CPMJN - Solucionario Matematica URCA 2016-2020 1

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Polícia Militar do Ceará
 2º Colégio da Polícia Militar Coronel Hervano Macêdo Júnior
	2016.1
16 – (URCA/2016.1) Seja um polinômio de grau 2, com coeficientes complexos. Calcule , se satisfaz: , e .
A) B) C) D) E) 
Solução: NÚMEROS COMPLEXOS
Temos
Segue que:
Temos o seguinte sistema
Então
ALTERNATIVA: C
17 – (URCA/2016.1) Considere o sistema de equações lineares
Seja , onde , e, é solução do sistema . Determine a distância de a reta de equação .
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Note que . Então resolveremos o sistema.
Segue que,
A distância é:
ALTERNATIVA: A
18 – (URCA/2016.1) Sejam
 e
.
Entao, e:
A) C) E) 
B) D)
Solução: Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Reorganizaremos as equações.
Aplicando em 
Segue que
Enão
ALTERNATIVA: A
19 – (URCA/2016.1) Supondo que um grão de feijão ocupe, aproximadamente, o espaço de um prisma quadrangular regular de altura 1 cm e aresta da base 0,4 cm. Quantos grãos de feijão cabem, aproximadamente, num deposito do formato de um prisma quadrangular de altura 1m e aresta da base 40 cm.
A) 1.000 C) 100.000 E) 10.000.000
B) 10.000 D) 1.000.000
Solução: GEOMETRIA
ALTERNATIVA: D
20 – (URCA/2016.1) Seja a matriz dada por
.
 Assinale a alternativa INCORRETA:
A) é igual a sua transposta.
B) O determinante de é positivo.
C) A matriz é invertível.
D) O termo é primo.
E) A diferença entre a soma dos termos da diagonal principal e a soma dos termos da diagonal secundária é positivo.
Solução: MATRIZES
A ⟹ Correta.
B ⟹ Correta.
C ⟹ Correta.
D ⟹ Correta.
E ⟹ Incorreta.
ALTERNATIVA: E
21 – (URCA/2016.1) Seja ABCD um trapézio de bases 4 cm e 6 cm e, P o ponto de interseção das diagonais do trapézio. Sejam r uma reta paralela as bases, passando P e, M e N os pontos de interseção de r com os lados transversos do trapézio. Determine o comprimento do segmento MN.
A) 4,8 cm B) 10 cm C) 5,2 cm D) 8 cm E) 12 cm
Nota:
Solução: GEOMETRIA
ALTERNATIVA: A
22 – (URCA/2016.1) Seja o lado de um triangulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 2 cm. Calcule o quadrado da soma das diagonais de um losango de área e lado .
A) C) E) 
B) D) 
Nota:
Solução: GEOMETRIA
O centro de circunferência coincide com o baricentro do triângulo.
No entanto
Aplicamos em 
A área do losango é dada por:
Então
ALTERNATIVA: E
23 – (URCA/2016.1) O conjunto X e formado por dez números reais e possui a seguinte propriedade: A soma de quaisquer quatro números do conjunto X e positiva. E correto afirmar que:
A) O conjunto X não possui números negativos.
B) A soma dos elementos de X é positiva.
C) O zero não pertence ao conjunto X.
D) A soma de quaisquer dois números de X é positiva.
E) A soma de quaisquer três números de X é positiva.
Solução: TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS
Note que sendo a soma de quaisquer quatro números do conjunto X e positiva
Podemos ter até três números negativos dentre o conjunto de tal forma que a soma dos três seja menor que qualquer um dos outros elementos.
Caso existam mais de três, teríamos uma soma qualquer de quatro números negativos, cujo resultado também seria negativo, daí fugiria à propriedade. (Alternativa A está errada)
Como existem até três números negativos , segue que:
(Alternativa D e E estão erradas)
De maneira análoga ao números negativos podemos concluir que que existem no máximo três zeros nesse conjunto. (Alternativa C está errada)
Então concluímos que podemos ter até três números zeros e/ou negativos cuja soma será inferior ao quarto número, satisfazendo, assim, a propriedade.
Logo, a alternativa correta é a B.
ALTERNATIVA: B
24 – (URCA/2016.1) Seja k um inteiro positivo. A soma dos k primeiros inteiros positivos impares e igual a:
A) C) E) 
B) D) 
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS - SEQUÊNCIAS
Tomemos a sequência 
Note que 
Obs: É possível provar por indução
Primeiro provamos para 1(já foi feito).
Segundo provamos para 
ALTERNATIVA: D
25 – (URCA/2016.1) Uma lagarta, saindo do solo, sobe um mastro com 75cm de altura. Cada dia ela sobe 5cm e, cada noite, escorrega 4cm. Em quantos dias a lagarta chegara pela primeira vez ao topo do mastro?
A) 76 B) 75 C) 69 D) 70 E) 71
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS: OPERAÇÕES
Note que ao subir (dia) 5cm em seguida descer (noite) 4cm, ao final do dia, terá subido 1cm.
Note ainda que desejamos calcular em quantos dias a lagarta chegará pela primeira vez, ou seja, no último dia não consideraremos a sua descida (noite).
Então no último dia ela subirá 5cm.
Logo, 
ALTERNATIVA: E
26 – (URCA/2016.1) Um clube de xadrez e formado por duas meninas e sete meninos. Para participar de um torneio o clube deve formar um time com quatro pessoas e este time deve ter pelo menos uma menina. De quantas maneiras o time pode ser formado?
A) 89 B) 90 C) 91 D) 92 E) 93
Solução: ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO
Sendo grupos de pelo menos duas meninas, segue que
1º caso: 1 menina + 3 meninos:
2º caso: 2 meninas + 2 meninos:
ALTERNATIVA: C
27 – (URCA/2016.1) Uma quantidade de uma substancia radioativa se desintegra com o passar do tempo t de acordo com a formula , onde e uma constante. Em que instante t haverá exatamente um terço da quantidade inicial da substancia?
A) t=1/5 B) t=1/3 C) t=2/5 D) t=2/3 E) t=2
Solução: EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
A quantidade inicial é dada por 
Calcularemos 
ALTERNATIVA: A
28 – (URCA/2016.1) Se então e CORRETO afirmar que:
A) e .
B) e .
C) ou .
D) ou .
E) e .
Solução: TRIGONOMETRIA – IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
ALTERNATIVA: D
29 – (URCA/2016.1) Considere a equação . E CORRETO afirmar que esta equação:
A) não possui raízes reais.
B) possui uma única raiz real.
C) possui duas raízes reais distintas.
D) possui duas raízes complexas distintas.
E) possui quatro raízes complexas distintas.
Solução: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Tomemos
Note que não satisfaz a equação. Segue que
Então possui uma única raiz real.
ALTERNATIVA: B
30 – (URCA/2016.1) Sobre a função , é INCORRETO afirmar que:
A) é uma bijeção de , onde ℝ denota o conjunto dos números reais.
B) .
C) O domínio da função inversa é o conjunto .
D) f é uma função injetiva.
E) A imagem de é o conjunto .
Solução: FUNÇÕES
Note que 
Tomando
A função inversa é
Segue que
A ⟹ Correta. Admite uma função inversa.
B ⟹ Correta.
C ⟹ Incorreta. A exixtência de implica que é uma função Bijetiva, logo, .
D ⟹ Correta.
ALTERNATIVA: C
	2016.2
16 – (URCA/2016.2) Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, eu terei 6 anos a mais que tu. Nossas idades são?
A) Eu = 30 e Tu= 24 C) Eu = 22 e Tu = 16 E) Eu = 20 e Tu = 14
B) Eu = 24 e Tu = 18 D) Eu = 18 e Tu = 12
Solução: SISTEMAS LINEARES
Existem três tempos a serem analisados:
i) Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas
	
	Passado
	Presente
	Futuro
	Eu
	
	
	
	Tu
	
	
	
ii) eu tinha a idade que tu tens
	
	Passado
	Presente
	Futuro
	Eu
	
	
	
	Tu
	
	
	
iii) Quando tu tiveres a minha idade, eu terei 6 anos a mais que tu
	
	Passado
	Presente
	Futuro
	Eu
	
	
	
	Tu
	
	
	
Note que a diferença das idades entre os tempos (passado, presente e futuro) é sempre o mesmo para todos.
Segue que: 
Em II
Em III
Resolvendo o sistema chegamos a 
	
	Passado
	Presente
	Futuro
	Eu
	
	
	
	Tu
	
	
	
Nossas idadessão (presente): 
ALTERNATIVA: B
17 – (URCA/2016.2) O conjunto solução do sistema
e:
A) 
B) 
C)
D) 
E) 
Solução: INEQUAÇÕES MODULARES
 -2 4 5
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
ALTERNATIVA: D
18 – (URCA/2016.2) Numa PG, o sexto termo é 40% do quinto termo. Se , então e:
A) B) C) D) E) 
Solução: SEQUÊNCIAS (PG)
ALTERNATIVA: A
19 – (URCA/2016.2) Determine a área do triangulo ABC, onde , e é o simétrico de em relação a reta .
A) B) 4 C) D) 5 E) 6
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Temos os pontos e em falta o ponto .
Note que sendo o ponto simétrico ao ponto segue a seguinte interpretação geométrica, onde a interseção é o ponto médio entre e .
1º PASSO: Encontraremos a equação da reta que passa pelos pontos e .
Como não conhecemos o ponto , temos que:
 
Segue que
Daí
2º PASSO: Encontraremos o ponto médio entre os pontos e , ou seja, o ponto de interseção entre as retas.
3º PASSO: Encontraremos o ponto .
 
4º PASSO: Calcularemos a área do triângulo formado pelos pontos , e 
ALTERNATIVA: NULA (NÃO HÁ ALTERNATIVA CORRETA)
20 – (URCA/2016.2) Quantos anagramas da palavra PERFIL começam com P ou terminam com L?
A) 200 B) 224 C) 232 D) 240 E) 216
Solução: ANÁLISE COMBINATÓRIA - PERMUTAÇÕES
ALTERNATIVA: E
21 – (URCA/2016.2) Considere as seguintes afirmações sobre geometria euclidiana plana.
(I) Duas figuras de mesma área têm sempre o mesmo perímetro.
(II) Dois retângulos de mesmo perímetro têm sempre a mesma área.
(III) Se os lados opostos de um quadrilátero são paralelos, então o quadrilátero é um paralelogramo.
(IV) Um triângulo retângulo tem dois ângulos externos obtusos.
(V) Dois triângulos que têm ângulos internos congruentes são congruentes.
Se V e verdadeiro e F e verdadeiro, marque a alternativa CORRETA com relação as afirmativas anteriores.
A) F; F; V; V; F. C) V; V; V; V; F. E) F; V; V; V; F
B) F; V; V; F; F. D) V; F; V; F; V.
Solução: GEOMETRIA EUCLIDIANA
(I) ⟹ FALSO. Áreas iguais X Perímetros Diferentes
O que define a área de uma figura é o formato desta.
Ex: 
(II) ⟹ FALSO. Perímetro iguais X Áreas diferentes
O que define a área de uma figura é o formato desta.
Ex: 
(III) ⟹ VERDADEIRO. Paralelogramo é um Quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
(IV) ⟹ VERDADEIRO. Os ângulos internos são um de 90° e dois agudos, logo, os ângulos externos complementares a esses dois são obtusos.
(V) ⟹ VERDADEIRO. Dois triângulos são congruentes entre si se os seus ângulos internos sejam dois a dois congruentes
ALTERNATIVA: NULA (NÃO HÁ ALTERNATIVA CORRETA)
22 – (URCA/2016.2) Seja . O valor de é:
A) B) C) D) E) 
Solução: NÚMEROS COMPLEXOS
Segue que 
Note que a partir do expoente os resultados serão repetidos, então somaremos por períodos.
Então
Daí 
ALTERNATIVA: C
23 – (URCA/2016.2) Seja um número natural. O valor de é:
A) B) C) D) E) 
Solução: EQUAÇÕES LOGARÍTMAS
ALTERNATIVA: E
24 – (URCA/2016.2) A solução da equação
é:
A) . D) 
B) E) 
C) 
Solução: TRIGONOMETRIA – EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para facilitar, tomemos
Note que a função admite valores iguais em seus ângulos correspondentes nos 1° e 3°, 2° e 4° quadrantes.
Concluímos que os períodos são de , logo
ALTERNATIVA: B
25 – (URCA/2016.2) Seja A uma matriz invertível de ordem 3 tal que a matriz é a matriz nula. O determinante de A e:
A) B) C) D) E) 
Solução: MATRIZES
Sendo A uma matriz invertível, logo 
Como a matriz A é de ordem é de ordem 3×3, segue que 
ALTERNATIVA: D
26 – (URCA/2016.2) Considere o triangulo retângulo isósceles ABC, reto em A, cujos catetos medem . Calcule o volume do solido obtido pela rotação, de 360º, de ABC em torno da reta r, conforme figura abaixo.
A) C) E) 
B) D) 
Solução: GEOMETRIA
Note que 
A altura é
Assim temos a seguinte figura
Note que são dois troncos de cones, um dentro do outro. Assim
ALTERNATIVA: C
27 – (URCA/2016.2) Sejam a área de um círculo de raio e um círculo de raio , com . e são concêntricos. Sejam uma reta tangente a em , e a interseção de m com . Seja a reta tangente a em e o ângulo (menor) formado por e . Se é a área da coroa circular determinada por e , e , então a razão e:
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA
Segue que
Segue que 
Pela Lei dos Senos, temos
Logo
ALTERNATIVA: E
28 – (URCA/2016.2) Num salão há 100 pessoas. Dessas, 97% são homens. Quantos homens devem sair para que fique 95% de homens?
A) B) C) D) E) 
Solução: PORCENTAGEM
Note que o número de homens que sairá será o mesmo que sairá do total, para que a porcentagem seja de 
Logo:
ALTERNATIVA: B
29 – (URCA/2016.2) Uma peça de um dominó é retirada. Qual a probabilidade da soma dos números da peça retirada ser divisível por 2?
A) B) C) D) E) 
Solução: PROBABILIDADE
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	2
	2
	2
	2
	2
	2
	3
	4
	5
	6
	3
	3
	3
	3
	3
	4
	5
	6
	4
	4
	4
	4
	5
	6
	5
	5
	5
	6
	6
	6
ALTERNATIVA: E
30 – (URCA/2016.2) Uma caixa, com capacidade de 1 litro, tem o formato de um prisma regular hexagonal. Se o lado base mede , a que altura devemos cortar a caixa para obter um recipiente cuja capacidade seja de 500ml?
A) C) E) 
B) D) 
Solução: GEOMETRIA –VOLUME 
 
Sabemos que 
Primeiro encontraremos a área da base. Note que 
Para isso precisamos encontrar a área do triângulo
Note que 
Aplicando em 
Aplicando em 
Aplicando em 
Sabemos que e que , logo
ALTERNATIVA: NULA (NÃO HÁ ALTERNATIVA CORRETA)
	2017.1
16 – (URCA/2017.1) Assinale a alternativa INCORRETA.
A) .
B) .
C) Se
,
,
,
,
.
D) .
E) 
.
Solução: RESUMO 1° ANO
A) Correta. ⟹ 
B) Correta. ⟹
C) Correta. ⟹ 
D) Correta. ⟹ 
E) Incorreta. ⟹ 
17 – (URCA/2017.1) Assinale a alternativa que contém uma função que é sempre injetora.
A) A função que associa a cada morador de uma cidade, a sua idade.
B) A função que associa a cada país que possui um presidente, seu presidente.
C) A função que associa a cada aluno de uma escola, sua mãe.
D) A função que associa a cada música que possui um único compositor, seu compositor.
E) A função que associa a cada time que possua um único patrocinador, seu patrocinador.
Solução: FUNÇÕES
A) Incorreta. ⟹ pode existir dois moradores com a mesma idade;
B) Correta. ⟹ existe apenas um presidente me cada país;
C) Incorreta. ⟹ pode existir dois alunos com a mesma mãe;
D) Incorreta. ⟹ pode existir duas músicas com o mesmo compositor;
E) Incorreta. ⟹ pode existir dois times com o mesmo patrocinador. 
18 – (URCA/2017.1) Em um polígono de n lados, a razão entre o número de diagonais e o número de diagonais que partem de um vértice vale 7. Então né igual a:
A) 35 B) 28 C) 21 D) 14 E) 7
Solução: GEOMETRIA
Temos
ALTERNATIVA: D
19 – (URCA/2017.1) Uma loja vende um celular em três pagamentos da seguinte forma: o primeiro no valor de R$ 262,00 no ato da compra, o segundo de R$ 275,00 um mês depois e o último de R$ 363,00 dois meses após a compra. O cliente também pode comprar o celular à vista
por R$900,00 . Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, do ponto de vista da matemática financeira, assinale a alternativa CORRETA:
A) Para o cliente, e indiferente comprar à vista ou a prazo.
B) E mais vantajoso para o cliente comprar à vista.
C) E mais vantajoso para o cliente comprar a prazo.
D) O plano a prazo e equivalente a um valor à vista de R$ 850,00.
E) O valor à vista equivalente ao plano a prazo e 10% maior que o valor à vista oferecido pela loja.
Solução: JUROS COMPOSTOS
⟹ À Vista em R$:
⟹ À Prazo em R$: 
Calcularemos o valor principal (Capital) do valor pago a prazo.
E mais vantajoso para o cliente comprar a prazo.
ALTERNATIVA: C
20 – (URCA/2017.1) Se existem 6 casais em uma sala e 4 pessoas são escolhidas aleatoriamente, a probabilidade de termos 2 casais é:
A) B) C) D) E) 
Solução: PROBABILIDADE – COMBINAÇÃO
Primeiro encontraremos o total de grupos de 4 pessoas entre as 12 pessoas
Segundo encontraremos o total de dois casais entre os 6 possíveis
Então
ALTERNATIVA: A
21 – (URCA/2017.1) Sendo , e as coordenadas dos pontos médios dos vértices de um triângulo, podemos afirmar que a área deste triângulo vale:
A) 76 u.a. B) 64 u.a. C) 52 u.a. D) 46 u.a. E) 32 u.a.
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Note que ao traçarmos todas a medianas de um triângulo, teremos quatro triângulos de áreas iguais.
Então
ALTERNATIVA: E
22 – (URCA/2017.1) Se então , onde , vale:
A) 1 B) 100 C) 1002 D) 10050 E) 100100
Solução: MATRIZES
O produto de matrizes triangulares inferiores resulta em outra matriz triangular inferior.
ALTERNATIVA: B
23 – (URCA/2017.1) De quantas maneiras 2 alunos do curso de matemática, 3 alunos de engenharia de produção, 3 alunos de física e 2 alunos de construção civil podem se posicionar em uma fila, de modo que os alunos do mesmo curso fiquem juntos?
A) 4541 B) 3456 C) 1126 D) 576 E) 144
Solução: ANÁLISE COMBINATÓRIA - PERMUTAÇÃO
Como devem ficar juntos, primeiro calcularemos o total de permutas entre os grupos
Note que os alunos de cada grupo pode permutar entre si, logo
Então o total de maneiras será o produto de todos
ALTERNATIVA: B
24 – (URCA/2017.1) O triângulo abaixo é isósceles, possui base igual a 30 e altura igual a 8. A área da região em destaque vale?
A) C) E) 
B) D) 
Solução: GEOMETRIA - ÁREAS
Note que
Precisamos encontrar o para encontrarmos 
 Para isso utilizaremos dois métodos. Em ambos precisamos do valor dos lados do triângulo.
Segue que 
Método 1:
Método 2:
Note que pelo caso AA temos
Agora calcularemos 
A área resultante é
ALTERNATIVA: D
25 – (URCA/2017.1) Se uma calculadora que custa R$ 100,00 hoje tiver seu preço reajustado em uma taxa composta de 2% em cada um dos próximos meses, a sequência formada por esses preços será:
A) Uma progressão geométrica de razão 1,02.
B) Uma progressão aritmética de razão 1,2.
C) Uma progressão geométrica de razão 0,02.
D) Uma progressão aritmética de razão 1,02.
E) Uma progressão geométrica de razão 1,2.
Solução: P.G. – JUROS COMPOSTOS
Note que 
ALTERNATIVA: A
26 – (URCA/2017.1) Uma determinada cidade sofreu um terremoto cujos efeitos foram sentidos, no máximo, até um raio de 3 Km a partir do seu epicentro. Se em um determinado sistema cartesiano, onde cada unidade linear corresponde a 1 Km, o epicentro deste terremoto
estiver localizado no ponto (4,0) , então a região afetada pelo terremoto é representada por:
A) D) 
B) E) 
C) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Sabemos que a equação da circunferência é dada por:
Sabemos ainda que 
Logo
ALTERNATIVA: C
27 – (URCA/2017.1) Se girarmos um retângulo em torno do seu lado maior, teremos um cilindro de volume igual a . Sabendo que o lado maior do retângulo mede o triplo do lado menor, então a razão entre a sua área e o seu perímetro é igual a:
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA - SÓLIDOS
ALTERNATIVA: E
28 – (URCA/2017.1) A prefeitura de uma cidade resolveu identificar os 100 pontos turísticos mais importantes do município colocando placas com numeração de 1 a 100 nos respectivos locais. Se ela utilizar apenas placas numeradas de 0 a 9, quantas destas placas serão necessárias para realizar tal ação?
A) 189 B) 190 C) 191 D) 192 E) 193
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS
ALTERNATIVA: D
29 – (URCA/2017.1) A região do plano delimitada pelas retas , , a reta que passa por e e a reta possui área igual a:
A) 12 u. a. B) 18 u.a. C) 24 u.a. D) 32 u.a. E) 35 u.a.
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Note que sendo a figura limitada pelas retas e precisamos dos pontos nas retas e que cortam os eixos .
 Equação da reta .
Temos os pontos
 Pontos da reta .
Construiremos o gráfico.
Temos um quadrilátero.
Podemos dividi-los e calcularmos as áreas do triângulos
Usaremos uma técnica semelhante ao cálculo do determinante:
NOTA:
Sejam os vértices do polígono, segue que: 
A área do polígono será a metade do módulo da diferença entre as somas da diagonais principais e das diagonais secundárias.
Aplicando, segue que:
ALTERNATIVA: A
30 – (URCA/2017.1) Dado o sistema
temos que e igual a:
A) 4 B) 0 C) −4 D) −6 E) −8
Solução: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
ALTERNATIVA: C
	2017.2
16 – (URCA/2017.2) A soma das raízes da função é igual a:
A) −1 B) C) 0 D) 1 E) 
Solução: FUNÇÕES
Note que 
 -1 2/5 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Note que , logo
ALTERNATIVA: E
17 – (URCA/2017.2) Um agricultor tinha 163 frutas entre laranjas e maçãs. Vendeu das laranjas e das maçãs e, agora, o número de laranjas supera em 1 o número de maçãs. Quantas laranjas e maçãs ele tinha?
A) 115 maçãs e 48 laranjas; D) 120 maçãs e 43 laranjas;
B) 95 maçãs e 68 laranjas; E) 85 maçãs e 78 laranjas.
C) 100 maçãs e 63 laranjas;
Solução: SISTEMAS LINEARES
ALTERNATIVA: C
18 – (URCA/2017.2) Quantos termos a soma deve ter para que o total seja 2700 ?						
A) 10 B) 15 C) 25 D) 50 E) 100
Solução: SEQUÊNCIAS (PA)
ALTERNATIVA: D
		
19 – (URCA/2017.2) Márcio lucrou uma determinada quantia C na venda de um computador. Ele resolveu dividir essa quantia em duas partes e aplica-las a juros simples a taxas e prazos distintos. A primeira parte foi aplicada a 10% a.m. durante seis meses enquanto a segunda foi aplicada a 24% a.a. durante um ano. Sabendo que a primeira parte rendeu R$ 66,00 a mais que a segunda e também que ela supera a segunda parte em R$ 50,00, o valor de C é igual a:
A) R$ 100,00 C) R$ 150,00 E) R$ 250,00
B) R$ 125,00 D) R$ 200,00
Solução: SISTEMA LINEARES – JUROS SIMPLES
Temos
A primeira parte rendeu R$ 66,00 a mais que a segunda rendeu:
A primeira parte supera a segunda parte em R$ 50,00:
Resolvendo o sistema chegamos a 
ALTERNATIVA: E
20 – (URCA/2017.2) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Se o raio da base mede 2 cm e a área total do cone mede . Calcule o volume do cilindro.
A) C) E) 
B) D) 
Solução: GEOMETRIA – SÓLIDOS
Desejamos o volume do cilindro.
Porém note que não temos o valor da altura .
Mas conhecemos a área total do cone.
Onde a geratriz é dada por:
Daí, o volume do cilindro seráALTERNATIVA: A
21 – (URCA/2017.2) Sejam
uma matriz e a inversa de . O valor de é:
A) 0 B) – 5 C) – 1 D) – 8 E) – 10 
Solução: MATRIZES
Precisamos encontra a matriz inversa de A: 
1º Passo: Calculamos o 
2º Passo: Calcularemos a Matriz dos Cofatores de A.
3º Passo: Calcularemos a matriz Transposta de C (Matriz Adjunta de A)
4º Passo: Cálculo da Matriz Inversa de A
Então
ALTERNATIVA: B
22 – (URCA/2017.2) Dois centros de observação estão localizados a uma distância de 340 Km um do outro. No instante em que um satélite está passando entre eles, o ângulo de elevação do satélite foi simultaneamente observado como sendo de 75°, com relação ao primeiro centro, e de 60°, com relação ao segundo. Com esses dados podemos afirmar que a distância entre o satélite e o primeiro centro de observação, no momento em que foi feito esta medição, é de:
A) C) E) 
B) D) 
Solução: TRIGONOMETRIA – LEI DOS SENOS
Aplicaremos a Lei dos Senos:
Note que 
ALTERNATIVA: E
23 – (URCA/2017.2) Determine o menor inteiro positivo N com a seguinte propriedade: N deixa resto 3 quando dividido por 5 e, deixa resto maior possível na divisão por 7.
A) 38 B) 48 C) 13 D) 23 E) 58
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS – PROPRIEDADES E OPERAÇÕES
Note que o maior resto possível da divisão por 7 é 6.
Basta testar em cada um dos itens
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Note que 
ALTERNATIVA: C
24 – (URCA/2017.2) O número de divisores positivos de 315.000 é:
A) 120 B) 100 C) 130 D) 200 E) 210
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS – PROPRIEDADES E OPERAÇÕES
	315000
	2
	157500
	2
	78750
	2
	39375
	3
	13125
	3
	4375
	5
	875
	5
	175
	5
	35
	5
	7
	7
	1
	
O número de divisores positivos é dado por
ALTERNATIVA: A
25 – (URCA/2017.2) 5 amigos se reuniram para assistir um jogo de um campeonato de futebol que possui 20 times. Sabendo que cada amigo torce para um desses times do campeonato, não necessariamente diferentes, qual a probabilidade de pelo menos dois amigos torcerem para o mesmo time?
A) B) C) D) E) 
Solução: PROBABILIDADE
Temos que calcular qual é a probabilidade de todos os amigos torcerem para times diferentes (considerando que a escolha de todos é independente e tal)
Logo, a probabilidade de pelo menos 2 torcerem para o mesmo time é 
ALTERNATIVA: B
26 – (URCA/2017.2) Seja um triângulo retângulo, reto em . Seja a altura de relativa ao lado . Se os catetos medem e , a altura mede?
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA PLANA
Note que 
A partir das relações métricas no triângulo retângulo temos
ALTERNATIVA: D
27 – (URCA/2017.2) Sejam e números reais tais que , e . Definimos o cologaritmo de na base por: . Sejam a razão de uma P.G. cujo primeiro termo é e a soma dos 10 primeiros termos da P.G. O valor de é:
A) 0 B) 1 C) – 9 D) – 10 E) 2
Solução: SEQUÊNCIAS (PG) – LOGARÍTMOS
Segue que 
Então
ALTERNATIVA: D
28 – (URCA/2017.2) Sendo A o ponto da reta que equidista dos pontos B = (1,1) e C = (0, −1), e sendo D = (0,1), a área do triângulo ACD vale:
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Construiremos o gráfico.
Antes, note que a reta passa pelos pontos:
Segue que 
Note que 
Segue que
ALTERNATIVA: A
29 – (URCA/2017.2) Seja um polinômio com coeficientes reais. Sejam as raízes complexas de . A área da figura plana cujos vértices são é:
A) B) C) D) E) 
Solução: POLINÔMIOS – GEOEMTRIA ANALÍTICA
Tentando encontrar uma raiz racional pelo Teorema das Raízes Racionais
Testando, chegamos a:
Utilizaremos o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini (Multiplica e soma)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Note que é a única raiz real, pois, de acordo com o enunciado, as demais são complexas: 
Poderíamos utilizar o Método De Ferrari, porém é muito complexo.
Continuaremos testando. Note que:
Sendo , então , pois o conjugado de uma raiz também é raiz.
Mais uma vez utilizaremos o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini (Multiplica e soma)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Podemos resolver facilmente por Bhaskara.
Então temos:
No gráfico teremos:
Está claro que a área é
ALTERNATIVA: B
30 – (URCA/2017.2) No século passado foram criados sistemas hiperbólicos de navegação, como o DECCA e o LORANC, que definiam a posição de um navio através das chamadas linhas de posição, obtidas através da diferença de distâncias a determinados pontos que eram as estações do sistema. Com relação a cônica hipérbole, assinale a alternativa CORRETA:
A) Os focos e o centro de uma hipérbole sempre pertencem a ela;
B) Todos os pontos da reta focal (reta que contém os focos) pertencem a hipérbole;
C) Se representar a medida do eixo real, a do eixo imaginário e o valor da distância entre os focos, então vale a relação ;
D) A equação de uma hipérbole centrada na origem é da forma .
E) A curva descrita pela equação é uma hipérbole.
Solução: GEOEMTRIA ANALÍTICA - HIPÉRBOLE
A) Os focos e o centro de uma hipérbole sempre pertencem a ela;
FALSO. Os Focos e o Centro não pertencem a “Curva” da Hipérbole
B) Todos os pontos da reta focal (reta que contém os focos) pertencem a hipérbole;
FALSO. Apenas os Vértices pertencem a “Curva” da Hipérbole.
C) Se representar a medida do eixo real, a do eixo imaginário e o valor da distância entre os focos, então vale a relação ;
VERDADEIRO.
D) A equação de uma hipérbole centrada na origem é da forma .
FALSO. A Equação Reduzida da Hipérbole é
E) A curva descrita pela equação é uma hipérbole.
FALSO. 
É uma circunferência de e .
ALTERNATIVA: C
	2018.1
16 – (URCA/2018.1) Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Assinale a alternativa CORRETA.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Solução: OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS
A) Incorreta. (A∪B)∩C ≠ A∪(B∩C)
B) Incorreta. A⊂B e C⊂B e AC
C) Incorreta. A∩B=∅ e B⊂C e A∩C ≠ ∅
D) Correta. Se A∩B=∅ e C⊂B então A∩C=∅
E) Incorreta. C⊂(A∪B) então C⊂A e CB
ALTERNATIVA: D
17 – (URCA/2018.1) Considere as retas do plano cartesiano dadas por e . Assinale a alternativa que apresenta a equação da reta que forma um ângulo de 45° com o eixo horizontal (medidos no sentido anti-horário partindo do sentido positivo do eixo em direção a reta) e passa pelo ponto de interseção das duas retas dadas.
 
A) D) 
B) E) 
C) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Primeiro encontraremos o ponto de interseção entre as retas dadas
O ponto de interseção entre as retas e é 
Desejamos a equação da reta que forma um ângulo de 45° com o eixo horizontal, logo
Assim,
ALTERNATIVA: C
18 – (URCA/2018.1) Uma circunferência de centro e raio , e interceptada por uma reta no ponto de ordenada , conforme mostra a figura.
Sabendo que a reta r passa pela origem do sistema cartesiano e pelo ponto P de ordenada 2, a abscissa do ponto P é igual a:
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Para encontrarmos abscissa S é necessário encontrar a equação da reta r.
Primeiro encontraremos a abscissa R através da equação da circunferência.
Aplicando o ponto Q(R; 4) temos:
Note que a reta passa pela origem O(0; 0) e por Q(9; 4), logo
Daí,
Aplicando o ponto P(S; 2) temos:
ALTERNATIVA: B
19 – (URCA/2018.1) Assinale a alternativa que apresenta o volume do maior cilindro com base circular que pode ser inscrito em um cubo cujo volume e de .
A) C) E) 
B) D) 
Solução: GEOMETRIA - SÓLIDOSALTERNATIVA: E
20 – (URCA/2018.1) Considere o sistema sobre as variáveis
Suponha que pelo menos um dos coeficientes , , , e não nulo e que os pares ordenados e são soluções do sistema. É CORRETO afirmar que:
A) também é solução do sistema.
B) também é solução do sistema.
C) Apenas os dois pares apresentados são soluções.
D) O sistema tem apenas mais uma solução, além das apresentadas.
E) Qualquer par ordenado de números reais é solução do sistema.
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Note que os pontos são soluções do sistema, logo a solução é uma reta.
Segue que:
a) Os ítens C e D estão errados, pois a solução é uma reta.
b) O ítem E está errado, pois apenas os pares ordenados que pertencem a reta serão solução do sistema.
Verificaremos os itens A e B, ou seja, se os pontos pertencem a reta encontrada.
Concluímos que o item A está correto.
ALTERNATIVA: A
21 – (URCA/2018.1) Considere o quadrilátero na figura, sendo e pontos médios dos lados e , respectivamente, e , , e . A área do quadrilátero F e igual a:
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA PLANA
ALTERNATIVA: NÃO EXISTE ITEM (NULA)
22 – (URCA/2018.1) Os comprimentos dos lados de um triangulo retângulo, quando ordenados do menor para o maior, formam uma progressão geométrica crescente. É CORRETO afirmar que a razão dessa progressão e igual a
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA – SEQUÊNCIAS (PG)
ALTERNATIVA: D
23 – (URCA/2018.1) Seja o ponto de interseção entre a reta e o círculo . O ponto simétrico a em relação a origem e o ponto:
A) C) E) 
 B) D) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Então 
Seu simétrico será
ALTERNATIVA: D
24 – (URCA/2018.1) Seja uma matriz tal que , onde 0 representa a matriz nula e . É CORRETO afirmar que:
A) 
B) 
C) 
D) para qualquer matriz de ordem 
E) onde é a matriz transposta da matriz .
Solução: MATRIZES
??????
ALTERNATIVA: D
25 – (URCA/2018.1) Quantos são os números que possuem três dígitos, sendo todos distintos, e que são pares?
A) 326 B) 328 C) 330 D) 332 E) 334
Solução: ANÁLISE COMBINATÓRIA - PERMUTAÇÃO
O número será 
ALTERNATIVA: NÃO EXISTE ITEM (NULO)
26 – (URCA/2018.1) Uma mercadoria sofreu um aumento de 25% em seu preço. Um cliente exigiu do vendedor um desconto sobre o novo preço, a fim de pagar por ela o mesmo preço de antes. Qual e o desconto que o cliente deve pedir?
A) B) C) D) E) 
Solução: PORCENTAGEM
Suponhamos que o valor da mercadoria seja de .
Ao sofrer um acréscimo de %, temos:
Após sofreu um desconto para retornar ao valor inicial. em porcentagem, temos:
ALTERNATIVA: C
27 – (URCA/2018.1) Considere a equação . Para qual valor de k esta equação NÃO possui raízes inteiras?
A) 11 B) 20 C) 27 D) 32 E) 34
Solução: EQUAÇÕES 2° GRAU
Temos 
Agora só nos resta testar as alternativas.
A) k=11 
B) k=20
C) k=27
D) k=32
E) k=34 (CORRETA)
ALTERNATIVA: E
28 – (URCA/2018.1) Suponha que. É CORRETO afirmar que:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Solução: TRIGONOMETRIA – IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Note que 
Aplicando em , segue que 
Então,
ALTERNATIVA: E
29 – (URCA/2018.1) Seja . Para que x satisfaça a desigualdade basta que:
A) 
B) Correção: 
C) 
D) 
E) 
Solução: INEQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Reordenando temos,
Colocando em evidência, obtemos
Agora colocamos em evidência.
Agora estudaremos o sinal.
ALTERNATIVA: NÃO EXISTE ITEM (NULA)
30 – (URCA/2018.1) Sobre a função , é CORRETO afirmar que: 
A) é uma bijeção cujo domínio é o conjunto e a imagem é , onde denota o conjunto dos números reais.
B) O domínio da função inversa de f é o conjunto .
C) A função não é invertível.
D) O gráfico de é uma parábola.
E) A imagem de f é o conjunto .
Solução: FUNÇÕES
Dada , temos a seguinte condição de exixtência
Então o domínio de é 
Note que 
ou seja, o gráfico de é uma reta. (Item D está incorreto)
aplicando , teremos
Daí concluímos que a imagem de é 
Tomando e substituindo o pelo e vice-versa, chegamos a:
Ou seja, é invertível, ou seja, bijetiva. (Item C está incorreto)
Onde,
(Item B está Correto)
ALTERNATIVA: B
	2018.2
16 – (URCA/2018.2) Um triangulo ABC e tal que BC=5, AC=6 e AB=7. Determinando a altura relativa ao lado AC, encontramos:
A) B) C) D) E) 8
Nota: Fórmula de Heron
Solução: GEOMETRIA – PLANA
Segue que 
No entanto 
ALTERNATIVA: A
17 – (URCA/2018.2) O valor de e :
A) B) C) D) E) 
Solução: TRIGONOMETRIA – IDENTIDADES TRIGINOMETRICAS
Note que temos um produto entre arcos trigonométricos.
Usualmente aplicamos 
Segue que,
Lembremos que
Então podemos reescrever assim
Daí,
ALTERNATIVA: C
18 – (URCA/2018.2) Numa progressão aritmética, a soma dos 23 primeiros termos e igual à soma dos 17 primeiros termos, isto e, . Encontre .
A) B) C) D) E) 
Solução: SEQUÊNCIAS (PA)
Temos
Note que 
Aplicando (ii) em (i)
ALTERNATIVA: A
19 – (URCA/2018.2) Considere a reta r de equação e o ponto . Calcule a distância entre os pontos e , em que o ponto é simétrico a em relação à reta .
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Note que
ALTERNATIVA: D
20 – (URCA/2018.2) Um produto P, num determinado período, sofreu dois aumentos resultando num acréscimo de 15,5%. Se o primeiro aumento foi de 10%, o segundo foi de
A) B) C) D) E) 
Solução: PORCENTAGEM
Note que
Para acréscimos seguidos utilizamos
Segue que
ALTERNATIVA: D
21 – (URCA/2018.2) Sejam e as raízes da equação . Sabendo que , então o valor positivo de p é:
A) B) C) D) E) 
Solução: EQUAÇÕES DO 2° GRAU
ALTERNATIVA: B
22 – (URCA/2018.2) Se , podemos
concluir que vale:
A) 5 B) C) D) E) 4
Solução: MÓDULO
Note que 
Logo
Note ainda que é um valor negativo, então:
Daí 
ALTERNATIVA: C
23 – (URCA/2018.2) O numero natural é primo. Nessas condições é igual a:
A) 10 B) 2 C) 3 D) 0 E) 1
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS – POTÊNCIAS
Sendo N um número primo, ele só poderá ser decomposto da seguinte forma:
Segue que 
Logo
ALTERNATIVA: D
24 – (URCA/2018.2) Dado que o número é inteiro, determine-o.
A) 4 B) 6 C) 14 D) 20 E) 34
Solução: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Façamos
Lembrando que
Segue que 
Substituindo em 
Logo:
ALTERNATIVA: A
25 – (URCA/2018.2) Considere a função tal que . Então e dada por:
A) C) E) 
B) D) 
Solução: FUNÇÕES
Tomemos 
Logo
ALTERNATIVA: A
26 – (URCA/2018.2) Assinale a alternativa INCORRETA.
A) Se uma função e bijetiva, então é também sobrejetiva.
B) O número de diagonais do octógono convexo é 20.
C) Todo quadrado é losango e retângulo.
D) O número de subconjuntos do conjunto A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} é 1024.
E) Não existe triangulo retângulo isósceles.
Solução: OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS – FINÇÕES – POLÍGONOS 
A) Correta!
Segue a definição.
B) Correta!
C) Correta!
Segue a definição.
D) Correta!
Note que A possui 10 elementos 
E) Incorreta!
Prova-se com um contra exemplo.
ALTERNATIVA: E
27 – (URCA/2018.2) Quantos números inteiros aparecem como termos na expansão de ?
A) B) C) D) E) 
Solução: ANÁLISE COMBINATÓRIA– BINÔMIO DE NEWTON
Note que ao decompor o binômio de Newton temos
Note que teremos para eliminar a basta que os expoentes sejam pares.
Do 1 a 400 há 200 números pares, como iniciamos como 0, teremos 200+1=201 termos
ALTERNATIVA: D
28 – (URCA/2018.2) Considere uma esfera de e volume . Se construirmos outra esfera de raio cuja medida seja maior que o raio da esfera de raio , quanto valera o quociente em que é o volume da esfera de raio ?
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA – SÓLIDOS
Temos que 
ALTERNATIVA: B
29 – (URCA/2018.2) Seja a matriz
Encontre .
A) B) C) D) E) 
Solução: MATRIZES
Note que 
Então
ALTERNATIVA: C
30 – (URCA/2018.2) Mariana e uma colega estavam brincando com problemas sobre paridades quando uma das colegas indagou se Mariana saberia dizer quantos números pares de quatro dígitos distintos poderiam ser formados usando os algarismos 0, 2, 4, 6, 7 e 8. Sabendo que Mariana respondeu corretamente, qual foi sua resposta?
A) B) C) D) E) 
Solução: ANÁLISE COMBINATÓRIA -PERMUTAÇÕES
Faremos em duas partes:
i) Note que o número não pode iniciar com Zero, mas pode tê-lo no final. Calcularemos todos os pares terminados em Zero.
ii) Calcularemos os pares terminados em qualquer número par exceto o Zero.
O número total de possibilidades é: 
ALTERNATIVA: D
	2019.1
16 – (URCA/2019.1) O valor da expressão é:
A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 24
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS: OPERAÇÕES – TRIGONOMETRIA – LOGARÍTMOS 
Note que 
ALTERNATIVA: D
17 – (URCA/2019.1) Na equação temos como uma de suas raízes. As outras raízes são com . Qual o valor de ? 
A) 8 B) 6 C) 10 D) 12 E)15
Solução: ÁLGEBRA – POLINÔMIOS
Temos como uma de suas raízes, no entanto é complicado aplica-lo no método de Briot-Ruffini.
OBS: normalmente quando há uma raiz Irracional, seu conjugado também será.
Pelo Teorema das Raízes Racionais, segue:
Utilizaremos o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
Encontramos as raízes 2 e 3. Assim,
As raízes são 
Excluindo , teremos
Então,
OBS: se considerarmos todas as raízes, teremos
ALTERNATIVA: NÃO EXITE ITEM CORRETO (ITEM B)
18 – (URCA/2019.1) Se com x, y e z ∈ ℤ e x, y e z estão em progressão geométrica nessa ordem, encontre o valor de y. 
A) 4 B) 6 C) 2 D) 1 E) 8
Solução: EQUAÇÃO LOGARÍTMA – SEQUÊNCIAS (PG)
Sabemos que 
ALTERNATIVA: C
19 – (URCA/2019.1) Se Z é um número complexo satisfazendo podemos garantir que o maior valor de é: 
A) 16 B) 49 C) 64 D) 36 E) 81
Solução: NÚMEROS COMPLEXOS
Note que
Basta analisar os limites de z.
Então o valor máximo é 64.
ALTERNATIVA: C
20 – (URCA/2019.1) O conjunto solução da inequação 
 é dado por:
A) C) E) 
B) D) 
Solução: ÁLGEBRA – INEQUAÇÕES
Note ainda que .
ALTERNATIVA: A
21 – (URCA/2019.1) Considere um triângulo retângulo ABC de hipotenusa e cateto. Sobre BC marcamos um ponto D tal que. Nessas condições pede-se 
A) 18 B) 12 C) 14 D) 15 E) 9
Solução: GEOMETRIA – TRIGONOMETRIA 
Note que
Conhecendo dois lados e o ângulo formado por eles, podemos aplicar a Lei dos Cossenos para encontrar o terceiro lado.
Observe que 
Daí:
Então
ALTERNATIVA: E
22 – (URCA/2019.1) Uma fração é equivalente a . Se somarmos 3 ao numerador N e subtrairmos 8 do denominador D, dessa fração, a nova fração será igual a . Então será 
A) 4 B) 16 C) 8 D) 5 E) 3
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS – RAZÃO 
ALTERNATIVA: B
23 – (URCA/2019.1) Considere M uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se traço de M a soma dos elementos de M. 
Se e , concluímos que vale 
A) 15 B) 12 C) 20 D) 10 E) 14
Solução: MATRIZES
ALTERNATIVA: B
24 – (URCA/2019.1) O produto das raízes da equação é: 
A) B) C) D) E) 
Solução: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Note que o produto entre eles é:
Daí concluímos que um termo é o inverso multiplicativo do outro.
Onde ao tomarmos 
Segue que
Então
Chegamos a
· 
Note que
levando-nos a concluir que 
Logo,
· (de maneira análoga)
Note que
levando-nos a concluir que 
Logo,
Portanto, o produto das raízes será:
ALTERNATIVA: A
25 – (URCA/2019.1) Considere a elipse de equação . Sendo a reta tangente a no ponto e , o ponto que intersecta o eixo , encontre . Obs. Dizemos que uma reta é tangente a uma elipse num ponto quando e possuem apenas o ponto em comum. 
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Note que o ponto 
Ao construirmos o gráfico, concluímos, por exclusão das alternativas, que o valor de b é 8.
Solução 2: Suponhamos uma elipse de centro .
Sendo 
Sabendo que , teremos
Como o ponto (0,b) pertence a reta tangente, temos
ALTERNATIVA: C
26 – (URCA/2019.1) Seja a função dada por , . Nessas condições calcule .
A) 2 B) C) 3 D) 4 E) 
Solução: FUNÇÕES
ALTERNATIVA: E
27 – (URCA/2019.1) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas por , e . Sabendo que o volume desse paralelepípedo é e sua área total é , determine em cm o valor de .
 
A) 6 B) 5 C) 4 D) 8 E) 9
Solução: GEOMETRIA - SÓLIDOS
É mais viável testar as alternativas, daí
ALTERNATIVA: C
28 – (URCA/2019.1) O conjunto solução da equação é: 
A) {2} B) {3} C) {2,3} D) [2,3] E) [0,3]
Nota:
Solução: EQUAÇÕES MODULARES
Analisaremos um módulo por vez.
Segue que 
ALTERNATIVA: D
29 – (URCA/2019.1) Considere os pontos e num plano e a mediatriz do segmento , com contido em . Dado ponto calcule . 
A) 3 B) 5 C) 4 D) 6 E) 2
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Sejam
Note que para aplicarmos o ponto em , precisamos da equação da reta.
Encontraremos o coeficiente angular através do , uma vez que a reta é a mediatriz, logo, são perpendiculares.
Sendo e , segue:
Onde
Segundo a minha análise, precisaríamos de ao menos um outro ponto para encontrarmos sua equação da reta.
Como a questão não forneceu, não é possível encontrá-la. Creio que por isso foi anulada.
No entanto, note que se a mediatriz coincidir com a mediana, concluiríamos que
Logo,
Aí chegaremos a seguinte equação da reta :
Aplicando , chegamos a:
ALTERNATIVA: QUESTÃO ANULADA
30 – (URCA/2019.1) Sabendo que a soma dos coeficientes no desenvolvimento de é igual a , determine . 
A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 10
Solução: ANÁLISE COMBINATÓRIA – BINÔMIO DE NEWTON
ALTERNATIVA: D
	2019.2
16 – (URCA/2019.2) Considere os conjuntos , e . Então é:
A) [4, 5) B) ( 3,6) C) (4,5) D) (5,6) E) (2,5)
Solução: OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
ALTERNATIVA: D
17 – (URCA/2019.2) Uma herança de R$ 42000,00 será repartida de maneira proporcional as idades dos herdeiros que têm 3 e 4 anos. Quanto caberá ao mais novo?
A) R$ 24000,00 C) R$ 18000, 00 E) R$ 14000,00
B) R$ 15000,00 D) R$ 28000,00
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS – PROPORÇÃOALTERNATIVA: C
18. (URCA/2019.2) Seja dada por . Se denota a função inversa de , encontre .
A) 3 B) 8 C) 9 D) 10 E) 6
Solução: FUNÇÕES
Façamos:
ALTERNATIVA: B
19 – (URCA/2019.2) Se . Então vale:
A) 9 B) 27 C) 81 D) 18 E) 3
Solução: EQUAÇÃO LOGARÍTMA
Segue que :
ALTERNATIVA: D
20 – (URCA/2019.2) Um cubo de aresta e um tetraedro regular de aresta possuem mesma área total. Nessas condições calcule .
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA - SÓLIDOS
ALTERNATIVA: C
21 – (URCA/2019.2) Num triângulo retângulo ABC de hipotenusa BC, temos e em que AH é a altura do triângulo relativa à hipotenusa. Seja D o pé da bissetriz interna que parte do vértice A. Calcule .
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA PLANA
Temos
então:
Note que, pelo Teorema de Pitágoras, segue que:
E que, por uma das Relações Métricas Num Triângulo Retângulo, temos:
Note ainda que,
Aplicando e em temos:
Substituindo em e , teremos:
As projeções e são:
Segue que 
Pelo Teorema da Bissetriz Interna, segue que:
Através do Teorema de Pitágoras chegamos a:
ALTERNATIVA: B
22 – (URCA/2019.2) Determine o conjunto solução do sistema
A) {(6,4)} B) {( 2,4)} C) {(4,3)} D) {(10,6)} E) {(5,3)}
Solução: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Note que 
ALTERNATIVA: A
23 – (URCA/2019.2) Qual o valor mínimo da dada por ?
A) B) C) D) E) 
Solução: FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Para que seja mínimo é necessário que o denominador seja máximo.
 será máximo em .
Então
ALTERNATIVA: A
24 – (URCA/2019.2) Determine o módulo da diferença entre as raízes reais da equação .
A) B) C) D) E) 
Solução: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Triângulo da Pascal
Pelo Teorema das Raízes Racionais, segue:
Utilizaremos o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Concluímos que as raízes são complexas.
Logo, as raízes reais são 1 e 5.
ALTERNATIVA: C
25 – (URCA/2019.2) Um cilindro circular reto de raio da base e altura está inscrito em uma esfera de raio . Assim sendo, pede-se o valor de R.
A) 5 cm B) 6 cm C) 4 cm D) cm E) 8 cm
Solução: GEOMETRIA - SÓLIDOS
ALTERNATIVA: D
26 – (URCA/2019.2) Encontre as coordenadas do circuncentro do triângulo ABC de vértices , e .
A) B) C) D) E) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Sabendo que o circuncentro é o ponto de interseção das mediatrizes de um triângulo, faremos:
Primeiro calcularemos os pontos médios de cada lado.
Segundo calcularemos os coeficientes angulares das retas de cada lado do triângulo. 
A partir delas encontraremos as equações das retas mediatrizes de cada lado.
Então encontraremos o ponto de interseção entre as restas mediatrizes.
Os pontos médios:
Os coeficientes angulares:
Os coeficientes angulares das retas mediatrizes: 
As equações das retas mediatrizes:
O circuncentro será:
ALTERNATIVA: NÃO EXISTE ITEM (NULA)
27 – (URCA/2019.2) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem e e uma de suas diagonais mede . Se é a medida da outra diagonal, podemos afirmar que:
A) C) E) 
B) D) 
Solução: GEOMETRIA - PLANA 
Pela Lei dos cossenos, segue que
ALTERNATIVA: E
28 – (URCA/2019.2) Analiticamente a equação representa:
A) Uma Elipse
B) Uma circunferência
C) Um par de retas concorrentes
D) Uma hipérbole
E) Um par de retas paralelas
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Aplicaremos A Equação Geral Das Cônicas
Reorganizando
ALTERNATIVA: D
29 – (URCA/2019.2) Se e , então A+2B é igual a
A) B) C) D) E) 
Nota:
Solução: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
ALTERNATIVA: B
30 – (URCA/2019.2) Assinale a alternativa incorreta.
A) A soma de dois números irracionais pode ser um número racional.
B) A função dada por é injetiva.
C) Dados os conjuntos não vazios A, B e C temos .
D) 
E) 0,999... = 1
Solução: TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS –CONJUNTOS NUMÉRICOS – FUNÇÕES 
A ⟹ Correta.
Ex: e . Segue que 
B ⟹ Correta.
 é injetiva, pois 
C ⟹ Incorreta.
D ⟹ Correta.
E ⟹ Correta.
Tomemos 
ALTERNATIVA: C
	2020.1
16 – (URCA/2020.1) Se e então vale:
A) C) E) 
B) D) 
Solução: MATRIZES
Primeiro encontraremos .
Note que 
Agora encontraremos .
Segue que,
Note que:
i) Para expoente par
ii) Para expoente ímpar
Como 2020 é um número par, concluímos que 
ALTERNATIVA: D
17 – (URCA/2020.1) Sabendo que e , quantas funções injetoras existem?
A) 120 B) 720 C) 60 D) 90 E) 70
Solução: FUNÇÕES – ANÁLISE COMBINATÓRIA: ARRANJO
Lembremos que: a função é INJETIVA quando existem apenas um elemento do D(f) para cada elemento da Im(f).
Então, dentre os 6 elementos da Im(f) utilizarei apenas três em cada função.
Como a ORDEM DOS ELEMENTOS INFLUENCIARÁ nas funções, então utilizaremos ARRANJO
ALTERNATIVA: A
18 – (URCA/2020.1) Seja uma sequência de infinitos quadrados. Supondo que a área de cada quadrado seja expresso pela fórmula , a soma dos perímetros desses quadrados é:
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
Solução: SEQUÊNCIAS
Primeiro definiremos a sequência.
⟹ Sequência de ÁREAS 
Tratando-se de quadrados, a sequência de PERÍMETROS será
Note que temos uma P.G. de razão
A soma dos termos de uma P.G. infinita é dada por 
ALTERNATIVA: D
19 – (URCA/2020.1) Identifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes afirmativas sobre geometria plana e espacial:
( ) Dada três retas distintas sempre existe um plano que as contêm.
( ) Uma reta paralela a dois planos distintos não paralelos é paralela a reta obtida pela interseção desses planos.
( ) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.
( ) A interseção de três planos pode ser um ponto.
( ) Dadas duas retas reversas existe um plano que contém uma dessas retas e é paralelo a outra reta.
Marque a alternativa CORRETA com relação às afirmativas anteriores:
A) F,V,F,V,V C) F,V,F,V,F E) F,F,F,V,V
B) V,V,F,F,V D) F,F,F,V,F
Solução: GEOMETRIA
A solução é dada através de desenhos. Alternativa A
ALTERNATIVA: A
20 – (URCA/2020.1) Calcule a área do triângulo retângulo com hipotenusa igual a 1 e tangente do ângulo agudo igual a .
A) 2 C) E) 
B) D) 
Solução: GEOMETRIA PLANA
Note que 
Então
Segue que 
ALTERNATIVA: E
21 – (URCA/2020.1) A soma dos coeficientes do polinômio 
é:
A) 0,008 B) 4,75 C) -0,03 D) -1,4 E) 12,4
Solução: POLINÔMIOS
Querendo apenas a soma dos coeficientes, basta calcular 
ALTERNATIVA: A
22 – (URCA/2020.1) Seja c a circunferência dada pela equação e r a reta dada pela equação . A equação da reta que é paralela a r, tangência a circunferência c e intercepta o eixo y numa ordenada positiva é:
A) C) E) 
B) D) 
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Temos as equações:
Note que a nova reta será PARALELA a reta , logo 
E, também, intercepta o eixo y numa ordenada positiva b positivo.
Como é tangente da circunferência , calcularemos a sua distância ao centro.
Então
ALTERNATIVA: C
23 – (URCA/2020.1) Qual o valor de , para que a matriz abaixo não seja invertível?
A) 1 C) -1 e 1 E) Nenhum valor real
B)-1 D) Qualquer valor real
Solução: MATRIZES
Uma matriz quadrada É INVERTÍVEL apenas se o seu DETERMINANTE FOR DIFERENTE DE ZERO.
Para que a matriz não seja invertível segue:
Por definição de potência, concluímos que que satisfaça a igualdade.
ALTERNATIVA: E
24 – (URCA/2020.1) A área da figura abaixo é:
A) C) E) Nenhuma das anteriores
B) D) 
Solução: GEOMETRIA PLANA
Basta dividir a figura em figuras de áreas conhecidas.
Note que 
Segue que 
ALTERNATIVA: B
25 – (URCA/2020.1) Considere a função do segundo grau onde . É incorreto afirmar que:
A) A pré-imagem de no ponto 1 é 
B) Se , o valor da ordenada do vértice de é diferente de 1. 
C) Se , o valor da abcissa do vértice de é positivo. 
D) Se e tem duas raízes distintas, então o ponto da abcissa do vértice pode ser maior que .
E) Se , então não tem raízes iguais.
Solução: FUNÇÕES
Tomando 
Tomando 
A ⟹ Correta.
B ⟹ Correta.
C ⟹ Correta.
D ⟹ Incorreta.
Note que a>0 ⟹ parábola com concavidade para cima, no entanto, não há raízes reais ⟹ .
E ⟹ Correta.
ALTERNATIVA: D
26 – (URCA/2020.1) Seja n um número natural maior do que ou igual a 2. O valor da expressão é:
A) C) E) 
B) D) 
Solução: CONJUNTOS NUMÉRICOS: OPERAÇÕES – POTÊNCIAS E RAÍZES
ALTERNATIVA: B
27 – (URCA/2020.1) Duas crianças colocam 9 bolinhas de gude dentro de uma caixa: 5 pretas e 4 vermelhas. Retirando aleatoriamente, sucessivamente e sem reposição 4 bolinhas, a probabilidade de saírem 3 bolinhas pretas e 1 vermelha é:
A) 5/63 B) 33/68 C) 13/66 D) 20/63 E) 32/69
Solução: PROBABILIDADE
ALTERNATIVA: D
28 – (URCA/2020.1) Considerando as retas 
 
é correto afirmar que:
A) As retas r e s são paralelas.
B) As retas r e t são perpendiculares.
C) As retas r, s e t se intersectam num único ponto.
D) A reta s intersecta a circunferência de centro (0,0) e raio 1.
E) Nenhuma das anteriores.
Solução: GEOMETRIA ANALÍTICA
Temos as retas
A) 
B) Não existe a , logo, não existe. 
C) 
D) circunferência de centro (0,0) e raio 1
ALTERNATIVA: C
29 – (URCA/2020.1) O conjunto solução da inequação em ℝ é:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Solução: INEQUAÇÃO LOGARÍTMA
Note que , logo, inverte-se a desigualdade.
Estudaremos o sinal da inequação.
ALTERNATIVA: E
30 – (URCA/2020.1) Em quantos jogos distintos podemos organizar, em um só turno, um campeonato de futebol com 24 times?
A) 1104 B) 276 C) 552 D) 48 E) 240
Solução: ANÁLISE COMBINATÓRIA: COMBINAÇÃO
Como a ORDEM DOS ELEMENTOS NÃO INFLUENCIARÁ nas funções, então utilizaremos COMBINAÇÃO.
ALTERNATIVA: B
2º CPM-CHMJ: Aqui, aprende-se com disciplina!
Professor: Cabo PM André 44