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Notas de Aula
Geometria Analítica
RODOLFO COLLEGARI
RAFAEL ANTONIO ROSSATO
ii
SUMÁRIO
1 Vetores 1
1.1 Noção intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Formalização do conceito de vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Adição de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Multiplicação de número real por vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Soma de ponto com vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Dependência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Interpretação geométrica de dependência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Base e coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9.1 Interpretação geométrica do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.2 Projeção ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.1 Produto vetorial usando coordenadas numa base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10.2 Interpretação geométrica do produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.11.1 Interpretação geométrica do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
iii
iv SUMÁRIO
2 Retas e planos 35
2.1 Equações de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Equações do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Posição relativa de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Perpendicularidade e ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Medida angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Cônicas 61
3.1 Definição de Cônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Elipse, Hipérbole e Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Translação e rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Identificação de uma cônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Quádricas 85
4.1 Definição de quádrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Hiperbolóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Parabolóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 Quádricas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6 Quádricas cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.7 Superfícies de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
LISTA DE FIGURAS
1.1 Regra da mão direita e da mão esquerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Gráfico da elipse de equação x
2
a2 +
y2
b2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Gráfico da elipse de equação x
2
b2 +
y2
a2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Gráfico da hipérbole de equação x
2
a2 −
y2
b2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Gráfico da hipérbole de equação − x2b2 +
y2
a2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6 Gráfico da parábola de equação y2 = 4px . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7 Gráfico de parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.8 Translação de eixos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9 Rotação de ângulo θ do sistema xOy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.10 Mudança de variável pela rotação de ângulo θ do sistema xOy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Intersecção de elipsóide com um plano x = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Intersecção de hiperbolóide de uma folha com um plano x = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Intersecção de hiperbolóide de uma folha com um plano y = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6 Intersecção de hiperbolóide de uma folha com um plano z = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7 Hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
v
vi LISTA DE FIGURAS
4.8 Intersecção de hiperbolóide de duas folhas com um plano x = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.9 Intersecção de hiperbolóide de duas folhas com um plano y = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.10 Intersecção de hiperbolóide de duas folhas com um plano z = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.11 Parabolóide elíptico ao longo do eixo Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.12 Intersecção de parabolóide elíptico com um plano x = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.13 Intersecção de parabolóide elíptico com um plano y = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.14 Intersecção de parabolóide elíptico com um plano z = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.15 Parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.16 Intersecção de parabolóide hiperbólico com um plano x = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.17 Intersecção de parabolóide hiperbólico com um plano y = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.18 Intersecção de parabolóide hiperbólico com um plano z = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.19 Quádrica cilíndrica elíptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.20 Quádrica cilíndrica hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.21 Quádrica cilíndrica parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.22 Quádrica cilíndrica de rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.23 Quádrica cônica ao longo de Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.24 Intersecção de quádrica cônica com um planox = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.25 Intersecção de quádrica cônica com um plano y = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.26 Intersecção de quádrica cônica com um plano z = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
CAPÍTULO 1
VETORES
1.1. NOÇÃO INTUITIVA
Existem grandezas, chamadas grandezas escalares, que são caracterizadas por um número e sua unidade
correspondente: 5cm de comprimento, 10m2 de área, 2l de volume, 1kg de massa, etc. No entanto, muitas outras
grandezas físicas não podem ser bem representadas simplesmente por um escalar, elas requerem mais do que a sua
magnitude. Tais grandezas são chamadas grandezas vetoriais. Por exemplo, para representar uma força ou uma
velocidade, precisamos além de sua intensidade, de uma direção e de um sentido.
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Os vetores são representados geometricamente por segmentos de retas orientados (flechas).
Veremos que segmentos de retas orientados (flechas) que possuem mesmo tamanho, direção e sentido representam
o mesmo vetor.
OBSERVAÇÃO 1.1: Podemos fazer uma analogia entre os segmentos orientados que representam um mesmo vetor e
os números racionais que representam um número fixado. Por exemplo, os números racionais 12 ,
2
4 ,
3
6 , · · · representam
maneiras diferentes de escrever o mesmo número, isto é, são representantes de um mesmo número.
1
2 CAPÍTULO 1. VETORES
1.2. FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO DE VETOR
DEFINIÇÃO 1.2 (SEGMENTO ORIENTADO): Sejam A,B dois pontos no espaço. Um segmento orientado é um
par ordenado (A,B) de pontos no espaço onde o ponto A é chamado de origem e o ponto B é chamado de extremidade.
Um segmento orientado do tipo (A,A) é chamado de segmento orientado nulo.
OBSERVAÇÃO 1.3: Observe que se os pontos A e B são diferentes então os segmentos orientados (A,B) e (B,A) são
diferentes, isto é, se A 6= B então (A,B) 6= (B,A).
DEFINIÇÃO 1.4:
(i) Dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) têm a mesmo comprimento se os segmentos de reta AB e
CD têm comprimentos iguais.
A
B
C
D
mesmo comprimento
(ii) Dizemos que os segmentos orientados não nulos (A,B) e (C,D) têm a mesma direção (ou são paralelos) se as
retas contendo AB e CD forem paralelas ou iguais. Caso contrário dizemos que os segmentos orientados (A,B) e
(C,D) não têm a mesma direção.
A
B
C
D
mesma direção
A
B C
D
direções diferentes
Notação: (A,B)//(C,D).
(iii) Sejam (A,B) e (C,D) segmentos orientados não nulos de mesma direção.
• Se as retas contendo AB e CD não coincidem, dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) têm o
mesmo sentido se AC∩BD = /0.
A
B
C
D
mesmo sentido
A
B
D
C
sentido contrário
1.2. FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO DE VETOR 3
• Se as retas contendo AB e CD coincidem, tome (A′,B′) segmento orientado com mesmo comprimento, direção
e sentido de (A,B) de modo que A′ e B′ não pertencem a reta que contém AB. Assim, dizemos que os segmentos
orientados (A,B) e (C,D) têm o mesmo sentido se (A′,B′) e (C,D) têm o mesmo sentido.
A
B
C
D
A′
B′
mesmo sentido
A
B
C
D
A′
B′
sentido contrário
(iv) Dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se forem ambos nulos, ou então, nenhum
deles sendo nulo, se forem de mesmo comprimento, direção e sentido.
Notação: (A,B)∼ (C,D).
segmentos equipolentes
(v) O conjunto de todos os segmentos orientados que são equipolentes a (A,B) é chamado de classe de equipolência
de (A,B).
PROPRIEDADES DA RELAÇÃO DE EQUIPOLÊNCIA
Sejam (A,B), (C,D) e (E,F) segmentos orientados. As seguintes propriedades são válidas:
• (A,B)∼ (A,B). (Reflexiva)
• Se (A,B)∼ (C,D) então (C,D)∼ (A,B). (Simétrica)
• Se (A,B)∼ (C,D) e (C,D)∼ (E,F) então (A,B)∼ (E,F). (Transitiva)
OBSERVAÇÃO 1.5: A relação de equipolência divide o conjunto de todos os segmentos orientados em conjuntos
disjuntos os quais contém apenas segmentos orientados que são equipolentes entre si.
DEFINIÇÃO 1.6 (VETOR): Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. A classe de equipo-
lência dos segmentos nulos é chamada de vetor nulo. O conjunto de todos os vetores será indicado por V3.
Notação: Vetores são normalmente denotados por uma letra minúscula com uma seta acima (por exemplo,
#»v , #»u , #»w, · · · ). O vetor nulo é normalmente denotado por #»0 .
4 CAPÍTULO 1. VETORES
DEFINIÇÃO 1.7: Seja #»v um vetor.
(a) Qualquer segmento orientado (A,B) ∈ #»v é dito um representante do vetor #»v . Neste caso, escrevemos #»v = # »AB.
(b) Chamaremos de norma do vetor #»v o comprimento de qualquer um de seus representes e denotaremos esse valor
por ‖ #»v ‖. Observe que todos os representes de um mesmo vetor têm o mesmo comprimento.
(c) O vetor #»v é dito um vetor unitário quando ‖ #»v ‖= 1.
OBSERVAÇÃO 1.8:
(i) Os conceitos geométricos tais como paralelismo, direção, sentido, ângulos, etc, envolvendo vetores são definidos
através de seus representantes. Por exemplo, dizemos que o vetor #»v =
# »
AB é paralelo ao vetor #»u =
# »
CD se os
segmentos (A,B) e (C,D) forem paralelos. Além disso, convencionamos que o vetor nulo é paralelo a qualquer
outro vetor.
(ii) Decorre naturalmente das propriedades anteriores que dois vetores não nulos são iguais se, e somente se, possuem
mesma norma, direção e sentido.
(iii) Note que nunca poderemos desenhar um vetor. O que faremos a partir de agora é desenhar um representante do
vetor.
DEFINIÇÃO 1.9: Dado um vetor #»v = # »AB, o vetor oposto de #»v , denotado por − #»v , é o vetor que tem como um de
seus representantes o segmento orientado (B,A), isto é, − #»v = # »BA.
A
B
representates de #»v
A
B
representates de − #»v
OBSERVAÇÃO 1.10:
(i) O vetor − #»v tem mesmo comprimento, direção e sentido oposto do vetor #»v .
(ii) O vetor oposto do vetor − #»v é o próprio vetor #»v , isto é, −(− #»v ) = #»v .
(iii) #»v = (− #»v )⇔ #»v = #»0 .
A seguir apresentar um resultado importante e que será muito usado ao longo do curso.
PROPOSIÇÃO 1.11: Dado um vetor #»v e um ponto A, existe um único ponto B tal que #»v = # »AB, isto é, existe um
único ponto B de modo que o segmento orientado (A,B) seja representante do vetor #»v .
1.3. ADIÇÃO DE VETORES 5
A
B
1.3. ADIÇÃO DE VETORES
Uma das operações básicas envolvendo vetores é a adição. Veremos que esta simples operação envolvendo
vetores nos permite resolver alguns problemas geométricos como por exemplo, mostrar que as diagonais de um
paralelogramo têm o mesmo ponto médio.
DEFINIÇÃO 1.12 (ADIÇÃO DE VETORES): Sejam #»u e #»v vetores, (A,B) segmento orientado representante de #»u e
C um ponto tal que (B,C) é representante de #»v . Assim, definimos a adição (ou soma) de #»u e #»v como sendo o vetor
representado por (A,C), isto é,
#»u + #»v =
# »
AC.
Geometricamente temos
A
B
C
#»u
#»v
#»u + #»v
OBSERVAÇÃO 1.13:
(i) A soma de vetores independe da escolha do representante.
A
B
C
#»u
#»v
#»u + #»v
A′
B′
C′
#»u
#»v
#»u + #»v
(ii) Podemos encontrar um representante do vetor #»u + #»v de uma outra maneira, através da regra do paralelogramo,
isto é, se ABCD formam um paralelogramo com #»u =
# »
AB, #»v =
# »
AC então #»u + #»v =
# »
AD.
6 CAPÍTULO 1. VETORES
A
B
C
D
#»u
#»v
#»u + #»v
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE VETORES
Dados três vetores #»u , #»v , #»w , valem as seguintes propriedades:
(A1) ( #»u + #»v )+ #»w = #»u +( #»v + #»w). (Associativa)
(A2) #»u + #»v = #»v + #»u . (Comutativa)
(A3) #»u +
#»
0 = #»u . (Elemento neutro)
(A4) Para cada vetor #»v , existe um único vetor (o vetor oposto de #»v ) que somado a #»v dá como resultado o vetor nulo,
isto é, #»v +(− #»v ) = #»0 . (Elemento oposto)
DEFINIÇÃO 1.14 (SUBTRAÇÃO DE VETORES): Dados os vetores #»u e #»v , definimos a subtração (ou diferença)
de #»u e #»v como sendo o vetor
#»u − #»v = #»u +(− #»v ).
Geometricamente temos
A
B
C
D
#»u
#»v
#»u − #»v
EXEMPLO 1.15: Mostre que # »BC− # »BA = # »AC.
Resolução: Usando as definição de vetor oposto, a propriedade comutativa e a definição de soma de vetores temos# »
BC− # »BA = # »BC+ # »AB = # »AB+ # »BC = # »AC.
�
EXEMPLO 1.16: Mostre que valem a leis do cancelamento da adição de vetores.
#»u + #»v = #»u + #»w ⇒ #»v = #»w e #»v + #»u = #»w + #»u ⇒ #»v = #»w.
1.4. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR 7
Resolução: Somando o vetor oposto de − #»u nos dois membros da igualdade #»u + #»v = #»u + #»w obtemos
− #»u +( #»u + #»v ) =− #»u +( #»u + #»w)
e usando a propriedade associativa e a definição do vetor oposto temos
#»
0 + #»v =
#»
0 + #»w.
Pela propriedade do elemento neutro temos #»v = #»w . A segunda lei decorre da primeira usando a propriedade
comutativa. �
EXEMPLO 1.17: Mostre que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.
Resolução: Sejam ABCD um paralelogramo e M o ponto médio da diagonal AC.
A B
CD
M
Observe que valem as igualdade
# »
AB =
# »
DC,
# »
AD =
# »
BC e
# »
AM =
# »
MC. Basta mostrar que
# »
BM =
# »
MD. De fato, usando as
propriedades vistas anteriormente temos
# »
BM =
# »
BA+
# »
AM =
# »
CD+
# »
MC =
# »
MC+
# »
CD =
# »
MD.
�
1.4. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR
Nesta seção vamos introduzir a operação de multiplicação de um número real por um vetor e veremos que, com
suas propriedades básicas, será possível caracterizar algebricamente o conceito de paralelismo.
DEFINIÇÃO 1.18 (MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR): Sejam α um número real e #»v um vetor.
Definimos a multiplicação (ou produto) de α por #»v como sendo o vetor, denotado por α #»v , que satisfaz as seguintes
condições:
(a) Se α = 0 ou #»v =
#»
0 então α #»v =
#»
0 .
#»v
α
#»v =
#»
0
α = 0
8 CAPÍTULO 1. VETORES
(b) Se α 6= 0 e #»v 6= #»0 então α #»v é caracterizado por:
(i) ‖α #»v ‖= |α|‖ #»v ‖ (tamanho de α #»v é igual ao tamanho de #»v multiplicado por |α|);
(ii) α #»v tem mesma direção de #»v (α #»v e #»v são paralelos);
(iii) • Se α > 0 então α #»v e #»v têm o mesmo sentido;
#»v α
#»v
α > 1
#»v
α
#»v
0 < α < 1
• Se α < 0 então α #»v e #»v têm sentidos opostos.
#»v α
#»v
α <−1
#»v
α
#»v
−1 < α < 0
DEFINIÇÃO 1.19: O versor de um vetor não nulo #»v é o vetor unitário dado por #»w = 1‖ #»v ‖
#»v .
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR
Dados três vetores #»u , #»v , #»w , valem as seguintes propriedades:
(M1) α( #»u + #»v ) = α #»u +α #»v (Distributiva do produto de número real pela adição de vetores).
(M2) (α +β ) #»v = α #»v +β #»v (Distributiva da adição de números reais pelo produto por vetor).
(M3) 1 #»v = #»v (Elemento neutro da multiplicação de número real por vetor).
(M4) (αβ ) #»v = α(β #»v ) (Associativa do produto de números reais pelo produto de vetor).
OBSERVAÇÃO 1.20: Um conjunto qualquer V onde estão definidas operações de soma e multiplicação por número
real satisfazendo as propriedades (A1)-(A4), (M1)-(M4) é chamado de um espaço vetorial sobre o corpo dos reais.
Finalizamos esta seção apresentando um resultado muito importante que caracteriza algebricamente a propriedade
de paralelismo entre vetores.
PROPOSIÇÃO 1.21: Dois vetores não nulos #»u e #»v são paralelos se, e somente se, existe um número real λ 6= 0 tal
que #»u = λ #»v .
EXEMPLO 1.22: Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao
terceiro e tem a metade da sua medida.
Resolução: Sejam ABC um triângulo, M o ponto médio do segmento AC e N o ponto médio do segmento BC.
1.4. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR 9
A B
C
M N
Observe que valem as igualdade
# »
MC = 12
# »
AC e
# »
CN = 12
# »
CB. Assim
# »
MN =
# »
MC+
# »
CN =
1
2
# »
AC+
1
2
# »
CB =
1
2
(
# »
AC+
# »
CB
)
=
1
2
# »
AB.
e, portanto,
# »
MN é paralelo a
# »
AB e ‖ # »MN||= 12‖
# »
AB‖. �
EXEMPLO 1.23: Mostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo
às bases e sua medida é a média aritmética das medidas das bases.
Resolução: Sejam ABCD um trapézio, M o ponto médio do segmento AD e N o ponto médio do segmento CB.
D C
A B
M N
Pela propriedade de soma de vetores temos {
# »
MN =
# »
MA+
# »
AB+
# »
BN
# »
MN =
# »
MD+
# »
DC+
# »
CN.
Observe que valem as igualdade
# »
AM =
# »
MD,
# »
CN =
# »
NB e além disso, como as bases são paralelas e o comprimento de
AB é maior que o comprimento de DC, existe λ > 1 tal que
# »
AB = λ
# »
DC. Então, somando as duas equações no sistema
acima temos
2
# »
MN =
# »
MD+
# »
DC+
# »
CN +
# »
MA+
# »
AB+
# »
BN
=
# »
DC+
# »
AB
e, portanto
# »
MN =
1
2
(
# »
DC+
# »
AB
)
.
Como
# »
AB = λ
# »
DC então
# »
MN =
1
2
(
# »
DC+λ
# »
DC
)
=
1+λ
2
# »
DC
10 CAPÍTULO 1. VETORES
e, portanto,
# »
MN é paralelo a
# »
DC e
# »
AB. Por fim, note que
‖ # »MN‖= 1+λ
2
‖ # »DC‖= 1
2
(
‖ # »DC‖+λ‖ # »DC‖
)
=
1
2
(
‖ # »DC‖+‖λ # »DC‖
)
=
1
2
(
‖ # »DC‖+‖ # »AB‖
)
.
�
1.5. SOMA DE PONTO COM VETOR
Vimos na Proposição 1.11 que dados um vetor #»v e um ponto A, existe um único ponto B de modo que #»v =
# »
AB.
Através dessa propriedade definimos a seguinte operação:
DEFINIÇÃO 1.24 (SOMA DE PONTO COM VETOR): Dados um vetor #»v e um ponto A, definimos a a soma do
ponto A com o vetor #»v como sendo o ponto B, denotado por A+ #»v , onde B é o único ponto que satisfaz #»v = # »AB, isto
é,
B = A+ #»v ⇔ # »AB = #»v .
#»v
A
B = A+ #»v
PROPRIEDADES DA SOMA DE PONTO COM VETOR
Dados três vetores #»u , #»v , #»w , valem as seguintes propriedades:
(PV1) A+
# »
AB = B.
(PV2) A+ #»v = A⇔ #»v = #»0 .
(PV3) (A+ #»u )+ #»v = A+( #»u + #»v ).
(PV4) A+ #»u = A+ #»v ⇒ #»u = #»v .
(PV5) A+ #»v = B+ #»v ⇒ A = B.
OBSERVAÇÃO 1.25: A operação de soma de ponto com vetor nos permite introduzir uma maneira adicional para a
notação de um vetor. Dado um vetor #»v =
# »
AB, como B = A+
# »
AB, também denotamos o vetor
# »
AB por (B−A). Assim,
se #»v for um vetor com um representante (A,B), temos
#»v =
# »
AB = (B−A).
Observemos que o símbolo “− ” em (B−A) não significa a subtração do ponto B pelo ponto A, uma vez que tal
operação não está nem definida.
1.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 11
EXEMPLO 1.26: Um ponto G é chamado de baricentro dos pontos A, B e C se vale a igualdade # »GA+ # »GB+ # »GC = #»0 .
Mostre que, dado qualquer ponto O, vale a igualdade
G = O+
1
3
(
# »
OA+
# »
OB+
# »
OC
)
.
Resolução: Pela propriedade de soma de vetores temos
# »
OA =
# »
OG+
# »
GA
# »
OB =
# »
OG+
# »
GB
# »
OC =
# »
OG+
# »
GC.
Somando as três igualdades acima obtemos
# »
OA+
# »
OB+
# »
OC = 3
# »
OG+
# »
GA+
# »
GB+
# »
GC
e, usando a definição de baricentro e as propriedades de soma de vetores e multiplicação de escalar por vetor vistas
anteriormente, temos
# »
OG =
1
3
(
# »
OA+
# »
OB+
# »
OC
)
.
Portanto, segue da definição de soma de ponto e vetor que
G = O+
1
3
(
# »
OA+
# »
OB+
# »
OC
)
.
�
1.6. DEPENDÊNCIA LINEAR
O conceito de dependência linear, que veremos na sequência, será muito importante para responder algumas
questões, como por exemplo: é possível expressar um vetor qualquer usando as operações de soma de vetores e
multiplicação por escalar sobre alguns vetores fixados? Caso seja possível, qual é o número mínimo de vetores
necessários para isso e como escolher tais vetores?
Para tratar dessas questões, vejamos as seguintes definições:
DEFINIÇÃO 1.27 (COMBINAÇÃO LINEAR): Dados n vetores #»v1, · · · , #»vn e n escalares a1, · · · ,an, chama-se combi-
nação linear do vetores #»v1, · · · , #»vn com coeficientes a1, · · · ,an o vetor #»v dado por
#»v = a1 #»v1 + · · ·+an #»vn.
DEFINIÇÃO 1.28 (DEPENDÊNCIA LINEAR): Sejam #»v1, · · · , #»vn n vetores fixados.
(LD) Dizemos que o conjunto de vetores { #»v1, · · · , #»vn} é linearmente dependente (e abreviamos LD) se existem
coeficientes a1, · · · ,an ∈ R, NÃO todos nulos, tais que
a1 #»v1 + · · ·+an #»vn =
#»
0 ,
12 CAPÍTULO 1. VETORES
isto é, a equação vetorialx1 #»v1 + · · ·+ xn #»vn =
#»
0
admite solução não trivial (chamamos de solução trivial o caso em que x1 = · · ·= xn = 0).
(LI) Caso contrário, isto é, quando a equação vetorial
x1 #»v1 + · · ·+ xn #»vn =
#»
0
admite apenas a solução trivial, dizemos que o conjunto de vetores { #»v1, · · · , #»vn} é linearmente independente
(e abreviamos LI).
OBSERVAÇÃO 1.29:
(i) Observemos que a equação vetorial x1 #»v1 + · · ·+ xn #»vn =
#»
0 sempre admite uma solução, a solução trivial x1 =
· · ·= xn = 0.
(ii) Qualquer conjunto de vetores que contém o vetor nulo será um conjunto de vetores LD. De fato, dados os vetores
#»
0 , #»v2, · · · , #»vn, a equação vetorial x1
#»
0 + x2 #»v2 + · · ·+ xn #»vn =
#»
0 possui uma solução não trivial, basta tomar x1 = 1
e x2 = · · ·= xn = 0.
(iii) Um conjunto de vetores { #»v1, · · · , #»vn} é LD se, e somente se, um dos vetores é combinação linear dos demais.
(iv) Se { #»u , #»v , #»w} é LD, tal que { #»u , #»v } é LI, então #»w é combinação linear de #»u e #»v .
(v) Se { #»u , #»v } é LD, então { #»u , #»v , #»w} também é LD, seja qual for o vetor #»w .
(vi) Se { #»u , #»v , #»w} é LI, então os vetores { #»u , #»v } também é LI.
(vii) A dependência linear é uma propriedade inerente ao conjunto de vetores e não a cada elemento desse conjunto.
Apesar disso, é comum dizer “os vetores #»u e #»v são LI", “os vetores #»u , #»v , #»w são LD"ao invés de dizer “o
conjunto de vetores { #»u , #»v } é LI", “o conjunto de vetores { #»u , #»v , #»w} é LD". Evite que esse abuso de linguagem
cause o erro de concluir que se #»u é LI e #»v é LI então os vetores #»u e #»v são LI. Por exemplo, se #»v for um vetor
não nulo então os vetores #»v e 2 #»v são LI mas o conjunto { #»v ,2 #»v } é LD.
1.6.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE DEPENDÊNCIA LINEAR
(1 vetor) Um vetor #»v será LD se, e somente se, o vetor #»v for o vetor nulo.
#»
0
vetor LD
#»v 6= #»0
vetor LI
(2 vetores) Dois vetores #»u , #»v são LD se, e somente se, #»u e #»v têm mesma direção.
1.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 13
vetores LD vetores LI
(3 vetores) Três vetores #»u , #»v , #»w são LD se, e somente se, #»u , #»v , #»w são paralelos a um mesmo plano.
vetores LD vetores LI
A seguir apresentamos um importante resultado que nos diz que, fixados três vetores LI, qualquer vetor de V3
pode ser escrito, de maneira única, como combinação desses três vetores fixados. Este resultado será crucial para a
definição das coordenadas de um vetor com relação a uma base.
PROPOSIÇÃO 1.30: Sejam #»v1, #»v2, #»v3 três vetores LI fixados. Então dado qualquer vetor #»v ∈ V3, existe uma única
tripla de escalares a1,a2,a3 tal que
#»v = a1 #»v1 +a2 #»v2 +a3 #»v3.
Demonstração: Sejam x1,x2,x3,x4 escalares tais que
x1 #»v1 + x2 #»v2 + x3 #»v3 + x4 #»v =
#»
0 . (1.1)
Como #»v1, #»v2, #»v3, #»v são vetores LD então (1.1) possui solução não trivial. Observe que x4 6= 0, pois se x4 = 0 então
x1 #»v1 + x2 #»v2 + x3 #»v3 =
#»
0
e sendo #»v1, #»v2, #»v3 vetores LI temos x1 = x2 = x3 = x4 = 0 contrariando a existência de solução não trivial para (1.1).
Assim, podemos escrever
#»v = a1 #»v1 +a2 #»v2 +a3 #»v3,
onde a1 = − x1x4 , a2 = −
x2
x4
e a3 = − x3x4 , isto é,
#»v é combinação linear de #»v1, #»v2, #»v3. Mostremos agora que a tripla de
escalares a1,a2,a3 é única. Sejam b1,b2,b3 escalares tais que
#»v = a1 #»v1 +a2 #»v2 +a3 #»v3 = b1 #»v1 +b2 #»v2 +b3 #»v3.
Então
(a1−b1) #»v1 +(a2−b2) #»v2 +(a3−b3) #»v3 =
#»
0
14 CAPÍTULO 1. VETORES
e como #»v1, #»v2, #»v3 são vetores LI segue que a1 = b1, a2 = b2 e a3 = b3 o que conclui a demonstração. �
OBSERVAÇÃO 1.31: A proposição anterior nos mostra que qualquer conjunto com 4 ou mais vetores necessariamente
é LD. Por exemplo, mesmo que o vetores #»u , #»v e #»w sejam LI, se adicionamos qualquer vetor #»a , o conjunto formado
pelos vetores #»u , #»v , #»w e #»a será LD como podemos observar pela construção a seguir.
#»u
#»v
#»w
α
#»u
β
#»v
γ
#»w
#»a
#»a = α #»u +β #»v + γ #»w
O quadro abaixo sumariza o conceito de dependência linear de um conjunto de vetores em função da quantidade
de vetores neste conjunto.
N. Vet. LD LI
1 vetor nulo vetor não nulo
2 vetores paralelos vetores não paralelos
3 vetores coplanares vetores não coplanares
4 sempre nunca
EXEMPLO 1.32: Sejam #»a = #»u + #»w ,
#»
b = 2 #»u + #»v − #»w e #»c = #»v −2 #»w . Mostre que
{ #»a , #»b , #»c } é LI⇔{ #»u , #»v , #»w} é LI.
Resolução: Primeiramente vamos supor que os vetores #»u , #»v , #»w são LI e mostre que os vetores #»a ,
#»
b , #»c são LI.
Considere a equação vetorial
α
#»a +β
#»
b + γ #»c =
#»
0 . (1.2)
Substituindo as expressões de #»a ,
#»
b e #»c em (1.2) obtemos
α( #»u + #»w)+β (2 #»u + #»v − #»w)+ γ( #»v −2 #»w) = #»0
e agrupando os termos, obtemos
(α +2β ) #»u +(β + γ) #»v +(α−β −2γ) #»w = 0.
Como os vetores #»u , #»v , #»w são LI, pela definição de dependência linear temos
α +2β = 0
β + γ = 0
α−β −2γ = 0
1.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 15
o que implica em α = β = γ = 0. Logo, a única solução da equação (1.2) é a solução trivial e, portanto, os vetores
#»a ,
#»
b , #»c são LI.
Reciprocamente, suponha que os vetores #»a ,
#»
b , #»c são LI e mostremos que os vetores #»u , #»v , #»w são LI. Resolvendo
o sistema linear vetorial 
#»a = #»u + #»w
#»
b = 2 #»u + #»v − #»w
#»c = #»v −2 #»w
nas incógnitas #»u , #»v e #»w , obtemos #»u =− #»a + #»b − #»c , #»v = 4 #»a −2 #»b +3 #»c e #»w = 2 #»a − #»b + #»c . Considere a equação
vetorial
α
#»u +β #»v + γ #»w =
#»
0 . (1.3)
Substituindo as expressões de #»u , #»v e #»w em (1.3) obtemos
α(− #»a + #»b − #»c )+β (4 #»a −2 #»b +3 #»c )+ γ(2 #»a − #»b + #»c ) = #»0
e agrupando os termos, obtemos
(−α +4β +2γ) #»a +(α−2β − γ) #»b +(−α +3β + γ) #»c = 0.
Como os vetores #»a ,
#»
b , #»c são LI, pela definição de dependência linear temos
−α +4β +2γ = 0
α−2β − γ = 0
−α +3β + γ = 0
o que implica em α = β = γ = 0. Logo, a única solução da equação (1.3) é a solução trivial e, portanto, os vetores
#»u , #»v , #»w são LI. �
EXEMPLO 1.33: No tetraedro OABC, determine m para que X = O+m
(
# »
OA
3 −
# »
OB+
# »
OC
2
)
pertence ao plano ABC.
A
B
C
O
X
Resolução: Observemos que
X = O+m
(
# »
OA
3
− # »OB+
# »
OC
2
)
⇔ # »OX = m
(
# »
OA
3
− # »OB+
# »
OC
2
)
.
16 CAPÍTULO 1. VETORES
Dizer que X pertence ao plano ABC é equivalente a dizer que o conjunto { # »AX # »AB, # »AC} é LD, isto é, que a
equação
α
# »
AX +β
# »
AB+ γ
# »
AC =
#»
0 (1.4)
admite solução não trivial. A estratégia será tentar exprimir os vetores dessa igualdade em termos de
# »
OA,
# »
OB e
# »
OC, que
são LI uma vez que OABC é tetraedro. Temos
•
# »
AX =
# »
AO+
# »
OX =− # »OA+m
(
# »
OA
3 −
# »
OB+
# »
OC
2
)
=
(m
3 −1
) # »
OA−m # »OB+ m2
# »
OC
•
# »
AB =
# »
AO+
# »
OB =− # »OA+ # »OB
•
# »
AC =
# »
AO+
# »
OC =− # »OA+ # »OC
Substituindo em (1.4) e organizando a expressão, obtemos[(m
3
−1
)
α−β − γ
]
# »
OA+(−mα +β ) # »OB+
(m
2
α + γ
)
# »
OC =
#»
0 .
Como
# »
OA,
# »
OB e
# »
OC são LI, então os coeficientes acima devem ser todos nulos, ou seja,
(m
3 −1
)
α−β − γ = 0
−mα +β = 0
m
2 α + γ = 0.
Concluímos até agora que o sistema acima é equivalente a equação (1.4), isto é, toda solução do sistema é solução de
(1.4) e vice-versa. Como estamos buscando valor de m tal que (1.4) admita solução além da trivial, então isso significa
procurar m que faça o sistema acima ter solução além da trivial. Pelo Teorema de Cramer, isso ocorre se, e somente se,
o determinante do sistema é nulo: ∣∣∣∣∣∣∣
m
3 −1 −1 −1
−m 1 0
m
2 0 1
∣∣∣∣∣∣∣= 0,
isto é, se, e somente se, m =−6. �
1.7. BASE E COORDENADAS
Nesta seção utilizaremos o conceito de dependência linear visto anteriormente para introduzir os conceitos de
base e de coordenadas de vetores.
DEFINIÇÃO 1.34 (BASE): Qualquer tripla ordenada de vetores E = { #»e1, #»e2, #»e3} LI, é dita uma base de V3.
A seguir iremos introduzir o conceito de coordenadas de um vetor e para isso usaremos a Proposição 1.30.DEFINIÇÃO 1.35 (COORDENADAS DE UM VETOR): Sejam E = { #»e1, #»e2, #»e3} uma base de V3 e #»v ∈ V3 um vetor
qualquer. A tripla de escalares (a1,a2,a3) tal que
#»v = a1 #»e1 +a2 #»e2 +a3 #»e3
1.7. BASE E COORDENADAS 17
é chamada de coordenadas do vetor #»v com relação a base E.
Notação: #»v = (a1,a2,a3)E .
OBSERVAÇÃO 1.36:
(i) São fundamentais a ordem dos vetores da base E e a ordem dos escalares a1,a2,a3 para se determinar as
coordenadas de um vetor com relação a esta base E. Por exemplo, se E = { #»e1, #»e2, #»e3} for uma base de V3 e
#»v = #»e1 +2 #»e2− #»e3 então #»v = (1,2,−1)E . Por outro lado, F = { #»e1, #»e3, #»e2} também é uma base de V3 (e possui os
mesmo vetores que E, porém ordenados de maneira diferente) e as coordenadas de #»v com relação a base F são
diferentes das coordenadas de #»v com relação a base E, uma vez que #»v = (1,−1,2)F .
(ii) Segue da proposição 1.30 que fixada uma base, cada vetor está associado a uma única tripla ordenada de escalares
e vice-versa.
(iii) Quando não houver dúvidas com relação a base de V3 que esta sendo fixada, escrevemos simplesmente #»v =
(a1,a2,a3) (sem o índice da base).
PROPRIEDADES ENVOLVENDO COORDENADAS
Fixada uma base E = { #»e1, #»e2, #»e3} qualquer de V3 temos:
(i)
#»
0 = (0,0,0)E .
(ii) Se #»v = (a1,a2,a3)E e #»u = (b1,b2,b3)E então #»v + #»u = (a1 +b1,a2 +b2,a3 +b3)E .
(iii) Se #»v = (a1,a2,a3)E e α um escalar qualquer então α #»v = (αa1,αa2,αa3)E .
EXEMPLO 1.37: Sejam E = { #»e1, #»e2, #»e3} e F = {
#»
f1,
#»
f2,
#»
f3} bases de V3, tais que
#»
f1 = (2,0,−1)E ,
#»
f2 = (0,1,2)E ,
#»
f3 = (0,0,2)E e #»w = (1,1,1)E .
Encontre as coordenadas de #»w na base F.
Resolução: Pela definição de coordenadas de um vetor temos
#»
f1 = 2 #»e1− #»e3
#»
f2 = #»e2 +2 #»e3
#»
f3 = 2 #»e3
e, resolvendo o sistema (encontrando #»e1 , #»e2 e #»e3 em termos de
#»
f1,
#»
f2 e
#»
f3}) temos
#»e1 = 12
#»
f1 + 14
#»
f3
#»e2 =
#»
f2−
#»
f3
#»e3 = 12
#»
f3.
18 CAPÍTULO 1. VETORES
Como #»w = (1,1,1)E , usando a definição de coordenadas e as equações acima temos
#»w = 1 · #»e1 +1 · #»e2 +1 · #»e3 =
(
1
2
#»
f1 +
1
4
#»
f3
)
+
(
#»
f2−
#»
f3
)
+
(
1
2
#»
f3
)
=
1
2
#»
f1 +
#»
f2−
1
4
#»
f3.
Logo, #»w = (12 ,1,−
1
4)F isto é, as coordenadas de
#»w na base F são (12 ,1,−
1
4). �
DEPENDÊNCIA LINEAR ATRAVÉS DAS COORDENADAS
Seja E uma base de V3 fixada. Vejamos como verificar a dependência linear de um conjunto de vetores
conhecendo as suas coordenadas. Para o caso de 1 vetor já sabemos que ele só é LD se for o vetor nulo e para o caso de
4 ou mais vetores já sabemos que sempre é LD. A seguir analisamos os casos de conjuntos com 2 ou 3 vetores.
(Dois vetores) Dados os vetores #»u = (a1,a2,a3)E e #»v = (b1,b2,b3)E , sabemos #»u , #»v são LD se, e somente se, #»u e #»v
são paralelos, isto é, existe α ∈ R tal que #»u = α #»v . Portanto, em termos das coordenadas
{ #»u , #»v } LD ⇔ existe α ∈ R tal que

a1 = αb1
a2 = αb2
a3 = αb3
(Três vetores) Dados os vetores #»u = (a1,a2,a3)E , #»u = (b1,b2,b3)E e #»w = (c1,c2,c3)E sabemos que #»u , #»v , #»w são LD
se, e somente se, a equação x #»u + y #»v + z #»w =
#»
0 admite solução não trivial, isto é, o sistema de equações
xa1 + yb1 + zc1 = 0
xa2 + yb2 + zc2 = 0
xa3 + yb3 + zc3 = 0
(1.5)
admite solução não trivial. Observe que o sistema acima é equivalente a equação matricial a1 b1 c1a2 b2 c2
a3 b3 c3

 xy
x
=
 00
0
 ,
a qual possui solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz 3x3 formada pelas coordenadas dos
vetores #»u , #»v e #»w for igual a 0. Portanto
{ #»u , #»v , #»w} LD ⇔
∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣∣= 0.
EXEMPLO 1.38:
(a) Os vetores #»u = (1,2,−1) e #»v = (−8,−16,8) são LD pois #»v =−8 #»u .
(b) Os vetores #»u = (1,0,0), #»v = (1,1,0) e #»w = (1,1,1) são LI pois∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
0 1 1
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣= 1 6= 0.
1.7. BASE E COORDENADAS 19
(c) Os vetores #»u = (1,0,3), #»v = (1,1,0) e #»w = (−1,−2,3) são LD pois∣∣∣∣∣∣∣
1 1 3
1 1 0
−1 −2 3
∣∣∣∣∣∣∣= 0.
BASE ORTONORMAL
Iniciamos apresentando o conceito de ortogonalidade.
DEFINIÇÃO 1.39 (VETORES ORTOGONAIS): Dois vetores #»u e #»v são ditos ortogonais, se existem representantes
(A,B) de #»u e (B,C) de #»v ortogonais.
Notação: #»u ⊥ #»v .
#»u #»v
A
B
C
OBSERVAÇÃO 1.40:
(i) Vamos convencionar que o vetor nulo
#»
0 é ortogonal a qualquer vetor de V3.
(ii) Segue do Teorema de Pitágoras que
#»u ⊥ #»v ⇔‖ #»u + #»v ‖2 = ‖ #»u ‖2 +‖ #»v ‖2
#»u
#»v#»u + #»v
DEFINIÇÃO 1.41 (BASE ORTONORMAL): Uma base E = { #»e1, #»e2, #»e3} é dita ortonormal se os vetores #»e1, #»e2, #»e3
forem dois a dois ortogonais e ‖ #»e1‖= ‖ #»e2‖= ‖ #»e3‖= 1.
20 CAPÍTULO 1. VETORES
#»e1
#»e2
#»e3
OBSERVAÇÃO 1.42:
(i) É comum denotar uma base ortonormal por B = { #»i , #»j , #»k }. Quando são dadas as coordenadas de vetores
sem mencionar a base, convencionamos que essas coordenadas são dadas com relação a esta base ortornormal,
isto é, se escrevemos simplesmente #»v = (a1,a2,a3), sem fazer menção qualquer base, fica convencionado que
#»v = a1
#»
i +a2
#»
j +a3
#»
k , com B = { #»i , #»j , #»k } uma base ortonormal.
(ii) Trabalhar com coordenadas de vetores numa base ortonormal facilita os cálculos deixando as fórmulas mais
simples. Por exemplo, se (a,b,c) forem as coordenadas de um vetor #»v numa base ortonormal, isto é, #»v =
a
#»
i +b
#»
j + c
#»
k , segue do Teorema de Pitágoras que o tamanho do vetor #»v é dado por
‖v‖=
√
a2 +b2 + c2
EXEMPLO 1.43: Se as coordenadas numa base ortornormal do vetor #»v são (2,−1,3) então o tamanho de #»v é dado
por
‖v‖=
√
22 +(−1)2 +32 =
√
14.
1.8. SISTEMA DE COORDENADAS
Nesta seção veremos uma maneira de definir coordenadas de pontos a partir de uma base e um ponto fixado.
Para isso vamos definir o que chamamos de um sistema de coordenadas.
DEFINIÇÃO 1.44 (SISTEMA DE COORDENADAS): Sejam O um ponto e E = { #»e1, #»e2, #»e3} uma base de V3. O par
Σ = (O,E) é chamado de sistema de coordenadas em V3 e o ponto O é chamado de origem. Quando a base E for
ortonormal dizemos que o sistema de coordenadas Σ = (O,E) é um sistema de coordenadas ortogonal.
#»e1
#»e2
#»e3
O
DEFINIÇÃO 1.45 (EIXOS COORDENADOS): Considere o sistema de coordenadas Σ = (O,E) onde E = { #»e1, #»e2, #»e3}.
Cada reta orientada que passa pelo o ponto O, é paralela e tem a direção de um dos vetores a um dos vetores #»e1, #»e2, #»e3, na
qual adota-se a unidade medida dada pela norma deste vetor, é chamado de eixo coordenado. Além disso, definimos:
1.8. SISTEMA DE COORDENADAS 21
(a) O eixo x (ou das abscissas), indicado por Ox, o eixo coordenado paralelo ao vetor #»e1.
(b) O eixo y (ou das ordenadas), indicado por Oy, o eixo coordenado paralelo ao vetor #»e2.
(c) O eixo z (ou das cotas), indicado por Oz, o eixo coordenado paralelo ao vetor #»e3.
Eixo x
Eixo y
Eixo z
#»e1
#»e2
#»e3
O 1 2 3
‖ #»e1‖
1
2
3
‖ #»e2‖
1
2
3
‖
#»e 3
‖
DEFINIÇÃO 1.46 (COORDENADAS DE UM PONTO): Sejam Σ = (O,E) um sistema de coordenadas fixado e P um
ponto qualquer. Definimos as coordenadas do ponto P com relação ao sistema de coordenadas Σ como sendo igual as
coordenadas do vetor
# »
OP com relação a base E. Assim, se
# »
OP = (x,y,z)E escrevemos P = (x,y,z)Σ ou P = (x,y,z). A
segunda forma, sem o índice, será a preferida, desde que não cause ambiguidade.
Eixo x
Eixo y
Eixo z
#»e1
#»e2
#»e3
O x
y
z
P
OBSERVAÇÃO 1.47:
22 CAPÍTULO 1. VETORES
(i) Quando não houver confusão com relação ao sistema de coordenadas, escrevemos as coordenadas de um ponto P
sem o índice referente ao sistema de coordenadas.
(ii) Seja P = (x,y,z) um ponto genérico. Então:
(a) A primeira coordenada, x, é chamada de abscissa.
(b) A segunda coordenada, y, é chamada de ordenada.
(c) A terceira coordenada, z, é chamada de cota.
PROPOSIÇÃO 1.48: Fixado um sistema de coordenadas (O,E), sejam A = (x1,y1,z1), B = (x2,y2,z2), #»u = (a,b,c)
e λ ∈ R. Então:
(a)
# »
AB = (x2− x1,y2− y1,z2− z1)
(b) A+λ #»u = (x1 +λa,y1 +λb,z1 +λc)
Demonstração: (a) Basta ver que
#»
AB =− # »OA+ # »OB =−(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x2− x1,y2− y1,z2− z1)
(b) Seja D = (A+λ #»u ) = (x,y,z). Como
# »
AD = λ #»u = λ (a,b,c) = (λa,λb,λc),
do item (a) temos
# »
AD = (x− x1,y− y1,z− z1) e, portanto
(x− x1,y− y1,z− z1) = (λa,λb,λc),
isto é, x = x1 +λa, y = y1 +λb e z = z1 +λc. Logo
D = (A+λ #»u ) = (x,y,z) = (x1 +λa,y1 +λa,z1 +λa).
�
OBSERVAÇÃO 1.49: Vimos na Proposição 1.48 que, quando dadas as coordenadas dos pontos A = (x1,y1,z1) e
B = (x2,y2,z2), o vetor
# »
AB = (B−A) tem coordenadas igual a (x2− x1,y2− y1,z2− z1), isto é, podemos interpretar o
símbolo “− ” em (A−B) como o sinal de subtração em cada coordenada.
EXEMPLO 1.50: Sejam A = (x1,y1,z1), B = (x2,y2,z2) e M o ponto médio do segmento AB. Então:
(a) Sendo o sistema de coordenadas é ortogonal, a distância entre os pontos A e B é dada por
d(A,B) = ‖ # »AB‖=
√
(x2− x1)2 +(y2− y1)2 +(z2− z1)2.
(b) As coordenados do ponto M são dadas por
M =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
,
z1 + z2
2
)
.
1.9. PRODUTO ESCALAR 23
Demonstração: Segue direto da Proposição 1.48 uma vez que
# »
AB = (x2− x1,y2− y1,z2− z1) e M = A+ 12
# »
AB. �
1.9. PRODUTO ESCALAR
O produto escalar é uma operação entre dois vetores que tem como resultado um escalar. Esta operação possui
propriedades importantes como veremos na sequência. Iniciamos definindo o conceito de ângulo entre vetores.
DEFINIÇÃO 1.51 (ÂNGULO ENTRE VETORES): Sejam #»u e #»v dois vetores não nulos e O, A, B pontos tais que
#»u =
# »
OA e #»v = OB. Definimos o ângulo (ou medida angular) entre os vetores #»u e #»v a medida 0≤ θ ≤ π do ângulo
entre os segmentos OA e OB. Denotamos por θ = ang( #»u , #»v ).
DEFINIÇÃO 1.52 (PRODUTO ESCALAR): O produto escalar entre dois vetores #»u e #»v , denotado por #»u · #»v ou
〈 #»u , #»v 〉, é o número real tal que:
(a) se #»u ou #»v é o vetor nulo então #»u · #»v = 〈 #»u , #»v 〉= 0.
(b) se #»u e #»v são ambos não nulos e θ é o ângulo entre eles então
#»u · #»v = 〈 #»u , #»v 〉= ‖ #»u ‖‖ #»v ‖cos(θ).
OBSERVAÇÃO 1.53:
(i) O produto escalar entre dois vetores tem como resultado um número real (e não um vetor).
(ii) Conhecendo os tamanhos e o produto escalar podemos encontrar o ângulo entre dois vetores.
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
Sejam #»u , #»v e #»w vetores e λ ∈ R. Valem as propriedades:
(PE1) 〈 #»u , #»v + #»w〉= 〈 #»u , #»v 〉+ 〈 #»u , #»w〉.
(PE2) 〈λ #»u , #»v 〉= λ 〈 #»u , #»v 〉.
(PE3) 〈 #»u , #»v 〉= 〈 #»v , #»u 〉.
(PE4) se #»v 6= #»0 então 〈 #»v , #»v 〉> 0.
(PE5) ‖ #»v ‖=
√
〈 #»v , #»v 〉.
(PE6) #»u ⊥ #»v ⇔ 〈 #»u , #»v 〉= 0 (MUITO IMPORTANTE!).
PRODUTO ESCALAR USANDO COORDENADAS NUMA BASE ORTONORMAL
Seja B = { #»i , #»j , #»k } uma base ortonormal fixada.
24 CAPÍTULO 1. VETORES
Sejam #»u = (a1,a2,a3) e #»v = (b1,b2,b3) vetores cujas coordenadas são dadas na base B e θ o ângulo entre #»u e
#»v . Segue da Lei dos cossenos (na forma vetorial) que
#»u
#»v #»u − #»v
θ
‖ #»u − #»v ‖2 = ‖ #»u ‖2 +‖ #»v ‖2−2‖ #»u ‖‖ #»v ‖cos(θ)
e, portanto,
〈 #»u , #»v 〉= ‖ #»u ‖‖ #»v ‖cos(θ) = ‖
#»u ‖2 +‖ #»v ‖2−‖ #»u − #»v ‖2
2
.
Como
‖ #»u ‖2 +‖ #»v ‖2 = (a1)2 +(a2)2 +(a3)2 +(b1)2 +(b2)2 +(b3)2
e
‖ #»u − #»v ‖2 = (a1−b1)2 +(a2−b2)2 +(a3−b3)2
= (a1)2 +(a2)2 +(a3)2 +(b1)2 +(b2)2 +(b3)2−2(a1b1 +a2b2 +a3b3),
então o produto escalar de #»u e #»v em termos de suas coordenadas na base B é dado por
〈 #»u , #»v 〉= a1b1 +a2b2 +a3b3
OBSERVAÇÃO 1.54: Não vale a lei do cancelamento para o produto escalar, isto é, a igualdade 〈 #»u , #»v 〉= 〈 #»u , #»w〉
NÃO implica que #»v = #»w . Por exemplo, se #»u = (1,0,1), #»v = (0,2,3) e #»w = (3,−1,0) então
〈 #»u , #»v 〉= 3 = 〈 #»u , #»w〉
mas #»v 6= #»w .
1.9.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO ESCALAR
O produto escalar nos permite calcular o ângulo entre dois vetores e em particular, nos permite verificar quando
dois vetores são ortogonais.
EXEMPLO 1.55: Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares.
Resolução: Dado um losango ABCD, sejam #»u =
# »
AB e #»v =
# »
AD conforme figura abaixo.
1.9. PRODUTO ESCALAR 25
A B
CD
#»u
#»v
#»u + #»v
#»u − #»v
Observe que ‖ #»u ‖= ‖ #»v ‖ pois ABCD é um losango. Vamos usar calcular o produto escalar entre os vetores #»u + #»v e
#»u − #»v . Usando as propriedades de produto escalar temos
〈 #»u + #»v , #»u − #»v 〉= 〈 #»u , #»u 〉−〈 #»u , #»v 〉+ 〈 #»v , #»u 〉−〈 #»v , #»v 〉
= ‖ #»u ‖−‖ #»v ‖= 0,
isto é, #»u + #»v e #»u − #»v são ortogonais. Portanto, as diagonais de um losango são sempre perpendiculares. �
EXEMPLO 1.56: Sejam #»u = (1,1,0) e #»v = (1,0,−1). Se θ é o ângulo entre esses vetores, então
cos(θ) =
#»u · #»v
‖ #»u ‖‖ #»v ‖
=
1 ·1+1 ·0+0 · (−1)√
12 +12 +02
√
12 +02 +(−1)2
=
1√
2
√
2
=
1
2
.
Logo, o ângulo entre os vetores #»u e #»v é 60 graus.
1.9.2. PROJEÇÃO ORTOGONAL
Vejamos a seguir um importante conceito envolvendo produto escalar.
DEFINIÇÃO 1.57 (PROJEÇÃO ORTOGONAL): Seja um vetor #»u um vetor não nulo. Dado #»v qualquer, o vetor
#»p = proj #»u
#»v é chamado projeção ortogonal de #»v sobre #»u se satisfaz:
(a) #»p // #»u
(b) ( #»v − #»p )⊥ #»u
#»u
#»v
proj #»u
#»v
26 CAPÍTULO 1. VETORES
PROPOSIÇÃO 1.58: Dados #»u vetor não nulo e #»v um vetor qualquer, a projeção ortogonal #»p = proj #»u
#»v existe e é
única. Além disso, sua expressão em termo de #»u e #»v é
proj #»u
#»v =
#»u · #»v
‖ #»u ‖2
#»u
e a expressão de sua norma é
‖proj #»u #»v ‖=
| #»u · #»v |
‖ #»u ‖
.
Demonstração: Observe que #»p é uma projeção ortogonal de #»v sobre #»u se existir um número real λ tal que #»p = λ #»u
e ( #»v −λ #»u )⊥ #»u . Logo, #»p existe se, e somente se, existe um número real λ tal que ( #»v −λ #»u ) · #»u = 0, o que é sempre
verdade pois
( #»v −λ #»u ) · #»u = 0⇔ #»v · #»u −λ #»u #»u = 0⇔ λ =
#»u · #»v
‖ #»u ‖2
.
Portanto,
proj #»u
#»v = λ #»u =
#»u · #»v
‖ #»u ‖2
#»u
e a expressão de sua norma é
‖proj #»u #»v ‖=
∥∥∥∥ #»u · #»v‖ #»u ‖2 #»u
∥∥∥∥= | #»u · #»v |‖ #»u ‖‖ #»u ‖2 = | #»u · #»v |‖ #»u ‖ .
�
EXEMPLO 1.59: Sejam #»u = 2 #»i − 2 #»j + #»k e #»v = 3 #»i − 6 #»j . Assim, #»u · #»v = 2 · 3+(−2) · (−6)+ 1 · 0 = 18, e
‖ #»u ‖=
√
22 +(−2)2 +12 = 3. Nesse caso, a projeção ortogonal de #»v sobre #»u será
proj #»u
#»v =
18
9
#»u = 2 #»u = 4
#»
i −4 #»j +2 #»k .
1.10. PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial é uma operação entre dois vetores e tem como resultado um vetor. Assim como o produto
escalar, o vetor resultado do produto vetorial possui propriedades importantes as quais veremos na sequência.
Para a definição de produto vetorial que iremos introduzir a seguir faz-se necessário o conhecimento do conceito
de orientação de V3, o qual classifica as bases de V3. Apresentamos a seguir uma definição informal para classificar as
bases de V3. A definição formal deste conceito pode ser consultada no Capítulo 10 da referência [Livro Boulos].
DEFINIÇÃO 1.60 (REGRA PRATICA PARA ORIENTAÇÃO DE V3): Seja E = { #»e1, #»e2, #»e3} uma base de V3. Dizemos
que E obedece a regra da mão direita se podemos posicionar o dedos indicador, médio e polegar nas direções de
#»e1, #»e2, #»e3, respectivamente. Neste caso, dizemos que E é uma base dextra. De modo análogo, dizemos que E é uma
base sinista se E obedece a regra da mão esquerda.
1.10. PRODUTO VETORIAL 27
Figura 1.1: Regra da mão direita e da mão esquerda.
OBSERVAÇÃO 1.61: Note que toda base de V3 pode ser classificada como dextra ou sinistra e nenhuma delas pode
ser dextra e sinistra ao mesmo tempo. Logo, esta classificação divide as bases de V3 em dois conjuntos disjuntos: o
conjunto das bases dextras, o qual denotares por D, e o conjunto das bases sinistras, denotado por S.
DEFINIÇÃO 1.62 (ORIENTAÇÃO DE V3 (DEFINIÇÃO INFORMAL)): Cada um dos conjuntos D e S é chamado de
orientação de V3. Um vez escolhido e fixado um desses conjuntos, dizemos que V3 está orientado e, neste caso, cada
base da orientação escolhida é chamada de base positiva. Nessa condições, se E é uma base positiva, também dizemos
que V3 está orientado pela base E.
DEFINIÇÃO 1.63 (PRODUTO VETORIAL): Fixada uma orientação de V3, o produto vetorial de #»u por #»v é vetorindicado por #»u ∧ #»v , tal que:
(a) se #»u , #»v são vetores LD então #»u ∧ #»v = #»0 .
(b) se #»u , #»v são vetores LI e θ é o ângulo entre #»u e #»v então
(b1) ‖ #»u ∧ #»v ‖= ‖ #»u ‖‖ #»v ‖sen(θ),
(b2) #»u ∧ #»v ⊥ #»u e #»u ∧ #»v ⊥ #»v ,
(b3) { #»u , #»v , #»u ∧ #»v } é uma base positiva de V3.
OBSERVAÇÃO 1.64: Dados os vetores LI #»u e #»v , sejam O,A,B pontos tais que #»u = # »OA, #»v = # »OB, r uma reta
que passa pelo ponto O e é perpendicular ao plano OAB e C e D são pontos distintos na reta r tais que d(C,O) =
‖ #»u ‖‖ #»v ‖sen(θ) = d(D,O).
A
B
C
D
#»u
#»v
r
θ
O
‖ #»u ‖‖ #»v ‖sen(θ)
‖ #»u ‖‖ #»v ‖sen(θ)
28 CAPÍTULO 1. VETORES
Note que:
(b1) determina o tamanho do vetor #»u ∧ #»v ;
(b2) nos diz que #»u ∧ #»v é paralelo a reta r e, portanto, determina a direção de #»u ∧ #»v .
Tais condições são suficientes para dizer que { #»u , #»v , #»u ∧ #»v } é uma base de V3 mas, no entanto, ainda teremos duas
possibilidades para o vetor #»u ∧ #»v : ser igual a # »OC ou ser igual a # »OD. Perceba que a base { #»u , #»v , # »OD} é uma base
dextra enquanto { #»u , #»v , # »OC} é uma base sinista. Portanto, para definir o vetor #»u ∧ #»v , precisamos da condição (b3) a
qual determina uma orientação de V3 e nos permite escolher um dos vetores # »OC ou # »OD.
A
B
C
D
#»u
#»v
# »
OD
r
θ
O
Base dextra
A
B
C
D
#»u
#»v
# »
OC
r
θ
O
Base sinistra
1.10.1. PRODUTO VETORIAL USANDO COORDENADAS NUMA BASE ORTONOR-
MAL
Seja B = { #»i , #»j , #»k } uma base ortonormal positiva fixada.
Sejam #»u = (a1,a2,a3) e #»v = (b2,b2,b3) vetores cujas coordenadas são dadas na base B. O produto vetorial
entre os vetores #»u e #»v , em termos de suas coordenadas na base B, é dado por
#»u ∧ #»v = (a2b3−a3b2,−a1b3 +a3b1,a1b2−a2b1) .
OBSERVAÇÃO 1.65: Para facilitar a memorização do produto vetorial podemos interpretar o vetor #»u ∧ #»v como um
determinante simbólico de uma matriz 3×3. A matriz é construída colocando os vetores #»i , #»j , #»k na primeira linha, as
coordenadas do vetor #»u na segunda linha e as coordenadas do vetor #»v na terceira linha, e o cálculo do determinante
é feito de maneira usual, como se os vetores da primeira linha fossem números reais. Calculando o determinante
simbólico através da Regra de Sarrus temos:
1.10. PRODUTO VETORIAL 29
#»
i
#»
j
#»
k
#»
i
#»
j
#»
k
#»
i
#»
j
a1 a2 a3 = a1 a2 a3 a1 a2
b1 b2 b3 b1 b2 b3 b1 b2
+ + +
− − −
= a2b3
#»
i +a3b1
#»
j +a1b2
#»
k −a2b1
#»
k −a3b2
#»
i −a1b3
#»
j
= (a2b3−a3b2)
#»
i − (a1b3−a3b1)
#»
j +(a1b2−a2b1)
#»
k = #»u ∧ #»v
Logo, com a notação do determinante simbólico temos
#»u ∧ #»v =
∣∣∣∣∣∣∣
#»
i
#»
j
#»
k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣∣ .
Uma maneira alternativa de memorizar as coordenadas do produto vetorial é calcular o determinante simbólico através
dos cofatores das posições de
#»
i ,
#»
j ,
#»
k . Desta maneira temos
#»u ∧ #»v =
∣∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣∣ #»i −
∣∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣∣ #»j +
∣∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣∣ #»k .
EXEMPLO 1.66: Sejam #»u = (2,2,3) e #»v = (1,0,1). Então o produto vetorial de #»u por #»v é vetor dado por
#»u ∧ #»v =
∣∣∣∣∣∣∣
#»
i
#»
j
#»
k
2 2 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣ 2 30 1
∣∣∣∣∣ #»i −
∣∣∣∣∣ 2 31 1
∣∣∣∣∣ #»j +
∣∣∣∣∣ 2 21 0
∣∣∣∣∣ #»k = 2 #»i + #»j −2 #»k .
Portanto #»u ∧ #»v = (2,1,−2).
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
Sejam #»u , #»v e #»w vetores quaisquer e λ um número real.
(i) #»u ∧ #»v = #»0 ⇔ #»u e #»v são LD. Em particular, #»u ∧ #»u = 0, qualquer que seja #»v .
(ii) #»u ∧ #»v =− #»v ∧ #»u .
(iii) (λ #»u )∧ #»v = λ ( #»u ∧ #»v ) = #»u ∧ (λ #»v ).
(iv) #»u ∧ ( #»v + #»w) = #»u ∧ #»v + #»u ∧ #»w e ( #»u + #»v )∧ #»w = #»u ∧ #»w + #»v ∧ #»w .
(v) ‖ #»u ∧ #»v ‖2 = ‖ #»u ‖2‖ #»v ‖2−〈 #»u , #»v 〉2 (Identidade de Lagrange).
OBSERVAÇÃO 1.67: Dada uma base ortonormal positiva B= { #»i , #»j , #»k }, o produto vetorial entre os vetores #»i , #»j , #»k
satisfaz:
#»
i ∧ #»j = #»k , #»j ∧ #»k = #»i , #»k ∧ #»i = #»j ,
#»
j ∧ #»i =− #»k , #»k ∧ #»j =− #»i , #»i ∧ #»k =− #»j .
30 CAPÍTULO 1. VETORES
Observando o diagrama vemos que o produto vetorial de quaisquer dois vetores consecutivos, no sentido horário, tem
como resultado o vetor seguinte, enquanto que, no sentido anti-horário o resultado é o vetor oposto ao vetor seguinte:
#»
i
#»
j#»k
Perceba que o produto vetorial não é associativo, isto é, #»u ∧ ( #»v ∧ #»w) por ser diferente de ( #»u ∧ #»v )∧ #»w . Por exemplo,
#»
i ∧ ( #»i ∧ #»j ) = #»i ∧ #»k =− #»j 6= ( #»i ∧ #»i )∧ #»j ) = #»0 ∧ #»j = #»0 .
1.10.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO VETORIAL
Vejamos a seguir que a área de um paralelogramo determinado por dois vetores LI é dada pela norma do produto
vetorial destes vetores.
Sejam #»u , #»v vetores LI, θ o ângulo entre eles e h a altura do paralelogramo conforme figura abaixo:
#»u
#»v
#»u ∧ #»v
h
θ
Note que a área A do paralelogramo gerado pelos vetores #»u e #»v é dada pelo produto do comprimento da base,
que é igual a ‖ #»u ‖, pela altura h que é igual a ‖ #»v ‖sen(θ). Logo,
A = ‖ #»u ‖ ·h
= ‖ #»u ‖ · ‖ #»v ‖sen(θ)
= ‖ #»u ∧ #»v ‖
Portanto, a área do paralelogramo determinado pelos vetores #»u e #»v é dada por
Área = ‖ #»u ∧ #»v ‖ .
EXEMPLO 1.68 (ÁREA DO TRIÂNGULO): Qual é a área do triângulo determinado pelo pontos não colineares A, B
e C?.
Resolução: Considere os vetores #»u =
# »
AB e #»v =
# »
AC e observe que a área do triângulo gerado pelos pontos A, B e C é
igual a metade da área do paralelogramo gerado pelos vetores
# »
AB e
# »
AC.
1.11. PRODUTO MISTO 31
#»u
#»v
A B
C
Portanto, a área do triângulo determinado pelos pontos não colineares A, B e C é dada por
Área =
‖ #»u ∧ #»v ‖
2
.
�
1.11. PRODUTO MISTO
O produto misto é uma operação entre três vetores usando o produto vetorial e o produto escalar e tem como
resultado um escalar. Veremos que esta operação nos permitirá encontra o volume de um paralelepípedo determinado
por três vetores LI.
DEFINIÇÃO 1.69 (PRODUTO MISTO): Sejam #»u , #»v , #»w três vetores. O produto misto dos vetores #»u , #»v e #»w (nesta
ordem), indicado por [ #»u , #»v , #»w] é o número real dado por
[ #»u , #»v , #»w] = ( #»u ∧ #»v · #»w).
OBSERVAÇÃO 1.70: Esta claro que devemos calcular primeiro o produto vetorial e depois o produto escalar do
resultando com o vetor restante. Se calculamos primeiro o produto escalar obtemos como resultado um escalar e não
teria sentido calcular o produto vetorial do vetor restante com esse escalar.
PRODUTO MISTO EM COORDENADAS
Sejam #»u = (a1,a2,a3), #»v = (b1,b2,b3) e #»w = (c1,c2,c3) vetores cujas coordenadas são dadas com relação a
uma base ortonormal B = { #»i , #»j , #»k }. Mostremos que
[ #»u , #»v , #»w] =
∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣ .
Do produto vetorial de #»u por #»v temos
#»u ∧ #»v =
∣∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣∣ #»i −
∣∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣∣ #»j +
∣∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣∣ #»k .
32 CAPÍTULO 1. VETORES
e calculando o produto escalar de #»u ∧ #»v por #»w
#»u ∧ #»v · #»w =
∣∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣∣c1−
∣∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣∣c2 +
∣∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣∣c3 =
∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣ ,
isto é,
[ #»u , #»v , #»w] =
∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣ .
PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO
Sejam #»u , #»v e #»w três vetores.
(i) [ #»u , #»v , #»w] = 0 se, e somente se #»u , #»v , #»w vetores LD.
(ii) O produto misto independe da ordem circular do vetores, isto é,
[ #»u , #»v , #»w] = [ #»v , #»w, #»u ] = [ #»w, #»u , #»v ].
No entanto, o produto misto muda de sinal se trocar as posições de dois vetores consecutivos, isto é
[ #»u , #»v , #»w] =−[ #»v , #»u , #»w].
Portanto, podemos comutar o produto vetorial com o produto escalar, isto é,
( #»u ∧ #»v ) · #»w = #»u · ( #»v ∧ #»w).
1.11.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO
Vejamos a seguir que o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores LI é dado pelo módulo do
produto misto destes vetores.
Sejam #»u , #»v , #»w vetores LI, θ o ângulo entre os vetores #»u ∧ #»v e #»w e h a altura do parelelepípedo determinado
por #»u , #»v e #»w conformefigura abaixo:
1.11. PRODUTO MISTO 33
#»u
#»v
#»w
#»u ∧ #»v
h θ
Note que o volume V do paralelepípedo determinado por #»u , #»v e #»w é dado pelo produto da área A do paralelogramo
gerado por #»u e #»v pela altura h, a qual pode ser calculada em termos dos vetores #»u ∧ #»v e #»w e do ângulo θ entre eles.
#»u
#»v
#»w
#»u ∧ #»v
h θ
A = ‖ #»u ∧ #»v ‖ h = ‖ #»w‖cos(θ)
Logo,
V = A ·h
= ‖ #»u ∧ #»v ‖ · ‖ #»w‖cos(θ)
= |〈 #»u ∧ #»v , #»w〉|
= |[ #»u , #»v , #»w]|
Portanto, o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores #»u , #»v e #»w é dado por
Volume = |[ #»u , #»v , #»w]|
EXEMPLO 1.71 (VOLUME DO TETRAEDRO): Qual o volume do tetraedro determinado pelos pontos não coplana-
res A, B, C e D?
Resolução: Considere os vetores #»u =
# »
AB, #»v =
# »
AC e #»w =
# »
AD e observe que o volume do tetraedro determinado pelos
pontos A, B, C e D é igual a um sexto do volume do paralelepípedo gerado vetores
# »
AB,
# »
AC e
# »
AD.
34 CAPÍTULO 1. VETORES
# »
AB
# »
AC
# »
AD
A B
C
D
Portanto, o volume do tetraedro determinado pelos pontos não coplanares A, B, C e D é dado por
Volume =
∣∣∣[ # »AB, # »AC, # »AD]∣∣∣
6
�
CAPÍTULO 2
RETAS E PLANOS
Neste capítulo estudamos as equações de retas e de planos no espaço, bem como as possíveis posições relativas
e intersecções envolvendo os dois conceitos. Por fim estudamos ângulos e as fórmulas de distâncias.
2.1. EQUAÇÕES DE RETA
Nessa seção apresentamos a equação da reta na forma vetorial, paramétrica e simétrica.
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Seja r uma reta que passa por um o ponto A e tem a mesma direção do vetor #»v . Um ponto X pertence a reta r se,
e somente se, os vetores
# »
AX e #»v têm mesma direção (LD), isto é, existe λ ∈ R tal que # »AX = λ #»v . Assim,
X ∈ r⇔∃λ ∈ R | # »AX = λ #»v ⇔ X = A+λ #»v .
Observemos que para cada ponto X na reta r, existe um único número real λ de modo que X =A+λ #»v e, reciprocamente,
para cada número real λ existe um único ponto X em r, tal que X = A+λ #»v .
r
A
X
A
X
#»v
λ
#»v
DEFINIÇÃO 2.1 (EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA): Seja r uma reta que passa por um o ponto A e tem a mesma
direção do vetor #»v . A equação
X = A+λ #»v , λ ∈ R
é chamada de equação vetorial da reta r e o vetor #»v é chamado de vetor diretor da reta r.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
35
36 CAPÍTULO 2. RETAS E PLANOS
Considerando agora um sistema ortogonal de coordenadas fixado, seja r uma reta que passa por um ponto
A = (x0,y0,z0) e tem a mesma direção do vetor #»v = (a,b,c). Então, da equação vetorial da reta r, um ponto X = (x,y,z)
pertence a r se, e somente se, existe λ ∈ R tal que
(x,y,z) = (x0,y0,z0)+λ (a,b,c).
Analisando cada uma das coordenadas na equação acima, obtemos três equações.
DEFINIÇÃO 2.2 (EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA): Seja r uma reta que passa por um ponto A = (x0,y0,z0)
e tem a mesma direção do vetor #»v = (a,b,c). Então as equações
x = x0 +λa,
y = y0 +λb, λ ∈ R.
z = z0 +λc,
são chamadas de equações paramétricas da reta r e λ é chamado de parâmetro.
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Seja r uma reta que passa por um ponto A = (x0,y0,z0) e tem a mesma direção do vetor #»v = (a,b,c), com a, b e
c não nulos. Então, das equações paramétricas de r, um ponto X = (x,y,z) pertence a reta r se, e somente se, existe
λ ∈ R tal que
λ =
x− x0
a
=
y− y0
b
=
z− z0
c
.
A expressão acima é uma outra forma de descrever a reta.
DEFINIÇÃO 2.3 (EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA): Seja r uma reta que passa por um ponto A = (x0,y0,z0) e
tem a mesma direção do vetor #»v = (a,b,c), com a, b e c não nulos. Então as equações
x− x0
a
=
y− y0
b
=
z− z0
c
são chamadas de equações simétricas da reta r.
OBSERVAÇÃO 2.4:
(i) Podemos encontrar as equações de uma reta r se conhecemos dois pontos distintos pelos quais a reta passa. Por
exemplo, se r passa pelos pontos A e B, com A 6= B, basta considerar o vetor diretor # »AB.
(ii) As equações de uma reta não são únicas. Por exemplo, se A,B,C são 3 pontos distintos de uma mesma reta r, as
equações
X = A+λ
# »
AB, λ ∈ R e X = B+λ # »BC, λ ∈ R
são ambas equações vetorias (distintas) da reta r.
EXEMPLO 2.5: As equações da reta r que passa pelo ponto A = (3,0,−5) e tem vetor diretor #»v = (2,2,−1) são:
Equação vetorial: (x,y,z) = (3,0,−5)+λ (2,2,−1), λ ∈ R
2.1. EQUAÇÕES DE RETA 37
Equações paramétricas:

x = 3+2λ ,
y = 2λ , λ ∈ R.
z =−5−λ ,
Equações simétricas:
x−3
2
=
y
2
=
z+5
−1
.
EXEMPLO 2.6: Seja r a reta que passa pelos pontos A = (1,0,1) e B = (3,−2,3).
(a) Encontre as as equações de r.
(b) Verifique se os pontos P = (−9,10,−9) e Q = (1,0,−1) pertencem a reta r.
Resolução:
(a) O vetor
# »
AB = (B−A) = (3−1,−2−0,3−1) = (2,−2,2) é vetor diretor da reta r. Assim:
Equação vetorial: (x,y,z) = (1,0,1)+λ (2,−2,2), λ ∈ R.
Equações paramétricas:

x = 1+2λ ,
y =−2λ , λ ∈ R.
z = 1+2λ ,
Equações simétricas:
x−1
2
=
y
−2
=
z−1
2
, o que é equivalente à x−1 = y
−1
= z−1.
(b) Vamos substituir as coordenadas de P e Q nas equações simétricas e verificar se temos uma sentença verdadeira ou
falsa. Substituindo as coordenadas de P
−9−1 = 10
−1
=−9−1 =⇒ −10 =−10 =−10,
a qual é uma sentença verdadeira e, portanto, P ∈ r. Substituindo as coordenadas de Q
1−1 = 0
−1
=−1−1 =⇒ 0 = 0 =−2,
a qual é uma sentença falsa e, portanto, Q 6∈ r.
�
EXEMPLO 2.7: Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta

x = 1−λ ,
y = λ , λ ∈ R.
z = 4+2λ ,
Resolução: De imediato, segue das equações paramétricas dadas que (1,0,4) é um ponto da reta, enquanto que
(−1,1,2) é um vetor diretor. Para encontrar outro vetor diretor, basta considerarmos um vetor paralelo (múltiplo). Por
exemplo 3 · (−1,1,2) = (−3,3,6) é um outro vetor diretor da reta. Para encontrar pontos da retas, devemos atribuir
valores para o parâmetro λ . Façamos por exemplo λ = 1, assim obtemos x = 0, y = 1 e z = 6. Ou seja, (0,1,6) é um
outro ponto da reta. �
38 CAPÍTULO 2. RETAS E PLANOS
2.2. EQUAÇÕES DO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO
Seja π um plano que passa por um ponto A e é paralelo ao par #»u , #»v de vetores LI. Um ponto X pertence ao
plano π se, e somente se, o vetor
# »
AX for combinação linear dos vetores #»u , #»v (em outras palavras
# »
AX , #»u e #»v formam
um conjunto LD), isto é, existem λ ,µ ∈ R tais que # »AX = λ #»u +µ #»v . Assim,
X ∈ π ⇔∃λ ,µ ∈ R | # »AX = λ #»u +µ #»v ⇔ X = A+λ #»u +µ #»v .
Observemos que para cada ponto X no plano π , existe um único par de números reais λ ,µ de modo que X =
A+ λ #»u + µ #»v e, reciprocamente, para cada par de números reais λ ,µ existe um único ponto X em π , tal que
X = A+λ #»u +µ #»v .
A X
#»u
#»v
λ
#»u +µ #»v
π
DEFINIÇÃO 2.8 (EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO): Seja π um plano que passa por um ponto A e é paralelo aos
vetores LI #»u , #»v . A equação
X = A+λ #»u +µ #»v , λ ,µ ∈ R
é chamada de equação vetorial do plano π e os vetores #»u , #»v são chamados de vetores diretores do plano π .
OBSERVAÇÃO 2.9: Vetores diretores de um plano surgem sempre aos pares e são LI. De fato, apenas um vetor, ou
ainda, um par de vetores LD não são suficientes para definir um plano.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO
Seja π um plano que passa por um ponto A = (x0,y0,z0) com vetores diretores #»u = (a1,b1,c1) e #»v = (a2,b2,c2).
Então, da equação vetorial do plano π , um ponto X = (x,y,z) pertence a π se, e somente se, existem λ ,µ ∈ R tais que
(x,y,z) = (x0,y0,z0)+λ (a1,b1,c1)+µ(a2,b2,c2).
Analisando cada uma das coordenadas na equação acima, obtemos três equações.
DEFINIÇÃO 2.10 (EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO): Seja π um plano que passa por um ponto A =
(x0,y0,z0) com vetores diretores #»u = (a1,b1,c1) e #»v = (a2,b2,c2). Então as equações
x = x0 +λa1 +µa2,
y = y0 +λb1 +µb2, λ ,µ ∈ R,
z = z0 +λc1 +µc2,
2.2. EQUAÇÕES DO PLANO 39
são chamadas de equações paramétricas do plano π e λ e µ são chamados de parâmetros.
OBSERVAÇÃO 2.11: Podemos encontrar as equações de um plano π se conhecemos três pontos distintos e não
colineares pelos quais passa π . Por exemplo, se π passa pelos pontos não colinearesA,B e C, basta considerar como
vetores diretores o par de vetores (LI)
# »
AB,
# »
AC.
EXEMPLO 2.12: Seja π o plano que passa pelo ponto A = (3,7,1) e tem vetores diretor #»u = (1,1,1) e #»v = (1,1,0).
(a) Encontre as as equações de π .
(b) Verifique se o ponto P = (1,2,2) pertence a π .
(c) Verifique se o vetor #»w = (2,2,5) é paralelo a π .
Resolução:
(a) Equação vetorial: (x,y,z) = (3,7,1)+λ (1,1,1)+µ(1,1,0), λ ,µ ∈ R.
Equações paramétricas:

x = 3+λ +µ,
y = 7+λ +µ, λ ,µ ∈ R.
z = 1+λ ,
(b) Vamos substituir as coordenadas de P nas equações paramétricas e verificar se existem λ ,µ ∈ R satisfazendo as
equações. Substituindo as coordenadas de P temos
1 = 3+λ +µ,
2 = 7+λ +µ,
2 = 1+λ ,
e subtraindo a equação da segunda linha pela equação da primeira linha obtemos a sentença 1 = 4, o que é um
absurdo. Portanto, não existem λ ,µ ∈ R, tais que P = A+λ #»u +µ #»v , isto é, P não pertence ao plano π .
(c) Observemos que o vetor #»w será paralelo ao plano π se, e somente se, #»u , #»v , #»w forem LD. Assim, calculando o
determinante ∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 1 0
2 2 5
∣∣∣∣∣∣∣= 0,
isto é, #»u , #»v , #»w são vetores LD. Portanto, #»w é paralelo a π .
�
EXEMPLO 2.13: Obtenha uma equação vetorial e equações paramétricas do plano que passa pelos pontos A =
(1,0,−3), B = (0,0,7) e C = (5,−2,−3).
Resolução: Notemos que
# »
AB = (−1,0,10) e # »AC = (4,−2,0) são dois vetores diretores do plano. Utilizando o ponto
B para escrever as equações (poderia utilizar tanto A quanto o ponto C), obtemos:
Equação vetorial: (x,y,z) = (0,0,7)+λ (−1,0,10)+µ(4,−2,0) λ ,µ ∈ R.
40 CAPÍTULO 2. RETAS E PLANOS
Equações paramétricas:

x =−λ +4µ,
y =−2µ, λ ,µ ∈ R.
z = 7+10λ ,
�
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
As equações de plano estudadas até aqui são descritas através de parâmetros λ ,µ ∈ R. De fato, ao variar esses
parâmetros pelo conjunto dos números reais, as equações vetoriais e paramétricas descrevem o plano. A equação que
estudaremos nessa seção descreverá um plano sem a utilização de parâmetros, ou seja, obteremos uma equação de
plano envolvendo apenas as variáveis x,y,z.
Seja π um plano que passa por um ponto A = (x0,y0,z0) com vetores diretores #»u = (a1,b1,c1) e #»v = (a2,b2,c2).
Sabemos que um ponto X = (x,y,z) pertence ao plano π se, e somente se,
# »
AX , #»u e #»v são LD, isto é∣∣∣∣∣∣∣
x− x0 y− y0 z− z0
a1 b1 c1
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣∣= 0. (2.1)
Desenvolvendo o determinante acima temos
(x− x0)
∣∣∣∣∣ b1 c1b2 c2
∣∣∣∣∣+(y− y0)
∣∣∣∣∣ c1 a1c2 a2
∣∣∣∣∣+(z− z0)
∣∣∣∣∣ a1 b1a2 b2
∣∣∣∣∣= 0,
onde obtemos
x
∣∣∣∣∣ b1 c1b2 c2
∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
a
+y
∣∣∣∣∣ c1 a1c2 a2
∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
b
+z
∣∣∣∣∣ a1 b1a2 b2
∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
c
+
(
−x0
∣∣∣∣∣ b1 c1b2 c2
∣∣∣∣∣− y0
∣∣∣∣∣ c1 a1c2 a2
∣∣∣∣∣− z0
∣∣∣∣∣ a1 b1a2 b2
∣∣∣∣∣
)
︸ ︷︷ ︸
d
= 0.
DEFINIÇÃO 2.14 (EQUAÇÃO GERAL DO PLANO): Sejam π , A, #»u , #»v e os números a,b,c,d como acima. Então a
equação
ax+by+ cz+d = 0,
é chamada de equação geral do plano π .
OBSERVAÇÃO 2.15:
(i) É possível provar que toda equação de primeiro grau a três incógnitas é equação geral de um plano. Observemos
ainda que existem infinitas maneiras de expressar um plano por equações gerais. De fato, duas equações gerais
equivalentes representam um mesmo plano.
(ii) Na prática não é necessário memorizar as expressões que definem os números a,b,c,d, pois é possível determinar
a equação geral de um plano através da fórmula (2.1), uma vez conhecido um ponto e dois vetores diretores. Veja
no exemplo a seguir.
2.2. EQUAÇÕES DO PLANO 41
EXEMPLO 2.16: Determine uma equação geral do plano π que passa por A = (9,−1,0) e é paralelo aos vetores
#»u = (0,1,0) e #»v = (1,1,1).
Resolução: Notemos que #»u e #»v são LI (não são múltiplos um do outro), e logo podemos utilizá-los como vetores
diretores do plano. Para obter a equação geral de π , basta calcular o determinante∣∣∣∣∣∣∣
x−9 y− (−1) z−0
0 1 0
1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣= 0 ⇔ x− z−9 = 0.
�
DEFINIÇÃO 2.17 (VETOR NORMAL AO PLANO): Seja π um plano. Qualquer vetor não nulo ortogonal ao plano
π é chamado vetor normal ao plano π .
OBSERVAÇÃO 2.18: Pela definição acima um vetor é normal a um plano π se, e somente se, é ortogonal a qualquer
vetor diretor de π .
EXEMPLO 2.19: Obtenha um vetor normal ao plano π determinado pelos pontos A = (1,1,2),B = (3,4,1) e
C = (2,2,−3).
Resolução: Os vetores
# »
AB = (2,3,−1) e # »AC = (1,1,−5) são diretores de π . Logo um vetor normal a π é
#»n =
# »
AB∧ # »AC =
∣∣∣∣∣∣∣
#»
i
#»
j
#»
k
2 3 −1
1 1 −5
∣∣∣∣∣∣∣=−14
#»
i +9
#»
j − #»k = (−14,9,−1).
�
A proposição a seguir apresenta uma importante relação entre as coordenadas de um vetor normal a um plano e
uma equação geral desse plano. Em verdade o resultado diz que os coeficientes de x,y,z de uma equação geral de um
plano π , são as coordenadas de um vetor normal a π , e vice versa.
PROPOSIÇÃO 2.20: O vetor #»n = (a,b,c) é normal a um plano π se, e somente se, π tem uma equação geral da
forma ax+by+ cz+d = 0.
Demonstração. Suponhamos que #»n = (a,b,c) é um vetor normal ao plano π e seja A = (x0,y0,z0) um ponto de π .
Assim, um ponto X = (x,y,z) pertence a π se, e somente se,
# »
AX ⊥ #»n . Ou seja,
# »
AX · #»n = 0 ⇔ (x− x0)a+(y− y0)b+(z− z0)c = 0 ⇔ ax+by+ cz+(−x0a− y0b− z0c)︸ ︷︷ ︸
d
= 0.
Portanto a equação ax+by+ cz+d = 0 é uma equação geral do plano π .
Reciprocamente, supondo que ax+by+ cz+d = 0 é uma equação geral de π , consideremos A = (x0,y0,z0) um
ponto de π e #»u = (m,n, p). Definamos o ponto B = A+ #»u = (x0 +m,y0 +n,z0 + p). Dessa forma #»u ser paralelo a π
42 CAPÍTULO 2. RETAS E PLANOS
é equivalente dizer que B ∈ π . Isso é,
a(x0 +m)+b(y0 +n)+ c(z0 + p)+d = 0 ⇔ am+bn+ cp+ax0 +by0 + cz0 +d = 0.
Uma vez que ax0 +by0 +cz0 +d = 0, pois A ∈ π , obtemos am+bn+cp = 0 ⇔ #»n · #»u = 0, implicando na ortogonali-
dade #»n ⊥ #»u . Como #»u é um vetor genérico paralelo a π , então #»n é normal ao plano π . �
EXEMPLO 2.21: Obtenha uma equação geral do plano π , que passa pelo ponto A = (1,0,2) e tem vetor normal
#»n = (1,−1,4).
Resolução: Sabemos que a equação do plano será 1x−1y+4z+d = 0. Substituindo as coordenadas do ponto A dado
1 ·1−1 ·0+4 ·2+d = 0 ⇒ d =−9.
Logo uma equação geral do plano π é x− y+4z−9 = 0. �
OBSERVAÇÃO 2.22: Podemos utilizar o raciocínio do exemplo acima para encontrar uma equação geral do plano a
partir de sua equação vetorial (ou equações paramétricas). Para isso precisamos de um vetor normal e um ponto do
plano. O ponto é obtido diretamente da equação dada, enquanto que como vetor normal podemos utilizar o produto
vetorial dos diretores (da mesma forma que foi feito no exemplo 2.19). No exemplo a seguir veremos a situação inversa:
como obter equações paramétricas de uma plano a partir de uma equação geral conhecida.
EXEMPLO 2.23: Seja o plano π com equação geral dada por x−3y+5z−12 = 0. Obtenha equações paramétricas
para π .
Resolução: Para obter equações paramétricas precisamos de dois parâmetros λ e µ . Podemos escolher duas das
incógnitas da equação geral para serem utilizados como parâmetros. Por exemplo, podemos tomar y = λ e z = µ .
Desta forma, x = 12+3λ −5µ . Portanto, temos as seguintes equações paramétricas
π :

x = 12+3λ −5µ,
y = λ , λ ,µ ∈ R.
z = µ,
�
OBSERVAÇÃO 2.24: Outra forma de resolver a questão acima é extrair três pontos do plano a partir da equação
geral dada (para isso devemos atribuir valores para duas das incógnitas e calcular a terceira), e seguir como feito no
exemplo 2.13.
EXEMPLO 2.25: Escreva as equações paramétricas para a reta r = π1∩π2, onde π1 : 2x− y−3 = 0 e π2 : 3x+ y+
2z−1 = 0.
2.2. EQUAÇÕES DO PLANO 43
r
#»n 1
#»n 2
π1
π2
Resolução: Os vetores #»n 1 = (2,−1,−0) e #»n 2 = (3,1,2) normais a π1 e π2, respectivamente. Como r está contida em
π1 e em π2 ao mesmo tempo, devemos ter #»n 1 ⊥ #»r e #»n 2 ⊥ #»r , onde #»r representa um vetor diretor da reta r. Assim
#»n 1∧ #»n 2 é um vetor diretor para a reta r. Temos
#»n 1∧ #»n 2 =
∣∣∣∣∣∣∣
#»
i
#»
j
#»
k
2 −1 0
3 1 2
∣∣∣∣∣∣∣=−2
#»
i −4 #»j +5 #»k = (−2,−4,5).
Agora, precisamos encontrar um ponto da reta r. Para isso,vamos utilizar as equações gerais de π1 e π2. Notemos
que são duas equações para três incógnitas. Para encontrar pontos pertencentes a reta r (intersecção dos dois planos)
devemos assumir valores para uma das incógnitas e encontrar os valores das outras duas. Tomando x = 0 nas duas
equações, obtemos o sistema linear {
−y−3 = 0
y+2z−1 = 0
de onde segue que y =−3 e z = 2. Ou seja, o ponto (0,−3,2) pertence a reta r. Portanto, as equações paramétricas de
r são
r :

x =−2λ ,
y =−3−4λ , λ ∈ R.
z = 2+5λ ,
�
OBSERVAÇÃO 2.26: Vimos acima um exemplo de reta r que está determinada por dois planos concorrentes (que se
intersectam). Ou seja, os pontos da reta r devem satisfazer as equações dos dois planos simultaneamente. Uma forma
algébrica de expressar isso é usando o sistema linear formado pelas duas equações dos planos. No exemplo acima, a
reta r ficaria representada da seguinte forma:
r :
{
2x− y−3 = 0,
3x+ y+2z−1 = 0.
Nas próximas seções vamos analisar com mais detalhes as intersecções e posições relativas envolvendo retas e planos.
44 CAPÍTULO 2. RETAS E PLANOS
2.3. POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS E PLANOS
Nesta seção estudaremos as possíveis posições relativas envolvendo retas e planos.
POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS
No que segue analisaremos as formas de estudar a posição relativa de duas retas r e s dadas. A saber, existem
três possíveis posições relativas entre retas: paralelas (coincidentes ou não), concorrentes ou reversas (não coplanares).
Sejam #»r um vetor diretor da reta r, #»s um vetor diretor da reta s, A ∈ r e B ∈ s. Assim:
(i) r e s são retas paralelas (coincidentes ou não) se, e somente se, { #»r , #»s } é LD, isto é, #»r = k #»s , para algum
k ∈ R. Para analisar se são coincidentes basta verificar se possuem algum ponto em comum (por exemplo, testar
as coordenadas de um ponto da reta r na equação de s).
r
s
#»r
#»s
(ii) r e s são retas concorrentes se, e somente se, { #»r , #»s } é LI e { #»r , #»s , # »AB} é LD, isto é, r e s são coplanares e
não são paralelas. Note que a intersecção de duas retas concorrentes é um ponto, cujas as coordenadas devem
satisfazer as equações das duas retas.
r
s
A
B #»r
#»s
# »
AB
(iii) r e s são retas reversas se, e somente se, { #»r , #»s , # »AB} é LI. Em termos das coordenadas, se #»r = (a1,b1,c1),
#»s = (a2,b2,c2), A = (x1,y1,z1) e B = (x2,y2,z2) então, { #»r , #»s ,
# »
AB} é LI se, e somente se,∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
x2− x1 y2− y1 z2− z1
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
r
s
A
B
#»r
#»s
# »
AB
EXEMPLO 2.27: Estude a posição relativa das retas r e s onde suas equações são dadas abaixo. Caso concorrentes,
encontre o ponto de intersecção.
2.3. POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS E PLANOS 45
(a) r : X = (1,2,3)+λ (0,1,3), λ ∈ R e s : X = (1,3,6)+µ(0,2,6), µ ∈ R;
(b) r : X = (1,2,3)+λ (0,1,3), λ ∈ R e s :
{
x+ y+ z = 6
x− y− z =−4
.
Resolução: (a) Temos #»r = (0,1,3) e #»s = (0,2,6). Claramente #»s = 2 #»r e logo { #»r , #»s } é LD. Assim r//s. Além
disso, tomando P = (1,2,3) ∈ r e substituindo na equação de s
(1,2,3) = (1,3,6)+µ(0,2,6) ⇔

1 = 1
3+2µ = 2
6+6µ = 3
⇔ µ =−1
2
.
Desta forma concluímos que P ∈ s, e logo as retas r e s são coincidentes.
(b) Temos #»r = (0,1,3) e #»s pode ser qualquer vetor paralelo ao vetor (1,1,1)∧ (1,−1,−1). Como (1,1,1)∧
(1,−1,−1) = (0,2,−2) (verifique!), podemos tomar #»s = (0,1,−1). Claramente { #»r , #»s } é LI, e portanto as retas
não são paralelas. Verifiquemos se são coplanares. Para isso, devemos tomar dois pontos A ∈ r e B ∈ s. Podemos
considerar A = (1,2,3). Para escolher um ponto da reta s, façamos z = 0 nas equações que a definem. Assim{
x+ y = 6
x− y =−4
⇔ x = 1 e y = 5.
Logo, podemos considerar B = (1,5,0) ∈ s. Dessa forma, # »AB = (0,3,−3). Com isso, { #»r , #»s , # »AB} é LD, pois∣∣∣∣∣∣∣
0 1 3
0 −1 1
0 3 −3
∣∣∣∣∣∣∣= 0.
Concluímos que r e s devem ser concorrentes. O ponto de intersecção P = (x,y,z) deve satisfazer as equações
das duas retas (em outras palavras, é solução do sistema formado pelas equações das duas retas). Como P ∈ r,
devemos ter x = 1, y = 2+λ e z = 3+λ . Substituindo na equação de s{
1+2+λ +3+3λ = 6
1−2−λ −3−3λ =−4
⇔
{
λ = 0
λ = 0
.
Logo P = (1,2,3) é o ponto de encontro das duas retas.
�
POSIÇÃO RELATIVA DE RETA E PLANO
No que segue analisaremos as formas de estudar a posição relativa de uma reta r e um plano π . A saber, podemos
ter r paralelo (contido ou não) ao plano π ou r transversal a π . Sejam #»r um vetor diretor da reta r, #»u e #»v dois vetores
diretores do plano π . Assim:
(i) a reta r é paralela (contido ou não) ao plano π se, e somente se, { #»r , #»u , #»v } é LD, isto é, #»r , #»u , #»v são paralelos
ao mesmo plano. Para analisar se r está contida em π , basta testar se um ponto de r pertence a π (isso significa
tomar um ponto de r e verificar se satisfaz a equação do plano π). Cuidado para não cometer o equívoco de testar
46 CAPÍTULO 2. RETAS E PLANOS
um ponto do plano π na reta r, pois existem infinitos pontos do plano que não pertencem a reta, mesmo que r
esteja contida em π .
π
r#»r
#»u
#»v
#»r
r//π e r∩π = /0
π
r
#»u
#»v
#»r
r ⊂ π
(ii) a reta r é transversal ao plano π se, e somente se, { #»r , #»u , #»v } é LI, isto é, #»r , #»u , #»v não são paralelos ao mesmo
plano. A interseção de uma reta transversal a um plano é um ponto, cujas as coordenadas devem satisfazer a
equação da reta e a equação do plano simultaneamente. Observemos que a análise de uma reta ser transversal a
um plano também pode ser feita através de um vetor normal do plano. Por exemplo, se #»n é um vetor normal a π
então r e π são transversais se, e somente se, #»r e #»n não são ortogonais, isto é, #»r · #»n 6= 0. De modo análogo,
#»r · #»n = 0 significa que r e π não são transversais.
π
r
#»u
#»v
#»r
#»n
EXEMPLO 2.28: Estude a posição relativa da reta r e o plano π em cada um do itens abaixo. Caso transversais,
encontre o ponto de intersecção.
(a) r : X = (1,1,1)+ t(3,2,1), t ∈ R, e π : X = (1,1,3)+λ (1,−1,1)+µ(0,1,3), λ ,µ ∈ R;
(b) r : X = (1,1,0)+ t(1,−1,1), t ∈ R, e π : x+ y−2 = 0;
(c) r : X = (2,2,1)+ t(3,3,0), t ∈ R, e π : X = (1,0,1)+λ (1,1,1)+µ(0,0,3), λ ,µ ∈ R.
Resolução: (a) Sendo #»r = (3,2,1) um diretor de r, #»u = (1,−1,1) e #»v = (0,1,3) diretores de π , temos∣∣∣∣∣∣∣
3 2 1
1 −1 1
0 1 3
∣∣∣∣∣∣∣=−17 6= 0,
implicando que a r e π são transversais. O ponto P = (x,y,z) de encontro da reta com o plano deve satisfazer
2.3. POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS E PLANOS 47
ambas as equações, isto é,
{
(x,y,z) = (1,1,1)+ t(3,2,1),
(x,y,z) = (1,1,3)+λ (1,−1,1)+µ(0,1,3),
⇔

λ = 3t,
−λ +µ = 2t,
λ +3µ = t−2,
o que nos dá t = − 217 , λ = −
6
17 e µ = −
10
17 . Substituindo o valor de t na equação de r obtemos (x,y,z) =
(1,1,1)− 217(3,2,1), concluindo que P =
(11
17 ,
13
17 ,
15
17
)
.
(b) Temos #»r = (1,−1,1) um diretor da reta r e #»n = (1,1,0) um vetor normal do plano π . Como
#»r · #»n = 1 ·1+(−1) ·1+1 ·0 = 0,
então r e π não são transversais. Assim r está contida em π ou é paralela e não contida em π . Tomando
A = (1,1,0) ∈ r, e substituindo suas coordenadas na equação de π , obtemos
1+1−2 = 0 ⇔ 0 = 0,
implicando que A ∈ π . Logo, devemos ter a reta r contida no plano π .
(c) Sendo #»r = (3,3,0) um vetor diretor da reta r, #»u = (1,1,1) e #»v = (0,0,3) dois vetores diretores do plano π , temos∣∣∣∣∣∣∣
3 3 0
1 1 1
0 0 3
∣∣∣∣∣∣∣= 0,
implicando que r e π não são transversais. Assim, r está contida em π ou é paralela e não contida em π . Tomando
A = (2,2,1) ∈ r, e substituindo suas coordenadas na equação de π
(2,2,1) = (1,0,1)+λ (1,1,1)+µ(0,0,3) ⇔

2 = 1+λ
2 = λ
1 = 1+λ +3µ
o qual é um sistema incompatível (não existem λ e µ satisfazendo todas as equações simultaneamente). Logo,
A /∈ π e, portanto, r é paralela mas não contida em π .
�
POSIÇÃO RELATIVA DE PLANOS
Dados dois planos π1 e π2, podemos ter as seguintes posições relativas entre eles: π1 e π2 são paralelos
(coincidentes ou não) ou são transversais (e neste caso a intersecção é uma reta). Sejam #»n 1 e #»n 2 vetores normais aos
planos π1 e π2, respectivamente.