SLIDES - AULA - Relação binária - ENEM e Vestibulares - Prof Aruã

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@prof.aruadias
Relação Binária
Relembrando Conjuntos - Classificação
Conjuntos Finitos:
𝐕 = 𝐚, 𝐞, 𝐢, 𝐨, 𝐮
𝐒 ={ domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado }
𝐀 = {𝟐, 𝟓, 𝟕, 𝟗}
Conjunto Infinitos:
𝐍 = {𝟐, 𝟏𝟐, 𝟐𝟐, 𝟑𝟐, 𝟒𝟐,… }
𝐏 = {𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗,… }
Conjunto Unitário – É o conjunto que possui apenas um elemento.
Exemplo:
𝐀 = 𝐱 ∈ ℕ 𝐱 é 𝐩𝐚𝐫 𝐞 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐨} = {𝟐}
Conjunto Vazio – É o conjunto que não possui elemento.
Exemplo:
𝐁 = 𝐱 ∈ ℝ 𝐱𝟐 = −𝟏} = ∅
• O conjunto vazio possui as notações: ∅ 𝐨𝐮 { }.
• A representação ∅ não indica conjunto vazio, mas é um
exemplo de conjunto unitário.
Relembrando Conjuntos - Classificação
Tabular:
𝐀 = 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕
Na forma de uma propriedade:
𝐀 = 𝐱 𝐱 é 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚𝐥 𝐦𝐚𝐢𝐨𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝟐 𝐞𝐦𝐞𝐧𝐨𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝟖
Na forma de intervalo:
𝐀 = 𝐱 ∈ ℕ 𝟐 < 𝐱 < 𝟖}
Relembrando Conjuntos - Representação
𝐀 = 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕
Diagrama de Venn:
4
5
3
6
7
𝐀
Número de Elementos de um 
Conjunto:
𝐧 𝐀 = 𝟓
✓ Observação:
Elementos repetidos não são 
considerados na contagem.
Exemplo:
Para o conjunto E = {2, 3, 3, 4, 5, 6, 7},
temos:
𝐧 𝐄 = 𝟔.
Relembrando Conjuntos - Representação
Par Ordenado
Um par ordenado de números é o conjunto formado por dois números 
em certa ordem. Usa-se a notação (a, b) para indicar o par ordenado 
em que a é o primeiro elemento e b é o segundo.
Exemplos:
(1, 3) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 1, e o segundo é 3.
(3, 1) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 3, e o segundo é 1.
▪ Note que os pares (1, 3) e (3, 1) diferem entre si pela ordem de seus elementos.
▪ Dois pares ordenados são iguais se e somente se tiverem os primeiros e os 
segundos termos iguais entre si:
𝐚, 𝐛 = 𝐜, 𝐝 ⇔ 𝐚 = 𝐜 𝐞 𝐛 = 𝐝
Plano Cartesiano
Um sistema de eixos ortogonais (ou plano cartesiano) é constituído por dois
eixos perpendiculares, eixo x e eixo y, que têm a mesma origem. Os eixos
ortogonais dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas de
quadrantes.
x
y
Origem O
(Eixo das abscissas)
(Eixo das ordenadas)
1º 
Quadrante
2º 
Quadrante
3º 
Quadrante
4º 
Quadrante
Plano Cartesiano
A cada ponto P do plano cartesiano, corresponde um par ordenado de 
números reais (a, b) associado às projeções ortogonais de P sobre o eixo 
x e sobre o eixo y.
x
y
Origem O
P (a, b)
𝒂
𝒃
(Eixo das abscissas)
(Eixo das ordenadas)
Plano Cartesiano
A cada ponto P do plano cartesiano, corresponde um par ordenado de 
números reais (a, b) associado às projeções ortogonais de P sobre o eixo 
x e sobre o eixo y.
Plano Cartesiano
x
y
O
A (2, 3)
𝟐
𝟑
D (1, -4)
𝟏
−𝟒
B (-4, 2)
−𝟒
2
C (-2, -1)
−𝟐
−𝟏
1º Quadrante2º Quadrante
3º Quadrante 4º Quadrante
A cada ponto P do plano cartesiano, corresponde um par ordenado de 
números reais (a, b) associado às projeções ortogonais de P sobre o eixo 
x e sobre o eixo y.
E (3, 0)
𝟑
F (0, 4)
𝟒
G (-5, 0)
−𝟓
H (0, -5)−𝟓
Exercício de sala 1:
x
y
Exercício de sala 1:
x
y
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o
conjunto 𝐀 × 𝐁 cujos elementos são todos pares ordenados (𝐱, 𝐲), em que o primeiro
elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
𝐀 × 𝐁 = 𝐱, 𝐲 𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁
O símbolo 𝐀 × 𝐁 lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”.
Exemplo:
Se 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝐁 = {𝟏, 𝟐}, temos que:
𝐀 × 𝐁 =
𝐁 × 𝐀 =
Produto Cartesiano
𝟏, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟏 , 𝟐, 𝟐 , 𝟑, 𝟏 , 𝟑, 𝟐
𝟏, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟏, 𝟑 , 𝟐, 𝟏 , 𝟐, 𝟐 , 𝟐, 𝟑
Representação gráfica do produto cartesiano
Exemplo:
Se 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝐁 = {𝟏, 𝟐}, temos que:
𝐀 × 𝐁 = 𝟏, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟏 , 𝟐, 𝟐 , 𝟑, 𝟏 𝐞 𝟑, 𝟐
Exercício de sala 2:
Dados 𝐀 = {𝟎,−𝟑, 𝟐} e 𝐁 = {−𝟐, 𝟎}
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Represente 𝐀 × 𝐁 através de diagrama de flechas e no plano 
cartesiano
c) Dê o número de elementos de 𝐀 × 𝐁 𝐧 𝐀 × 𝐁 = 𝐧 𝐀 ∙ 𝐧(𝐁)
Número de elementos de 𝐀 × 𝐁: 
Exercício de sala 2:
Dados 𝐀 = {𝟎,−𝟑, 𝟐} e 𝐁 = {−𝟐, 𝟎}
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Represente 𝐀 × 𝐁 através de diagrama de flechas e no plano 
cartesiano
c) Dê o número de elementos de 𝐀 × 𝐁 𝐧 𝐀 × 𝐁 = 𝐧 𝐀 ∙ 𝐧(𝐁)
Número de elementos de 𝐀 × 𝐁: 
Relação Binária
Considere os conjuntos 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝐁 = {𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓}
a) Determine 𝐀 × 𝐁 e o seu número de elementos.
b) Obtenha a relação R definida por 𝐑 = 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐀 × 𝐁 𝐲 = 𝐱 + 𝟏}.
𝐑 = { 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 }
c) Represente a relação R através do diagrama 
de flechas
d) Determine o conjunto de partida, o 
domínio, o contra domínio e o conjunto 
imagem de R
e) Determine a relação inversa (𝑹−𝟏) de R 
Relação Binária
Exercício de sala 3:
Dados os conjuntos: 𝐀 = −𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐 e 𝐁 = −𝟏, 𝟏, 𝟒
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Obtenha a relação binária 𝐑 = 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐀 × 𝐁 𝐲 = 𝐱𝟐}
c) Represente R por meio de diagrama de flechas e no plano cartesiano
Exercício de sala 3:
Dados os conjuntos: 𝐀 = −𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐 e 𝐁 = −𝟏, 𝟏, 𝟒
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Obtenha a relação binária 𝐑 = 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐀 × 𝐁 𝐲 = 𝐱𝟐}
c) Represente R por meio de diagrama de flechas e no plano cartesiano
Exercício de sala 3:
Dados os conjuntos: 𝐀 = −𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐 e 𝐁 = −𝟏, 𝟏, 𝟒
a) Determine 𝐀 × 𝐁
b) Obtenha a relação binária 𝐑 = 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐀 × 𝐁 𝐲 = 𝐱𝟐}
c) Represente R por meio de diagrama de flechas e no plano cartesiano