Revisão ENEM Matemática 900 plus (2)

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REVISÃO ENEM CURSO MATEMÁTICA 900 PLUS Professor: Walter Melo (79) 99978 - 5994 
 
Matemática 900 plus Tel: (79) 99978 – 5994 Página 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PREPAREI UM RESUMO BEM CAPRICHADO DE 
TUDO QUE VOCÊS IRÃO PRECISAR PARA A 
PROVA DE MATEMÁTICA DO ENEM. 
 
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PROFESSOR WALTER DESEJA A TODOS UMA 
EXCELENTE PROVA! 
 
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UNIDADES DE MEDIDAS 
 
I – Unidades de comprimento: 
km (quilômetro) 
hm (hectômetro) 
dam (decâmetro) 
m (metro) 
dm (decímetro) 
cm (centímetro) 
mm (milímetro) 
 
II – Unidades de área: 
km² (quilômetro quadrado) 
hm² (hectômetro quadrado) 
dam² (decâmetro quadrado) 
m² (metro quadrado) 
dm² (decímetro quadrado) 
cm² (centímetro quadrado) 
mm² (milímetro quadrado) 
 
Obs: Unidades Agrárias 
 1 hectare (ha) = 1 hm² = 10000 m² 
 1 are (a) = 1 dam² = 100 m² 
 1 centiare (ca) = 1 m² 
 
 
III – Unidades de volume: 
km³ (quilômetro cúbico) 
hm³ (hectômetro cúbico) 
dam³ (decâmetro cúbico) 
m³ (metro cúbico) 
dm³ (decímetro cúbico) 
cm³ (centímetro cúbico) 
mm³ (milímetro cúbico) 
 
 
IV – Unidades de capacidade: 
kl (quilolitro) 
hl (hectolitro) 
dal (decalitro) 
l (litro) 
dl (decilitro) 
cl (centilitro) 
ml (mililitro) 
 
Obs: Relação entre unidades de volume e 
capacidade: 
1 m³ = 1000 litros 
1 dm³ = 1 litro 
1 cm³ = 1 mililitro 
 
 
V – Unidades de massa: 
kg (quilograma) 
hg (hectograma) 
dag (decagrama) 
g (grama) 
dg (decigrama) 
cg (centigrama) 
mg (miligrama) 
 
VI – Unidades de tempo: 
1 dia = 24 horas 
1 hora = 60 minutos 
1 minuto = 60 segundos 
 
 
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MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
I – Divisibilidade: 
Um número natural é divisível por outro, quando a 
divisão do primeiro pelo segundo é exata. 
 
II – Critérios de divisibilidade: 
 
 Divisibilidade por 2: quando o número é par. 
Ex: 632 
 
 Divisibilidade por 3: quando a soma dos seus 
algarismos é divisível por 3. 
Ex: 453 
 
 Divisibilidade por 4: quando termina em 00 ou os 
dois últimos algarismos é divisível por 4. 
Ex: 1300 e 524 
 
 Divisibilidade por 5: quando termina em 0 ou 5. 
Ex: 480 e 1245 
 
 Divisibilidade por 6: quando é divisível por 2 e 3 
simultaneamente. 
Ex: 3576 
 
 Divisibilidade por 8: quando termina em 000 ou os 
três últimos algarismos é divisível por 8. 
Ex: 45000 
 
 Divisibilidade por 9: quando a soma dos seus 
algarismos é divisível por 9. 
Ex: 675 
 
 Divisibilidade por 10: quando termina em 0. 
Ex: 360 
 
III – Divisores de um número natural: 
É o conjunto formado por todos os divisores de um 
determinado número. 
 
Obs: O número de divisores naturais de um número 
natural é dado pelo produto dos expoentes dos 
fatores primos da decomposição do número, 
adicionando uma unidade a cada expoente. 
 
Exemplo: 60 = 2². 3¹. 5¹ 
Número de divisores naturais = (2 + 1).(1 + 1).(1 +1) 
 = 3 . 2 . 2 
 = 12 divisores naturais 
 
IV – Múltiplos de um número: 
É o conjunto formado por todos os múltiplos de um 
determinado número. O conjunto dos múltiplos é infinito. 
Ex: 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ....} 
M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, ....} 
 
V – Máximo Divisor Comum (m.d.c.): 
É o maior número natural que é divisor dos números 
dados simultaneamente. 
Ex: 
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
D(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45} 
D(18)D(45) = {1, 3, 9} 
m.d.c.(18, 45) = 9 
VI – Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.): 
É o menor número natural não nulo que é múltiplo dos 
números dados simultaneamente. 
 
Ex: 
M(18) = {0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, ...} 
M(45) = {0, 45, 90, 135, ...} 
M(18)M(45) = {0, 90, ...} 
m.m.c.(18, 45) = 90 
 
 
VII – Problema de m.m.c. e m.d.c.: 
 
 Como reconhecer um problema de m.m.c.: 
encontro, acontecer novamente, coincidir. 
 
 Como reconhecer um problema de m.d.c.: 
dividir os elementos em grupos iguais de 
maior quantidade possível. 
 
 
 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
I – Razão: 
É o quociente entre duas grandezas. 
Ex: 
 
 Velocidade média: é a razão entre a distância 
percorrida e o tempo gasto no percurso. 
t
S
V


 
 
 Densidade demográfica: é a razão entre o 
número de habitantes de uma região e a área 
dessa região. 
regiãodaÁrea
pessoasden
d
º
 
 
 Densidade volumétrica: é a razão entre a massa 
de uma substância e o seu volume. 
Volume
massa
d  
 
 Escala: é a razão entre o comprimento no desenho 
e o comprimento real. 
al
desenho
E
Re
 
 
Obs: 
alÁrea
desenhoÁrea
E
Re
2  
 
alVolume
desenhoVolume
E
Re
3  
 
 
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II – Proporção: 
É a igualdade entre duas razões. 
d
c
b
a
 
 
Obs: Propriedade fundamental de uma proporção: 
a . d = b . c 
 
 
III – Propriedades da Proporção: 
d
c
b
a
 
d
c
ou
b
a
db
ca
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba









 
 
 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
I – Números diretamente proporcionais: 
 
Dadas as sequências numéricas (a, b, c) e (d, e, f), 
dizemos que esses números são diretamente 
proporcionais se: 
k
f
c
e
b
d
a
 
em que k é chamado de constante de 
proporcionalidade. 
 
 
 
II – Números inversamente proporcionais: 
 
Dadas as sequências numéricas (a, b, c) e (d, e, f), 
dizemos que esses números são inversamente 
proporcionais se: 
kfcebda  ... 
em que k chamado de constante de 
proporcionalidade. 
 
 
 
III – Grandezas Diretamente e Inversamente 
Proporcionais: 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando uma aumenta e a outra também aumenta na 
mesma proporção ou quando uma diminui e a outra 
também diminui na mesma proporção. 
Ex: 
 Distância percorrida e tempo gasto 
 Número de mercadorias compradas e preço 
pago. 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando uma aumenta e a outra diminui na mesma 
proporção ou vice-versa. 
Ex: 
 Velocidade e tempo gasto para fazer um trajeto. 
 Número de operários e tempo gasto para realizar 
uma obra. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
I – Juros Simples: 
, onde: 
100
J juros
C capitalC i t
J
i taxa
t tempo

 



 
Obs. A taxa e o tempo devem estar na mesma 
unidade. 
Montante: 
, onde: 
 
M montante
M C J C capital
J juros

  

 
 
II – Juros Compostos: 
(1 ) , onde: t
J juros
C capital
M C i
i taxa
t tempo


 


 
 
 
III – Descontos sucessivos: 
 
 (1 – i1).(1 – i2).(1 – i3)......(1 – in) 
 
 
 
 IV – Acréscimos sucessivos: 
 
 (1 + i1).(1 + i2).(1 + i3)......(1 + in) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTATÍSTICA 
 
I – Estatística: 
A estatística é a parte da matemática que trata do 
conjunto de métodos utilizados para obtenção de dados, 
sua organização em tabelas e gráficos e a análise 
desses dados. 
 
II – Frequência Absoluta e Frequência Relativa: 
 A frequência absoluta (Fi ) do valor de xi é o 
número de vezes que a variável estatística 
assume o valor de xi. 
 A frequência relativa (Fr ) é a porcentagem da 
frequência absoluta. 
 
III – GRÁFICOS: 
 
Os gráficos servem para representar o resultado de 
uma pesquisa. 
As principais representações gráficas são:3.1. Gráfico de Colunas: 
 
 
 
3.2. Gráfico de Barras 
 
 
 
3. 3. Gráfico de Setores 
 
 
 
 
3. 4. Gráfico de Segmentos: 
É usado para representar o resultado de uma mesma 
pesquisa em diferentes momentos. 
 
 
 
IV – Medidas de tendência central: 
 
 Média Aritmética: 
n
aaa
M na


...21
 
a1; a2; ...; an: termos numéricos 
 
 Média Ponderada: 
n
nn
p
ppp
apapap
M



...
......
21
2211 
a1; a2; ...; an: termos numéricos 
p1; p2; ...; pn: pesos ou frequências 
 
 Média Geométrica: 
 
n
ng aaaM ..... 21 
a1; a2; ...; an: termos numéricos 
 
 Média Harmônica: 
 n
h
aaa
n
M
1
....
11
21

 
a1; a2; ...; an: termos numéricos 
 
 Mediana: é o termo que se localiza no centro de 
uma sequência numérica, após esta ser colocada 
em ordem numérica (rol). 
 
 Moda: é o termo que possui maior frequência. 
 
V – Medidas de Dispersão: 
 
 São usadas como critério de desempate; 
 Quanto menor, a medida de dispersão, maior 
é a regularidade. 
 
 
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FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
I – Função do 1º grau: 
É toda função que possui a forma ( )f x ax b 
com a  0. 
Obs: 
a: coeficiente angular 
b: coeficiente linear 
 
II – Classificação: 
 Afim: possui a e b diferentes de zero. 
Ex: f (x)  3x  5 (a  3 e b  5) 
 Linear: possui a  0 e b  0. 
Ex: f (x)  2x (a  2 e b  0) 
Obs.: 
 Quando a  1 e b  0, a função recebe o nome 
de função identidade. Note que a função 
identidade é também uma função linear. 
Ex: f(x) = x 
 Quando a  0 e b  , a função é chamada de 
função constante. 
 Ex: f(x) = 6 
 
III – Gráfico: 
O gráfico da função do 1º grau é uma reta. 
 Se 0a  , a função é crescente, ou seja, a reta é 
para cima da esquerda para a direita. 
 
 Se 0a  , a função é decrescente, ou seja, a reta 
é para baixo da esquerda para a direita. 
 
IV – Raiz ou zero da função do 1º grau: 
É o valor de x que anula a função, ou seja, torna 
f (x)  0. 
 
Obs: Graficamente, a raiz ou zero da função do 1º 
grau é o valor de “x” onde a reta intercepta o eixo 
das abscissas e o valor de b é onde a reta intercepta 
o eixo das ordenadas. 
 
 
OBS: 
 
x
y
a


 
V – Como cai no ENEM: 
 
1º modelo: A questão fornece a função e pede o 
gráfico. 
 
2º modelo: A questão fornece o gráfico ou uma tabela 
de dados e pede a função. 
 
3º modelo: Comparar funções. 
 
4º modelo: Calcular valor numérico ou um valor futuro. 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
I – Função do 2º grau: 
É toda função que possui a forma: 
2( )f x ax bx c   , com a  0. 
 
 
II – Gráfico: 
O gráfico da função do 2º grau é uma curva aberta 
denominada parábola. 
Obs: 
 
 Se a > 0 a parábola possui a sua concavidade 
voltada pra cima. 
 
 
 Se a < 0 a parábola possui a sua concavidade 
voltada pra baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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III – Raízes ou Zeros da função do 2º grau: 
 
São os valores de x que anulam a função, ou seja, 
tornam f (x)  0. 
 
Obs: Graficamente, as raízes ou zeros da função do 
2º grau são os valores de x onde a parábola 
intercepta o eixo das abscissas e o valor de c é 
onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas. 
 
Obs: 
 Se  < 0 a função não possui raízes reais. 
 
 Se   0 a função possui duas raízes reais iguais 
(x'  x''). 
 
 Se  > 0 a função possui duas raízes reais distintas 
(x'  x''). 
 
 
 
 
 Se b  0 a função possui raízes simétricas. 
 
 
 Se c  0 a função possui uma raiz nula. 
 
 
 
IV – Vértice da Parábola: 
 
É dado por V(xV, yV), em que: 
 e 
2 4
V V
b
x y
a a

    ou
( )V Vy f x 
V – Imagem da função do 2º grau: 
 Se 0a  , |
4
Im y y
a
 
    
 
IR . 
 Se 0a  , |
4
Im y y
a
 
    
 
IR . 
 
 
VI – Valor máximo e valor mínimo: 
 Se 0a  , yV é o valor mínimo. 
 Se 0a  , yV é o valor máximo. 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
I – Forma Padrão: 
 Aumento, Valorização: 1 + i 
 Desconto, Desvalorização:1 – i 
Exemplos: 
a) Valor de um imóvel em função do tempo: 
V = V0 . (1 + i)
t
 
 
b) Valor de um automóvel em função do tempo: 
V = V0 . (1 – i)
t
 
c) População de uma cidade em função do tempo: 
P = P0 . (1 + i)
t
 
 
d) Quantidade de um fármaco no organismo em 
função do tempo: 
Q = Q0 . (1 – i)
t
 
 
e) Montante de um capital investido em função do 
tempo: 
M = C . (1 + i)
t
 
 
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II – Notação Científica: 
É todo número expresso na forma 
n10. , em que 
n Z e 1  < 10. 
A notação científica, é usada para expressar números 
extremamente altos (ex: distância da Terra ao Sol, 
velocidade da luz) ou números extremamente pequenos 
(ex: massa de um átomo, raio do núcleo de uma célula). 
Como podemos notar a notação científica é de grande 
importância e utilidade na Matemática, Física e 
Química. 
 
Exemplo: 
a) 400000000 = 4 x 10
8
 
 
b) 0,000003 = 3 x 10
–6
 
 
c) 680000 = 6,8 x 10
5
 
 
d) 0,00125 = 1,25 x 10
–3
 
 
e) 852100000000 = 8,521 x 10
11
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARITMICA 
 
I – Definição: 
Função logarítmica é a função inversa da função 
exponencial, e vice-versa. 
log xa b x b a   em que 
0
0 e 1
b
a a


 
 
 
II – Elementos: 
Sendo loga b x , temos que: 
b  logaritmando ou antilogaritmo 
a  base 
x  logaritmo 
 
III – Condição de existência dos logaritmos: 
Dada a função ( ) logaf x b , temos que ela só será 
definida se:
 
0
0 e 1
b
a a


 
 
 
IV – Consequências da definição: 
 1ª consequência: log 1 0a  
 2ª consequência: 1log aa 
 3ª consequência: ma
m
a log 
 4ª consequência: 
loga ba b 
 5ª consequencia: 
Se log loga ab c , então b  c 
 
 
 
V – Propriedades dos logaritmos: 
 1ª propriedade: logaritmo de um produto 
log ( ) log loga a abc b c 
 
 
 2ª propriedade: logaritmo de um quociente 
log log loga a a
b
b c
c
 
  
 
 
 
 3ª propriedade: logaritmo de uma potência 
log logna ab n b 
 
 
VI – Cologaritmo: 
É o oposto do logaritmo. 
1 1colog log log loga a a ab b b
b
    
 
VII – Mudança de base: 
log
log
log
c
a
c
b
b
a

 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
I – Funções trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II – Gráficos: 
 Função Seno: 
 
 Função Cosseno: 
 
 1 
1 
0 0 
+ + 
  
0 
0 
1 1 
 + 
+  
 
 
0 0 
 + 
 + 
seno cosseno tangente 
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PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
I – Razão da P.A. 
r  a2  a1  a3  a2  ...  an  an  1 
r sucessor antecessor  
 
 
II – Classificação de uma P.A. 
 Crescente: quando r > 0 
 Decrescente: quando r < 0 
 Constante: quando r  0 
 
III – Termo geral de uma P.A. 
 
1 ( 1)na a n r    
onde: an  termo geral 
a1  1º termo 
n  número de termos ou posição do termo 
r  razão 
Obs: Artifícios que ajudam a resolver questões 
de P.A.: 
 Escrever os termos em função de a1 e r. 
a1  a1 
a2  a1 + r 
a3  a1 + 2r 
 ...... 
a10  a1 + 9r 
 
 Três termos em P.A. 
x  r ; x; x + r 
 
 
IV – Soma dos termos de uma P.A. finita 
 1
( )
2
n
n
a a n
S

 
onde: Sn  soma dos termos 
a1  primeiro termo 
an
 
 último termo 
n  número de termos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
I – Razão da P.G. 
32
1 2 1
... n
n
a aa
q
a a a 
    
sucessor
antecessor
q  
 
II- Classificação de uma P.G. 
Crescente: 1
1
0 e 1
0 e 0 1
a q
a q
 

  
 
Decrescente: 1
1
0 e 0 1
0 e 1
a q
a q
  

 
 
Constante: q  1 
Alternante: q < 0 
 
 
III – Termo geral de uma P.G. 
 1
1
n
na a q
  
onde: an  termo geral 
a1  1º termo 
q  razão 
n  número de termos ou posição do termo 
Obs: Artifícios que ajudam a resolver questões 
de P.G. 
Escrever os termos em função de a1 e r. 
a1  a1 
a2  a1  q 
a3  a1  q
2
 
....... 
a10  a1  q
9
 
 
Três termos em P.G. 
, , 
x
x x q
q
 
 
IV – Soma dos termos de uma P.G. finita 
1º caso: q  1 
1nS n a  
2º caso: q  1 
1( 1)
1
n
n
a q
S
q



 
 
 
V – Soma dos termos de uma P.G. infinita 
 1
1
n
a
S
q


 -1 < q < 1 
Obs: 
 Se q > 1 e a1 > 0, então Sn = + ∞ 
 Se q > 1 e a1 < 0, então Sn = – ∞ 
 Se q < - 1 e a1  0, então Sn não existe 
 
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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
I – FATORIAL: 
É o produto de número natural pelos seus 
antecessores naturais não nulos. 
n!  n  (n  1)  (n  2)  …  2  1 
Ex. 5!  5  4  3  2  1  120 
3!  3  2  1  6 
Obs. 0!  1 
1!  1 
 
II – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM: 
É dado pelo produto das possibilidades de cada termo. 
 
III – ARRANJO: 
É o tipo de agrupamento sem repetição em que um 
grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza 
dos elementos componentes. 
,
!
( )!
n p
n
A
n p


 pneNpNn  ; 
Obs: A ordem dos elementos influi no resultado. 
 
 
IV – COMBINAÇÃO: 
É o tipo de agrupamento sem repetição em que um 
grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos 
elementos componentes 
,
!
!( )!
n p
n
C
p n p


 
pneNpNn  ;
 
Obs: A ordem dos elementos não influi no 
resultado. 
 
V – PERMUTAÇÃO SIMPLES: 
É o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em 
que entram todos os elementos em cada grupo. 
!nP n 
Obs: É um arranjo em que todos os elementos 
participam simultaneamente. 
 
 
VI – PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS: 
 
em que a, b,.... k são as 
repetições 
 
 
VII – PERMUTAÇÃO CIRCULAR: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE 
 
I – Probabilidade: 
É a razão entre o número de elementos do evento e o 
número de elementos do universo (espaço amostral). 
 
)(
)(
)(
Un
En
nP  
 
Obs: A probabilidade é um valor compreendido 
entre 0 e 1. 
1)(0  nP
 
 
 Quando a probabilidade é zero, dizemos que é um 
evento impossível. 
 Quando a probabilidade é 1, dizemos que é um 
evento certo. 
II – Probabilidade da União de dois eventos: 
 
)()()()( BAPBPAPBAP  
 
 
III – Probabilidade do evento complementar: 
 
1)()(  APAP 
 
 
IV – Probabilidade de eventos não equiprováveis: 
 
É quando nem todos os eventos têm a mesma 
probabilidade de ocorrência. 
 
Obs: A soma das probabilidades de todos os 
eventos é igual a 1. 
 
 
V – Probabilidade Condicional 
( )
( / )
( )
n A B
P A B
n B

 
 
Obs: Palavras chaves que identificam a 
Probabilidade Condicional: 
 Sabendo-se que ..... 
 Verificou-se que ..... 
 Obteve-se ..... 
 Se ..... 
 
VI – Produto de Probabilidades 
Sendo E1, E2, E3, ..., En, eventos independentes, então 
a probabilidade de: 
 )()...().()(...)()( 2121 nn EPEPEPEPEPEP  
 
 
 
 
 
 
!.....!.!
!,....,,
kba
n
P kban  
)!1()('  nnP
 
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VII – Probabilidade Binomial: 
rnr qp
r
n
P 





 .. 
 
em que: 
n = nº de experiências realizadas; 
r = nº de experiências realizadas com sucesso; 
p = probabilidade do sucesso; 
q = probabilidade do fracasso. 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
I – Unidades de medidas: 
 A principal unidade de medida de área é o m² 
(metro quadrado). 
 Múltiplos e Submúltiplos do m²: 
 km² - hm² - dam² - m² - dm² - cm² - mm² 
 
II – Áreas das principais figuras planas: 
 Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 Triângulo retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 Triângulo equilátero 
 
 
 
 
 
 
 
 Triângulo em que é fornecido a medida dos três 
lados (Fórmula de Herão). 
 
 
 
 
 
 
 
 Triângulo em que é fornecido dois lados e o ângulo 
entre eles 
 
 
 
 
 
 
 Quadrado 
 
 
 
 
 
 Retângulo 
 
 
 
 
 
 
 Losango 
 
 
 
 
 
 
 Trapézio 
 
 
 
 
 
 
 Hexágono regular 
 
 
 
 
 
 
1 Hexágono regular = 6 triângulos equiláteros 
2
3.3 2l
A  
 
 Círculo 
 
 
 
 
 
 ou 
2 2
a h b c
A A
 
 
h 
b 
h 
a 
b c 
 
 
 
 
 a 
b c 
 
 
 a 
b 
 
 
 
 
h 
b 
 
D 
d 
 
h 
B 
b 
 
r 
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 Coroa circular 
 
 
 
 
 
 
 Setor circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONO REGULAR 
 
I – Definição: 
É o polígono que possui todos os lados iguais e todos 
os ângulos iguais. 
 
 
 
II – Elementos de um Polígono Regular: 
 
 
 Apótema: segmento de reta que une o centro de 
um polígono regular ao ponto médio de um 
lado, formando com este um ângulo reto. 
 
 Ângulo central de um polígono regular: 
n
ac
º360
 
 
 Ângulo interno de um polígono regular: 
n
n
i
º180).2(^ 
 
 
 Ângulo externo de um polígono regular: 
n
e
º360^
 
 
î + ê = 180º 
Obs: Para qualquer Polígono Convexo regular ou 
não- regular: 
 
 Soma dos ângulos internos: 
º180).2(  nSi 
 
 Soma dos ângulos externos: 
º360eS 
 
 Número de diagonais: 
 
2
.3 nn
d

 
 
 
III - Relação entre Lado e Apótema de Polígonos 
Regulares Inscritos na Circunferência: 
 
 
Polígono Regular 
Inscrito 
Lado Apótema 
Triângulo 
equilátero 
33 rl  
2
3
r
a  
Quadrado 
24 rl  
2
2
4
r
a  
Hexágono 
regular 
rl 6 
2
3
6
r
a  
 
 
ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS PARALELAS E 
RETAS TRANSVERSAIS 
 
 Ângulos correspondentes:







wed
zec
yeb
xea
 
Obs: Dois ângulos correspondentes são 
congruentes. 
 
 
 
 
r 
R 
 
 
r 
r 
 
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 Ângulos Alternos: 
 Alternos externos: 



zeb
wea
 
 Alternos internos: 



xed
yec
 
Obs: Dois ângulos alternos são congruentes. 
 
 
 Ângulos Colaterais: 
 Colaterais externos:



web
zea
 
 Colaterais internos: 



yed
xec
 
Obs: Dois ângulos colaterais são suplementares. 
 
 
TEOREMA DE TALES 
 
Um feixe de retas paralelas interceptado por retas 
transversais, determinam segmentos proporcionais. 
 
 
 
NP
MN
BC
AB
 
 
 
 
ESTUDO DOS TRIÂNGULOS 
 
I – Condição de Existência de um Triângulo: 
 
Em qualquer triângulo, o maior lado tem que ser menor 
que a soma dos dois lados menores. 
 
 
II – Classificação: 
 
Quanto aos lados: 
 
 Equilátero: possui os três lados iguais. 
 Isósceles: possui dois lados iguais. 
 Escaleno: possui os três lados diferentes. 
 
Obs: O triângulo equilátero é também isósceles. 
 
 
 
Quanto aos ângulos: 
 
 Retângulo: possui um ângulo reto. 
 Acutângulo: possui todos os ângulos agudos. Obtusângulo: possui um ângulo obtuso. 
 
 
Obs: Classificação de um triângulo quanto aos 
ângulos a partir das medidas dos seus lados: 
 
 Se a² = b² + c², o triângulo é retângulo; 
 Se a² < b² + c², o triângulo é acutângulo; 
 Se a² > b² + c², o triângulo é obtusângulo. 
Considere “a” sendo o maior lado. 
 
 
III – Base Média de um Triângulo: 
Um segmento de reta é base média de um triângulo se, 
e somente se, esse segmento tiver as extremidades nos 
pontos médios de dois lados desse triângulo. 
 
 
 
Se M e N são os pontos médios dos lados AB e AC , 
então MN é base média do triângulo ABC. 
2
BC
MN  
 
Obs: 
1 – A área do triângulo AMN corresponde à quarta 
parte da área do triângulo ABC: 
4
)(
)(
ABC
AMN
A
A

  
 
 
2 – Base Média de um Trapézio: 
Um segmento de reta é base média de um trapézio se, 
e somente se, esse segmento tiver as extremidades 
nos pontos médios dos lados não paralelos. 
 
 
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2
CDAB
MN

 
 
 
Obs: As medidas dos segmentos CDMNAB ;; 
formam uma Progressão Aritmética. 
 
 
 
CEVIANAS E PONTOS NOTÁVEIS DE UM 
TRIÂNGULO 
 
I – Mediana: 
É o segmento que parte de um vértice até o ponto 
médio do lado oposto a esse vértice. 
 
 
 
Os segmentos CPeBNAM , são as medianas do 
triângulo ABC. 
 
Obs: 
1 – O ponto de intersecção das medianas é o ponto 
G (baricentro do triângulo); 
 
2 – A medida de um vértice ao baricentro é sempre o 
dobro da medida do baricentro ao ponto médio. 
GPCG
GNBG
GMAG
.2
.2
.2



 
 
 
II – Altura: 
É o segmento que parte de um vértice ao lado oposto, 
formando com ele um ângulo reto. 
 
 
Os segmentos 
321 , CHeBHAH são as alturas do 
triângulo ABC. 
Obs: 
O ponto de intersecção das alturas é o ponto O 
(ortocentro do triângulo); 
III – Bissetriz: 
É o segmento que parte de um vértice ao lado oposto, 
dividindo o ângulo do vértice ao meio. 
 
 
 
Obs: 
1 – O ponto de intersecção das bissetrizes é o ponto 
I (incentro do triângulo); 
 
2 – O incentro é o centro da circunferência inscrita 
no triângulo. 
 
IV – Mediatriz: 
É a reta que passa pelo ponto médio de um lado do 
triângulo formando com ele um ângulo reto. 
 
Obs: 
1 – O ponto de intersecção das mediatrizes é o 
ponto C (circuncentro do triângulo); 
 
2 – O circuncentro é o centro da circunferência 
circunscrita ao triângulo. 
 
3 – No triângulo equilátero, o Baricentro, o 
Ortocentro, o Incentro e o Circuncentro, coincidem 
todos em um mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
Dois triângulos que têm os três ângulos 
respectivamente congruentes são chamados de 
triângulos semelhantes. 
 
 Casos de semelhança: 
 
1ª caso: ângulo - ângulo (AA) 
Se dois triângulos possuem dois ângulos 
correspondentes congruentes, então eles são 
semelhantes pelo caso AA. 
 
 
 
 
 
2º caso: lado - lado - lado (LLL) 
Se dois triângulos possuem os lados correspondentes 
proporcionais, então eles são semelhantes pelo caso 
LLL. 
 
 
 
 
 
3º caso: lado – ângulo – lado (LAL) 
Se dois triângulos possuem dois lados homólogos 
proporcionais e o ângulo compreendido entre eles 
congruentes, então eles são semelhantes pelo caso 
LAL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
 a: hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) 
 b e c: catetos 
 h: altura (relativa à hipotenusa) 
 m e n: projeções dos catetos 
 
b² = a.n 
c² = a.m 
h² = m.n 
a.h = b.c 
a² = b² + c² (Teorema de Pitágoras) 
 
 
Obs: Aplicações Notáveis do teorema de Pitágoras: 
 
 Diagonal do Quadrado: 2ld  
 
 Altura do Triângulo Equilátero: 
2
3l
h  
 
 
 
 
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
I – Elementos de uma Circunferência: 
 
 
 
II – Comprimento da Circunferência: 
 
rC ..2 
 
 
 
 
 
 
 
 
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III – Comprimento de Arco de Circunferência: 
 
 
 
º180
..  r
l  
 
 
.rl  
 
 
IV – Relações Métricas na Circunferência: 
 
 1ª Relação: Corda – Corda: 
 
PDPCPBPA ..  
 
 2ª Relação: Secante – Secante: 
 
 
PDPCPBPA ..  
 
 
 3ª Relação: Tangente – Secante: 
 
 
  PBPAPC .2  
 
V – Propriedades da Tangente: 
 
 1ª Propriedade: A tangente é perpendicular ao raio 
que passa pelo ponto de contato. 
 
 
 
 2ª Propriedade: Se de um ponto P conduzirmos os 
segmentos PA e PB , ambos tangentes a uma 
circunferência, com A e B na circunferência, então 
PA = PB . 
 
 
 
VI – Ângulos de uma Circunferência: 
 Ângulo Central: 
 
 
 Ângulo Inscrito: 
 
 
 
 
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 Ângulo de Segmento: 
 
 
 
 Ângulo Excêntrico Interior: 
 
 
 
 Ângulo Excêntrico Exterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
I – Poliedro: 
É o sólido limitado por polígonos planos. 
 
 
 Os polígonos são denominados faces do poliedro. 
 Os lados dos polígonos são as arestas do 
poliedro. 
 Os vértices dos polígonos são os vértices do 
poliedro. 
 
 
 
Os poliedros convexos possuem nomes de acordo com 
o número de faces. 
Ex: tetraedro: poliedro convexo com quatro faces. 
 pentaedro: poliedro convexo com cinco faces. 
 hexaedro: poliedro convexo com seis faces. 
 
 
II – Relação de Euler: 
Para qualquer poliedro convexo, temos: 
 2F V A   em que: 
F  número de faces do poliedro 
V  número de vértices do poliedro 
A  número de arestas do poliedro 
 
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III – Poliedros de Platão: 
Um poliedro é dito de Platão, quando: 
 Todas as faces possuírem o mesmo número 
de arestas; 
 Para todos os vértices converge o mesmo 
número de arestas; 
 Valer a Relação de Euler. 
 
IV – Poliedros Regulares: 
É quando suas faces são polígonos regulares, 
todas com o mesmo número de lados, e se em 
todo vértice do poliedro converge o mesmo 
número de arestas. 
Nessas condições, há somente cinco poliedros 
regulares, que são: 
 tetraedro regular, 
 hexaedro regular, 
 octaedro regular, 
 dodecaedro regular; 
 icosaedro regular. 
 
Nome 
Faces 
(forma) 
Arestas Vértices Faces 
tetraedro 
regular 
triangulares 6 4 4 
octaedro 
regular 
triangulares 12 6 8 
icosaedro 
regular 
triangulares 30 12 20 
hexaedro 
regular 
(cubo) 
quadradas 12 8 6 
dodecaedro 
regular 
pentagonais 30 20 12 
 
 
 
 
Obs: 
Poliedros conjugados: dois poliedros são ditos 
conjugados quando o número de vértices do primeiro é 
igual ao número de faces do segundo e quando o 
número de faces do primeiro é igual ao número de 
vértices do segundo. 
Ex: 
O cubo e o octaedro regular são conjugados; 
O dodecaedro regular e o icosaedro regular são 
conjugados. 
O tetraedro regular é conjugado dele mesmo. 
 
V – Soma dos ângulos de todas as faces do 
poliedro 
( 2) 360ºS V   
 em que: 
V  número de vértices do poliedro. 
 
 
VI – Número de diagonais de um poliedro: 
 
É dado por: 
dA
VV
D 


2
)1.(
 
em que: 
D = número de diagonais do poliedro; 
V = número de vérticesdo poliedro; 
A = número de arestas do poliedro; 
d = número de diagonais de todas as faces do poliedro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRISMAS 
 
I – Definição e Elementos: 
O prisma é um sólido delimitado por faces planas. 
Num prima convém destacar os seguintes elementos: 
 
 
 As faces laterais são paralelogramos. 
 A distância entre os planos paralelos  e  que 
contém as bases do prisma é chamada altura do 
prisma; sua medida é expressa por h. 
 As bases são polígonos congruentes. 
 Os prismas são designados de acordo com o 
número de lados dos polígonos das bases. 
BASES SÃO PRISMA 
Triângulos triangular 
Quadriláteros quadrangular 
Pentágonos pentagonal 
Hexágonos hexagonal 
e assim por diante 
Ex: 
 
 
II – Prisma Reto e Prisma Oblíquo: 
Um prisma pode ser reto ou oblíquo. Quando as 
arestas laterais são perpendiculares aos planos 
das bases, o prisma se diz reto; neste caso, as 
faces laterais são retângulos congruentes. 
 
 
No prisma reto, as arestas laterais têm a mesma 
medida da altura do prisma. 
No caso de as arestas laterais serem oblíquas aos 
planos das bases, o prisma se diz oblíquo. 
Obs: 
Um prisma será regular quando for reto e sua base for 
um polígono regular. 
 
 
III – Área da Superfície de um Prisma: 
 Área da base (Ab) 
É a área de uma das regiões poligonais da base. 
 Área lateral (Al) 
É a soma das áreas de todas as faces laterais. 
 Área total (At) 
É a soma das áreas das bases com a área lateral. 
 
 
IV – Volume de um prisma: 
 É o produto da área da base pela altura do prisma. 
bV A h  
 
V – Paralelepípedos: 
É todo prisma no qual as suas faces são 
paralelogramos. 
 
 
VI - Paralelepípedo Retângulo: 
É o paralelepípedo reto delimitado por seis faces 
retangulares, onde as faces opostas são 
retângulos congruentes. 
 
 Diagonal do paralelepípedo retângulo: 
2 2 2D a b c   
 
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 Área total do paralelepípedo retângulo: 
2( )tA ab ac bc   
 Volume do paralelepípedo retângulo: 
V a b c   
 
VII – Cubo: 
É o paralelepípedo retângulo em que todas as 
faces são iguais. 
 
 Diagonal do cubo: 
3D a 
 Área total do cubo: 
26tA a 
 Volume do cubo: 
3V a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
I – Elementos: 
Numa pirâmide, podemos destacar os seguintes 
elementos: 
 
 
As pirâmides são designadas de acordo com o 
número de lados do polígono da base. 
 
 
II – Pirâmide regular: 
Uma pirâmide é regular quando sua base é um 
polígono regular e a projeção ortogonal do vértice 
é o centro da base. 
Numa pirâmide regular convém destacar: 
 
h  altura da pirâmide 
m  apótema da base 
g  apótema da pirâmide 
l  aresta lateral 
a  aresta da base 
Dessa forma, numa pirâmide regular temos triângulos 
retângulos importantes: 
 
 
222 mhg  
2
22
2







a
gl 
 
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III – Áreas da pirâmide: 
 
 Área da base (Ab) 
É a área do polígono que forma a base da 
pirâmide. 
 Área lateral (Al) 
É a soma das áreas de todas as faces laterais 
da pirâmide. 
 Área total (AT) 
AT  Ab + Al 
 
IV – Volume: 
O volume de uma pirâmide corresponde à terça 
parte do volume de um prisma de mesma base e 
mesma altura da pirâmide. 
 
1
3
bV A h  
 
V – Tetraedro: 
É a pirâmide que possui no total quatro faces. O 
tetraedro é uma pirâmide de base triangular. 
Quando todas as faces do tetraedro são triângulos 
equiláteros, então ele é regular. 
 
 
 
 Altura do tetraedro regular: 
6
3
a
h  
 
 Área total do tetraedro regular: 
2 3TA a 
 
 Volume do tetraedro regular: 
3 2
12
a
V  
VI – Tronco de pirâmide: 
Feita uma secção transversal numa pirâmide, 
obtemos o tronco de uma pirâmide. 
 
 
Num tronco de pirâmide, temos: 
 As bases do tronco é a base da pirâmide e a 
secção; 
 As faces laterais são trapézios; 
 A distância entre as bases do tronco é a sua altura. 
 
VII – Propriedades do tronco: 
 
 
 1ª propriedade: 
'A
A
V d
V h
 
 2ª propriedade: 
2
2
b d
B h
 
 3ª propriedade: 
3
3
v d
V h
 
 
Obs: Volume do tronco da pirâmide: 
( )
3
k
V B B b b    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CILINDRO 
 
I – Elementos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Cilindro equilátero: 
2h r 
 
II – Áreas de um cilindro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Área da base (Ab) 
2
bA r  
 Área lateral (Al) 
2lA rh  
 Área total (AT) 
2 ( )TA r r h   
 
III – Volume do cilindro: 
 
2V r h  
 
 
 
 
 
 
CONE 
 
I – Elementos: 
Em um cone destacamos os elementos: 
 
 
II – Secção meridiana: 
Quando seccionamos um cone circular reto por um 
plano que contém o eixo, determinamos uma 
secção denominada secção meridiana. 
Em que: 
 a base é o diâmetro do cone 
 cada lado congruente é uma geratriz 
 a altura é a altura do cone. 
Daí temos a relação: 
 
2 2 2g h r  
Obs: Cone equilátero: 
 2g r 
 
III – Áreas do cone: 
Planificando o cone da figura, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Área da base (Ab) 
 
2
bA r  
 Área lateral (Al) 
 lA rg  
 Área total (AT) 
 ( )TA r r g   
r 
r 
base 
base 
geratriz 
h (altura) 
r 
r 
h 
C  2r 
planificação 
r 
g g g 
superfície lateral 
r base 
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IV – Volume do cone: 
O volume de um cone corresponde à terça parte 
do volume de um cilindro de mesma base e 
mesma altura do cone. 
 
21
3
V r h  
 
V – Tronco do cone: 
Observe a secção transversal feita no cone: 
 
 
Num tronco de cone destacamos: 
 
 As bases do tronco é a base do cone e a secção. 
 A distância entre as bases do tronco é a altura (k) 
do tronco. 
 R e r são os raios das bases maior e menor 
respectivamente. 
 G é a geratriz do tronco. 
 
VI – Áreas e volume do tronco de cone: 
Planificando o tronco do cone, obtemos: 
 
Em que: 
R  raio da base 
r  raio da secção 
g  geratriz do cone 
G  geratriz do tronco 
 Áreas das bases: 
base maior: AB  R
2
 
base menor: Ab  r
2
 
 Área lateral: 
 ( )lA G R r   
 Área total: 
 T B b lA A A A   
 Volume do tronco 
 
2 2( )
3
k
V R Rr r

   
 
VII – Propriedades do tronco de cone: 
Considere a figura abaixo: 
 
Em que: 
B  área da base maior 
b  área da base menor 
h  altura do cone maior 
d  altura do cone menor 
V  volume do cone maior 
v  volume do cone menor 
 
 1ª propriedade: 
d r
h R
 
 2ª propriedade: 
2
2
d b
Bh
 
 3ª propriedade: 
3
3
d v
Vh
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESFERA 
 
I – Posição de um Plano e de uma Esfera: 
Um plano com relação a uma esfera pode ser: 
externo, tangente ou secante. 
 
 
O plano se diz: 
 externo: d > r (não há ponto em comum) 
 tangente: d  r (há somente um ponto em comum) 
 secante: d < r (há mais de um ponto em comum) 
 
Na figura III, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
R  raio da esfera 
r  raio da secção 
d  distância do centro da esfera à secção 
 
Obs: Quando a secção é máxima o raio da esfera é 
igual ao raio da secção. 
 
 
II – Área da superfície esférica: 
 
24A R  
 
III – Volume da esfera: 
 
34
3
V R  
 
IV – Área do fuso esférico: 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
2
2
, com em graus
90º
2 , com em radianos
R
A
A R
 
 
  
 
 
V – Volume da cunha: 
Exemplo: 
 
3
3
, com em graus
º
2
, com em radianos
R
V
R
V
 
 


 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
r 
A 
d 
O 
O' 
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
I – Sistema Cartesiano Ortogonal: 
É formado por duas retas perpendiculares entre si, 
com a mesma origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II – Distância entre dois pontos: 
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), temos que a 
distância entre eles é dada por: 
 
2 2( , ) ( ) ( )A B A Bd A B x x y y    
 
 
III – Ponto médio de um segmento: 
É o ponto que divide o segmento em duas partes 
iguais. 
 
 
 
É dado por: 
 e 
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
 
  
IV – Baricentro de um triângulo: 
É o ponto de encontro das medianas de um 
triângulo. 
É dado por: 
3
CBA
G
xxx
x

 e 
3
CBA
G
yyy
y

 
 
V – Área de um triângulo: 
Dado um triângulo ABC de vértices A(xA, yA), B(xB, 
yB) e C(xC, yC) podemos calcular a sua área por: 
1
| det |
2
Área   , em que det é o determinante 
da matriz 
1
1
1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
 
 
 
 
 
. 
 
VI – Condição de alinhamento de três pontos: 
Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), 
dizemos que eles estão alinhados, se, e somente 
se: 
1
1 0
1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
 . 
 
ESTUDO DA RETA 
 
I – Inclinação e coeficiente angular de uma reta: 
Dada a figura, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A medida do ângulo  é chamada de inclinação da reta. 
E a medida m tal que m  tg  é chamado de 
coeficiente angular da reta. 
 
Obs. Pode ocorrer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente angular de uma reta pode ser 
calculado também por: 
A B
A B
y y
m
x x



 
 
(eixo das ordenadas) y 
 
 
x (eixo das abscissas) 
2º Quadrante 
(, +) 
1º Quadrante 
(+, +) 
3º Quadrante 
(, ) 
4º Quadrante 
(+, ) 
A M B 
(ponto médio do segmento AB¯¯) 
y 
x 
y 
x 
  90º ( m)   90º (m  0) 
reta vertical 
reta horizontal 
y 
x 
 
y 
x 
 
0 <  < 90º (m > 0) 
 
y 
x 
90º <  < 180º (m < 0) 
y 
x 
y 
x 
  90º ( m)   180º (m  0) 
reta vertical 
reta horizontal 
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II – Equação da reta: 
É dada por 0 0( )y y m x x   , onde: 
 x0 e y0: coordenadas do ponto 
 m: coeficiente angular da reta 
Obs: 
 Equação reduzida da reta: é quando 
escrevemos a equação na forma y mx n  , 
onde: 
 m  coeficiente angular 
 n  coeficiente linear (ponto onde a reta 
 intercepta o eixo y) 
 
 Equação segmentária da reta: é quando 
escrevemos a equação na forma 1
x y
p q
  , 
onde: 
 p  ponto onde a reta intercepta o eixo x. 
 q  ponto onde a reta intercepta o eixo y. 
 
De maneira geral, toda reta pode ser escrita na 
forma ax + by + c  0, onde a e b não são ambos 
nulos. 
 coeficiente angular: 
a
m
b
  
 coeficiente linear: 
c
n
b
  
 
III – Posições relativas de duas retas: 
 Retas paralelas: 1 2m m 
 Retas concorrentes: 
1 2m m 
 Perpendiculares: 1
2
1
m
m
  
 
IV – Ângulo entre duas retas: 
É dado por: 2 1
2 1
tg
1
m m
m m

 
 
 
Obs. Se uma das retas for vertical, temos que 
1
1
tg
m
  
 
V – Distância entre ponto e reta: 
É dado por: 
 
22
..
),(
BA
CyBxA
rPd
Pp


 
Onde: A, B e C: coeficientes da reta 
xP e yP: coordenadas do ponto. 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
I – Equação da circunferência: 
2 2 2( ) ( )x a y b r    
onde: a e b coordenadas do centro 
r  raio da circunferência 
Obs: Quando o centro da circunferência localiza-
se na origem do sistema cartesiano, temos 
que: 
2 2 2x y r  
 
 
II – Equação geral da circunferência: 
2 2 0x y x y c     
 
Obs: Importante! 
 Para determinar o centro e o raio de uma 
circunferência a partir da equação geral, é só 
calcular: 
a



; b



; e 
2 2 2r a b c   
 
 
III – Condição de existência de uma circunferência: 
Uma equação do tipo x
2
 + y
2
 + x + y + c  0 só 
representa uma circunferência quando 
 os coeficientes de x
2
 e y
2
 são iguais; 
 2 2 0a b c   ; 
 Não existe o termo xy. 
 
 
IV – Posições relativas entre ponto e circunferência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
P 
d(C, P) < raio 
(P é interno) 
C 
P 
d(C, P)  raio 
(P  circunferência) 
C 
P 
d(C, P) > raio 
(P é externo) 
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V – Posições relativas entre reta e circunferência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI – Posições relativas entre duas circunferências: 
 
 1º caso: circunferências tangentes 
 
 externamente internamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2º caso: circunferências secantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3º caso: não se interceptam 
 externamente 
 
 
 
 
 
1 2 1 2( , )d C C r r  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BOA PROVA! 
 
 
C 
d(C, r) < raio 
(reta secante) 
r 
d(C, r)  raio 
(reta tangente) 
r 
d(C, r) > raio 
(reta externa) C 
r 
C1 C2 
C1 C2 
r1 r2 r1 r2 
C1 C2 
 
C1 C2 
 
C1 
C2 
internamente 
 
C1  C2 
concêntricas