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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Lista de Exercícios: Dependência linear
Prof. Rodolfo Collegari e Prof. Rafael Antônio Rossato
1. Veri�que se o conjunto de vetores { #»u , #»v , 2 #»u − 3 #»v } é LI ou LD.
2. Prove que se { #»u , #»v } é LI, então { #»u + #»v , #»u − #»v } também é LI.
3. Seja { #»u , #»v , #»w} um conjunto LI e considere as seguintes sentenças:
(i) Se α 6= 0, então{α #»u , #»v , #»w} é um conjunto LI.
(ii) Se #»a é um vetor qualquer, então { #»a , #»u , #»v , #»w} é LD.
(iii) Existem vetores no espaço que não podem ser escritos como combinação linear de #»u , #»v , #»w.
(iv) O conjunto { #»u , #»v } pode ser LD ou LI.
Qual o número exato de sentenças verdadeiras?
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) Nenhuma das sentenças é verdadeira
4. Considere os vetores
#»u = (1,m,0), #»v = (2m,1,m) e #»w = (0,4,2).
A soma de todos os valores possíveis para m ∈ R tais que { #»u , #»v , #»w} seja LD é
a) −24
b) 1
c) 0
d) −1
e) −24
Resposta: d)
5. Considere os vetores
#»u = (1,0,m), #»v = (2,m,2m) e #»w = (2,0, 7).
O produto de todos os valores possíveis para m ∈ R tais que { #»u , #»v , #»w} seja LD é
a) −14
b) 7
c) −7
d) 14
e) 0
6. Seja { #»u , #»v , #»w} um conjunto LI. Qual deve ser o valor de m para que o conjunto { #»u + #»v + #»w, #»u −
#»v , 6 #»u +m #»v +m #»w} seja LD?
a) −2
b) −6
1
c) 0
d) 2
e) 6
Resposta: e)
7. Qual alternativa destaca a soma dos possíveis valores de m, que faz os vetores #»u = (3, − 1,2), #»v =
(−2,m,1) e #»w =
(
4, 17 ,m
)
formarem um conjunto LD?
a) 0
b) 113
c) 103
d) 73
e) 1
Resposta: c)
8. Seja E uma base de V3. Para qual valor de x ∈ R os vetores #»a = (3, − x, − 2)E ,
#»
b = (3,2,x)E e
#»c = (1,− 3,1)E são paralelos a um mesmo plano do espaço?
9. Prove que se { #»u , #»v , #»w} é LI, então os conjuntos de vetores { #»u+ #»v+ #»w, #»u− #»v , 3 #»v } e { #»u+ #»v , #»u+ #»w, #»v+ #»w}
são LI.
10. Determine m de modo que os vetores abaixo sejam LD.
(i) #»u = (m,1,m) e #»v = (1,m,1).
(ii) #»u = (1−m2,1−m,0) e #»v = (m,m,m).
(iii) #»u = (1,3,5) e #»v = (2,1 +m,10).
(iv) #»u = (m,1,m+ 1), #»v = (0,1,m) e #»w = (0,m,2m).
Resposta: (i) m = ±1; (ii) m = 0 ou m = 1; (iii) m = 5; (iv) m = 0 ou m = 2
11. Sejam ∆ABC um triângulo qualquer, M o ponto médio do segmento AB e N um ponto qualquer do
segmento AC. Prove que se MN é paralelo a BC então N é ponto médio de AC.
B C
A
M N
12. Considere o triângulo ABC e sejam
# »
CA = #»u ,
# »
CB = #»v e #»w = #»u −2 #»v . Calcule α real para que o ponto
X = C + α #»w pertença à reta AB.
Resposta: α = −1
13. No tetraedro ABCD, sejam M,N e P , respectivamente, os pontos médios de BD,CD e AC, e G o
baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo MNP .
(a) Exprima
# »
BG como combinação linear de
# »
BA,
# »
BC,
# »
BD.
(b) Calcule m para que o ponto X = B +m
# »
BG pertença ao plano da face ACD.
14. Sejam ABCD um trapézio tal que ‖AB‖ = 2‖CD‖ e X o ponto de encontro dos segmentos de reta AC
e BD. Exprima
# »
AX como combinação linear de
# »
AD e
# »
AB.
2
A B
CD
X
15. Sejam E = { #»i , #»j , #»k } uma base de V 3. Sejam também #»f1 = 2
#»
i −3 #»j + 4 #»k , #»f2 = 5
#»
j −2 #»k , #»f3 =
#»
i + 7
#»
k
e F a base formada por eles. Considere o vetor #»u = (7,4, − 4)F . Sendo #»u = (a,b,c)E , o valor de abc
(produto das coordenadas na base E) é:
a) −80
b) −40
c) 80
d) 20
e) −20
16. Seja a 6= 0. Dos conjuntos descritos abaixo, apenas um deles é uma base para V 3. Qual deles?
a) {(a,a,a),(0,0,a),(1,1,− 6)}
b) {(0,1,0),(0,a,a),(0,0, 12 )}
c) {(a,0,1),(0,0,a),(a,a,a)}
d) {(1,1,1),(−1,− 1,a),(1,1,0)}
e) {(1,a,2),(1,0,0),(a,a2,2a)}
17. Sendo E = { #»e1, ~e2, #»e3}, F = {
#»
f1,
#»
f2,
#»
f3} bases com
#»
f1 = 2
#»e1 − #»e3,
#»
f2 =
#»e2 + 2
#»e3,
#»
f3 = 7
#»e3
e #»w = #»e1 +
#»e2 +
#»e3, ache
#»w em termos da base F .
18. Fixemos os pontos A = (x1,y1,z1), B = (x2,y2,z2) e C = (x3,y3,z3). Considere as a�rmações abaixo, e
em seguida assinale a alternativa correta.
(i) Se
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣ = 0, então A,B e C são colineares.
(ii) Se A,B e C são colineares, então
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣ = 0.
(iii) As coordenadas do ponto P , simétrico de A em relação a C, são P = (2x3 − x1, 2y3 − y1,2z3 − z1).
a) Todas as a�rmações são falsas.
b) Todas as a�rmações são verdadeiras.
c) Apenas as a�rmações (i) e (ii) são verdadeiras.
d) Apenas as a�rmações (ii) e (iii) são verdadeiras.
e) Apenas as a�rmações (i) e (iii) são verdadeiras.
19. Seja E = { #»e 1, #»e 2, #»e 3} uma base de V3. Mostre que F = {
#»
f 1,
#»
f 2,
#»
f 3}, onde
#»
f 1 =
#»e 1 +
#»e 2 +
#»e 3,
#»
f 2 =
#»e 1 +
#»e 2 e
#»
f 3 =
#»e 1 é uma base de V3 e encontre as coordenadas do vetor #»r = −3 #»e 1 − #»e 3 , em
relação às bases E e F .
Resposta: #»r = (−3,0,− 1)E e #»r = (−1,1,− 3)F
3
20. Seja o vetor
#»
t = (4,0,12) escrito como
#»
t = α #»u + β #»v + γ #»w, onde #»u = (1, − 1,3), #»v = (2, − 1,3) e
#»w = (−1,− 1,4). Os valores de α, β e γ, respectivamente, são:
a) (−40, 28,−12)
b) (40,−28, 12)
c) (−40, 28, 12)
d) (−40,−28, 12)
e) (40,−28,−12)
Resposta: c)
21. Dadas as bases E = {−→e 1,−→e 2,−→e 3} e F = {
−→
f 1,
−→
f 2,
−→
f 3} em V3, e as relações
−→
f 1 =
−→e 1 − 2−→e 2 − 3−→e 3,
−→
f 2 =
−→e 1 + 2−→e 2 +−→e 3,
−→
f 3 = 5
−→e 1 +−→e 2 − 4−→e 3,
quais as coordenadas do vetor −→v = (2,1,2)F na base E?
a) (13, 0, 13)
b) (13, 0,−13)
c) (−13, 0,−13)
d) (13, 1,−13)
e) (−13, 0, 13)
Resposta: b)
22. Dada a base { #»e 1, #»e 2, #»e 3} e as relações
#»
f 1 =
#»e 1 − #»e 2 − #»e 3,
#»
f 2 =
#»e 1 + 2
#»e 2 +
#»e 3,
#»
f 3 = 2
#»e 1 +
#»e 2 + 4
#»e 3
(a) veri�car que (
#»
f 1,
#»
f 2,
#»
f 3) é uma base.
(b) sendo #»u = 3 #»e 1 − 5 #»e 2 + 4 #»e 3, ache a expressão de #»u na base (
#»
f 1,
#»
f 2,
#»
f 3).
Resposta: (b) #»u =
(
19
12 ,−
11
4 ,
25
12
)
F
23. Sejam as bases E = {(1,1,1), (1,2,0), (1,1,0)} e F = {(2,1, − 1),(3,0,1), (2,0,1)}. Se #»x = (m,2,1)E ,
#»u = (1,1,1)F e
#»v = (2,− 1,1)F , determine m de modo que { #»x , #»u , #»v } não seja base.
Resposta: m = − 7324
4