P1_Calculo 2_2019-2_Gabarito

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Centro Federal de Educação Tecnológica C. S. da Fonseca
UnED Itaguaí
Engenharia de Produção
Cálculo a Várias Variáveis Turma 2019-2 Data: 01/10/2019 Prova: P1
Professor: Washington da Silva Aluno:Washington Santos da Silva Santos Silva Nota:
Questão 1 – (1.5 pt)
Determine o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z)→ (0, 0, 0), se existir, ou mostre que este limite
não existe, sendo
f(x, y, z) =
xy + yz2 + xz2
x2 + y2 + z4
.
Solução 1. Fazendo y = z = 0, temos
f(x, 0, 0) = g(x) =
0
x2
= 0
e segue que g(x) −→ 0 quando x −→ 0 ao longo do eixo x.
No entanto, fazendo y = x e z = 0, temos
f(x, x, 0) = h(x) =
x2
2x2
=
1
2
e segue que h(x) −→ 1
2
quando x −→ 0 ao longo da reta y = x, com z = 0.
Portanto, não existe este limite.
Questão 2 – (1.5 pt)
Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por S = 72, 09w0,425h0,725, onde
w é o peso (em quilogramas), h é a altura (em centímetros) e S é medida em centímetros
quadrados. Se os erros nas medidas de w e h forem no máximo de 2%, use diferenciais para
estimar a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada. Dicas: (1) a fim de
estimar a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada, faça
dS
S
; (2) faça as
contas apenas no final.
Solução 2.
dS =
∂S
∂w
dw +
∂S
∂h
dh, onde dw =
2
100
w e dh =
2
100
h
1
Segue que
dS = (72, 09)(0, 425)w0,425−1h0,725
2
100
w + (72, 09)(0, 725)w0,425h0,725−1
2
100
h
= (72, 09)(0, 425)w0,425w−1h0,725
2
100
w + (72, 09)(0, 725)w0,425h0,725h−1
2
100
h
= (72, 09)(0, 425)w0,425h0,725
2
100
+ (72, 09)(0, 725)w0,425h0,725
2
100
=
2(0, 425 + 0, 725)(72, 09)w0,425h0,725
100
=
(2, 3)(72, 09)w0,425h0,725
100
Então
dS
S
=
(2, 3)(72, 09)w0,425h0,725
100
· 1
(72, 09)w0,425h0,725
=
2, 3
100
= 0, 023
Ou seja, a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada é de 2, 3%.
Questão 3 – (1.5 pt)
A temperatura em um ponto (x, y) é T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de
modo que sua posição após t segundos é dada por x =
√
1 + t, y = 2 + 1
3
t, onde x e y são
medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3. Quão
rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?
Solução 3. Usando a regra da cadeia, temos que
dT
dt
=
∂T
dx
dx
dt
+
∂T
dy
dy
dt
=⇒ dT
dt
(t = 3) = Tx(2, 3)x
′(3) + Ty(2, 3)y
′(3)
onde
dx
dt
=
1
2
√
1 + t
e
dy
dt
=
1
3
(Note que quando t = 3 tem-se x = 2 e y = 3).
Segue que
dT
dt
(t = 3) = 4 · 1
2
√
1 + 3
+ 3 · 1
3
= 2
Ou seja, a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos a uma taxa de
2 graus Celsius por segundo.
Questão 4 – (1.5 pt)
Mostre que o elipsoide 3x2 + 2y2 + z2 = 9 e a esfera x2 + y2 + z2 − 8x − 6y − 8z + 24 = 0
se tangenciam no ponto (1, 1, 2). (Isso significa que eles têm um plano tangente comum nesse
ponto.)
Solução 4. Observe que basta mostrar que a equação do plano tangente às superfícies de nível
3x2 + 2y2 + z2 = 9 e x2 + y2 + z2 − 8x− 6y − 8z + 24 = 0 no ponto (1, 1, 2) são iguais.
Fazendo F (x, y, z) = 3x2 + 2y2 + z2, temos que
Fx(x, y, z) = 6x =⇒ Fx(1, 1, 2) = 6;
2
Fy(x, y, z) = 4y =⇒ Fy(1, 1, 2) = 4;
Fz(x, y, z) = 2z =⇒ Fz(1, 1, 2) = 4.
e segue que
Fx(1, 1, 2)(x− 1) + Fy(1, 1, 2)(y − 1) + Fz(1, 1, 2)(z − 2) = 0 ∴
6(x− 1) + 4(y − 1) + 4(z − 2) = 0 =⇒ 3x+ 2y + 2z − 9 = 0
é a equação do plano tangente à superfície de nível 3x2 + 2y2 + z2 = 9.
De modo análogo, fazendo G(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 8x− 6y − 8z + 24 = 0, temos que
Gx(x, y, z) = 2x− 8 =⇒ Gx(1, 1, 2) = −6;
Gy(x, y, z) = 2y − 6 =⇒ Gy(1, 1, 2) = −4;
Gz(x, y, z) = 2z − 8 =⇒ Gz(1, 1, 2) = −4.
e segue que
Gx(1, 1, 2)(x− 1) +Gy(1, 1, 2)(y − 1) +Gz(1, 1, 2)(z − 2) = 0 ∴
−6(x− 1)− 4(y − 1)− 4(z − 2) = 0 =⇒ 3x+ 2y + 2z − 9 = 0
é a equação do plano tangente à superfície de nível x2 + y2 + z2 − 8x− 6y − 8z + 24 = 0.
O que mostra que o elipsoide 3x2 +2y2 + z2 = 9 e a esfera x2 + y2 + z2− 8x− 6y− 8z+24 = 0
se tangenciam no ponto (1, 1, 2).
Questão 5 – (2.0 pt)
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x, y) = x3 − 3x− y3 + 12y no conjunto
D, onde D é o quadrilátero no plano xy com vértices (−2, 3), (2, 3), (2, 2) e (−2,−2). Dica:
após construir a função f(x, y) considerando cada lado Li do quadrilátero, teste esta função nos
extremos do respectivo intervalo (seja em x ou y) e nos pontos críticos desta função, quando
for o caso.
Solução 5. A região D é representada na figura abaixo. Para determinar os valores máximo e
mínimo absolutos de f(x, y) no conjunto D, vamos avaliar o valor de f(x, y) nos seus pontos
críticos, no interior da região D, e depois na fronteira.
3
Interior de D
fx(x, y) = 3x
2 − 3 = 0 =⇒ x = ±1 e fy(x, y) = 3y2 − 12 = 0 =⇒ y = ±2
Então
(−1, 2) e (1, 2)
são os pontos críticos de f no interior de D (note que (−1,−2) e (1,−2) não pertencem a D)
com
f(−1, 2) = 18 e f(1, 2) = 14
Fronteira de D
(A) Em L1 temos
f(2, y) = h1(y) = 2 + 12y − y3, 2 ≤ y ≤ 3; onde f(2, 2) = 18 e f(2, 3) = 11
Além de avaliar h1(y) nos extremos do intervalo, vamos avaliar h1(y) também no(s) seu(s)
ponto(s) crítico(s). Segue que
h′1(y) = 12− 3y2 = 0 =⇒ y = 2
Então f(2, 2) = 18 é o máximo e f(2, 3) = 11 é o mínimo em L1.
(B) Em L2 temos
f(x, 3) = g1(x) = x
3 − 3x+ 9, −2 ≤ y ≤ 2; onde f(−2, 3) = 7 e f(2, 3) = 11
g′1(x) = 3x
2 − 3 = 0 =⇒ x = ±1 com f(−1, 3) = 11 e f(1, 3) = 7
4
Então f(2, 3) = f(−1, 3) = 11 é o máximo e f(−2, 3) = f(1, 3) = 7 é o mínimo em L2.
(C) Em L3 temos
f(−2, y) = h2(y) = −2+12y− y3, −2 ≤ y ≤ 3; onde f(−2,−2) = −18 e f(−2, 3) = 7
h′2(y) = 12− 3y2 = 0 =⇒ y = ±2 com f(−2, 2) = 14
Então f(−2, 2) = 14 é o máximo e f(−2,−2) = −18 é o mínimo em L3.
(D) Em L4 (ou na reta y = x) temos
f(x, x) = g2(x) = 9x, −2 ≤ x ≤ 2; onde f(−2,−2) = −18 e f(2, 2) = 18
Então f(2, 2) = 18 é o máximo e f(−2,−2) = −18 é o mínimo em L4.
Portanto, comparando os máximos e mínimos no interior de D, em L1, L2, L3 e L4, temos que
f(−1, 2) = f(2, 2) = 18 é o máximo absoluto e f(−2,−2) = −18 é o mínimo absoluto em D.
Questão 6 – (2.0 pt)
Determine os valores extremos de f(x, y) = y2 − x2 sujeita à restrição 1
4
x2 + y2 = 1.
Solução 6. Usando o método dos Multiplicadores de Lagrange, devemos resolver o sistema
−2x = 1
2
λx (1)
2y = 2λy (2)
1
4
x2 + y2 = 1 (3)
De (1) temos que x = 0 ou λ = −4. Daí, substituindo x = 0 em (3) implica y = ±1 e temos os
pontos (0,±1) com f(0,±1) = 1.
Substituindo λ = −4 em (2) temos 2y = −8y =⇒ y = 0. Daí, substituindo y = 0 em (3)
implica x = ±2 e temos os pontos (±2, 0) com f(±2, 0) = −4.
Portanto, f(0,±1) = 1 é o valor máximo absoluto e f(±2, 0) = −4 é o valor mínimo absoluto
de f(x, y) = y2 − x2 definida na elipse 1
4
x2 + y2 = 1.
5