Aula 6 - principio de limite e continuidade

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DEFINIÇÃO 
Introdução ao estudo de limite e continuidade de funções de uma variável, cálculo de 
limites de funções que apresentam indeterminações, cálculo de limites laterais e análise 
da continuidade de funções. 
PROPÓSITO 
Compreender o conceito de limite, já que grande parte do desenvolvimento teórico do 
Cálculo é feita utilizando essa noção. 
OBJETIVOS 
Módulo 1 
Identificar 
intuitivamente o 
conceito de limite 
de funções 
Módulo 2 
Calcular limites de 
funções algébricas 
com 
indeterminações 
Módulo 3 
Calcular limites 
laterais 
Módulo 4 
Reconhecer a 
continuidade de 
funções 
INTRODUÇÃO 
Você já se perguntou por que é importante estudar os princípios de limite e continuidade? 
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LIMITE DE FUNÇÕES 
Agora que já conhecemos a importância dos princípios de limite e continuidade, vamos 
analisar, a partir do gráfico de uma função polinomial do primeiro grau, o comportamento 
da função em determinado ponto do domínio a fim de compreender, intuitivamente, 
o conceito de limite de funções. 
 
CONCEITO DE LIMITE 
Vamos entender melhor o conceito de limite! 
Vamos relembrar? 
Se f(x) se aproxima de um número real L à medida que x se aproxima de um número real a 
de ambos os lados, então L é o limite de f(x) quando x se aproxima de a. Esse 
comportamento é representado por: 
 
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Observação: 
O limite de uma função polinomial pode ser determinado por meio da substituição direta. 
 
Agora, vamos conhecer alguns exemplos! 
Exemplo 1 
 
Exemplo 2 
 
Conheça mais alguns exemplos! 
 
 
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Exemplo 3 
 
Exemplo 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. (UFU) Sabendo-se que lim
𝑥𝑥→2
 𝑥𝑥+3𝑚𝑚
𝑥𝑥−𝑚𝑚
= 4
3
, 𝑥𝑥 ≠ 𝑚𝑚, então podemos afirmar que: 
a) m é maior do que 4. 
b) m é menor do que -4. 
c) m ∈[1;4]. 
d) m ∈[-4;1]. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
 
 
 
 
 
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2.(UEL) O valor do limite lim
𝑥𝑥→2
𝑥𝑥−3
𝑥𝑥+12
 é: 
a) -5/2 
b) -3/2 
c) -2/5 
d) -1 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
O limite da função será calculado através da substituição direta, isto é, substituindo o x 
pelo valor para o qual ele está se aproximando; nesse caso, 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Se y = f(x) é uma função real de variável real, definida por 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �−x
2 + 3x + 9 se x ≠ −3
5 se x = −3 
então podemos afirmar que o limite lim
x→−3
f(𝑥𝑥) é igual a: 
a) 5 
b) 9 
c) -3 
d) -9 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
No cálculo do limite, interessa analisar o comportamento da função quando x se aproxima 
de -3 e não o que ocorre com a função quando x = -3. Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
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4. O limite lim
𝑥𝑥→2
�2𝑥𝑥
2+3𝑥𝑥+2
6−2𝑥𝑥
 é igual a: 
a) 2 
b) 4 
c) 8 
d) 16 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa A está correta. 
O limite da função dada será calculado através da substituição direta, isto é, substituindo 
o x pelo valor para o qual ele está se aproximando, nesse caso 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. O limite lim
𝑥𝑥→2
�3x
2−2x−2
−x2+2x+4
�
3
 é igual a: 
a) 2 
b) 6/4 
c) 27/8 
d) 1/216 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
O limite da função será calculado por meio da substituição direta, isto é, substituindo 
o x pelo valor para o qual ele está se aproximando; nesse caso, 2. 
lim
𝑥𝑥→2
�3x
2−2x−2
−x2+2x+4
�
3
= �3(2)
2−2(2)−2
−(2)2+2(2)+4
�
3
= �3.4
2−4−2
−4+4+4
�
3
= �12−4−2
−4+4+4
�
3
= �6
4
�
3
= �3
2
�
3
= 27
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. O limite lim
𝑥𝑥→12
2x2+5x+3
x2−5x+1
 é igual a: 
a) 2 
b) -24/5 
c) 0 
d) -15/2 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa B está correta. 
O limite da função será calculado por meio da substituição direta, isto é, substituindo 
o x pelo valor para o qual ele está se aproximando; nesse caso, 1/2. 
lim
𝑥𝑥→12
2x2 + 5x + 3
x2 − 5x + 1
=
2(12)
2 + 5(12) + 3
(12)
2 − 5(12) + 1
=
2. 14 + 5(
1
2) + 3
(12) − 5(
1
2) + 1
=
1
2 +
5
2 + 3
1
4 −
5
2 + 1
=
12
2
− 54
=
6
− 54
= −6.
4
5
= −
24
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LIMITE DE FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM INDETERMINAÇÕES 
Sabemos que o limite de funções pode ser calculado por meio da substituição direta. 
Entretanto, há funções cujo limite nem sempre pode ser encontrado dessa forma. 
 
FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM INDETERMINAÇÕES 
Vamos conhecer um pouco mais sobre funções algébricas com indeterminações! 
Vamos relembrar? 
No cálculo de limites de funções com indeterminação do tipo 0
0
, podemos recorrer aos 
casos de fatoração de expressões algébricas com a finalidade de cancelar a 
indeterminação. Uma vez que ela é cancelada, podemos determinar o limite da função por 
meio da substituição direta. 
Observação: 
 
Antes de desenvolvermos a parte algébrica (ou usar os casos de fatoração), 
devemos verificar se o cálculo do limite gera uma indeterminação do tipo 0
0
. 
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Agora, vamos conhecer alguns exemplos! 
Exemplo 1 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
 
 
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Exemplo 3 
 
 
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Exemplo 4 
 
Observação: 
 
 
 
 
 
 
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VERIFICANDO O APRENDIZADO 
7. (PUC-SP) O limite lim
𝑥𝑥→2
x2−4x+4
x−2
: 
a) não existe. 
b) não é nenhum número real. 
c) vale 0. 
d) vale 2. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. O limite lim
𝑥𝑥→−2
8+𝑥𝑥3
4−𝑥𝑥2
 é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
 
 
 
 
 
 
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9. Se f(x) é uma função real de variável real definida por 
 
, então podemos afirmar que lim
𝑥𝑥→1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) -1 
d) 3 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
No cálculo do limite de f(x), interessa analisar o comportamento da função quando x se 
aproxima de 1 e não o que ocorre com a função quando x = 1: 
 
 
 
 
 
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10. O limite lim
𝑥𝑥→32
4𝑥𝑥2−9
2𝑥𝑥−3
 é igual a: 
a) 0 
b) 2 
c) 6 
d) -2 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11. O limite lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
x4−a4
x−a
 é igual a: 
a) 0 
b) a3 
c) 2a3 
d) 4a3 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12. O limite lim
h→0
(3+h)2−9
h
 é igual a: 
a) 0 
b) -3 
c) 3 
d) 6 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LIMITES LATERAIS 
Agora identificaremos o conceito de limites laterais e como calculá-los em uma função. 
Além disso, vamos analisar a existência do limite a partir dos resultados dos limites 
laterais. 
Considere a função f(x) = x + 2. 
• Verificamos, no módulo 1, o limite dessa função quando x→3 (x se aproxima de 3). 
• Analisamos o comportamento da função quando x se aproxima de 3 pela direita com 
valores maiores que 3, e pela esquerda com valores menores que 3. 
• Nas duas situações, vimos que os valores de f(x) se aproximam de 5. 
• Concluímos que o limite da função existe, pois os valores encontrados à direita e à 
esquerda de 3 são iguais a 5. 
 
A partir desse comportamento, definimos limites laterais. 
 
 
 
 
 
 
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Observações: 
 
(i) Sendo x→a, o limite de uma função existe quando os limites laterais são iguais. 
 
(ii) Sendo x→a, o limite da função não existe quando os limites laterais são 
diferentes. 
LIMITES LATERAIS - EXEMPLO 1 
Agora, vamos conhecer outros exemplos! 
 
 
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Exemplo 2 
 
Exemplo 3 
 
 
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VERIFICANDO O APRENDIZADO 
13. Dada a 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = {𝑥𝑥
2 − 3𝑥𝑥 + 2 se 𝑥𝑥 ≤ 3
8 − 2𝑥𝑥 se 𝑥𝑥 > 3
, marque a alternativa que indica o limite lim
x→3
𝑓𝑓(𝑥𝑥).a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
Verificando os limites laterais da função dada: 
 
 
 
 
 
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14. Seja 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = { 𝑥𝑥 − 1 se 𝑥𝑥 ≤ 23𝑥𝑥 − 7 se 𝑥𝑥 > 2, marque a alternativa que indica o limite lim𝑥𝑥→2+𝑓𝑓
(𝑥𝑥). 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) -1 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Verificando o limite lateral à direta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15. Seja f(x) uma função definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 5𝑥𝑥 − 3 se 𝑥𝑥 ≤ −24𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 se 𝑥𝑥 > −2 
 
O valor da constante k para que exista lim
𝑥𝑥→−2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) é igual a: 
a) k = 0 
b) k = 6 
c) k = -5 
d) k = -13 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
Verificando os limites laterais: 
 
 
 
 
27 / 40 
 
16. Seja f(x) uma função definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �1 − cos𝑥𝑥 se 𝑥𝑥 ≤ 0𝑥𝑥2 + 4 se 𝑥𝑥 > 0 
O limite lim
𝑥𝑥→0−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) é igual a: 
a) 0 
b) 2 
c) 6 
d) -2 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa A está correta. 
Verificando o limite lateral à esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17. Seja f(x) uma função definida por 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
√1 + 𝑥𝑥3 s e 𝑥𝑥 < −1
�1 − 𝑥𝑥22 s e − 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1
√𝑥𝑥 − 13 s e 𝑥𝑥 > −1
 
O limite lim
𝑥𝑥→−1−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) -1 
d) 2 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa A está correta. 
Verificando o limite lateral à esquerda. 
 
 
 
 
 
 
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18. Seja f(x) uma função definida por 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
2 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 s e 𝑥𝑥 ≥ 2
𝑥𝑥2 − 4
𝑥𝑥 − 2
 s e 𝑥𝑥 < 2
 
O valor da constante a para que exista lim
𝑥𝑥→2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) é: 
a) a = 0 
b) a = 1 
c) a = 3 
d) a = 4 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
Calculando os limites laterais: 
 
 
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CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 
Quando falamos que uma função f(x) é contínua num determinado ponto do domínio, por 
exemplo x = a, queremos dizer que o gráfico dessa função não apresenta quebras, ou 
buracos. Ou seja, não ocorre nenhuma interrupção no gráfico da função f(x) no ponto a. 
Uma função f(x) é contínua num determinado ponto, x = a, do domínio se as seguintes 
condições são satisfeitas: 
i) A função é definida no ponto a, ou seja, f(a) existe; 
ii) O limite lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) existe; 
iii) lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎). 
 
Uma função não é contínua (ou descontínua) no ponto x = a quando não existe f(a), se 
não existe lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
 𝑓𝑓(𝑥𝑥), ou se lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ 𝑓𝑓(𝑎𝑎). 
 
Observação: 
 
As funções elementares são funções contínuas. 
 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES - EXEMPLO 1 
Conheça mais alguns exemplos! 
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Exemplo 2 
 
 
Exemplo 3 
 
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Exemplo 4 
 
 
 
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VERIFICANDO O APRENDIZADO 
19. (PUC-SP) Sobre a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 1
√𝑥𝑥 − 3
 se 𝑥𝑥 ≤ 3
 se 𝑥𝑥 > 3, pode-se afirmar que: 
a) É definida e contínua para todo x real. 
b) É definida e contínua somente para x > 3. 
c) É definida para todo x real e descontínua somente para x = 3 
d) É definida e contínua somente para x ≤ 3. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
 
 
 
 
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20. (UF. Uberlância-MG) A função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
2−1
𝑥𝑥3−1
 não está definida para x = 1. Para que a 
função f(x) seja contínua no ponto x = 1, devemos completá-la com f(1) igual a: 
a) 0 
b) 1/3 
c) -2 
d) 2/3 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
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21. Seja f(x) uma função definida por 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6
𝑥𝑥 − 2
𝑘𝑘
 se 𝑥𝑥 ≠ 2
 se 𝑥𝑥 = 2 
O valor da constante k para que a função seja contínua em x = 2 é igual a: 
a) k = 0 
b) k = 1 
c) k = 2 
d) k = -1 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
 
 
 
 
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22. Seja f(x) uma função definida por 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥𝑒𝑒
𝑥𝑥2
𝑘𝑘𝑥𝑥2
 se 𝑥𝑥 ≥ 1
 se 𝑥𝑥 < 1 
O valor da constante k para que a função seja contínua em x = 1 é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) e 
d) -e 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
 
 
 
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23. (UF-PA) As abscissas dos pontos de descontinuidade da função 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−3
𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+3
 formam o 
conjunto: 
a) {1} 
b) {3} 
c) {1,3} 
d) {0,1,3} 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24. Seja f(x) uma função definida por 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥
2 − 𝑘𝑘2
𝑘𝑘𝑥𝑥 + 20
 se 𝑥𝑥 < 4 se 𝑥𝑥 ≥ 4 
O valor da constante k para que a função seja contínua em x = 4 é igual a: 
a) k = 0 
b) k = 1 
c) k = 2 
d) k = -2 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
 
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Apresentamos, inicialmente, o conceito intuitivo de limite, por meio da análise do 
comportamento de uma função, e o cálculo de limites de funções algébricas, utilizando a 
substituição direta. Em seguida, verificamos como calcular limites de funções envolvendo 
indeterminações. Por fim, abordamos os limites laterais e analisamos a continuidade de 
algumas funções. 
REFERÊNCIAS 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto 
Alegre: Bookman, 2014. 
FLEMMING, D. M. Cálculo A: Funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2006. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo: volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. 
HOFFMANN, L. D. Cálculo - um curso moderno e suas aplicações: tópicos avançados. 11. 
ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2015. 
LARSON, R. Cálculo aplicado: curso rápido. Traduc ̧ão: Noveritis do Brasil. São Paulo: 
Cengage Learning, 2016. 
STEWART, J. Cálculo: volume I. Tradução: Helena Maria Ávila de Castro. São Paulo: 
Cengage Learning, 2016. 
WAITS, B. K.; FOLEY, Q. D.; DEMANA, F. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2008. 
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CONTEUDISTA 
Ana Lucia de Sousa