AP2-AL-2019-1-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Segunda Avaliação Presencial de Álgebra Linear – 01/2019 
Gabarito 
Questão 1 (2.0) 
Consideremos as bases 𝐵1 = {(2,7), (3, −1)} e 𝐵2 = {(1,0), (0,1)} do espaço vetorial ℝ2. Determine a 
matriz de mudança da base 𝐵2 para a base 𝐵1. 
Solução: Para tal devemos resolver os sistemas: 
(1,0) = a11 (2,7) + a21 (3, −1) 
(1,0) = (2 a11 + 3 a21, 7 a11 − 1 a21) 
{
7a11 − a21 = 0
2a11 + 3a21 = 1
 
Analogamente, 
(0,1) = a12 (2,7) + a22 (3, −1) 
(0,1) = (2 a12 + 3 a22, 7 a12 − 1 a22) 
{
7a12 − a22 = 1
2a12 + 3a22 = 0
 
Obtemos então 
a𝟏𝟏 =
1
23
, a𝟐𝟏 =
7
23
, a12 =
3
23
 e a𝟐𝟐 = −
2
23
, 
 e a matriz de mudança de base de 𝐵1 para 𝐵2 é dada por: 
𝐴 =
1
23
[
1 7
3 −2
] 
Questão 2 (3.0) 
Seja 𝑣 = (
1
2
,
√3
2
) e 𝑟 = {𝑡 ⋅ 𝑣; 𝑡 ∈ ℝ}. Considere 𝑇: ℝ2 → ℝ2 , como sendo a reflexão de um vetor 𝑤 ∈ ℝ2 
qualquer, em relação a reta 𝑟 dada. 
𝑇(𝑤) = 2 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑣(𝑤) − 𝑤 
a) (1.0) Se 𝑤 = (𝑥, 𝑦), determine 𝑇 em função de (𝑥, 𝑦) 
b) (1.0) Determine 𝑇(1,0) e 𝑇(0,1) 
c) (0.5) Determine os autovalores de [𝑇]. 
d) (0.5) Mostre que ||𝑇(𝑥, 𝑦)|| = ||(𝑥, 𝑦)|| 
Solução: 
Item a. Note que ||𝑣|| = 1 e daí, 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑣(𝑤) = 〈𝑣, 𝑤〉 ⋅ 𝑣 
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑣(𝑥, 𝑦) =
𝑥
2
+
𝑦√3
2
(
1
2
,
√3
2
) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦√3 (
1
2
,
√3
2
) − (𝑥, 𝑦) = (−
𝑥
2
+
𝑦√3
2
,
𝑥√3
2
+
𝑦
2
) 
Item b. 
Basta calcular, vejamos: 
𝑇(1,0) = (−
1
2
,
√3
2
)
𝑇(0,1) = (
√3
2
,
1
2
)
 
Item c. 
Note que 𝑇 é uma reflexão, então se 𝑤 ∈ 𝑟, então 𝑇(𝑤) = 𝑤 e logo tem autovalor 1. Se 𝑤 ∈ 𝑟⊥, então 
𝑇(𝑤) = −𝑤 portanto temos o valor −1 como autovalor. 
Item d 
Basta calcularmos 
||𝑇(𝑥, 𝑦)||
2
= (−
𝑥
2
+
𝑦√3
2
)
2
+ (
𝑥√3
2
+
𝑦
2
)
2
 
=
𝑥2
4
−
𝑥𝑦√3
2
+
3𝑦2
4
+
3𝑥2
4
+
𝑥𝑦√3
2
+
𝑦2
4
= 𝑥2 + 𝑦2 = ||(𝑥, 𝑦)||. 
 
 
 
Questão 3 (3.0) 
Seja 𝑣 ∈ ℝ2um vetor e 𝜃 o ângulo entre 𝑣 e o eixo 𝑥. Seja 𝑟 = {𝑡𝑣; 𝑡 ∈ ℝ}. 
𝐴 = (
cos 𝜃 − sin 𝜃 
sin 𝜃 cos 𝜃
) 𝐵 = (
1 0
0 −1
) 
 
a) (1.0) Mostre que 𝐴−1 = 𝐴𝑡 
b) (1.5) Geometricamente, o que representam as matrizes de transformação linear 𝐴𝑡, 𝐵 e 𝐴? 
Conclua o que deve representar a transformação a baixo. 
 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝐴 ⋅ 𝐵 ⋅ 𝐴𝑡 ⋅ [
𝑥
𝑦] 
(Dica: Mova um ponto da reta 𝑟 e um ponto fora da reta 𝑟. Aceitarei justificativas geométricas) 
 
c) (0.5) Conclua que toda reflexão sobre o uma reta em ℝ2 é diagonalizável. 
 
Solução: 
Item a. 
Basta verificar que 𝐴 ⋅ 𝐴𝑡 = 𝐼. De fato, 
𝐴 ⋅ 𝐴𝑡 = (
cos 𝜃 − sin 𝜃 
sin 𝜃 cos 𝜃
) ⋅ (
cos 𝜃 sin 𝜃 
−sin 𝜃 cos 𝜃
) 
= ( cos
2 𝜃 + sin2 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝜃 + sin 𝜃 cos 𝜃
− sin 𝜃 cos 𝜃 + sin 𝜃 cos 𝜃 cos2 𝜃 + sin2 𝜃
) = (
1 0
0 1
) 
Item b. Vejamos o que ocorreu em cada etapa: 
Para que as ideias fiquem claras, vamos mover em cada etapa um ponto da reta 𝑟 e um ponto fora da reta 
𝑟. 
𝐴𝑡 
Rotaciona por ângulo 𝜃 em sentido anti-horário. Assim a reta 𝑟 torna-se o eixo 𝑂𝑋. Note que o ponto 
rotacionado, dista do eixo 𝑂𝑋 o mesmo que antes distava da reta 𝑟. 
𝐵 
É a reflexão sobre o eixo 𝑂𝑋. Temos que a reta 𝑟, permaneceu sobre o eixo 𝑂𝑋, mas o ponto fora dela, foi 
refletido sobre o mesmo. 
𝐴 
Rotaciona por ângulo 𝜃 em sentido horário. Assim a reta o eixo 𝑂𝑋 torna-se novamente a reta 𝑟 e o ponto 
que havia sido refletido sobre o eixo 𝑂𝑋, torna-se o ponto o ponto original refletido sobre a reta 𝑟. 
Portanto podemos concluir que 𝑇 é apenas a reflexão sobre a reta 𝑟. 
Item c. Toda reflexão é diagonalizável, pois 𝐵 é a matriz diagonal de qualquer reflexão. 
 
Questão 4 (2.0) 
A Matriz 𝐴 = [
3 0 −4
0 3 5
0 0 −1
] admite a seguinte tabela incompleta: 
Valor próprio (λ) Vetor próprios dim E(λ)
(1,0,0), (0,1,0)
−1
 
a) (1.0) Complete a tabela. 
b) (0.5) Porque a matriz 𝐴 é diagonalizável. 
c) (0.5) Encontre a matriz diagonal 𝐷 , semelhante à 𝐴, e a matriz 𝑃, tal que 𝐷 = 𝑃−1𝐴𝑃. 
Solução: 
a) 
Como o objetivo é completar a tabela, vamos encontrar o polinômio característico de 𝐴. 
𝑝(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼) = (3 − 𝜆)2(−1 − 𝜆). 
Nos encontramos dois autovalores, sendo que um já é dado na tabela, logo 𝜆 = 3 que tem multiplicidade 
2, possui vetores próprios (1,0,0) e (0,1,0). Vamos agora encontrar o auto vetor associado a 𝜆 = −1. 
(𝐴 + 𝐼)𝑣 = 0 ⇒ [
4 0 −4
0 4 5
0 0 0
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = 0 
Obtemos assim, 𝑥 = 𝑧, 𝑦 = (−4 5⁄ )𝑧 e 𝑧 ∈ ℝ, e portanto 𝑣 = (1,
−4
5⁄ , 1). Afim de completar a tabela, 
basta apenas notarmos que dim 𝐸(3) = 2 e dim 𝐸(−1) = 1. 
b) A tem 3 autovalores linearmente independentes, logo é diagonalizável. 
c) Sabemos que, 
𝐷 = [
3 0 0
0 3 0
0 0 −1
] 
 Com 𝑃 = [
1 0 1
0 1 −4 5⁄
0 0 1
] notando que as colunas da matriz 𝑃 são os autovetores da matriz 𝐴.