Geo_Espacial_Poliedros

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Disciplina:
Geometria Espacial
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CATALÃO
UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E TECNOLOGIA
Prof. Dr. Paulo Roberto Bergamaschi
prbergamaschi@ufg.br
POLIEDROS
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
	Os sólidos limitados unicamente por superfícies planas chamam-se poliedros (do grego: polys que significa várias (dando origem ao prefixo poli) e hédrai que significa faces (dando origem ao sufixo edro)).
	Os sólidos limitados por porções de superfícies curvas (em parte ou na totalidade) dizem-se não poliedros.
São poliedros:
Os prismas e as pirâmides.
São não poliedros:
Os cilindros, os cones e as esferas.
http://matheesaa.blogspot.com/2017/09/solidos-geometricos.html
Definição de Poliedro
	Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos em que:
Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono;
A interseção de dois polígonos quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice de um polígono ou é vazia;
É sempre possível ir de um ponto de um polígono a um ponto de qualquer outro polígono, sem passar por nenhum vértice (ou seja, cruzando apenas os lados dos polígonos)
A condição (3) é para evitar poliedros da natureza apresentada ao lado.
Elementos do Poliedro
 Faces são os polígonos que limitam o poliedro.
 Arestas são os segmentos de reta que limitam suas faces.
 Vértices são os pontos de interseção de três ou mais arestas.
vértice
face
aresta
As faces de um poliedro são polígonos.
Por exemplo, o cubo tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.
Certos polígonos têm nomes especiais conforme o número dos seus lados:
Relembrando:
Classificação do polígono quanto ao número de lados (ou de vértices)
	Seguindo a definição dada, tem-se que todo poliedro limita uma região do espaço, a qual é chamada de interior desse poliedro. 
	Diz-se que um poliedro é convexo se o seu interior é convexo. 
	O que isto significa?
	Um conjunto , do plano ou do espaço, diz-se convexo, quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de está inteiramente contido em .
	Em se tratando de poliedros, essa definição pode ser substituída por outra equivalente, que se torna mais útil, e que é apresentada a seguir.
Poliedros Convexos
 Poliedro Convexo e Não Convexo	
	Um poliedro é chamado convexo se, em relação a cada uma de suas faces, está todo contido no mesmo semi-espaço determinado pela face.
	Entendendo melhor isto!
	Considere um poliedro e uma de suas faces. Imagine um plano apoiado nessa face e verifique se o poliedro fica totalmente de um lado desse plano. Repita esse procedimento para todas as faces. Se, em todas as etapas, o poliedro ficar totalmente de um lado do plano, então o poliedro é convexo. Caso contrário, não.
Poliedro Convexo
Poliedro Não convexo
Classificação dos Poliedros
Os nomes dos poliedros convexos dependem do número de faces:
 Tetraedro = Quatro faces
 Pentaedro = Cinco faces
 Hexaedro = Seis faces
 Heptaedro = Sete faces
 Octaedro = Oito faces
 Decaedro = Dez faces
 Dodecaedro = Doze faces
 Icosaedro = Vinte faces
Primeiras Relações
	Dado um poliedro, represente o número de suas faces por , o de arestas por e o de vértices por .
	As faces podem ser de gêneros diferentes. Represente por o número de faces que são triângulos; por o número de faces que são quadriláteros; por o número de faces que são pentágonos e assim sucessivamente. Ou seja, () é o número de faces que são polígonos de lados. Assim,
	Da mesma forma, os vértices podem ser de gêneros diferentes. Represente por o número de vértices, nos quais concorrem arestas. Portanto,
	Para a contagem do número de arestas, imagine o seguinte: cada face triangular “contribui” com 3 arestas; cada face quadrangular com 4 arestas; cada face pentagonal com 5 arestas e assim por diante. Então, basta multiplicar o número de triângulos por 3, o número de quadriláteros por 4, o número de pentágonos por 5 e assim sucessivamente, e depois somar os resultados. Porém, cada aresta do poliedro é lado de exatamente duas faces; então essa soma é o dobro do números de arestas, ou seja,
Contagem das arestas
Outra maneira de contar as arestas
	Note que em um poliedro existem os vértices em que deles partem 3 arestas, a quantidade deles é representada por ; os que deles partem 4 arestas, cuja quantidade é representada por ; os que deles partem 5 arestas, cuja quantidade é ; e assim por diante. Dessa forma, para se ter o número de arestas, basta multiplicar por 3, por 4, por 5, e assim consecutivamente, e somar esses resultados. Novamente, o resultado da soma obtido é o dobro do número de arestas, já que cada aresta une dois vértices. Ou seja,
Duas Desigualdades
	Tem-se
	Portanto,
 (Primeira Desigualdade)
IMPORTANTE: 
	Note que a igualdade ocorre se , o que quer dizer o poliedro tem somente faces triangulares.
	Também
	Portanto,
 (Segunda Desigualdade)
IMPORTANTE: 
	Note que a igualdade ocorre se , o que quer dizer o poliedro tem somente vértices que neles concorrem 3 arestas.
Relação de Euler
Teorema de Euler. Em todo poliedro convexo, com faces, arestas e vértices, vale a relação
	Não será apresentada a demonstração aqui. Na literatura pode ser encontrada diferentes demonstrações para essa relação.
Comentários
1- Existem poliedros não convexos que satisfazem a relação de Euler. Por exemplo, o poliedro exibido abaixo.
2- Todas as relações que encontramos são apenas condições necessárias. Isto quer dizer que não basta que três números , e satisfaçam a elas para que se tenha certeza da existência de um poliedro com essas características.
Poliedros Eulerianos
	Os poliedros para os quais é válida a relação de Euler são chamados poliedros eulerianos.
	Assim, todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo.
Por exemplo, o poliedro ao lado é euleriano, mas não é convexo.
Poliedros Não-eulerianos
	Existem poliedros que não são eulerianos, ou seja, que não satisfazem a relação de Euler. Por exemplo, o poliedro abaixo.
Verifique!
Exemplos
Exemplo 1. A bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa de 1970 foi inspirada em um conhecido poliedro convexo (descoberto por Arquimedes) formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Quantos vértices possui tal poliedro.
Resolução: 
		Como esse poliedro é convexo, pela Relação de Euler: . Portanto, .
Exemplo 2. Descreva e mostre uma possibilidade para o desenho de um poliedro convexo que possui 13 faces e 20 arestas.
Resolução: Sabe-se que 
Da relação de Euler, tem-se que o número de vértices desse poliedro é .
	 Tem-se também que
	Portanto,
	Ou seja, , o que significa que o poliedro possui apenas 1 quadrilátero, não possui faces com 5 ou mais lados. Por serem 13 faces no total, as outras 12 faces são triângulos.
	Um poliedro com essas características é que exibido na figura abaixo.
Exemplo 3. Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine os números de faces de cada gênero.
Resolução: Sabe-se que e . Pela relação de Euler,
.
Ou seja, o poliedro possui 12 faces. É dado que essas faces são triangulares e quadrangulares. Portanto,
. (*)
	Além disso, , e, portanto,
 .
Substituindo em (*), obtém-se . Logo, as faces do poliedro são 8 triângulos e 4 quadriláteros.
EXERCÍCIOS
1- Mostre que se um poliedro convexo tem 10 arestas então ele tem 6 faces.
Demonstração: 
Pelo relação de Euler, 
Já que , como e , então, obrigatoriamente, e .
2- Seja um cubo. Considere os pontos-médios das arestas que partem do vértice deste cubo. Unindo esses pontos-médios tem-se um triângulo que é a base de uma pirâmide triangular que tem como vértice o ponto . Raciocinando analogamente, obtêm-se pirâmides em cada um dos outros vértices do cubo. Prove que as faces deste novo poliedro são quadrados e triângulos equiláteros. 
3- Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 4 faces quadrangulares e 5 pentagonais. Qual é o número de vértices desse poliedro?4- Sabendo que a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 7200°, qual é o número de vértices deste prisma? 
5- Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. Qual é o número de arestas desse poliedro? 
Referência:
1- DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Geometria Espacial: posição e métrica. Coleção “Fundamentos de Matemática Elementar”, Ed. 5, Vol. 10, São Paulo: Atual, 1993.
2- Livro de Geometria do PROFMAT.