Poliedros e Prismas reformatado

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Poliedros e Prismas
1) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices. O número de arestas é:
	a) 6			b) 8			c) 10			d) 12	 			e) 14
2) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é:
	a) 4 			b) 12 			c) 10			d) 6				e) 8
3) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices do poliedro é:
	a) 80 			b) 60 			c) 50 			d) 48				e) 36
4) Um poliedro convexo tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais. Então, o número de vértices desse poliedro é igual a:
	a) 7 			b) 15 			c) 10			d) 12				e) 9
5) Um poliedro convexo possui ao todo 18 faces, das quais 12 são triângulos e as demais são quadriláteros. Esse poliedro possui exatamente:
	a) 14 vértices. 	b) 30 vértices. 	c) 60 diagonais.	d) 28 arestas.	e) 60 arestas.
6) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 2, 3 e 4. Se a soma das medidas de todas as suas arestas mede 72 m, sua área total será em m² igual a:
	a) 104			b) 216			c) 108			d) 208			e) 116
7) (Mackenzie) A caixa d’água da figura tem a forma de um paralelepípedo retângulo e volume V. Mantidos o volume V e a profundidade 2 m, se a largura BC for mudada para 2 m, o comprimento AB deverá ser:
					
	a) 7,0 m		b) 5,5 m		c) 6,0 m		d) 6,5 m		e) 7,5 m
8) Dá-se um prisma quadrangular regular cuja área total mede 110 m2, sendo a área de uma face lateral os 3/5 da área da base. Determine o volume do sólido. 
	a) 65 m3 		b) 75 m3 		c) 85 m3 		d) 95 m3 		e) 100 m3 
9) Qual a área lateral de um prisma reto de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de apótema 3√3 cm? 
	a) 320 cm² 		b) 340 cm2 		c) 360 cm2 			d) 380 cm2 
Respostas: 1) D	2) E	3) B	4) Nula	5) B	6) D	7) E	8) B	9) C
Poliedros e prismas
1) Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices deste poliedro é
	(A) 4			(B) 6			(C) 8			(D) 9			(E) 10
2) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então:
	(A) m = 9, n = 7	(B) m = n = 9		(C) m = 8, n = 10	(D) m = 10, n = 8	(E) m = 7, n = 9
3) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vértices, então, o número de faces triangulares é:
	(A) 12			(B) 11			(C) 10			(D) 9			(E) 8
4) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:
	(A) 6			(B) 7			(C) 8			(D) 9			(E) 10
5) Considere uma cruz formada por 6 cubos idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a área total da cruz é de 416 cm², pode-se afirmar que o volume de cada cubo é igual a:
						
	(A) 16 cm³			(B) 64 cm³			(C) 69 cm³			(D) 26 cm³
	
6) (UFRRJ) Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como mostra a fig 2, podemos afirmar que o valor de x é:
			 
	(A) 12 cm		(B) 11 cm		(C) 10 cm		(D) 5 cm		(E) 6 cm
7) Um reservatório de forma cúbica tem aresta medindo 3 m e é preenchido em três horas utilizando uma bomba-d'água. Com a mesma bomba, em quantas horas preenche-se um reservatório na forma de um paralelepípedo reto de dimensões 4 m, 6 m, 9 m?
	
8) Considere um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e tem área total de 80 m². Quanto vale o lado dessa base quadrada?
9) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é seis vezes a área da base. O volume deste prisma, em centímetros cúbicos, é:
	(A) 		(B) 		(C) 		(D) 		(E) nda	
10) 
 De um prisma triangular regular, sabe-se que sua altura mede cm e que sua área lateral é o quádruplo da área da base. O volume deste prisma, em centímetros cúbicos, é:
	(A) 54 			(B) 		(C) 		(D) 27 		(E) 
Gabarito: 1 – E	2 – B	3 – E	4 – C	5 – B	6 – A	7 – 24 h	 8 – 4 m	 9 – A		10 – C
Principio fundamental da contagem
1) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? 
(A) 12			(B) 18 			(C) 36			(D) 72			(E) 108	 
2) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto A={0,1,2,3,4}? 
(A) 60			(B) 48			(C) 36			(D) 24			(E) 18
3) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1. 
b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242ª posição. 
4) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é 
(A) 1 680 		(B) 1 344		(C) 720 		(D) 224			(E) 136
5) Um "Shopping Center" possui 4 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. 
De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de fora do "Shopping Center" pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados? 
(A) 12			(B) 17 			(C) 19 			(D) 23				(E) 60
6) Uma fechadura de segredo possui 4 contadores que podem assumir valores de 0 a 9 cada um, de tal sorte que, ao girar os contadores, esses números podem ser combinados, para formar o segredo e abrir a fechadura. De quantos modos esses números podem ser combinados para se tentar encontrar o segredo? 
(A) 10.000 		(B) 64.400 		(C) 83.200 		(D) 126 		(E) 720
7) Quantos números ímpares, cada um com três algarismos, podem ser formados com os algarismos 2,3,4,6 e 7, se a repetição de algarismos é permitida? 
(A) 60 				(B) 50 					(C) 40 				(D) 30
8) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? 
(A) 375 		(B) 465 		(C) 545		(D) 585			(E) 625
9) Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos dos números formados NÃO são divisíveis por 5? 
(A) 15 			(B) 120 		(C) 343		(D) 720			(E) 840
10) O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas regiões. O mapa deve ser colorido de maneira que regiões com uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas. Determine o número (n) de maneiras de se colorir o mapa, usando-se 5 cores. Indique n/10.
Respostas: 1) C	2) A	3) a) 720 e 120 b) 481ª e 312465 4) B	5) E	6) A 7) B 8) D 9) D	10) 54	 
Permutações 
1) O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras AS, nesta ordem é: 
(A) 9!			(B) 11!			(C) 9!/(3! 2!)		(D) 11!/2! 		(E) 11!/3!
2) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem.
3) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectivamente: 
(A) 48 e 36. 		(B) 48 e 72.		(C) 72 e 36. 		(D) 24 e 36. 		(E) 72 e 24.
4) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6!=720 "palavras" (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas "palavras" forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250• "palavra" começa com 
(A) EV			(B) FU 			(C) FV			(D) SE			(E) SF5) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: 
(A) 12!		(B) (8!) (5!)		(C) 12! - (8!) (5!)	(D) 12! - 8!		(E) 12! - (7!) (5!)
6) Um aposentado realiza diariamente, de segunda a sexta-feira, estas cinco atividades: 
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola; b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; c) passeia com o cachorro da família; d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; e) rega as plantas do jardim de sua casa. Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá-las em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades, EM ORDEM DIFERENTE, é 
(A) 24				(B) 60 					(C) 72				(D) 120
7) O número de anagramas da palavra EXPLODIR, nos quais as vogais aparecem juntas, é 
(A) 360			(B) 720 		(C) 1.440		(D) 2.160	(E) 4.320
8) Sete livros didáticos, cada um de uma disciplina diferente, devem ser posicionados lado a lado em uma estante, de forma que os livros de Física, de Química e de Matemática estejam sempre juntos, em qualquer ordem. O número de maneiras diferentes em que estes livros podem ser posicionados é:
(A) 720			(B) 1440		(C) 2160		(D) 2880		(E) 5040 
9) Um grupo de 6 alunos decide escrever todos os anagramas da palavra PERGUNTA. Esta tarefa será feita em vários turnos de trabalho. Em cada turno 3 alunos escrevem e os outros descansam. Para serem justos, decidiram escrever o mesmo número de anagramas em cada turno. Qual deve ser o número mínimo de anagramas, escrito por turno, de modo que não se repitam grupos de trabalho?
(A) 23			(B) 720		(C) 2016		(D) 5040		 (E) 35000
Respostas: 1) C	2) 24		3) A		4) D		5) C		6) B	7) E	8) A	9) C
Arranjos e combinações
1) Em um setor de uma empresa, trabalham 3 geólogos e 4 engenheiros. Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podem ser formadas com, pelo menos, 1 geólogo?
(A) 28			(B) 31			(C) 36			(D) 45				(E) 60
2) Em uma amostra de vinte peças, existem exatamente 4 defeituosas.
a) Calcule o número de maneiras diferentes de escolher, sem reposição, uma peça perfeita e uma defeituosa.
b) Calcule o número de maneiras diferentes de escolher, sem reposição, duas peças perfeitas.
3) A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões de parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas?
(A) 80			(B) 96			(C) 240		(D) 640			(E) 1280
4) Num determinado setor de um hospital, trabalham 4 médicos e 8 enfermeiras. O número de equipes distintas, constituídas cada uma de 1 médico e 3 enfermeiras, que podem ser formadas nesse setor é de: 
(A) 60 			(B) 224 		(C) 495 		(D) 1344 		 (E) 11880
5) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades?
(A) 26			(B) 24			(C) 22			(D) 30				(E) 28
6) Num setor com 20 funcionários, o encarregado deseja montar grupos de cinco para organizar um novo serviço a ser prestado. Quantas possibilidades diferentes existem para a composição dos grupos?
7) Quantos números compreendidos entre 100 e 1000 não têm nenhum algarismo repetido? 
8) Com os elementos do conjunto , quantos números de três algarismos diferentes se podem formar sem qualquer restrição? 
Destes números quantos são:
a) pares 		b) múltiplos de 5 c) múltiplos de 10 
9) Quantos triângulos podemos formar com 8 pontos distintos de uma circunferência ?
10) Quantas palavras de quatro letras distintas podemos formar com as letras R,O,M,A,N e E? 
Respostas: 1) B	2) 3) C	4) A	5) A	6) 	7) 648	8) a) 180		b) 105 c) 55	d) 30	9) 56	10) 360
Poliedros
1) Num poliedro convexo o número de vértices é 10 e o número de arestas é 15. Então o número de faces é:
 	(A) 23			(B) 5			(C) 25			(D) 6			(E) 7
2) Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente:
(A) 8 e 8.			(B) 8 e 6.		(C) 6 e 8.	(D) 8 e 4.		(E) 6 e 6.
3) Um poliedro convexo tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais. Então o número de vértices desse polígono é igual a:
(A) 7			(B) 15			(C) 10			(D) 12			(E) 9
4) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vértices, então, o número de faces triangulares é:
(A) 12			(B) 11			(C) 10			(D) 9			(E) 8
5) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui
(A) 33 vértices e 22 arestas		(B) 12 vértices e 11 arestas		(C) 22 vértices e 11 arestas
(D) 11 vértices e 22 arestas		(E) 12 vértices e 22 arestas
6) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a:
(A) 35			(B) 34			(C) 33			(D) 32			(E) 31
7) Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e duas pentagonais. Então o número de faces nf, o número de arestas na e o número de vértices nv do poliedro são:
(A) nf = 7 na = 10 nv = 12		(B) nf = 5 na = 9 nv = 12		(C) nf = 7 na = 6 nv = 10
(D) nf = 5 na = 9 nv = 12		(E) nf = 7 na = 15 nv = 10
8) Uma bola de futebol foi confeccionada utilizando-se 32 faces planas, sendo 20 hexagonais e 12 pentagonais. Considerando-se que a bola identifica-se com um poliedro assim construído, esse poliedro possui exatamente
(A) 180 arestas		(B) 90 vértices		(C) 60 vértices		(D) 60 arestas
9) Um poliedro convexo, com 32 arestas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sendo q o número de faces quadrangulares e t, o número de faces triangulares, então os valores de q e t são, respectivamente:
(A) q = 6 e t = 14	(B) q = 16 e t = 4	(C) q = 4 e t = 14	(D) q = 14 e t = 4 (E) q = 4 e t = 16
10) Um poliedro convexo tem 25 arestas e todas as suas faces pentagonais. Então o número de faces e de vértices do poliedro são respectivamente:
(A) 14 e 16 		(B) 12 e 14		(C) 10 e 14		(D) 10 e 12		(E) 10 e 17
	11) O número de arestas de uma pirâmide que tem 12 faces é
(A) 14				(B) 16				(C) 18					(D) 22
12) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces hexagonais, 6 faces octogonais e 12 faces quadrangulares. 
13) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 12 faces pentagonais, 30 faces quadrangulares e 20 faces triangulares.
14) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces quadrangulares, 4 faces triangulares e 1 face hexagonal.
15) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 1 face decagonal, 1 face pentagonal, 15 faces quadrangulares e 5 faces triangulares
16) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Determine o nº de faces triangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 19 arestas e 11 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces pentagonais.
17) (MACK-SP) Determine o numero de vértices de um poliedro que tem tres faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.
18) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é:
(A) 10			(B) 17	 			 (C) 20			(D) 22		 (E) 23
Respostas: 1) E		2) B	3) C	4) E	5) E	6) D	7) E	8) C	9) E	10) E		11) D	
12) 48 vértices 	13) 60 vértices	14) 9 vértices	15) 25 vértices	16) 4 faces triangulares	17) 10 vértices	18) C
3
9
312
2
27
3
2
3
27
3
54
3
17
{
}
8
6
5
4
3
1
0
,
,
,
,
,
,
B
=
3
6