Calculo 1, prova 2

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
 ENGENHARIA AMBIENTAL E SANITÁRIA
AAE - 2
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROFESSOR: Wilson Espindola Passos					 ANO:	2021
ALUNA: DÉBORA DE OLIVEIRA
1- Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
a) 	 R: 
b) 	 R: 
c) 	 R: 
2- Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado:
a) 8 
b) 2
c) -3
3-Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno.
 As dimensões são a, a e y o seu volume é 32 m³, temos:
V= a². y = 32
Y = 
A = 4. A . = a²
A= 
A’ = 
A’- 
2 . a³ - 128 = 0
A = 4 e y = 2
 Logo, as dimensões para que se tenha mínimo gasto de material são respectivamente, 4 m, 4 m e 2m. 
 
4- Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima?
 O cercado apresenta uma forma retangular, e não sabemos as dimensões que o cercado deve apresentar, assim x e y serão os lados do retângulo.
 O perímetro do cercado é:
2 (x + y) = 1500
X + y = 
X + Y = 750
 A área do retângulo é:
A= x . y
 Com o perímetro temos:
X = 750 – y<br/>
Assim:
A= y (750 – y)
A = 750y – y²
Podemos derivar a função para achar as dimensões do cercado (comprimento e a largura)
A’ (y) = 750 – 2y 
com, A’(y) = 0
0= 750 – 2y
2y = 750
Y = 
Y = 375 m
A outra dimensão será:
X= 750 - < br/> y
X = 750 – 375
X = 375m
 A área seria:
 A = x.y
A = 375.375
A = 140.625m²
Resposta: As dimensões do cercado são de 375m por 375m e a sua área máxima é equivalente a 140.625m².
5- Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado? 
 O perímetro é de 20 m, as dimensões do retângulo sã de 10 – x e x.
 Área do retângulo:
A (x) = x. (10 – x)
A (x) = 10.x – x²
Área será máxima quando a tangente tiver inclinação zero.
A’(x) = 10.x-2.x
Igualando a derivada a zero, 10 – 2.x = 0, logo x = 5
Para o melhor aproveitamento da área, com 20 m de tela, a senhora deverá fazer uma horta com as dimensões de 5m x 5m, onde terá uma área aproveitável de 25m².
6- Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3.
 Indicaremos a largura por x, o comprimento por 3x e a altura por y.
 O volume da caixa é dado por:
V = 3 . x .x .y = 3. x² .y e então:
V = 3 . x² . y ; V = 36 m³
3. x² . y = 36, y = , ou seja,
Y = 
A área total da caixa é:
A = (3 . x . x + 2 . x . y + 2 .3 . x. y), logo a área é:
A = 3 . x² + 8 . x , y
Trocando o y na área:
A (x) = 3 . x² + 8 . x . = 3 . x² + 
A (x) = 
Para encontrar o valor máximo e o valor mínimo é preciso derivar a área e igualar a zero assim teremos:
A’(x) = 
A’(x) = = 
A’(x) =0, 
A’(x) = 6. x³ - 96 =0
X = = 2 = 2,52 metros
 Para o cálculo da altura substituímos x em y = , y = , logo, y = 4,76 metros. Assim, as dimensões que permitem o máximo de economia de material para um tanque de volume 36 m ³, são aproximadamente: comprimento, largura e altura, respectivamente: 7,56 m, 2,52 m, e 4, 76 m
(
)
3
3
1
x
y
+
=
2
2
1
1
2
x
x
x
y
+
-
=
x
x
y
-
+
=
1
1