ANALISE MATEMATICA PARA ENG I Aula 5

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 5: Aplicações das derivadas – parte I
Apresentação
Até o presente momento, entramos em contato com o universo das derivadas sem ter percebido com clareza a importância
do estudo das mesmas. Nesta aula, vamos começar a perceber como elas são extremamente úteis nas mais variadas
situações.
Começaremos com o estudo dos problemas de taxas relacionadas, onde encontraremos a taxa segundo a qual certa
quantidade está variando em relação a outras, cujas taxas de variação são conhecidas. Assim, começaremos a perceber
como o conceito de derivadas pode ser amplamente usado no dia a dia da Engenharia.
Objetivos
Desenvolver o conceito de taxa de variação;
Aplicar o conceito de derivada para o encontro dos máximos e mínimos de uma função;
Explicar o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio.
Taxas relacionadas – derivando equações para relacionar taxas
Para você começar a compreender as aplicações práticas das derivadas, considere a seguinte situação:
Um líquido escoando através de um �ltro cônico. À medida que o líquido escoa, seu volume , a altura e o raio são funções
do tempo decorrido , e em cada instante essas variáveis estão relacionadas pela equação:
Se você estivesse interessado em encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo , você pode começar
diferenciando ambos os lados dessa equação em relação a .
V h r
t
V = hπ
3
r
2
t
t
= . [ + h. (2r )] = . [ + 2rh  ]dV
dt
π
3
r
2 dh
dt
dr
dt
π
3
r
2 dh
dt
dr
dt
 Filtro cônico cujo volume V, altura h e
raio r variam ao longo do tempo.
Assim, para encontrar em um instante especí�co a partir dessa equação, você precisaria conhecer os valores de , , 
 e naquele instante.
dV
dt/ t r h
dh
dt/ dr dt/
Comentário
Esse tipo de problema é chamado problema de taxas relacionadas porque o objetivo é encontrar uma taxa de variação
desconhecida, relacionando-a a outras variáveis cujos valores e taxas de variação no instante t são conhecidos ou podem ser
encontrados de alguma maneira.
Exemplo 1
Um navio-tanque sofreu uma ruptura no casco e um vazamento de óleo começou a ocorrer.
Suponha que o óleo se espalhe em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de
2m/s. Com qual velocidade a área do derramamento estará crescendo quando o seu raio for
de 80m?
 Navio-tanque avariado e uma
mancha circular de óleo crescendo ao
longo do tempo. Fonte: ANTON et al.
(2007).
Aproximação linear local
Nesta seção, encontraremos outra interessante aplicação das derivadas. A ideia é aproximar funções não lineares das funções
lineares.
Se uma função for diferenciável em , então, uma porção su�cientemente ampliada do grá�co de centrada no ponto 
 tem aparência de um segmento de reta. Costuma-se dizer que uma função diferenciável em é localmente
linear em .
A reta que melhor aproxima o grá�co de na vizinhança de é a reta tangente ao grá�co de em , dada pela
equação:
Assim, para valores de próximos de , podemos aproximar os valores de por:
Isso é denominado aproximação linear local de em . Essa fórmula também pode ser expressa em termos do incremento 
 como:
f xo f
P( , f( )) xo xo xo
xo
f P ( , f ( ))xo xo f xo
y = f(  ) + f' ( ). (x −  )xo xo xo
x xo f(x) 
f(x) ≈ f ( ) + ( ). (x − )xo f ′ xo xo
f xo
∆x = x −  xo
f( + ∆x) ≈ f(  ) + f' (  ). ∆xxo xo xo
Exemplo 2
Encontre a aproximação linear local de em .f(x) =  x√ = 1xo
Saiba mais
Você pode usar a aproximação linear local obtida para aproximar . Como a reta tangente está acima
do grá�co de , você deve esperar que essa aproximação seja acima do valor encontrado por uma calculadora.
Observe:
 (calculadora)
Como uma regra geral, a precisão da aproximação linear local de em se deteriora à medida que se afasta de .
Para o nosso exemplo:
1, 1−−−√ y = 1 + . (x − 1)1
2
f (x) = x√
= 1 + . (1, 1 − 1) = 1, 051, 1−−−√ 1
2
≈ 1, 048811, 1−−−√
f(x) xo x xo
E(x) = − (1 + . (x − 1)) = − . (x + 1)∣∣ x√ 12 ∣∣ ∣∣ x√
1
2
∣∣
Propagação dos erros em aplicações
Nesta seção, veremos mais uma aplicação das derivadas. Desta vez, em um assunto muito abordado no ciclo básico das
Engenharias, particularmente, na disciplina Física Experimental.
Nas aplicações, pequenos erros ocorrem invariavelmente quando quantidades são medidas. Quando essas quantidades são
computadas, esses erros são propagados para as quantidades computadas e isso é chamado de propagação de erros.
Veja os exemplos abaixo.
Exemplo 3
Suponha que, com uma régua, meçamos o lado de um quadrado como sendo de 20cm, com um erro de medição entre .
Estime o erro na área calculada do quadrado.
± 1 20cm/
Exemplo 4
O raio de uma esfera é medido com um erro percentual entre . Estime o erro percentual no volume da esfera calculado
com o raio medido.
±0, 05%
Velocidade e aceleração
Para descrever completamente o movimento de um objeto, é necessário especi�car sua velocidade, a direção e o sentido do em
que está se movendo.
Nesta seção, você verá a aplicação de derivadas no estudo do movimento de objetos que se movem ao longo de curvas nos
espaços bi e tridimensional.
Por enquanto, começaremos apenas com o movimento ao longo de uma reta, ou seja, o movimento retilíneo.
Veja alguns exemplos:
 Gráficos representando as curvas de posição (s) versus tempo (t). Fonte: ANTON et al. (2007).
Um pistão se movendo em um cilindro
Um carro de corrida em uma pista reta
Um objeto largado diretamente para baixo do alto de um
prédio
Uma bola que, jogada verticalmente para cima, volta
verticalmente para baixo
Se uma partícula em movimento retilíneo percorre o eixo de tal modo que a função da coordenada da posição em termos do
tempo decorrido é:
s
t
Então, é denominada função posição da partícula. O grá�co de é a curva
de posição versus tempo.
f s = f(t) 
Atenção
É importante distinguir entre a velocidade (quão rápida é e em que sentido) e a velocidade escalar (quão rápida é) de uma
partícula em movimento [retilíneo]. Isso é feito usando velocidade negativa para movimentos no sentido negativo e velocidade
positiva para movimentos no sentido positivo.
Assim, uma partícula com uma velocidade de -2 m/s tem uma velocidade escalar de 2m/s e se move no sentido negativo;
enquanto uma partícula com velocidade de 2m/s tem uma velocidade escalar de 2m/s e se move no sentido positivo.
Suponha que uma partícula em movimento retilíneo ao longo de um eixo tenha uma função posição . A velocidade
média da partícula em um intervalo de tempo , com , é de�nida como:
Para de�nir a velocidade escalar média, usamos a distância percorrida pela partícula, e não seu deslocamento.
Por exemplo, se uma partícula se move 5m no sentido positivo, e então retrocede 2m no sentido negativo, seu deslocamento é de
3m, mas a distância percorrida é de 7m [(5 + 2)].
De�nimos a velocidade escalar média como [...]:
No caso em que a partícula se move somente no sentido positivo, seu deslocamento e a distância percorrida em qualquer
intervalo de tempo são iguais. Neste caso, a “velocidade média e a velocidade escalar média são iguais” (MAIA; LUZ, 2010, p. 30-
31).
s s = f(t)
[ , + h]to to h > 0
= =vm
deslocamento
tempo decorrido
f( +h)−f( )to to
h
velocidade escala =rm
distância percorrida
tempo decorrido
Velocidade instantânea
A velocidade média descreve o comportamento de uma partícula em movimento retilíneo em um intervalo de tempo. Caso você
queira a “velocidade instantânea” da partícula, a qual descreve o comportamento em um instante de tempo especí�co, você
precisa voltar à de�nição de limite:
Em outras palavras, a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
Geometricamente, a velocidade média entre e é a inclinação da reta secante pelos pontos 
 e da curva posição versus tempo, e a velocidade instantânea no instante é a
inclinação da reta tangente à curva posição versus tempo no ponto .
=vi lim
h → 0
f( +h)−f(  )to to
h
 (t) = = = f' (t)vi dsdt lim∆t → 0
f(t+∆t)−f(t)
∆t
 vm t = to t = + h to
P( , f(t_o ))toQ ( + h, f ( + h))to to  vi to
P( , f(  ))to to
 Interpretação geométrica para os conceitos de velocidade média e velocidade
instantânea. Fonte: ANTON et al. (2007).
A velocidade instantânea é positiva quando a partícula se move no sentido positivo, é
negativa quando a partícula se move no sentido negativo e é zero quando a partícula
está momentaneamente parada.
De�nimos velocidade escalar instantânea no instante como o valor absoluto da velocidade instantânea:
Isso nos diz quão rápido está se movendo a partícula no instante , mas não fornece seu sentido.
A taxa com que a velocidade de um corpo varia é a aceleração do corpo. A aceleração mede quanto um corpo ganha ou perde de
velocidade. Uma mudança repentina na aceleração é chamada de “torque”.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Se a posição de um corpo no instante é , então, sua
aceleração no instante é:
Torque é a derivada da aceleração em relação ao tempo:
to
velocidade escalar instantâne = | | =ai vi
∣
∣
∣ lim
h → 0
f( +h)−f( )to to
h
∣
∣
∣
t = to
t s = f(t)
t
a (t) = =dv
dt
sd2
dt2
j(t) = =da
dt
sd3
d  t3
Exemplo 5
A queda livre de uma bola pesada partindo do repouso no instante está representada na �gura a seguir. A equação
métrica da queda livre é .
Determine:
a) Quantos metros a bola cai nos dois primeiros segundos?
b) Qual a sua velocidade, o módulo de sua velocidade e sua aceleração nesse instante?
t = 0 s 
s(t) = 4, 9t2
A derivada em grá�cos e aplicações
O propósito desta seção é desenvolver ferramentas matemáticas para que possamos determinar a forma exata do grá�co e a
localização precisa de seus aspectos chaves.
Na �gura a seguir, a função tem o seu grá�co percorrido da esquerda para a direita. Observando as setas indicativas, note que a
função exibe uma série de comportamentos. Ela é crescente no intervalo , torna-se decrescente no intervalo [0,2],
novamente é crescente no intervalo [2,4] e, �nalmente, torna-se constante no intervalo .
A de�nição de crescente e decrescente para uma função foi apresentada na aula anterior. Ao mesmo tempo parece ser intuitivo
através da Figura 6, pois é constante em um intervalo se para todo e .
As �guras a seguir apresentam uma análise do comportamento da função através do conceito de derivada. Se for uma
função contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então:
f
f (−∞, 0]
[4, +∞)
 Diferentes comportamentos exibidos por uma função f. Fonte: ANTON et al. (2007).
f
f f(  ) = f(  ) x1 x2 x1 x2
f f
[a, b]  (a, b)
Crescente
Quando é crescente em , para todo
valor de em ;
f [a, b] (x) > 0f ′
x (a, b)
Decrescente
Quando é decrescente em , para todo
valor de em ; e,
f [a, b] f' (x) < 0 
x (a, b)
Constante
Quando é constante em , para todo
valor de em .
f [a, b] (x) = 0f ′
x (a, b)
Diferentes funções e seu comportamento no intervalo . Observe como a derivada primeira se correlaciona
com o comportamento da função. Fonte: ANTON et al. (2007).
f(x) [a, b]
Comentário
As observações sobre as �guras anteriores podem ser estendidas e aplicadas a qualquer intervalo dentro do qual a função 
seja contínua e também diferenciável.
I f
Concavidade
Embora o sinal da derivada de revele onde o grá�co de é crescente ou decrescente, ele não revela a direção da curvatura do
grá�co.
Por exemplo, o grá�co está crescendo de ambos os lados do ponto no esquema abaixo, mas, à esquerda, está curvado para cima
(“segura água”) e, à direita, para baixo (“derrama água”).
f f
 Função e a análise da concavidade da função usando o conceito de derivada
segunda. Fonte: ANTON et al. (2007).
f
De�nição: Se é diferenciável em um intervalo aberto , então, dizemos que é
côncava para cima em , se é crescente em ; e, côncava para baixo em , se é
decrescente em .
f I f
I f'  I I f' 
I
Se uma função , em um intervalo aberto , for duas vezes diferenciável, então teremos que:f I
Haverá uma concavidade para cima em 
quando para cada valor de .
I
f''(x) > 0  x
Haverá uma concavidade para baixo em 
quando para cada valor de .
I
f''(x) > 0  x
Pontos de in�exão
Os pontos em que uma curva muda de côncavo para cima para côncavo para baixo ou vice-versa são de interesse especial.
Portanto, existe uma terminologia associada.
De�nição: Se é contínua em um intervalo aberto contendo o ponto e muda de
concavidade no ponto , então, dizemos que o ponto do domínio, ou
ponto do grá�co, é um ponto de in�exão de .
f xo
( , f ( ))xo xo xo
( , f(  ))xo xo f
 Representação do ponto de inflexão 
para a função . Fonte: ANTON et al.
(2007).
xo
f
Exemplo 6
Considere a função . Use as derivadas primeira e segunda de para determinar os intervalos nos quais 
é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo. Localize todos os pontos de in�exão e con�rme suas
conclusões com um esboço do grá�co.
f (x) = − 3 + 1x3 x2 f f
Máximos e mínimos relativos
Dizemos que uma função tem um máximo relativo em se houver um intervalo aberto contendo no qual é o maior
valor, isto é, para todo no intervalo.
Analogamente, se diz que tem um mínimo relativo em se houver um intervalo aberto contendo no qual é o menor
valor, isto é, para todo no intervalo.
Quando tiver um máximo ou um mínimo relativo em , se diz que tem um extremo relativo em .
Teorema: Suponha que seja uma função de�nida em um intervalo aberto contendo o ponto . Se tem um extremo
relativo em , então é um ponto crítico de ; assim, ou ou não é diferenciável em .
Teste da derivada primeira: Uma função tem um extremo relativo naqueles pontos críticos em que troca de sinal.
f xo xo f ( )xo
f ( ) ≥ f(x)xo x
f xo xo f ( )xo
f ( ) ≤ f(x)xo x
f xo f xo
 Algumas funções e seus respectivos máximos e mínimos relativos, quando os mesmos existem. Fonte: ANTON et al. (2007).
f(x)
f xo f
x = xo x = xo f ( ) = 0f
′ xo f xo
f ′
Saiba mais
Há outro teste para extremos relativos, frequentemente mais fácil de aplicar do que o da derivada primeira. Baseia-se no teste da
derivada segunda. Suponha que seja duas vezes diferenciável em um ponto 
Se e , então, tem um mínimo relativo em ;
Se e , então, tem um máximo relativo em ;
Se e , então, o teste é inconclusivo, isto é, pode ter um máximo ou mínimo relativo ou nenhum
dos dois em .
f xo
( ) = 0f ′ xo ( ) > 0f '' xo f xo
( ) = 0f ′ xo ( ) < 0f '' xo f xo
( ) = 0f ′ xo ( ) = 0f
'' xo f
xo
Grá�cos de curvas
Em muitos problemas, as propriedades de interesse no grá�co de uma função são:
Simetrias Cortes no eixo x Extremos relativos
Intervalos de
crescimento e
decaimento
Assíntotas Periodicidade Cortes no eixo y Pontos de in�exão
Concavidade
Comportamento no
in�nito
Algumas dessas propriedades podem não ser relevantes em certos casos.
Por exemplo, assíntotas são características de funções racionais, mas não de polinômios; e, a periodicidade é característica de
funções trigonométricas, mas não de polinômios ou funções racionais. Assim, quando analisamos o grá�co de uma função é
útil saber algo a respeito das propriedades gerais das famílias à qual a função pertence.
Veja alguns exemplos comuns:
f
Exemplo 7
Esboce o grá�co da função :y = 2  − 8x
2
− 16x2 
Grá�cos com tangentes verticais e cúspides
A próxima �gura mostra quatro partes de curva que podem ser encontradas facilmente em grá�cos de funções que envolvem
radicais ou expoentes fracionários.
Em todos os quatro casos, a função não é diferenciável em , pois as retas secantes pelos pontos e 
tendem à posição vertical quando tende a de qualquer um dos dois lados.
Assim, em cada caso, a curva tem uma reta tangente vertical em . Nas partes (a) e (b) da �gura, ocorre uma in�exão
em porque há uma mudança de concavidade nesse ponto.
Nas partes (c) e (d), em que tende a por um dos lados e a pelo outro, dizemos que o grá�co tem uma cúspide
em .
xo ( , f ( ))xo xo (x, f (x))
x xo
( , f ( ))xo xo
xo
(x)f ′ +∞ −∞
xo
Saiba mais
Os métodos para traçar o grá�co de polinômios, de funçõesracionais e funções com cúspides e retas tangentes verticais,
também podem ser aplicados para a análise de funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais, bem como uma variedade
sem �m de outros tipos de funções.
 Observe que os pontos de inflexão podem ser distinguidos das cúspides em pontos com tangências verticais pelo comportamento no limite. Fonte: ANTON et al. (2007).
f′
Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
Teorema de Rolle (Michel Rolle, 1652-1719): Seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e contínua no intervalo fechado [a,b]. Se: 
 e 𝑓(𝑏)=0, então, há pelo menos um ponto 𝑐 em (𝑎,𝑏), tal que .
f
f (a) = 0 (c) = 0f ′
O Teorema de Rolle é um caso especial de um resultado mais geral, denominado
Teorema do Valor Médio .1
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0023/aula5.html
Geometricamente, esse teorema a�rma que, entre dois pontos e quaisquer do grá�co de uma função
diferenciável , existe pelo menos um ponto onde a reta tangente ao grá�co é paralela à reta secante que passa por e .
A(a, f(a)) B(b, f(b))
f A B
Atividade
1. A aproximação linear local permite que o valor de seja aproximadamente dado por:(3, 02)4
a) 81,15
b) 82,05
c) 83,16
d) 84,55
e) 88,43
2. A função apresenta a característica de qual alternativa abaixo?f(x) = 5 − 4x − x2
a) Não possui raízes reais.
b) Apresenta a concavidade voltada para cima.
c) Apresenta ponto de inflexão em .x = −2
d) O ponto será um ponto de máximo relativo.x = −2
e) O ponto será um ponto de mínimo relativo.x = −2
3. A função apresenta pontos críticos em:f (x) = 3 − − 5x3 9
2
x2
a) -1 e 1
b) -1 e 0
c) 0 e 1
d) 1 e 2
e) e −∞ +∞
4. Usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda, os extremos relativos de podem ser
encontrados em:
f (x) = 1 + 8x − 3x2
a) Não existem extremos relativos
b) Nos pontos e x = 0 x = 1 2/
c) Nos pontos e x = − 1 2/ x = + 1 2/
d) Apenas no ponto x = 0
e) Apenas no ponto  x = 4 3/
5. Dada a função , é correto a�rmar que:f (x) = 2x − 6
4 − x 
a) Não corta o eixo y
b) Não corta o eixo x
c) Possui assíntota vertical em x = −4
d) Possui um máximo relativo em x = 0
e) Possui assíntota horizontal em y = −2
Notas
Teorema do Valor Médio 1
Seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Então, existe pelo menos um ponto em 
, tal que:
f [a, b] (a, b) c
(a, b)
(c) =f ′
f(b)−f(a)
b−a
 Interpretação geométrica para o Teorema do Valor Médio. Fonte: ANTON et al. (2007).
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
MAIA, M. de A.; LUZ, R. R. da. Teorema do valor médio e algumas aplicações. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em
Matemática). Marabá: Faculdade de Matemática, Universidade Federal do Pará, 2010.
PANONCELI D M Análise Matemática Curitiba: Intersaberes 2017
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
Problemas de maximização e minimização;
Formas indeterminadas e regra de l’Hôpital.
Explore mais
Prezado aluno, a nossa discussão sobre derivadas está quase chegando ao �nal. A �m de revisar os tópicos aqui veri�cados e
despertar o seu interesse no assunto aqui tratado, seguem sugestões de vídeos para você assistir:
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 24 - Taxas Relacionadas - parte 1” <https://youtu.be/2NAPSX-GHPI> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 25 - Taxas Relacionadas - parte 2” <https://youtu.be/MO3Pq3aP43Y> ;
“Cálculo I - Aula 17 - Grá�cos de funções” <https://youtu.be/QyN0Qh5l7kI> ;
“Cálculo I - Aula 18 - Cálculo de Máximos e Mínimos de uma Função e Concavidade” <https://youtu.be/7oHKPyNSWc4> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 31 - Teorema do Valor Médio - parte 2” <https://youtu.be/JOhvpKNCUbM> .
https://youtu.be/2NAPSX-GHPI
https://youtu.be/MO3Pq3aP43Y
https://youtu.be/QyN0Qh5l7kI
https://youtu.be/7oHKPyNSWc4
https://youtu.be/JOhvpKNCUbM