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Geometria Analítica – 9 de fevereiro de 2017 Prova n◦1
Prova n
◦
1
Avisos : Celulares desligados ; 1h50 de prova !
Só terá validade o que estiver a caneta !
Questão 1
Considere os vetores ~u = −2~i+ 2~j +−~k , ~v = 3~i+ 1~j − 2~k e ~w = 9~i+ 21~j + 24~k.
a. Encontre um vetor ~z que seja ortogonal a ~u e ~v ao mesmo tempo.
b. Determine a area do paralelogramo de lados ~u e ~v.
c. {~u,~v, ~w} é uma base do R3 ? Se é uma base, ela é positiva ? Justifique sua resposta.
Questão 2
Seja ABC um triangulo tal que ‖−−→AB‖ = 2, ‖−→AC‖ = √3 e −−→AB.−→AC = √6
a. Calcular a area do triangulo.
b. Calcular [
−−→
AB,
−→
AC,
−−→
BC]. Justifique sua resposta.
Questão 3
Seja ABCD um retângulo tal que A = (1,−1, 2), C = (1, 1, 3), −−→AB0 = (−
√
2
2
, 1
2
,−1
2
) e o
angulo entre
−−→
AB e
−→
AC verifica cos((
−−→
AB,
−→
AC)) = 1
2
√
5
.
a. Achar as coordenadas do vetor
−−→
AB.
b. Seja E = (5, 7, 6). Calcular o volume do paralelepípedo de arestas
−−→
AB,
−−→
AD e
−→
AE.
Questão 4
Dados os pontos A = (1, 0, 2), B = (2,−1, 3) e C = (1, 2,−1) e o vetor ~v = (0, 1, 2)
a. Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao
vetor ~v.
b. Determine a equação vetorial do plano α que passa pelos pontos A e B e é paralelo
ao vetor ~v.
c. Determine a equação cartesiana do plano β que passa pela origem, pelo ponto C e
cujo vetor normal ~nβ é perpendicular ao vetor ~nα (o vetor normal ao plano α da letra
b).
1 Professor Jérôme Rousseau