Lista de Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
MATA07 – ÁLGEBRA LINEAR A 
 
 
 
1
a
 LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre a expressão da matriz X, 
nos itens abaixo: 
a) AB
t
 X = C b) AB + CX = I c) (CB)
-1
 AX = I d) (AB)
t
 XC = I 
2) Encontre as matrizes de ordem dois que comutam com 





1 0
1 1
. 
3) Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A
2
 = A 
a) Mostre que se AB = A e BA = B, então A e B são idempotentes. 
b) Mostre que 










 3- 2- 1 
4 3 1-
4- 2- 2 
 é idempotente. 
4) Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes: 
A = 










1 0 0 0
0 1 2 2
0 0 4 1
; B = 










0 1 0
0 2 2-
0 1- 1
; C = 





2- 2 1- 2
1- 2 3- 1
; D = 










3 3 2
4- 1 2
3 1 0
; F = 










2 0
0 0
0 3
 
5) Descreva todas as possíveis matrizes 2 2 que estão na forma LRFE. 
6) Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes: 
 A = 










0 0 0
1 0 0
0 4 1
; B = 





1 0 0 0
0 0 1 0 
; C = 





2 0
4- 1 
; D = 














2 1
0 0
1 0
0 1
; E = 














1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
. 
7) Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo. 
 OBS: Considere N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A. 
a) B2 3 , p(B) = 2 ; b) C3 2 , p(C) = 3 ; c) D2 4 , p(D) = 3; 
 d) F2 3 , N(F) = 2; e) G4 3 , N(G) = 0 ; f) H3, N(H) = 0; g) J3, p(J) = 2. 
8) Resolva os seguintes sistemas: 
 a)








95z3x
22z2y3x
62z2yx
 b) 








1zyx
64zy3x
42zyx
 c) 





2zyx
4zyx
 d) 








34z-6y3x
22z-4y2x
03z-2y x 
. 
9) Determine a solução do sistema 





 05wz i 2 3y 
0w y1) i (2x 
, considerando o corpo dos 
números complexos. 
10) Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de 
ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A 
cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 
1.500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada 
alimento por dia, como mostra a Tabela abaixo.Quantas bactérias de cada espécie podem 
coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? 
 Bactéria I Bactéria II Bactéria III 
Alimento A 2 2 4 
Alimento B 1 2 0 
Alimento C 1 3 1 
 
11) Discuta em função de k os seguintes sistemas: 
 a) 








ky2x
04y5x
23y4x
 b)





2zykx
0kzyx
 c)








0zkyx
3kzy2x
2kz2y2x
 d)








54zkyx
k2zyx
2kzx
. 
12) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possível e determinado 
 











1ba2yx
2b5a3y5x
byx
a7y3x
. 
13) Considere as seguintes matrizes inversíveis 




















 












111
210
121
 C 
100
010
011
 B 
210
111
111
 A . 
 a) Encontre a expressão de X tal que BAX = C. 
 b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a. 
14) Dada a matriz B em cada um dos seguintes itens, determine uma matriz N, linha 
reduzida à forma escada (LRFE), linha equivalente a B e uma matriz inversível M, de 
ordem 3, tal que N = MB. 
a) 












0121
3112
1111
B ; b) 













i5
2
i3
i1
0i22
B . 
15) Verifique se as matrizes a seguir são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a inversa, 
usando escalonamento: 
 a) 





22
21
 b) 










431
210
221
 c) 















3020
1111
1001
1100
. 
16) Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam inversíveis 
 a) 










a21
212
111
 b) 













2a11
65a1
673a
 . 
17) Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas. 
 a) 22221 RR x R : , RV  e . : 
22 RR x R  
 




 

2
yy
 , 
2
xx
)y,x()y,x( 21212211 a.(x,y )= (ax,ay) 
 b) )R(M)R(M x )R(M : , )R(MV 22222  e . : R x )R(M)R(M 22  
 

























2121
2121
22
22
11
11
ww zz
yy xx
w z
y x
w z
y x
 a . 











aw z 
y ax
w z
y x
 
18) Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V. 
 I. 3RV  
 a)  0y ; R)z,y,x(W 3  b)  1zyx ; R)z,y,x(W 2223  
 c)  0z ; R)z,y,x(W 3  d)W Q 3 ,Q o conjunto dos racionais. 
 e)  1y.x ; R)z,y,x(W 3  f)  23 xy ; R)z,y,x(W  
 II. V = Mn(R), n 2. 
 a) W ={AV ; A é simétrica} b) W ={AV ; A é inversível} 
 c) W ={AV ; A é não inversível} d) W ={AV ; A 2 = A} 
 III. V é o espaço vetorial de todas as funções f : RR. 
 a) W = {fV; f(3) = 0} b) W = {fV; f(7) = f(1)} 
 IV. C. corpo o sobre 2,n (C), MV n  
 W = {AV; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, 
t
AA  }. 
 V. R. corpo o sobre 2,n (C), MV n  
 W = {AV; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, 
t
AA  }. 
 VI. V = C
2
 sobre R. 
 W = {(a + bi, c + di)  C
2
; a – 2c = 0 e b + d = 0}. 
19) Sabendo que o conjunto das soluções do sistema de equações lineares 
 homogêneas é subespaço vetorial de )R(M 1 xn , verifique se Wi é 
 subespaço vetorial de Vi , em cada item a seguir: 
 a)  0zyx ; R)z,y,x(W, RV 3131  
 b)  0zy e 01yx ; R)z,y,x(W, RV 3232  
 c)














 02wz e 0yx ; V
w z
y x
W, )R(MV 3323 
 d)














 0wz e 0yx ; V
 wz
y x
W, )R(MV 4424 
 e)  0zyx ; V wztytxtW, )R(PV 523535  
 f)  0zx ; V zytxtW, )R(PV 62626  
 
 
20) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: 
 a)  0y2x e 0zx ; R)z,y,x(W 31  
 b)  0z3y2x ; R)z,y,x(W 32  
 c)














 0d e 0ca ; )R(M
d c
b a
W 23 
 d)  0x e zy ;)R(P wztytxtW 3234  
 e) W1 W2 
21) Considere os subespaços de R
3
 : 
  yx ; R)z,y,x(V 31  ;  zyx ; R)z,y,x(V 32  e z=0 
 I. Determine: a) 21 VV  b) 31 VV  
 II. Verifique que: a) 21 VV  é subespaço de 
3R b) 31 VV  não é subespaço de 
3R 
22) Em cada item a seguir, faça o que se pede: 
 I. Determine um conjunto de geradores de U+W. 
 II. Verifique se: U+W é soma direta. 
 ( i ) 4RV  ,  0zwyx ; R)w,z,y,x(U 4  e  w0z ; R)w,z,y,x(W 4  
 ( ii ) )R(PV 2 ,    1t, 1tW e 0yx ; )R(P zytxtU 222  
 ( iii ) )R(MV 2 , 





































0 0
1 0
= We 
0 1
1 0 
,
0 1
0 1 
U 
 ( iv ) 3RV  ,    )1,1,1(W e zyx ; R)z,y,x(U 3  
 ( v ) )R(MV 2 , 
















































1 1
0 0
,
0 0
1 1
W e 
0 1
0 0 
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
U 
23) Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo: 
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro. 
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D. 
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D. 
d) Se .D.L é }w,w,w{ então ]w,w[w 321321  
e) Se .D.L é }w,w,w{ então ]w,w,w[]w,w[ 32132121  
f) Se então .I.L é }w,w,w{ 321 ]w,w,w[]w,w[ 32121  
24) Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir são L.I. ou L.D. 
 a) V = =S,R 1
4       0,-5,8,5,2,1,0,-3,1,-2,4,1 
 b) V = (R)M 3x2 , S2 =









4 2- 3
1- 1 2
, 





7- 0 2-
1 2- 2 
,









3- 2- 1
0 1- 4
 
 c) V = 32 S(R),P = {t
3-4t2+2t+3, t3+2t2+4t-1, 2t3-t2-3t+5}. 
 
25) Considere os vetores de (R)M2 dados a seguir: 
 1v = 





0 0
2 1
, 2v = 





0 1-
 x2 
, 3v = 





2 y 
2- 1-
, 4v = 





z2y 
4 2
 
 Determine se possível, os valores de x, y e z para que cada item abaixo seja verdadeiro. 
 a) 41 v,v é L.I. b) 21 v,v é L.I c) 321 v,v,v é L.I. 
26) Verifique se os conjuntos dados a seguir são bases para os respectivos espaços. 
 Caso não sejam bases, justifique o porquê. 
 a)     2,2-,1,-1=S,R=V 1
2
1 b)     0,0,1,1,1,0=S,R=V 2
3
2 
 c)  2,5+t1,-t=S(R),P=V 2323 d) 43x24 S(R),M=V = { 





1 0 0
1 0 1
, 





0 0 0
1 1 0
, 





2 1 0
0 0 0
} 
27) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: 
 a)          ,23,,7,0,2,0,5,-2,1,0,0=W1  b)       1,-1,5,0,-1,2,1,0,3=W2 
 c)W3 = 









 wz
x y 
  (R)M2 ; x + z – y = 0



 d)  2t,1-t,t+t=W 2234 
 e)   x2y ew =z;Rwz,y,x,=W 45  
28) Determine uma base para os espaços a seguir, contendo os respectivos 
 conjuntos de vetores 
      1-1,2t+t=S(R),P=b)V 0,1,-1,1,2,0=S,R=a)V 2221
3
1 
29) Sejam 21 W e W subespaços de 
5R . Determine, justificando a dim( 2W ), sabendo que 
       1,2,1,0,0,2,1,-1,0,0,01,-1,-2,0,=WW 21  , dim( W1+W2 ) = 4 e 
     0,1,1,0,0,1,2,1,0,0 é uma base de W1. 
30) Sabendo que     3,6,9,12,1,2,3,4= VW,V=R4  ,determine a dimensão de W. 
31) Sejam U eV subespaços do espaço vetorial V, de dimensão igual a 6 
 I. Se dim (U) = 4 e dim (W) = 5, mostre que UW   
 II. Se dim (U) = dim (W) = 4, encontre as dimensões possíveis para UW. 
32) Dê, se possível, exemplos de: 
 a) Um conjunto L.I. de três vetores do 3R que não geram o 3R . 
 b) Um conjunto L.D. de três vetores de (R)M2 . 
 c) Um subespaço U de 4R tal que, 4=(U) m i d e RU 4 . 
 d) Dois subespaços 5R de W e U , tais que dim (U) = dim (W) = 3 e UW. 
Caso seja impossível, justifique sua resposta. 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
 
1) a) X = ( B
t 
)
-1
 A
-1
C ; b) X = C
-1
( I – AB ) ; c) X = A
-1
CB ; d) X = [(AB
t
]
-1
 C
-1
 
2) 





a 0 
b a 
, a, b  R. 
 
4) 










1 0 0 0
0 1/6- 1 0
0 2/3 0 1 
 ; 










0 0 0
0 1 0
0 0 1
 ; 





0 2/5- 1 0
1- 4/5 0 1
 ; 










1 0 0
0 1 0
0 0 1
; 










0 0
1 0
0 1
 
 
5) Rk ;
00
k1
 e 
10
01
 ;
00
10
 ;
00
00
























; 
 
6) p( A ) = 2 e N ( A ) = 1; p ( B ) = 2 = N ( B ); p( C ) = 2 e N( C ) = 0; 
 p ( D ) = 2 e N( D ) = 0, p( E ) = 3 e N( E ) = 0 
 
7) a) B = 





010
001
 ; b) impossível; c) impossível; d) F= 





000
001
; 
 
 e) G = 














000
100
010
001
; f) H = 










100
010
001
; g) J = 










000
010
001
 
8) a) S = { ( 2, 1, 3 ) }; b) 





 



2
3 z
 ye 
2
z35
 x;R) z y, x,(S 3 ; 
 c)S = { ( x, y, z )  R
3
; x = y + 3 e z =  1 } ; d) Impossível. 
 
9) 
















 Cz ,z ,
3
5
iz
3
2
 ,
3
5i8
z
3
i1
 S 
 
10) O biólogo deve colocar, no tubo de ensaio, 100 bactérias da espécie I e 350 de cada uma 
das espécies II e III para que todo o alimento seja consumido. 
11) 
a) Se k = 6, então o sistema é possível determinado e S = { (8, 10)}. Se k  6, o sistema 
é impossível. 
b) Se k  1, então o sistema é possível e indeterminado. Se k = 1, o sistema é impossível. 
c) Se k  2, o sistema é possível, determinado e S = { ( k +2, 1, 2 ) }. Se k = 2, o sistema é 
indeterminado. 
d) Se k 1 e k  4 então o sistema é possível e determinado. Se k = 4, o sistema é 
impossível . 
 Se k = 1, o sistema é possível, indeterminado e S = { (x,y,z) R
3
; x = z2 e 
 y = 3z3 ) }. 
 
12) a = 2 e b = 4. 
13) a) X = A
-1
B
-1
C; b) 














2/312/1
210
2/512/1
X 1 
14) a)























 

3/13/11
3/13/21
011
2100
3010
4001
 M e N ; 
 b) 

























26
i5
2.6
2i3
0
2
1
M e 
100
0
2
i
11
N . 
15) a) 







2/11
11
; b) Não é inversível; c) 


















1222
1227
3333
1272
9
1
 
16) a) a  1; b ) 4a e 2a . 
17) a) V1 não é espaço vetorial (a propriedade associativa da + não é válida). 
 b) V2 não é espaço vetorial   v.bv.av.)ba(  . 
18) I. a)Não. Contra-exemplo: (-2).(1,-2,3)=(-2,4,-6) W. 
 b) " . " " : (0,1,0)+(1,0,0)=(1,1,0)  W. 
 c)Sim. 
 d)Não. Contra-exemplo: 2 .(1,2,3) Q3 . 
 e)Não. Contra-exemplo: (1,1,0)+(-1,-1,0)=(0,0,0) W. 
 f) " . " " : (2,4,0)+(-3,9,0)=(-1,13,0) W. 
 
 II. a) Sim. 
 b) Não. Contra-exemplo: W
0 0
0 0
1 0 
0 1
1 0
0 1




















. 
 c) Não. Contra-exemplo: W
1 0
0 1
1 0
0 0
0 0
0 1


















 . 
 d) Não, pois se A e B pertencem a W, não necessariamente A+B 
 pertencerá a W, visto que: 222 BA.BB.AA)BA(  . 
 
 III. a) Sim 
 b) Sim. 
 IV) Não. Contra-exemplo: ( x+ iy) . A  W, para x e y R, com y  0. 
 V) Sim. 
 VI) Sim. 
 
19) Os itens a, d, e e f são subespaços, pois as equações que os caracterizam 
 formam sistemas lineares homogêneos. Já os itens b e c, não são subespaços, 
 porque as equações que os caracterizam formam sistemas lineares não homogêneos. 
20) a)W = [(1,1/2,-1)] b) W = [(-2,1,0),(3,0,1)] c)W = 




















0 0
1 0
,
0 1 
0 1 d)  1,ttW 2  
21) I. a)  21 VV [(1,1,1)] b)  0z e yx;R)z,y,x(VV 321  
 II. a) Como 12 VV  ,então 121 VVV  , logo 21 VV  é subespaço de 
3R 
 b) Observe que  z-y= xou yx;R)z,y,x(VV 331  . Sejam v =(1,1,3) e u =(2,3,1) 
22) ( i )    )0,0,1,1(WU ,zw;R)w,z,y,x(WU 4  ,assim WU não é soma direta e 4RWU  . 
 ( ii )  ttWU ,)R(PWU 22  , daí WU não é soma direta. 
 ( iii )





























0 0
0 0
WU e 0w;)R(M
w z
y x
WU 2
 , 
 daí WU não é soma direta pois )R(MWU 2 . 
 ( iv )  )0,0,0(WU , RWU 3  , daí U  W = 3R . 
 ( v )















0 0
1 1
WU , )R(MWU 2 , daí WU não é direta. 
 
23) a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F. 
24) a) L.D. b) L.D. c) L.I. 
25) a) y 0 ou z 0. b) xR. c) x, yR 
26) a) S1 não é base de R
2
 porque os vetores são L.D. 
 b) S2 não é base de R
3 porque não geram o R3. 
 c) S3 é base de (R)P2 . 
 d) S4 não é base de (R)M 3x2 porque não geram o (R)M 3x2 . 
27) 
      
    
 
     .2)( dim,0,0,1,1,1,2,0,0= e)
3)( dim,2t,1-tt,+t= d)
3=).( dim,
1 0
0 0
,
0 1 
0 1-
,
0 0
1 1
= c)
2=).( dim,0,-1,2,1,0,3= b)
3)( m,7,0,2,0,5,-2,1,0,0= a)
55
4
23
4
33
22
11



























W
W
W
W
Wdi





 
28) 
      
0 e d n o ,21,-1,2t+t=2α ) b 
02 e d n o ,zy,x,,0,1,-1,1,2,0=1α a) 






 

xzytxt
xyz
 29) Observe que:   )WW( dim)W( dim)W( dim=WW dim 212121  . 
Como 4 )W( dim daí 4,=)WW( dim e 2)WW( m i d , 2)W( dim 221211  
30) dim (W) = 3. 
31) I. Observe inicialmente que: dim(U+W) dim (V) = 6. 
 Então: dim (UW) = dim (U) + dim (W) – dim(U+W) 4 + 5 – 6. 
 Daí, dim (UW)  3, logo U  W  {0}. 
 II. É verdade que: U  U+W  V. Assim, 4 dim (U+W)  6. 
 Então pelo fato de dim (U  W) = dim (U) + dim (W) – dim (U+W), temos que: 
 dim(U  W) pode ser: 4, 3 ou 2. 
32) a) Impossível, pois... 
 b) S= 


























0 0
1 1
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
; 
 c) Impossível, pois... 
 d) Impossível, pois se 5R=WU , temos que:   ,R=WU e 0=WU 5 
 então, dim  W+U = dim (U ) + dim ( W )– dim ( WU ); 5 = 3 + 3 – 0 (absurdo).