis ou produto de duas variáveis:
No �2 → a
1
x21 + a2x22 + a3x1x2
No �3 → a
1
x21 + a2x22 + a3x23 + a4x1x2 + a5x1x3 + a6x2x3
Onde os termos que envolvem variáveis distintas são chamados de produto misto ou 
termo cruzado. Exemplo: a
2
x
1
x
2
.
Aula 18 Álgebra Linear106
Representação matricial 
Seja x um vetor de dimensão n, y um vetor de dimensão n e A uma matriz n×n.
x =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
xn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦ y =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
y1
y2
yn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦ A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
an1 an2 · · · ann
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
Uma forma linear pode ser associada a uma matriz na forma: 
L(x) = Ax
Uma forma bilinear pode ser associada a uma matriz na forma:
B(x) = xTAy
Uma forma quadrática pode ser associada a uma matriz na forma:
Q(x) = xTAx
Onde A é a matriz associada à forma quádrica.
Exemplo 1
Seja A =
[
3 2
−2 7
]
 a matriz associada à forma quádrica, encontre sua expressão 
por extenso.
Resolução:
Conhecendo a matriz que é associada à forma quádrica, basta substituir na expressão 
Q(x) = XTAx. Como a matriz A tem ordem 2x2, então o vetor X só pode pertencer ao �2: 
X =
[
x1
x2
]
Substituindo:
Q(x) = xTAx =
[
x1 x2
] [ 3 2
−2 7
][
x1
x2
]
Q(x) = [(3x1 − 2x2)(2x1 + 7x2)]
[
x1
x2
]
Q(x) = 3x21 + 7x
2
2 − 2x1x2 + 2x1x2
Q(x) = 3x21 + 7x
2
2
Aula 18 Álgebra Linear 107
Obtendo a forma matricial 
Quando se conhece a matriz associada à forma quádrica é fácil obter a forma por extenso, 
o contrário também pode ser obtido, porém, requer um pouco mais de atenção.
Procedimento:
 � Definimos a ordem da matriz associada de acordo com a quantidade de variáveis 
envolvidas.
 � Identifi camos os coefi cientes dos termos ao quadrado.
 � Alocamos na diagonal principal esses coefi cientes.
 � As demais entradas da matriz dependem dos coefi cientes dos termos cruzados, a posição 
ij + a posição ji na matriz corresponde ao coefi ciente do termo cruzado xixj.
Exemplo 2
Considere a forma quádrica Q(x) = x21 – 2x22 + 5x1x2 e obtenha uma forma matricial equivalente. 
Resolução:
Primeiro, defi niremos a ordem da matriz. Como apenas aparecem como variáveis x
1
 e x
2
, então 
a matriz associada terá ordem 2x2.
A =
[
− −
− −
]
Os elementos dos termos ao quadrado são os elementos da diagonal principal. Nesse caso, 
os coefi cientes são: 1 e –2
A =
[
1
−2
]
Os elementos a
12e a
21
 partem dos termos cruzados, onde a
12
+a
21
 corresponde ao coefi ciente 
do termo x
1
x
2
. 
a
12
+ a
21 
= 5
Existe uma infi nidade de possibilidades: (2 e 3), (1 e 4), (0 e 5), (2,5 e 2,5)...
O que ocorre é que sempre se tende a utilizar matrizes simétricas, pelo fato destas apresentarem 
algumas facilidades, vistas mais adiante, portanto:
A =
[
1 2, 5
2, 5 −2
]
Aula 18 Álgebra Linear108
Forma matricial: Q(x) = xTAx =
[
x1 x2
] [ 1 2, 5
2, 5 −2
][
x1
x2
]
É possível observar que para cada função existe uma infinidade de matrizes que se encaixariam 
na sua representação, cabe escolher então a mais adequada.
Verifi cando se a matriz é associada de fato à forma quádrica dada:
Q(x) = xTAx
Q(x) = xTAx =
[
x1 x2
] [ 1 2, 5
2, 5 −2
][
x1
x2
]
Q(x) = [(x1 + 2, 5x2)(2, 5x1 − 2x2)]
[
x1
x2
]
Q(x) = x21 + 2, 5x1x2 + 2, 5x1x2 − 2x22
Q(x) = x21 + 5x1x2 − 2x22
Exatamente a forma quádrica inicial.
Exemplo 3
Seja, Q(x) = x21 + 2x22 + 3x23 + 5x1x2 – x1x3 + 2x2x3 encontre a matriz associada.
Resolução:
Primeiro, defi niremos a ordem da matriz. Como aparecem as variáveis x
1
, x
2
 e x
3, então, a 
matriz associada terá ordem 3x3.
A =
⎡
⎢⎣ − − −− − −
− − −
⎤
⎥⎦
Os elementos dos termos ao quadrado são os elementos da diagonal principal. Nesse caso, 
os coefi cientes são: 1, –2 e 3.
A =
⎡
⎢⎣ 1 −2
3
⎤
⎥⎦
Os demais elementos partem dos termos cruzados:
Coefi ciente do termo cruzado da variável 1 com 2 : 5.
Então, os elementos a
12
 e a
21
 devem ter a soma igual a 5: a
12
 + a
21
 = 5.
Optando pela matriz simétrica, teremos a
12
 = 2,5 e a
21
 = 2,5.
A =
⎡
⎢⎣ 1 2, 52, 5 −2
3
⎤
⎥⎦
1
Aula 18 Álgebra Linear 109
Os elementos a
13
 e a
31
 devem ter a soma igual a –1: a
13
 + a
31
 = –1.
Optando pela matriz simétrica, teremos a
13
 = –0,5 e a
31
 = –0,5.
A =
⎡
⎢⎣ 1 2, 5 −0, 52, 5 −2
−0, 5 3
⎤
⎥⎦
Os elementos a
23
 e a
32
 devem ter a soma igual a 2: a
23
 + a
32
 = 2.
Optando pela matriz simétrica, teremos a
23
 = 1 e a
32
 = 1.
A =
⎡
⎢⎣ 1 2, 5 −0, 52, 5 −2 1
−0, 5 1 3
⎤
⎥⎦
Forma matricial: Q(x) = xTAx =
[
x1 x2 x3
]⎡⎢⎣ 1 2, 5 −0, 52, 5 −2 1
−0, 5 1 3
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ x1x2
x3
⎤
⎥⎦
Verifi cando:
Q(x) = xTAx =
[
x1 x2 x3
]⎡⎢⎣ 1 2, 5 −0, 52, 5 −2 1
−0, 5 1 3
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ x1x2
x3
⎤
⎥⎦
Q(x) = [(x1 + 2, 5x2 − 0, 5x3)(2, 5x1 − 2x2x3)(−0, 5x1 + x2 + 3x3)]
⎡
⎢⎣ x1x2
x3
⎤
⎥⎦
Q(x) = x21 + 2, 5x1x2 − 0, 5x1x3 + 2, 5x1x2 − 2x22 + x2x3 − 0, 5x1x3 + x2x3 + 3x23
Q(x) = x21 − 2x22 + 3x23 + 5x1x2 − x1x3 + 2x2x3
Forma quádrica original.
Encontre a forma matricial das formas quádricas e, ao fi nal, verifi que se a 
matriz está correta.
a) Q(x) = –3x2
1
 – x2
2
 – 6x1x2
b) Q(x) = 3x2
1
 – 3x2
2
 + x2
3 
+ 4x
1
x
2 
+ 3x
1
x
3 
– 8x
2
x
3
Desafi o
Resumo
Aula 18 Álgebra Linear110
Formas quádricas positivas 
Uma forma quádrica Q(x) = xTAx é chamada positiva defi nida se xTAx>0 qualquer 
x diferente de zero.
Existe ainda a nomenclatura negativa defi nida, quando xTAx<0 para todo x diferente 
de zero, e indefi nida, quando xTAx pode assumir tanto valores positivos quanto negativos 
para todo x diferente de zero.
Uma matriz simétrica A, associada a uma forma quádrica, é chamada positiva se 
xTAX é uma forma quádrica positiva, e a matriz A será positiva se, e somente se, todos seus 
autovalores forem positivos.
1) Considere a seguinte forma quadrática: 
Q(x1, x2, x3) =
[
x1 x2 x3
]⎡⎢⎣ a 0 00 d e
0 e f
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣ x1x2
x3
⎤
⎥⎦
Sabendo que f (1, 0, 0 ) = 3, f (0, 1, 0) = 2, f (0, 1, 1) = f ( 0, 0, 1) = 4, determine 
a expressão da forma quadrática.
2) Expresse a forma quádrica (b
1
x
1
 + b
2
x
2
 + ... + bnxn)2 na notação matricial 
Q(x) = xTAx, onde A é uma matriz simétrica.
Nesta aula, você aprendeu a identifi car formas quádricas assim como 
diferenciá-las de formas lineares e bilineares, aprendeu ainda a mudar sua 
representação de matricial para extensa e também o contrário.
1
2
3
Aula 18 Álgebra Linear 111
Autoavaliação
Identifi que quais das equações são formas quádricas. Justifi que.
a) Q(x)=2x 2
1
 + 2x 2
2
 + 2x
1
x
2
b) Q(x)=–5x
1
x
2
x
3
c) Q(x)=3x 2
1
x 2
2
 + 4x
1
x
2
d) Q(x)=x 2
1
 – x 2
2
 + x 2
3 
– 2x 2
4 
+ 8x
1
x
2
x
3 
+x
3
x
4
e) Q(x)=2x 3
1
 + x 3
2
 + x 3
3
Transforme a forma matricial em forma quádrica, tomando a matriz A como a 
matriz associada à forma quádrica.
a) A =
⎡
⎢⎣ 1 4 32 3 2
1 0 −2
⎤
⎥⎦ 
b) A =
[
3 7
4 −3
]
 
c) A =
⎡
⎢⎣ 1 3 23 3 1
2 1 −2
⎤
⎥⎦
d) A =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0 1 −2
3 2 1 −3
1 2 0 0
0 −2 6 −2
⎤
⎥⎥⎥⎦ 
e) A =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 −2 0 7 −5
4 −1 2 4 6
0 3 4 1 0
1 0 1 0 1
−1 2 6 1 −2
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Escreva a forma quádrica na forma matricial.
a) Q(x)=3x 2
1
 – x 2
2
 + 4x
1
x
2
b) Q(x)=–2x 2
1
 + x
1
x
2
c) Q(x)=–4x 2
1
 – 2x 2
2 
– x 2
3 
+ 4x
1
x
2 
– 6x
1
x
3 
+ 8x
2
x
3
d) Q(x)=4x 2
4
 
e) Q(x)=3x 2
1
 + x 2
2
+ 4x
1
x
2
f) Q(x)=4x
1
x
2
 – x
2
x
4
– 2x
2
x
5
Anotações
Aula 18 Álgebra Linear112
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: 
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
Aula 18 Álgebra Linear 113
Anotações
Aula 18 Álgebra Linear114
Diagonalização de 
formas quádricas
19
Aula
1
2
3
Aula 19 Álgebra Linear 117
Apresentação
A Álgebra Linear quando aplicada às formas quádricas permite obter matrizes associadas 
simplifi cadas, facilitando cálculos e reduzindo custo computacional. Ao lançar mão da dia-
gonalização, mostramos uma aplicação direta da Álgebra Linear na geometria, uma vez que 
utilizaremos esse recurso para a facilitação do traçado do seu gráfi co futuramente.
Objetivos
Aplicar o processo de diagonalização de matrizes às formas 
quádricas.
Relacionar sistemas de coordenadas.
Compreender a relação entre os sistemas de coordenadas 
envolvidos.
Aula 19 Álgebra Linear 119
Defi nição
Como vimos na aula anterior, a forma matricial da forma quádrica é obtida facilmente a 
partir da forma por extenso, porém, a matriz pode ser uma matriz “cheia” o que implica em vá-
rias difi culdades de manipulação. O que faremos nesta aula é diagonalizar essa matriz associada 
para dispor de uma matriz simplifi cada. Uma matriz associada diagonal implica em uma forma 
quádrica sem termos cruzados, então, o que de fato faremos é eliminar os termos cruzados.
Processo de diagonalização
Inicialmente é utilizada a função na forma padrão:
Q(x) = xTAx =
[
x1 x2 · · · xn
]
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
an1 an2 · · · ann
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
xn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
O que faremos é mudar de sistema de coordenadas, de X para Y, os quais se relacionam 
através da matriz P, que é uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente.
X = PY
Onde:
X é o vetor variável do �n X =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
xn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦,
Y é o novo vetor variável do �n Y =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
y1
y2
yn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦,
P é uma matriz ortogonal que diagonaliza A.
Aplicando a mudança de variável:
XTAX = (PY)TA(PY)
XTAX = YTPTAPY
XTAX = YT (PTAP )Y
A nova matriz associada à forma quádrica no novo sistema de coordenadas é (PTAP).
Como P é uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente, então 
PT=P–1
Aula 19 Álgebra Linear120
e
PTAP = P–1AP = D
Onde D é a matriz diagonalizada, cujos elementos da diagonal principal são os autovalores 
de A.
D =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
0 0 · · · λn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
Logo, XTAX = YTDY
Exemplo 1
Seja Q(x) = x21 − 5x22 − 8x1x2 , encontre uma mudança de variável que transforme a forma 
quádrica em uma sem termos cruzados.
Resolução:
Passando para a forma matricial, temos: Q(x) = xTAx =
[
x1 x2
] [ 1 −4
−4 −5
][
x1
x2
]
.
A matriz associada é: A =
[
1 −4
−4 −5
]
.
Devemos diagonalizar a matriz A:
Autovalores de A: 3 e –7
Autovetores de A: vλ=3 =
⎡
⎢⎢⎣
2√
5
−1√
5
⎤
⎥⎥⎦ vλ=7 =
⎡
⎢⎢⎣
1√
5
2√
5
⎤
⎥⎥⎦.
Como os autovetores já são ortonormais, não será necessário diagonalizá-los nem ortonor-
malizá-los.