OPERAÇÃO COM DESCONTO COMPOSTO

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Curso de Matemática Financeira
Operação com Desconto Composto
Prof Alexandre Wander
Matemática Financeira
• Aula de 11/05/2020
• Início: 19:10 as 20:25
• Intervalo
• Retorna: 20:45 as 22:00
• “áudio aberto para todos os alunos”
• Tema: Operações com descontos compostos
Matemática Financeira
Operações com descontos
Consiste na operação de liquidar um título antes do seu vencimento 
envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo 
pagamento antecipado.
Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença ente o 
valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado por n 
períodos antes do seu vencimento.
Por outro lado, o valor descontado de um titulo é o seu valor atual na 
data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor 
nominal e o desconto.
Matemática Financeira
Operações com descontos COMPOSTO
Desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais, 
também neste caso, são conhecidos dois tipo de descontos:
1. Desconto racional (por dentro)
2. Desconto comercial (por fora)
O desconto comercial “por fora” é raramente aplicado no Brasil, não 
apresentando uso prático. Quanto ao desconto racional “ por dentro”, envolve 
o valor atual e o valor nominal de um título capitalizado segundo o regime de 
juros compostos, apresentando, portanto, larga utilização na prática.
Desconto por fora - comercial
O desconto composto "por fora" caracteriza-se pela incidência sucessiva da 
taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em 
cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.
Nessa conceituação, o desconto composto comercial "por fora", apresenta 
os seguintes formulações e resultados numa sucessão de períodos: 
Desconto Comercial: Siglas
Siglas
N = Valor nominal
Df = Desconto comercial
d = taxa de desconto periódica
n = tempo
Vf = Valor de resgate comercial
Df = Desconto comercial
Desconto Comercial: Fórmulas
Primeiro período
VF1 = N - D
Como
DF1 = N x d
tem-se:
VF1 = N - N . d
VF1 = N ( 1 - d)
O valor de N (1- d) é o valor 
nominal sobre o qual incidirá a 
taxa de desconto no período 
seguinte:
Segundo período
DF2 = N ( 1 - d) . d
Logo:
VF2 = VF1 - DF2
VF2 = N ( 1 - d) - N (1 - d). d
VF2 = N - Nd - (N + Nd) . D
VF2 = N - Nd - Nd + Nd
2
VF2 = N - 2 Nd + Nd
2
Colocando em evidência:
VF2 = N ( 1 - 2d + d
2
)
VF2 = N (1 - d)
2
E assim sucessivamente até o 
enésimo período. Generalizando 
o desenvolvimento do desconto 
composto "por fora", obtém-se a 
seguinte expressão de cálculo:
VF = N ( 1 - d)
n
Como:
DF = N - VF
tem-se
DF = N - N (1-d)
n
DF = N { 1 - (1 -d)
n
}
Terceiro periodo
DF3 = N (1 - d)
2
 . d
VF3 =VF2 - DF3
VF3 =N (1 - d)
2
 - N (1 - d)
2
 . d
VF3 =N ( 1 - 2d + d
2
) - N (1 - 2d + d
2
) .d
VF3 =N - 2dN + Nd
2
 - Nd + 2d
2
N - Nd
3
VF3 =N (1 - 2d - d
2
 - d + 2d
2
 - d
3
)
VF3 =N (1 - 3d + 3d
2
 - d
3
)
VF3 =N ( 1 - d)
3
Desconto Comercial - por fora
1) Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma operação
de desconto composto "por fora" 3 meses antes do seu vencimento. A taxa de
desconto adotada atinge 5% ao mês. Pode-se determinar o valor descontado, o
desconto e a taxa de juros efetiva da operação.
Dados
N = Valor nominal 35.000,00 
n = tempo 5%
d = taxa de desconto periódica 3
Df = Desconto comercial ???
Vf = Valor de resgate comercial ???
Valor descontado
Vf = Valor de resgate comercial
VF = N ( 1 - d)
n
N = Valor nominal 35.000,00 
FRM( 1 - d)
n
86%
Vf = Valor de resgate comercial 30.008,13 
Taxa efetiva de juros
N = Valor nominal 35.000,00 
Vf = Valor de resgate comercial 30.008,13 
n = tempo 3
i = taxa efetiva ???
M = C (1+i)
n
(1+i)M / C
(1+i)
3 
M / C 1,16635078
1+i = 1,1663508^
(1/3)
1+i = 1,052631579
i = 0,052631579
i = 5,26% a.m
VALOR DO DESCONTO
Fórmula do desconto
DF = N { 1 - (1 -d)
n
}
N = Valor nominal 35.000,00 
 { 1 - (1 -d)
n
} 14%
DF = Desconto comercial 4.991,88 
Desconto Comercial - por fora
2) A partir das informações do exemplo anterior, efetuar uma demonstração 
mensal ilustrando a formulação do desconto e do valor descontado, conforme 
apresentado no desenvolvimento da fórmula.
Primeiro mês
DF1 = N x d
N = Valor nominal 35.000,00 
d = taxa de desconto periódica 5%
Df = Desconto comercial 1.750,00 
VF1 = N - N . d
N = Valor nominal 35.000,00 
N.d Desconto comercial 1.750,00 
VF1 = Valor de resgate comercial 33.250,00 
Segundo período
DF2 = N ( 1 - d) . d
VF1 = Valor de resgate comercial 33.250,00 
d = taxa de desconto periódica 5%
DF2 = Desconto comercial 1.662,50 
VF2 = VF1 - DF2
VF1 = Valor de resgate comercial 33.250,00 
DF2 = Desconto comercial 1.662,50 
VF2 = Valor de resgate comercial 31.587,50 
Terceiro periodo
DF3 = N ( 1 - d) . d
VF2 =Valor de resgate comercial 31.587,50 
d = taxa de desconto periódica 5%
DF2 = Desconto comercial 1.579,38 
VF3 =VF2 - DF3
VF1 =Valor de resgate comercial 31.587,50 
DF2 = Desconto comercial 1.579,38 
VF3 =Valor de resgate comercial 30.008,13 
Desconto Comercial - por fora
3) Uma duplicata no valor de R$ 28.800,00, com vencimento 120 dias para o seu
vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito
de desconto composto "por fora". Calcular o valor do desconto.
Dados
N = Valor nominal 28.800,00 
n = tempo 4 
d = taxa de desconto periódica 2,50%
Df = Desconto comercial ???
Vf = Valor de resgate comercial ???
VALOR DO DESCONTO
Fórmula do desconto
DF = N { 1 - (1 -d)
n
}
N = Valor nominal 28.800,00 
 { 1 - (1 -d)
n
} 10%
DF = Desconto comercial 2.773,79 
Valor descontado
Vf = Valor de resgate comercial
VF = N ( 1 - d)
n
N = Valor nominal 28.800,00 
FRM ( 1 - d)
n
90%
Vf = Valor de resgate comercial 26.026,21 
Taxa efetiva de juros
N = Valor nominal 28.800,00 
Vf = Valor de resgate comercial 26.026,21 
n = tempo
i = taxa efetiva
N = Vf (1+i)n
(1+i)n N / VF
(1+i)3
N / VF 110,66%
1+i = 1,1663508^
(1/4)
1+i = 1,025641026
i = 0,025641026
i = 2,56% a.m
Desconto Comercial - por fora
4) Uma empresa deve R$ 80.000,00 a um banco cujo vencimento se dará daqui a 
10 meses. No entanto, 4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar 
antecipadamente o empréstimo e solicita ao banco um desconto.
O banco informa que opera de acordo com o conceito de desconto comercial "por 
fora", sendo sua taxa de desconto para este tipo de operação de 3,5% ao mês.
Pede-se calcular o valor líquido que a empresa irá receber do banco no momento 
do desconto da duplicata, pela antecipação do seu empréstimo.
Dados
N = Valor nominal 80.000,00 
n = tempo 4
d = taxa de desconto periódica 4%
Vf = Valor de resgate comercial ???
Valor descontado
Vf = Valor de resgate comercial
VF = N ( 1 - d)
n
N = Valor nominal 80.000,00 
FRM( 1 - d)
n
85%
Vf = Valor de resgate comercial 67.947,72 
Desconto Comercial - por fora
5) Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, 
produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do 
título?
Dados
Df = Desconto comercial 1.379,77 
n = tempo 3,00 
d = taxa de desconto periódica 3%
N = Valor nominal
Fórmula do desconto
DF = N { 1 - (1 -d)n}
N = Desconto comercial
{ 1 - (1 -d)n}
DF = Desconto comercial 1.379,77 
{ 1 - (1 -d)n} 0,09 
N = Valor nominal 15.800,04 
Desconto Comercial – por fora
4) Um título foi descontado à taxa de 3% ao mês 5 meses antes do seu vencimento. 
Sabe-se que esta operação produziu um desconto de R$ 39.000,00. Admitindo-se 
o conceito de desconto composto "por fora", calcular o valor nominal do título.
Dados
Df = Desconto comercial 39.000,00 
n = tempo 5
d = taxa de desconto periódica 3%
N = Valor nominal ???Fórmula do desconto
DF = N { 1 - (1 -d)n}
N = Desconto comercial
{ 1 - (1 -d)
n
}
DF = Desconto comercial 39.000,00 
{ 1 - (1 -d)
n
} 0,141265974
N = Valor nominal 276.074,97 
Desconto racional – por dentro
Conforme comentado, o desconto composto " por dentro" ou racional é 
aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros 
compostos.
Assim sendo, o valor descontado racional, equivale ao valor presente dos 
juros compostos.
Valor nominal Montante
(1 + i )
n
(1 + i )
nVr = C = 
Desconto racional: Siglas e fórmulas
Siglas
N = Valor nominal
Dr = desconto racional
n= tempo
i = taxa
Vr = Valor de resgate racional 
Valor nominal Montante
(1 + i )
n
(1 + i )
nVr = C = 
Por outro lado, sabe-se que o desconto é obtido pela diferença entre o valor 
nominal (resgate) e o valor descontado (valor presente). Logo, o desconto racional 
(d), tem a seguinte expressão de cálculo: 
Dr = N - Vr
Valor nominal
(1 + i )
nVr = N -
Colocando-se 
o N em 
evidência, 
temos:
1
(1 + i )
n
)( 1-Dr = N
Desconto Racional - por dentro
1) Suponha que uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses 
antes do seu vencimento. O valor nominal deste título é de R$ 50.000,00. Sendo de 
4,5% ao mês a taxa de desconto racional, o valor líquido recebido (valor 
descontado) pela pessoa na operação atinge:
Dados
N = Valor nominal 50.000,00 
i = taxa 4,50%
n= tempo 3
Vr = Valor de resgate racional ???
Valor nominal
(1 + i )
n
Valor nominal 50.000,00 
(1 + i )
n
114,12%
Vr = Valor de resgate racional 43.814,83 
Vr = 
O valor do desconto racional, por seu lado será:
Dr = N - Vr
N = Valor nominal 50.000,00 
Vr = Valor de resgate racional 43.814,83 
Dr = desconto racional 6.185,17 
Por se tratar de desconto 
racional "por dentro", a taxa 
efetiva de juros é a própria 
taxa de desconto 
considerada:
N = Valor nominal 50.000,00 
Vr = Valor de resgate racional 43.814,83 
n = tempo 3
i = taxa efetiva ???
N = Vr (1+i)
n
(1+i)nN / Vr
(1+i)
3
N / Vr 1,141166125
1+i = 1,141166125^
(1/3)
1+i = 1,045
i = 0,045
i = 4,50% a.m
Desconto Racional - por dentro
2) Determinar o valor de resgate e o valor do desconto composto racional de um 
título no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se que seu prazo é de 5 meses e que a 
taxa do desconto cobrada é de 3,5% ao mês
Dados
N = Valor nominal 50.000,00 
i = taxa 3,50%
n= tempo 5
Vr = Valor de resgate racional ???
Vr = Valor nominal
(1 + i )
n
Valor nominal 50.000,00 
(1 + i )
n
118,77%
Vr = Valor de resgate racional 42.098,66 
O valor do desconto racional, por seu lado será:
Dr = N - Vr
N = Valor nominal 50.000,00 
Vr = Valor de resgate racional 42.098,66 
Dr = desconto racional 7.901,34 
1
(1 + i )
n
1
(1 + 0,035 )
5
D
r
 = N ( 1- )
Dr = N ( 1- )
N = Valor nominal 50.000,00 
n = tempo 5 
i = taxa efetiva 3,50%
Dr = desconto racional ???
Dr = desconto racional 7.901,34 
Fórmula direta do desconto
Desconto Racional - por dentro
2) Sabendo-se que um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi descontado 5 
meses antes do seu vencimento. O valor nominal do título é de R$ 42.000,00 e a 
taxa de desconto, de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido liberado nesta 
operação, sabendo-se que foi utilizado o desconto composto racional " por dentro".
Dados
N = Valor nominal 42000
i = taxa efetiva 3,50%
n = tempo 5
Vr = Valor de resgate racional ???
Vr = Valor nominal
(1 + i )n
Valor nominal 42.000,00 
(1 + i )n 1,187686
Vr = Valor de resgate racional 35.362,87 
Desconto Racional - por dentro
2) Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de R$ 
12.000,00 descontado 4 meses antes dos seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês
Dados
N = Valor nominal 12.000,00 
n = tempo 4
i = taxa efetiva 2,50%
Dr = desconto racional ???
1
(1 + i )
n
1
(1 + 0,025 )
4
Dr = N ( 1- )
Dr = N ( 1- )
Dr = desconto racional 1.128,59 
AWdOO1
Slide 19
AWdOO1 Alexandre Wander de Oliveira Oliveira; 14/05/2020
Desconto Racional - por dentro
3) Um banco libera a um cliente R$ 6.800,00 provenientes do desconto de um título 
de valor nominal de R$ 9.000,00 descontado à taxa de 4% a.m.. Calcular o prazo 
de antecipação que foi descontado este título.
Dados
N = Valor nominal 9.000,00 
Vr = Valor de resgate racional 6.800,00 
i taxa efetiva 4%
n tempo ???
N = Valor nominal 9.000,00 
Vr = Valor de resgate racional 6.800,00 
N/VR = 1,323529412 = (1,04 )
n
Log 1,323529412 = n x log 1,024
= (1 + i )
n
1,323529412
1,04
log 1,323529412 0,1217336
log 1,024 0,0170333
n = tempo 7,146783998
n = Log =
n =
Desconto Racional - por dentro
5) Sabendo-se que um título, para ser pago daqui a 24 meses, foi descontado 5 
meses antes do seu vencimento. O valor nominal do título é de R$ 62.000,00 e a 
taxa de desconto, de 2,5% ao mês. Calcular o valor líquido liberado nesta 
operação, sabendo-se que foi utilizado o desconto composto racional " por dentro".
Dados
N = Valor nominal 62.000,00 
i = taxa efetiva 2,50%
n = tempo 5
Vr = Valor de resgate racional ???
Vr = Valor nominal
(1 + i )
n
Valor nominal 62.000,00 
(1 + i )
n
1,131408
Vr = Valor de resgate racional 54.798,97 
Desconto Racional - por dentro
6) Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de R$ 
42.000,00 descontado 5 meses antes dos seu vencimento à taxa de 3% ao mês
Dados
N = Valor nominal 42.000,00 
n = tempo 5
i = taxa efetiva 3,00%
Dr = desconto racional ???
1
(1 + i )
n
Dr = desconto racional 5.770,43 1
(1 + 0,03 )
5
Dr = N ( 1- )
Dr = N ( 1- )
Desconto Racional - por dentro
7) Um banco libera a um cliente R$ 15.400,00 provenientes do desconto de um 
título de valor nominal de R$ 29.000,00 descontado à taxa de 3% a.m.. Calcular o 
prazo de antecipação que foi descontado este título.
Dados
N = Valor nominal 29.000,00 
Vr = Valor de resgate racional 15.000,00 
i taxa efetiva 3%
n tempo ???
Valor nominal
Valor de resgate racional 
N = Valor nominal 29.000,00 
Vr = Valor de resgate racional 15.000,00 
N/VR = 1,933333333 = (1,03 )
n
Log 1,323529412 = n x log 1,024
1,933333333
1,03
log 1,933333333 0,2863067
log 1,03 0,0128372
n = tempo 22,30285326
(1 + i)
n
 =
=(1 + i )
n = Log =
n =
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