7 Desempenho dinâmico e especificações de resposta transitória

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Desempenho dinâmico. Critério de Routh-Hurwitz.
Sistemas de 1ª e 2ª ordem. 
Especificações da resposta transitória.
Polos dominantes e zeros/resíduos. 
Prof. Harold Mello
harold.uerj@gmail.com
UERJ
Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Análise de Sistemas Físicos
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Desempenho dinâmico
• Análise e projeto de sistemas de controle
envolvem definição e medida de desempenho.
• Com base no desempenho especificado os
parâmetros podem ser ajustados para fornecer a
resposta desejada.
• Sistemas de controle são inerentemente
dinâmicos: desempenho especificado em função
da resposta temporal.
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Desempenho dinâmico
Resposta temporal:
Resposta transitória ou natural: 
desaparece com o tempo e 
independe do sinal de entrada. Resposta estacionária ou permanente: 
persiste quando a transitória 
desaparece e é caracterizada pelo 
sinal de entrada
Resposta do sistema
Também chamada de
resposta forçada ou
solução particular
Também chamada de
solução homogênea
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Resposta temporal:
• Se o sinal de saída final (permanente) não corresponder
exatamente ao sinal de entrada, diz-se que o sistema
apresenta um erro estacionário.
• O erro estacionário deve sempre ser avaliado na análise
de sistemas de controle.
• A discussão da resposta transitória e do erro em regime
permanente é irrelevante se o sistema não tiver
estabilidade.
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Desempenho dinâmico
Noções de estabilidade:
• A estabilidade é a especificação de sistema mais
importante.
• Propriedade ligada à componente transitória da
resposta:
 Se desaparece com o decorrer do tempo → sistema estável
 Se não desaparece com o decorrer do tempo:
• Crescendo e tendendo ao infinito → sistema instável
• Tornando-se constante ou oscilando quando o tempo
tende ao infinito → sistema marginalmente estável ou
instável
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Desempenho dinâmico
Noções de estabilidade:
• Critério BIBO (bounded-input-bounded-output):
 Se toda entrada limitada leva a uma saída limitada →
sistema estável
 Se alguma entrada limitada leva a uma saída
ilimitada → sistema instável
 Se o sistema for estável para algumas entradas
limitadas e instável para outras → marginalmente
estável
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Desempenho dinâmico
Noções de estabilidade
• Seria difícil demonstrar a estabilidade de um sistema a
partir do critério BIBO.
• Muitos sinais limitados teriam que ser aplicados e as
saídas correspondentes observadas.
• Existe um resultado que permite determinar a
estabilidade de um modo bem mais simples:
 Um sistema é BIBO-estável se, e somente se, todos
os polos da função de transferência de malha fechada
estiverem no semiplano s esquerdo.
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Desempenho dinâmico
Noções de estabilidade
• Estabilidade absoluta: interesse em determinar se
o sistema é ou não é estável, isto é, se todas as
raízes da equação característica do sistema têm ou
não têm partes reais negativas;
• Estabilidade relativa: se um sistema é estável,
interessa determinar o quanto estável é este
sistema, estabelecendo margens dentro das quais o
sistema permanece estável.
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Desempenho dinâmico
Exemplo 1
Determine a estabilidade do seguinte sistema:
Extraído de: NISE, N.N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6ª edição. São Paulo:
LTC Editora, 2012.
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Exemplo 1
Sistema estável, pois todos os polos da FTMF estão
no SPE:
Extraído de: NISE, N.N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6ª edição. São Paulo:
LTC Editora, 2012.
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Exemplo 2
Determine a estabilidade de um sistema de piloto
automático de um avião que possui a seguinte função
de transferência de malha fechada:
𝜃(𝑠)
𝜃𝑟(𝑠)
=
150𝑠3 + 900𝑠2 + 165𝑠 + 900
𝑠5 + 15𝑠4 + 240,5𝑠3 + 1303,6𝑠2 + 1667,4𝑠 + 924
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Exemplo 2
Solução a partir de comandos do MATLAB:
>> den = [1 15 240.5 1303.6 1667.4 924];
>> roots(den)
>> den =
−0.76031528969315 + 0.6220263618622i
−0.76031528969315 − 0.6220263618622i
−5.46396983603400
−4.00769979228985 + 12.61666768027732i
−4.00769979228985 − 12.61666768027732i
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Desempenho dinâmico
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz:
• Routh-Hurwitz encontraram condição necessária e
suficiente para determinar a estabilidade de um
SLIT.
• Sem fatorar a equação característica, este critério
permite calcular o número de polos do sistema em
malha fechada no semiplano esquerdo, no
semiplano direito e sobre o eixo jω.
• Desenvolvido por volta de 1870, este critério é
utilizado em projetos de controladores.
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Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz:
• Considere a forma padronizada das funções de transferência em malha
fechada:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑏0𝑠
𝑚 + 𝑏1𝑠
𝑚−1 +⋯+ 𝑏𝑚−1𝑠 + 𝑏𝑚
𝑎0𝑠
𝑛 + 𝑎1𝑠
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛
, com 𝑎 e 𝑏 ctes. e m ≤ 𝑛.
Passo 1:
• Escreva a equação característica:
𝑎0𝑠
𝑛 + 𝑎1𝑠
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛 = 0
Passo 2:
• Verifique se qualquer destas constantes (𝑎𝑖) é igual a zero ou negativa
na presença de pelo menos uma constante positiva. Se isto ocorrer,
conclui-se que o sistema é instável e não é necessário executar os
próximos passos. Do contrário, nada se pode concluir, seguindo para o
3º passo.
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Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz:
Passo 3:
• Se todos os coeficientes estiverem presentes e forem positivos
(condição necessária mas não suficiente para a estabilidade), organize
a tabela ou array de Routh, de acordo com o padrão:
onde:
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Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz:
Passo 4:
• Verifique o número de mudanças de sinal nos elementos da primeira
coluna da tabela, isto é, em (𝑎0, 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, … , 𝑔1) e aplique o critério de
estabilidade de Routh-Hurwitz:
 O número de polos de G(s) com parte real maior que zero (positivo) é
igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna
da tabela de Routh construída no passo 3.
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Exemplo 3
Determine a estabilidade de um sistema com a
seguinte equação característica:
𝑠6 + 4𝑠5 + 3𝑠4 + 2𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4
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Exemplo 3 𝑠6 + 4𝑠5 + 3𝑠4 + 2𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4 = 0
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Desempenho dinâmico
Exemplo 4
Construa a tabela de Routh para o sistema:
Extraído de: NISE, N.N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6ª edição. São Paulo:
LTC Editora, 2012.
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Exemplo 4 𝑠3 + 10𝑠2 + 31𝑠 + 1030 = 0
• Os coeficientes de qualquer linha podem ser multiplicados ou
divididos por um número positivo.
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Caso especial I
• Se um elemento da primeira coluna se anula, mas na linha
correspondente existe ao menos um elemento não nulo:
1) Substitua o elemento nulo pelo número 𝜖.
2) Prossiga calculando os demais elementos da tabela em função de 𝜖.
3) Após concluir a tabela, os sinais dos elementos da primeira coluna são
determinados fazendo-se 𝜖 → 0.
4) Se houver trocas de sinal na primeira coluna qualquer que seja o sinal
assumido para 𝜖, o número de trocas de sinal é igual ao número de polos
com partes reaispositivas.
5) Se houver trocas de sinal na primeira coluna somente se 𝜖 > 0 ou 𝜖 < 0,
não existem polos com partes reais positivas; o polinômio possui raízes
imaginárias puras.
Desempenho dinâmico
Extraído de: FERREIRA, P.V. Notas de aulas de EA721 – Princípios de Controle &
Servomecanismos. Unicamp, 2016.
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Exemplo 5 (caso especial I)
• Se 𝜖 → 0+ ou 𝜖 → 0− ocorrem duas trocas de sinal na primeira coluna.
Então, este sistema possui dois polos no semiplano direito.
+
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Caso especial II
• Se todos os elementos de uma linha da tabela forem nulos:
1) Os coeficientes da linha imediatamente acima definem (em ordem
decrescente de potências) um polinômio auxiliar A(s), cujas raízes são
também raízes da equação característica.
2) O polinômio auxiliar é um polinômio par, isto é, A(s) possui apenas
potências pares de s.
3) A construção da tabela de Routh prossegue com a substituição da linha
nula pela derivada de A(s) em relação a s.
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Extraído de: FERREIRA, P.V. Notas de aulas de EA721 – Princípios de Controle &
Servomecanismos. Unicamp, 2016.
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Exemplo 6 (caso especial II)
• A linha 𝑠1 torna-se nula. O polinômio auxiliar e sua derivada em
relação a s são: A(s) = 𝑠2 + 2 e A′ 𝑠 = 2𝑠 + 0. A linha 𝑠1 é
substituída por A′ 𝑠 e a construção da tabela prossegue:
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Exemplo 6 (caso especial II)
• As informações extraídas desta tabela são ligeiramente diferentes
do caso especial I:
1) Se houver trocas de sinal na primeira coluna da tabela, o número de
trocas é igual ao número de polos no semiplano direito;
2) Se não houver trocas de sinal, não existem polos com partes reais
positivas; o polinômio possui raízes imaginárias puras.
• No exemplo anterior, as raízes imaginárias puras são as raízes de
A 𝑠 = 𝑠2 + 2 = 0, ou seja, 𝑠1 = 𝑗 2 e 𝑠2 = −𝑗 2.
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Exemplo 7 (projeto de controlador)
Considere o sistema mostrado no diagrama de blocos seguinte.
Determine a faixa de valores de K para que haja estabilidade.
A função de transferência de malha fechada é:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾
𝑠 𝑠2 + 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 𝐾
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OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 5ª edição. São Paulo: Editora
Pearson Education do Brasil, 2011.
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Exemplo 7 (projeto de controlador)
A equação caraterística é: A tabela de Routh correspondente:
Para que haja estabilidade, K e todos os coeficientes na primeira coluna
devem ser positivos. Assim,
Neste caso, todos os termos na primeira coluna serão positivos e, como
não há mudanças de sinal, o sistema terá quatro polos no semiplano da
esquerda e será estável.
Desempenho dinâmico
𝑠4 + 3𝑠3 + 3𝑠2 + 2𝑠 + 𝐾 = 0
0 < 𝐾 <
14
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Exemplo 7 (projeto de controlador)
• Se 𝐾 >
14
9
, o termo 𝑠1 na primeira coluna será negativo. Há duas
mudanças de sinal, indicando que o sistema tem dois no
semiplano da direita e dois polo no semiplano da esquerda, o que
faz com que o sistema seja instável.
• Quando 𝐾 =
14
9
, a linha de 𝑠1 será toda de zeros, indicando polos
em 𝑗𝜔 (caso especial II). Retornado à linha 𝑠2 e substituindo K
por
14
9
, obtém-se o polinômio auxiliar 𝐴 𝑠 =
7
3
𝑠2 +
14
9
.
Derivando em relação a s:
𝑑𝐴
𝑑𝑠
=
14
3
𝑠 + 0
Desempenho dinâmico
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Exemplo 7 (projeto de controlador)
• Substituindo a linha de zeros com os coeficiente da equação
anterior, obtém-se a tabela de Routh para o caso em que 𝐾 =
14
9
:
• Como não há mudanças de sinal, o polinômio tem um par de
polos complexos em 𝑠1 = 𝑗 2/3 e 𝑠2 = −𝑗 2/3. As outras
duas raízes estão no semiplano esquerdo. Portanto, o sistema é
marginalmente estável quando 𝐾 =
14
9
.
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Desempenho dinâmico
Exemplo 7 (projeto de controlador)
• O critério de Routh-Hurwitz oferece uma prova nítida de que
mudanças no ganho de um sistema de controle realimentado
resultam em diferenças na resposta transitória em decorrência de
mudanças nas posições dos polos em malha fechada.
• Variações de ganho podem mover os polos de regiões estáveis do
plano s para o eixo jω e, em seguida, para o semiplano da direita.
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Desempenho dinâmico
• Sinais de entrada de teste:
• Sendo o sistema estável, a resposta temporal para
uma sinal de entrada específico irá fornecer várias
medidas de desempenho.
• Sinais de entrada geralmente são desconhecidos
• Análise e projeto de sistemas de controle
 Deve-se ter uma base de comparação de desempenho de
vários sistemas de controle
 Deve-se detalhar os sinais de teste da entrada frente aos
diversos tipos de sistemas de controle
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Desempenho dinâmico
• Sinais de entrada de teste:
• Típicos: funções degrau, rampa, parábola de
aceleração, impulso, senoidal
• São funções que podem ser derivadas umas das
outras por integração ou diferenciação
• O sinal degrau é o mais fácil de ser gerado e
avaliado e por isso é comumente escolhido para
teste de desempenho.
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Sistemas de 1ª ordem
• Utilizados para descrever uma série de processos
simples, tais como: velocidade de uma massa,
temperatura de um reator, nível de um tanque, tensão
em um circuito RC em série.
• Sistema de primeira ordem assume a forma padrão:
𝐺 𝑠 =
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑘
𝑠+𝑎
ou 𝐺 𝑠 =
𝑘𝑔
𝜏𝑠+1
onde: 𝑘𝑔 =
𝑘
𝑎
é a constante de ganho estático do sistema 
𝜏 =
1
𝑎
é a constante de tempo
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Sistemas de 1ª ordem
• Polo: 𝑝 = −𝑎
• Resposta ao impulso unitário:
𝑐 𝑡 = ℒ−1
𝑘
𝑠 + 𝑎
= 𝑘𝑒−𝑎𝑡, 𝑡 ≥ 0
• Se 𝑎 > 0, polo no semiplano esquerdo → sistema estável
• Se 𝑎 < 0, polo no semiplano direito → sistema instável
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Sistemas de 1ª ordem
• Velocidade da resposta, 𝑘 = 1:
c(
t)
c(
t)
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Sistemas de 1ª ordem
• Resposta ao degrau unitário (𝑹 𝒔 = 𝟏/𝒔):
𝐶 𝑠 =
𝑘
𝑠 + 𝑎
𝑅 𝑠 =
𝑘
𝑠 𝑠 + 𝑎
𝐶 𝑠 =
𝑘/𝑎
𝑠
−
𝑘/𝑎
𝑠 + 𝑎
𝑐 𝑡 =
𝑘
𝑎
(1 − 𝑒−𝑎𝑡) ou 𝑐 𝑡 = 𝑘𝑔 (1 − 𝑒
−
𝑡
𝜏)
𝑐 𝑡 = 𝑘𝑔 − 𝑘𝑔𝑒
−
𝑡
𝜏, 𝑡 ≥ 0
• O polo da entrada situado na origem gerou a resposta
forçada 𝑘𝑔 e o polo do sistema em −𝑎 gerou a resposta
natural −𝑒−𝑎𝑡
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Sistemas de 1ª ordem
• Fazendo 𝑘𝑔 = 1:
c(t)
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• Velocidade da resposta:
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Sistemas de 1ª ordem
• Especificações de desempenho da resposta
transitória:
 Constante de tempo
𝜏 =
1
𝑎
 Tempo de subida
𝑇𝑟 =
2,2
𝑎
 Tempo de acomodação
𝑇𝑠 =
4
𝑎
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Sistemas de 1ª ordem
• Resposta à rampa unitária (𝑹 𝒔 = 𝟏/𝒔𝟐):
𝐶 𝑠 =
1
𝜏𝑠 + 1
1
𝑠2
𝐶 𝑠 =
1
𝑠2
−
𝜏
𝑠
+
𝜏2
𝜏𝑠 + 1
𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝜏 + 𝜏𝑒−
𝑡
𝜏, 𝑡 ≥ 0
• O sinal de erro 𝑒 𝑡 :
𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡 = 𝜏(1 − 𝑒−
𝑡
𝜏)
lim
𝑡→∞
𝑒 𝑡 = 𝜏
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• Quanto menor a constante de tempo, menor o erro
estacionário ao seguir a entrada rampa.
Sistemas de 1ª ordem
c(t)
r(t)
c(t)
r(t)=t
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Sistemas de 1ª ordem
• Seja o sistema de 1ª ordem e seu respectivo diagrama de
polos e zeros:
• Para mostrar as propriedades dos polos e zeros é preciso
determinar a resposta do sistema aodegrau unitário
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Sistemas de 1ª ordem
• Um polo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial
da forma 𝑒−𝛼𝑡, onde −𝛼 é a localização do polo sobre o
eixo real.
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Sistemas de 1ª ordem
• Assim quanto mais à esquerda no eixo real negativo,
estiver um polo, mais rápido o decaimento da resposta
transiente exponencial para zero.
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• Propriedade de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo.
c 𝑡 = 𝑡 − 𝜏 + 𝜏𝑒−
𝑡
𝜏, 𝑡 ≥ 0
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−
𝑡
𝜏, 𝑡 ≥ 0
𝑐 𝑡 =
1
𝜏
𝑒−
𝑡
𝜏, 𝑡 ≥ 0
Sistemas de 1ª ordem
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Sistemas de 1ª ordem
• Exercício 1: O rotor a seguir pode girar livremente em torno de
seu eixo, sujeito apenas ao atrito viscoso nos mancais. O
momento de inércia do rotor é de J = 0,03 kgm2 e o coeficiente
de atrito viscoso, 2 = 0,0015 Nm/(rad/s). A velocidade de
rotação inicial do rotor é Ω0 = 120 rad/s. Determine a resposta
de velocidade do sistema. Qual a constante de tempo do sistema?
Extraído de: MAYA, P.A, LEONARDI, F. Controle Essencial. 2ªed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2014.
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Sistemas de 1ª ordem
• Exercício 2: Uma esteira rolante transporta um bloco de massa
M com velocidade vo, sem que haja escorregamento entre a
esteira e o bloco. Em um certo instante, a esteira para
bruscamente. Qual a velocidade subsequente do bloco? Qual a
constante de tempo envolvida no caso? Qual a distância
percorrida pelo bloco até parar?
M = 10 Kg, vo= 0,25 m/s, B = 0,5 Ns/m
Extraído de: MAYA, P.A, LEONARDI, F. Controle Essencial. 2ªed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2014.
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Sistemas de 2ª ordem
• São sistemas que envolvem apenas a primeira e a segunda
derivada da saída na sua equação.
• Sistema de segunda ordem assume a forma padrão:
𝐺 𝑆 =
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑅𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
onde: 𝜔𝑛: frequência natural não amortecida 
𝜉: fator de amortecimento 
𝐾𝑅: ganho de regime
• Polos: 𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ±𝜔𝑛 𝜉2 − 1
• Atenuação: σ = 𝜉𝜔𝑛
• Frequência natural amortecida: 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 𝜉2 − 1
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Sistemas de 2ª ordem
Extraído de: NISE, N.N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6ª edição. São Paulo:
LTC Editora, 2012.
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Extraído de: NISE, N.N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6ª edição. São Paulo:
LTC Editora, 2012.
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Sistemas de 2ª ordem
• Resposta transitória de um sistema de 2ª ordem para
uma entrada degrau.
Extraído de: DORF, R.C., BISHOP, R.H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo:
Editora LTC, 2013.
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Sistemas de 2ª ordem
• Resposta ao degrau
1. Sistema subamortecido (0 < 𝜉 < 1):
Os polos de malha fechada são complexos conjugados
e se situam no semipleno esquerdo de s.
A resposta transitória é oscilatória
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• Resposta ao degrau
1. Sistema subamortecido (0 ≤ 𝜉 ≤ 1):
Para entrada degrau unitário, 𝐶(𝑠) pode ser escrita como:
A transformada inversa de Laplace pode ser obtida
facilmente se 𝐶(𝑠) for escrita da seguinte forma:
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• Resposta ao degrau
1. Sistema subamortecido (0 ≤ 𝜉 ≤ 1):
Da tabela de transformadas:
Então, a transformada inversa de Laplace é:
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• Resposta ao degrau
1. Sistema subamortecido (0 ≤ 𝜉 ≤ 1):
c(t
)
𝑐 𝑡 = 𝐾1 + 𝐾2𝑒
−𝜉𝜔𝑛𝑡sen 𝜔𝑑𝑡 + 𝜃 , onde 𝜃 = tg
−1 1−𝜉
2
𝜉
Extraído de: DORF, R.C., BISHOP, R.H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo:
Editora LTC, 2013.
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Sistemas de 2ª ordem
• Resposta ao degrau
1. Sistema subamortecido (0 ≤ 𝜉 ≤ 1):
O sinal de erro para esse sistema:
Esse sinal representa uma oscilação senoidal amortecida.
Em regime permanente ou em 𝑡 = ∞, não existe erro entre
a entrada e a saída.
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Sistemas de 2ª ordem
• Resposta ao degrau
2. Sistema não amortecido (𝜉 = 0):
Quando 𝜉 = 0, os polos serão complexos imaginários em
𝑠1,2 = ±𝑗𝜔𝑛.
Neste caso, a resposta do caso subamortecido reduz-se a:
⇒ oscilação permanente
𝑐 𝑡 = 𝐾1 + 𝐾2cos𝜔𝑛𝑡
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Sistemas de 2ª ordem
• Resposta ao degrau
3. Sistema criticamente amortecido (𝜉 = 1):
Os polos de malha fechada são reais e iguais, situados em
𝑠1,2 = −𝜔𝑛
Para uma entrada degrau 𝑅 𝑠 = 1/𝑠, tem-se a saída:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
𝑐 𝑡 = 𝐾1 + 𝐾2𝑒
−𝜔𝑛𝑡 + 𝐾3𝑡𝑒
−𝜔𝑛𝑡
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• Resposta ao degrau
4. Sistema superamortecido (𝜉 > 1):
Os polos de malha fechada são reais e distintos, situados
em 𝑠1 = −𝜉𝜔𝑛 +𝜔𝑛 𝜉
2 − 1 e 𝑠2 = −𝜉𝜔𝑛 −𝜔𝑛 𝜉
2 − 1
Para entrada degrau:
𝑐 𝑡 = 𝐾1 + 𝐾2𝑒
−𝑠1𝑡 + 𝐾3𝑒
−𝑠2𝑡
c(t)
C(s)
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• Resposta ao degrau
4. Sistema superamortecido (𝜉 > 1):
Se 𝑠1 ≪ 𝑠2 , então 𝑒
−𝑠2𝑡 decai muito mais rapidamente
do que 𝑒−𝑠1𝑡, 𝑠1 é polo dominante e a resposta pode ser
aproximada por um sistema de 1ª ordem:
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• Resposta transitória de um sistema de 2ª ordem para
uma entrada degrau.
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Sistemas de 2ª ordem
• Influência de 𝜔𝑛 na resposta de um sistema
subamortecido com 𝜉 = 0,5.
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Sistemas de 2ª ordem
• Exercício 3: Determine 𝜉e 𝜔𝑛 para a função de
transferência:
𝐺 𝑠 =
36
𝑠2 + 4,2𝑠 + 36
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Sistemas de 2ª ordem
• Exercício 4: Para cada uma das funções de
transferência a seguir, escreva, por inspeção, a
forma geral da resposta ao degrau:
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Sistemas de 2ª ordem
• Exercício 4: Respostas
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Sistemas de 2ª ordem
• Exercício 5: Para cada uma das funções de
transferência do Exercício 2, faça o seguinte:
(1) determine os valores de 𝜉e 𝜔𝑛;
(2) caracterize a natureza da resposta.
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Especificações da resposta transitória
• Em muitos casos práticos, as características de
desempenho de um sistema de controle são
especificadas em termos de grandezas no domínio do
tempo.
• Usualmente, estas características são especificadas em
termos da resposta transitória ao degrau unitário.
• Características da resposta transitória:
 Tempo de subida, 𝑡𝑟
 Tempo de atraso, 𝑡𝑑
 Tempo de pico, 𝑡𝑝
 Máximo sobressinal (ou apenas sobressinal), 𝑀𝑝
 Tempo de acomodação, 𝑡𝑠
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Especificações da resposta transitória
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Especificações da resposta transitória
Tempo de subida, 𝑡𝑟
Para sistemas subamortecidos:
 Fazendo-se 𝑡 = 𝑡𝑟 na equação de resposta ao degrau unitário:
 Como 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡𝑟 ≠ 0, então:
ou
 Assim, o tempo de subida é:
𝑡𝑟 =
𝜋−𝜃
𝜔𝑑
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Especificações da resposta transitória
Tempo de pico, 𝑡𝑝
Derivando-se 𝑐(𝑡) no tempo e igualando o resultado a
zero :
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Especificações da resposta transitória
Máximo sobressinal, 𝑀𝑝
Ocorre em 𝑡 = 𝑡𝑝 =
𝜋
𝜔𝑑
:
 A porcentagem de máximo sobressinal é:
%𝑀𝑝= 𝑒
− 𝜉/ 1−𝜉2 𝜋
× 100%
 E sua relação inversa: 𝜉 =
− ln %𝑀𝑝/100
𝜋2+ln2 %𝑀𝑝/100
 Se o valor de saída não for unitário: 𝑀𝑝 =
𝑐 𝑡𝑝 −𝑐(∞)
𝑐(∞)
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Especificações da resposta transitória
Tempo de acomodação, 𝑡𝑠
Para um sistema subamortecido de 2ª ordem, a resposta transitória é
obtida a partir da equação:
As curvas 1 ± 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡/ 1 − 𝜉2 são curvas envoltórias da
resposta transitória à entrada degrau unitário.
A curva da resposta 𝑐(𝑡) permanece sempre dentro do par de
envoltórias
A constante de tempo dessas curvas envoltórias é 1/𝜉𝜔𝑛
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Especificações da resposta transitória
Tempo de acomodação, 𝑡𝑠
Extraído de: DORF, R.C., BISHOP, R.H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo:
Editora LTC, 2013.
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Especificações da resposta transitória
Tempo de acomodação, 𝑡𝑠
É o instante no qual 𝑐 𝑡 alcança e permanece dentro da
faixa de ±2% ou ±5% em torno do valor em regime
permanente.
Se 0 < 𝜉 < 0,9, pode-se aproximar 𝑡𝑠 por:
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Especificações da resposta transitória
• Na maioria dos casos, é desejável que a resposta transitória seja
rápida e amortecida. O coeficiente de amortecimento deve estar
entre 0,4 e 0,8.
• Valores pequenos (𝜉 < 0,4) resultam em sobressinal excessivo.
• Valores grandes (𝜉 > 0,8) resultam em sistemas que respondem
muito lentamente.
• O máximo sobressinal e o tempo de subida são conflitantes entre
si.
• Nos cálculos do tempo de subida, tempo de pico, sobressinal e
tempo de acomodação, haverá a suposição de que o sistema é
subamortecido.
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Especificações da resposta transitória
Importante:
• As equações anteriores de 𝑡𝑟 , 𝑡𝑝, 𝑡𝑠 e𝑀𝑝 são
válidas para o sistema padrão de 2ª ordem.
• Se o sistema tiver um ou mais zeros, a curva de
resposta ao degrau será muito diferente da
apresentada anteriormente.
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Especificações da resposta transitória
• Movimento do polo na vertical.
Extraído de: DORF, R.C., BISHOP, R.H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo:
Editora LTC, 2013.
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Especificações da resposta transitória
• Movimento do polo na horizontal.
Extraído de: DORF, R.C., BISHOP, R.H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo:
Editora LTC, 2013.
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Especificações da resposta transitória
• Movimento do polo na diagonal.
Extraído de: DORF, R.C., BISHOP, R.H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo:
Editora LTC, 2013.
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Sistemas de ordem superior
• A resposta dos sistemas de ordem superior é a
soma das respostas de sistemas de primeira e
segunda ordem.
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Sistemas de ordem superior
• Seja um sistema com função de transferência
dado por:
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• 1º caso: Polos reais e distintos
onde 𝑎1é o resíduo do polo em 𝑠 = −𝑝1
• Com todos os polos de malha fechada no semiplano esquerdo 𝑠,
os valores dos resíduos determinarão a importância relativa dos
componentes da forma expandida de 𝐶(𝑠).
• Zero próximo a um polo → resíduo pequeno nesse polo
• Polos muito afastados da origem → resíduo nesses polos são
pequenos, portanto o sistema pode ser aproximado por um de
ordem menor.
Sistemas de ordem superior
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• 2º caso: Polos reais e pares complexos
conjugados
• Um par de polos complexos conjugados resulta em um termo de
segunda ordem, então tem-se:
• Portanto, a resposta é dada por:
Sistemas de ordem superior
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• 2º caso: Polos reais e pares complexos
conjugados
• Se todos os polos de malha fechada estiverem no semiplano
esquerdo do plano 𝑠, então os termos exponenciais (primeira
ordem) e os termos exponenciais amortecidos (segunda ordem)
tenderão a zero a medida que 𝑡 aumentar.
• A saída em regime permanente é 𝑐 ∞ = 𝑎
• Sendo o sistema estável: os polos de malha fechada que
estiverem distantes do eixo 𝑗𝜔 terão grandes partes reais
negativas. Os termos exponenciais que correspondem a esses
polos decrescem rapidamente tendendo a zero.
Sistemas de ordem superior
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• Relembrando:
• Tipo de resposta transitória: determinado pelos polos de malha 
fechada
• Forma da resposta transitória: determinada, principalmente, pelos 
zeros de malha fechada.
• Polos da entrada R(s): resultam em termos da resposta de regime 
permanente na solução
• Polos de C(s)/R(s): introduzem termos da resposta transitória 
exponencial ou senoidal amortecida
• Os zeros de C(s)/R(s): não afetam os expoentes dos termos 
exponenciais, mas afetam os valores e os sinais dos resíduos.
Sistemas de ordem superior
Análise de Sistemas Físicos
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Polos dominantes de malha fechada
• O domínio relativo dos polos de malha fechada é determinado pela
relação das partes reais dos polos de malha fechada, bem como pelo
valor dos resíduos calculados nos polos.
• As magnitudes dos resíduos dependem tanto dos polos como dos zeros
de malha fechada.
• Se as relações das partes reais forem maiores do que 5 e não houver
zeros nas proximidades, então os polos de malha fechada mais
próximos do eixo 𝑗𝜔 serão dominantes no comportamento da resposta
transitória porque correspondem aos termos da resposta transitória que
decrescem lentamente.
• Os polos que tem efeitos dominantes no comportamento da resposta
transitória são chamados polos dominantes de malha fechada.
Análise de Sistemas Físicos
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Polos dominantes de malha fechada
• Muito frequentemente, os polos dominantes apresentam-se sob a
forma de um par complexo conjugado.
• Os polos dominantes de malha fechada são os de maior
importância entre todos os polos de malha fechada.
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 Os parâmetros anteriores podem ser usados para
cálculos apenas em sistemas com um ou dois polos,
mas não para sistemas com mais polos ou com
zeros
 Sob certas condições, um sistema com mais polos
ou com zeros pode ser aproximado para um sistema
de segunda ordem que tem apenas dois polos
complexos dominantes
 Vamos analisar o efeito de um polo adicional em
um sistema de segunda ordem
Resposta de sistema com polos adicionais
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 Analisando as condições que devem existir para aproximar o
comportamento de um sistema de três polos para um de dois
polos:
 Considere um sistema de três polos com polos complexos e
um polo real em:
 −𝜉𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝜉
2
 −𝛼𝑟
 A saída é então:
, ou
Resposta de sistema com polos adicionais
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Termo 1 Termo 2 Termo 3
 A exponencial com expoente 𝑎𝑟 é o termo novo derivado do
fato do sistema ter três polos, portanto, é o elemento a ser
analisado
 Consideraremos três casos:
 Caso I: 𝑎𝑟 = 𝑎𝑟1 e não é muito maior que 𝜉𝜔𝑛
 Caso II: 𝑎𝑟 = 𝑎𝑟2 ≫ 𝜉𝜔𝑛
 Caso III: 𝑎𝑟 → ∞
Resposta de sistema com polos adicionais
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Termo 1 Termo 2 Termo 3
 Caso II: 𝑎𝑟 = 𝑎𝑟2 ≫ 𝜉𝜔𝑛
 O termo 3 tende a decair bem mais rápido que o termo 2 que
traz a resposta ao degrau subamostrada
 Assim, o sistema tende a um sistema de segunda ordem puro
 Caso III: 𝑎𝑟 → ∞
 Igual a antes, o termo 3 decai rapidamente e tendemos a ter um
sistema de segunda ordem puro
 Caso I:
 O sistema não pode ser aproximado para um de segunda ordem
Resposta de sistema com polos adicionais
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Resposta de sistema com polos adicionais
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 Adicionando um zero a um sistema de segunda
ordem:
 Como visto anteriormente, os zeros afetam a amplitude da
resposta.
 Considere, porexemplo, o sistema:
 e analise o comportamento para a = 3, 5 e 10
 Polos: −1 ± 𝑗2,828
Resposta de sistema com zero adicional
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Resposta de sistema com zero adicional
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 À medida que o zero se afasta dos polos dominantes (aumenta
seu valor absoluto), a resposta se aproxima de um sistema de
segunda ordem
 Quanto mais perto estiver dos polos dominantes, mais o
zero afeta a resposta transitória
 Considere um sistema sem zeros com resposta 𝐶(𝑠)
 Adicionar um zero ao sistema é o mesmo que se ter:
s + 𝑎 𝐶 𝑠 = 𝑠𝐶 𝑠 + 𝑎𝐶(𝑠)
 Assim, a resposta de um sistema com um zero consiste de duas partes:
a derivada da resposta original e uma versão em escala da resposta
original.
Resposta de sistema com zero adicional
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 Se 𝑎, o negativo do zero, é muito grande, a transformada de
Laplace será aproximadamente 𝑎𝐶(𝑠), ou seja, apenas a
versão em escala da resposta original
 Se a não for tão grande, a resposta tem um componente
adicional que é a derivada da resposta original
 À medida que a diminui, o termo derivativo contribui mais
para a resposta e tem um efeito maior (vide figura anterior)
Resposta de sistema com zero adicional
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 Se a for negativo, o zero passa a estar no semiplano direito, o
resultado para um sistema de segunda ordem pode ser visto a
seguir: o sinal de entrada é invertido (tem um undershoot)
para resultar em um valor positivo em regime permanente.
 Tal sistema é chamado de sistema de fase não-mínima
 Somente os zeros positivos são considerados de fase não-
mínima, pois os negativos não configuram resposta inversas
 Se um carro é um sistema de fase não-mínima, ele vai primeiro
virar um pouco para a esquerda quando receber o comando para
virar à direita
Resposta de sistema com zero adicional
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Resposta de sistema com zero adicional