APOL 2 3 - 100

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APOL Números Complexos e Equações Algébricas - 100 
Questão 1/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o seguinte trecho: 
 
"Para o polinômio p(x)=x2−2x+2p(x)=x2−2x+2, temos que seu grau é n=2n=2, e suas raízes são, 
respectivamente, (1−i)(1−i) e (1+i)(1+i). Para determinarmos as raízes desse polinômio, também utilizamos 
a fórmula de Bháskara.". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 149 e 150. 
 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica sobre raízes de polinômios. dado o polinômio p(x)=x2−4x+5p(x)=x2−4x+5 seu grau e suas raízes 
são, respectivamente: 
Nota: 11.1 
 
A n=2n=2 e x=(2−i)x=(2−i) e x=(2+i)x=(2+i) 
Você acertou! 
O grau do polinômio é 2, pois x2x2 é a variável com maior grau. Para determinar as raízes utilizando a fórmula de Bháskara temos: 
 
x2−4x+5=0x2−4x+5=0, a=1a=1, b=−4b=−4 e c=5c=5 
 
Δ=(−4)2−4⋅1⋅5Δ=16−20Δ=−4x=−(−4)±√−42⋅1x=4±2i2x=2±iΔ=(−4)2−4⋅1⋅5Δ=16−20Δ=−4x=−(−4)±−42⋅1x=4±2i2x=2±i 
 
ou seja, as raízes são x=2−ix=2−i e x=2+ix=2+i 
 
Livro-base p. 149 e 150 
 
B grau 2 e raízes x=1x=1 e x=5x=5 
 
C grau 2 e raízes x=1−ix=1−i e x=1+ix=1+i 
 
D grau 3 (somando os graus) e raízes x=ix=i e x=−ix=−i 
 
E grau 2 e raízes x=4−5ix=4−5i e x=4+5ix=4+5i 
 
Questão 2/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Um número complexo pode ser escrito na forma z=a+biz=a+bi, em que a,b∈Ra,b∈R, e ii é a unidade 
imaginária. Além desta forma o número complexo também pode ser representado na forma trigonométrica ou 
polar. A fórmulas de transformação são: 
 
ρ=√ a2+b2 ,sin(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin(θ)cos(θ)=bρ⟺b=ρ⋅cos(θ)ρ=a2+b2,sin⁡(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin⁡(θ)cos⁡(θ)=
bρ⟺b=ρ⋅cos⁡(θ) 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 109 e 110. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, pode-se afirmar que a forma polar do número complexo z=2−2iz=2−2i é: 
Nota: 11.1 
 
A z=2⋅(cosπ6+i.senπ6)z=2⋅(cosπ6+i.senπ6) 
 
B z=2√ 2 ⋅(cos7π6+i.sen7π6)z=22⋅(cos7π6+i.sen7π6) 
Você acertou! 
Calculamos o módulo de z e seu argumento: 
ρ=√ 22+(−2)2 =√8=2√ 2 ρ=22+(−2)2=8=22 
sen θ=bρ=−22√ 2 =−√ 2 2cos θ=aρ=22√ 2 =√ 2 2sen θ=bρ=−222=−22cos θ=aρ=222=22 
 
Com base nestes valores, percebe-se que o ângulo \theta está no 4º quadrante. Portanto θ=7π4θ=7π4. 
 
Logo, z=2√ 2 .(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4) (livro-base, p. 109-111). 
 
C z=2√ 2 ⋅(cosπ4+i.senπ4)z=22⋅(cosπ4+i.senπ4) 
 
D z=√ 2 ⋅(cosπ3+i.senπ3)z=2⋅(cosπ3+i.senπ3) 
 
E z=√ 2 ⋅(cosπ4+i.senπ4)z=2⋅(cosπ4+i.senπ4) 
 
Questão 3/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Um número complexo pode ser escrito na forma z=a+biz=a+bi, em que a,b∈Ra,b∈R, e ii é a unidade 
imaginária. Além desta forma o número complexo também pode ser representado na forma trigonométrica ou 
polar. A fórmulas de transformação são: 
 
ρ=√ a2+b2 ,sin(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin(θ)cos(θ)=bρ⟺b=ρ⋅cos(θ)ρ=a2+b2,sin⁡(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin⁡(θ)cos⁡(θ)=
bρ⟺b=ρ⋅cos⁡(θ) 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 109 e 110. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, pode-se afirmar que a forma polar do número complexo 4 é: 
Nota: 11.1 
 
A z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4 
 
B z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0) 
Você acertou! 
z=4+0ia=4 b=0ρ=√ a2+b2 ρ=√42+02=√16 =4z=4+0ia=4 b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4 
Para cálculo de θθ: 
 
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1 
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0. 
 
(Livro-base p. 109-111). 
 
C z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0 
 
D z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ) 
 
E z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ 
 
Questão 4/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
“As operações de adição e subtração de polinômios acontecem quando somamos ou subtraímos, 
respectivamente, os coeficientes dos termos semelhantes. Os termos que não forem semelhantes são 
apenas repetidos.” 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 135. 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, e considerando os polinômios p(x)=5x4-5x3+x+1 e q(x)=2x5+6x4-x3+9, a soma 
p(x)+q(x) é: 
Nota: 11.1 
 
A 2x5+6x4-x3+x+1 
 
B 2x5+6x4-6x3+x+9 
 
C 2x5+11x4-5x3+x+10 
 
D 2x5+11x4-6x3+x+10 
Você acertou! 
p(x)+q(x)=5x4-5x3+x+1+2x5+6x4-x3+9 
p(x)+q(x)= 2x5+11x4-6x3+x+10 
 
Livro-base p. 135 
 
E 3x5+6x4-6x3+x+10 
 
Questão 5/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Os números complexos na forma trigonométrica também apresentam operações como a soma, subtração, 
multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação. Para determinar a multiplicação entre 
z1=ρ1(cosθ1+isenθ1)z1=ρ1(cosθ1+isenθ1) e z2=ρ2(cosθ2+isenθ2)z2=ρ2(cosθ2+isenθ2), temos a 
seguinte fórmula: 
 
z1⋅z2=ρ1⋅ρ2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]z1⋅z2=ρ1⋅ρ2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)] 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 111 e 112. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, e considerando os números complexos 
z1=10(cos(2π3+i⋅sen2π3)z1=10(cos(2π3+i⋅sen2π3) e z2=4(cos5π3+i⋅sen5π3)z2=4(cos5π3+i⋅sen5π3) o 
resultado da multiplicação z1⋅z2z1⋅z2 é: 
Nota: 11.1 
 
A z1⋅z2=40(cos7π3+i⋅sen7π3)z1⋅z2=40(cos7π3+i⋅sen7π3) 
Você acertou! 
Para encontrar o valor de z1.z2z1.z2, após utilizarmos a propriedade distributiva, realizamos os cálculos abaixo: 
 
z1.z2=ρ1.ρ2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=ρ1.ρ2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3) 
 
Livro-base, p. 112. 
 
B z1⋅z2=40(cos5π3+i⋅sen5π3)z1⋅z2=40(cos5π3+i⋅sen5π3) 
 
C z1⋅z2=10(cos7π3+i⋅sen7π3)z1⋅z2=10(cos7π3+i⋅sen7π3) 
 
D z1⋅z2=10(cos5π3+i⋅sen5π3)z1⋅z2=10(cos5π3+i⋅sen5π3) 
 
E z1⋅z2=4(cos5π3+i⋅sen5π3)z1⋅z2=4(cos5π3+i⋅sen5π3) 
 
Questão 6/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Um número complexo pode ser escrito na forma z=a+biz=a+bi, em que a,b∈Ra,b∈R, e ii é a unidade 
imaginária. Além desta forma o número complexo também pode ser representado na forma trigonométrica ou 
polar. A fórmulas de transformação são: 
 
ρ=√ a2+b2 ,sin(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin(θ)cos(θ)=bρ⟺b=ρ⋅cos(θ)ρ=a2+b2,sin⁡(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin⁡(θ)cos⁡(θ)=
bρ⟺b=ρ⋅cos⁡(θ) 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 109 e 110. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, pode-se afirmar que a forma algébrica do número complexo 
z=6(cosπ6+isenπ6)z=6(cosπ6+isenπ6) é: 
Nota: 11.1 
 
A z=6√ 6 +6iz=66+6i 
 
B z=√ 3 +3iz=3+3i 
 
C z=6√ 3 +6iz=63+6i 
 
D z=3√ 3 2+32iz=332+32i 
 
E z=3√ 3 +3iz=33+3i 
Você acertou! 
Temos que cosπ6=√ 3 2cosπ6=32 e senπ6=12senπ6=12 , logo, 
 
z=6(cosπ6+isenπ6)z=6(√ 3 2+i12)z=6√ 3 2+i62z=3√3 +3iz=6(cosπ6+isenπ6)z=6(32+i12)z=632+i62z=33+3i 
 
Livro-base, p. 109-111. 
 
Questão 7/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o seguinte trecho: 
"As operações de adição e subtração de polinômios acontecem quando somamos ou subtraímos, 
respectivamente, os coeficientes dos termos semelhantes. Os termos que nãoforem semelhantes são 
apenas repetidos". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 135. 
 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica, dados p1(x)=5x4−x2+1p1(x)=5x4−x2+1 e p2=3x4+3x3−x2−x−1p2=3x4+3x3−x2−x−1 sobre 
soma e subtração de polinômios o resultado de p1(x)+p2(x)p1(x)+p2(x) é: 
Nota: 11.1 
 
A p1(x)+p2(x)=8x7+3x6−2x4−x+2p1(x)+p2(x)=8x7+3x6−2x4−x+2 
 
B p1(x)+p2(x)=3x4+2x3+2x2+x+1p1(x)+p2(x)=3x4+2x3+2x2+x+1 
 
C p1(x)+p2(x)=8x4+3x3−2x2−xp1(x)+p2(x)=8x4+3x3−2x2−x 
Você acertou! 
A soma de p1(x)=5x4−x2+1ep2=3x4+3x3−x2−x−1p1(x)=5x4−x2+1ep2=3x4+3x3−x2−x−1 é 
 
p1(x)+p2(x)=(5x4−x2+1)+(3x4+3x3−x2−x−1)p1(x)+p2(x)=(5+3)x4+3x3+(−1−1)x2−x+(+1−1)p1(x)+p2(x)=8x4+3x3−2x2−x+0p1(x)+p2(x)=8x4+3x3−2x2−xp1(x)+p2(x)=(5x4−x2+1)+(3x4+3x3−x2−x−1)p1(x)+p2(x)=(5+3)x4+3x3+(−1−1)x2−x+(+1−1)p1(x)+p2(x)=8x4+3x3−2x2−x+0p1(x)+p2(x)=8x4+3x3−2x2−x 
 
Livro-base p. 135 
 
D p1(x)+p2(x)=8x8+0x6+3x5+2x4−x+1p1(x)+p2(x)=8x8+0x6+3x5+2x4−x+1 
 
E p1(x)+p2(x)=2x3−x+2p1(x)+p2(x)=2x3−x+2 
 
Questão 8/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o seguinte trecho: 
"As operações de adição e subtração de polinômios acontecem quando somamos ou subtraímos, 
respectivamente, os coeficientes dos termos semelhantes. Os termos que não forem semelhantes são 
apenas repetidos". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 135. 
 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica, dados p1(x)=5x4−x2+1p1(x)=5x4−x2+1 e p2=3x4+3x3−x2−x−1p2=3x4+3x3−x2−x−1 sobre 
soma e subtração de polinômios o resultado de p1(x)−p2(x)p1(x)−p2(x) é: 
Nota: 11.1 
 
A x3+xx3+x 
 
B 2x8−x4−3x3+x+22x8−x4−3x3+x+2 
 
C x4+3x3+x+2x4+3x3+x+2 
 
D 2x4−3x3+x+22x4−3x3+x+2 
Você acertou! 
A soma de p1(x)=5x4−x2+1ep2=3x4+3x3−x2−x−1p1(x)=5x4−x2+1ep2=3x4+3x3−x2−x−1 é 
 
p1(x)−p2(x)=(5x4−x2+1)−(3x4+3x3−x2−x−1)p1(x)−p2(x)=(5−3)x4+(0−3)x3+(−1−(−1))x2+(0−(−1))x+(+1−(−1))p1(x)−p2(x)=(2)x4+(−3)x3+(0)x2+(+1)x+(+1+1)p1(x)+p2(x)=2x4−3x3+x+2p1(x)−p2(x)=(5x4−x2+1)−(3x4+3x3−x2−x−1)p1(x)−p2(x)=(5−3)x4+(0−3)x3+(−1−(−1))x2+(0−(−1))x+(+1−(−1))p1(x)−p2(x)=(2)x4+(−3)x3+
(0)x2+(+1)x+(+1+1)p1(x)+p2(x)=2x4−3x3+x+2 
 
Livro-base p. 135 
 
E 2x4+22x4+2 
 
Questão 9/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Os números complexos na forma trigonométrica também apresentam operações como a soma, subtração, 
multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação. Para determinar a divisão entre 
z1=ρ1(cosθ1+isenθ1)z1=ρ1(cosθ1+isenθ1) e z2=ρ2(cosθ2+isenθ2)z2=ρ2(cosθ2+isenθ2), temos a 
seguinte fórmula: 
 
z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+isen(θ1−θ2)]z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+isen(θ1−θ2)]" 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 111 e 113. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, e considerando os números complexos 
z1=12(cos(2π3+i⋅sen2π3)z1=12(cos(2π3+i⋅sen2π3) e z2=5(cos(π3+i⋅senπ3)z2=5(cos(π3+i⋅senπ3) o 
resultado da divisão z1z2z1z2 é: 
Nota: 11.1 
 
A z1z2=512(cos(π3)+isen(π3))z1z2=512(cos(π3)+isen(π3)) 
 
B z1z2=125(cos(π3)+isen(π3)z1z2=125(cos(π3)+isen(π3) 
Você acertou! 
De acordo com o Livro-base, a divisão na forma trigonométrica é realizada através da fórmula: 
z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)]z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)] 
 
Substituindo os valores na formula, teremos: 
z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3)z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3) 
 
Livro-base p.113 
 
C z1z2=125(cos(2π3)+isen(2π3))z1z2=125(cos(2π3)+isen(2π3)) 
 
D z1z2=12(cos(2π3)+isen(2π3))z1z2=12(cos(2π3)+isen(2π3)) 
 
E z1z2=512(cos(π)+isen(π))