reso_p1-2014 1-alglin

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Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período 2014.1 
OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. 
1) 
Resposta: 
Bem! Ele nos pede os valores de a partir de uma combinação linear. 
Temos que combinar linearmente os vetores e encontrando o vetor 
(5,1,-1,0). 
Logo, podemos fazer: 
 
Daí é só isolar as equações e montar o sistema, podemos notar que temos 4 incógnitas e 4 
equações. São elas: 
 
 
 
 
De (III), vemos que w=-1. Substituindo em (II), temos: 
 
Substituindo em (IV), a gente vai ter: 
 
E por ultimo, substituindo em (I), teremos: 
 
2) 
Resposta: 
Para cada alternativa, vamos dar um exemplo numérico. Se ele funcionar, tudo certo, se não, a 
alternativa ta errada. Muitas vezes essa técnica é muita mais prática do que propriamente 
desenvolver algebricamente. Mas é bom ter cuidado no português da questão, nessa questão 
ele generaliza para todos os casos, sem restrições, então podemos fazer isso. Vamos as 
alternativas. 
a) Vamos ver dois vetores Linearmente Independentes, tipo a matriz identidade. 
{(1,0),(0,1)}. 
 
 
 
 
Fazendo 7k e 7v, teremos: 
 
 
 
 
Que são vetores Linearmente Independentes. Mas além disso, sabemos que propriedades 
elementares como multiplicação por constantes e soma de linhas não pude a dependência 
linear entre vetores. 
b) Erradíssimo! Por exemplo, os vetores da matriz identidade, (1,0) e (0,1) são 
diferentes entre si e não são nulos e linearmente independentes.. 
c) Também errado, pois os vetores (1,0) e (2,0) são diferentes entre si, não são nulos, 
mas são linearmente dependentes (um múltiplo do outro). 
d) Errado, se o conjunto for de dois vetores não múltiplos, como, por exemplo, o 
conjunto {(1,1),(2,1)} serão LIs. 
3) 
Resposta: 
A afirmativa falsa (alternativa correta) é a que diz que M é um espaço vetorial. Ela não é 
espaço vetorial, pois não respeitas as propriedades de soma e multiplicação. Para ser espaço 
vetorial as operações corretas seriam: 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E não o que foi mostrado na questão. 
4) 
Resposta: 
a) Nessa figura, temos dois vetores linearmente independentes gerando um plano (em 
laranja). Eles são geradores e estão contidos no plano. Mesma coisa pro seria pro 
, e pras demais dimensões. 
 
b)Os vetores {(2,7,13),(19,3,5),(7,11,19)} geram o e não contem a base canônica. 
c) Eles geram um plano no , ou seja, geram incompletamente o 
5) 
Resposta: 
Passando o sistema para a forma matricial, a gente vai ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escalonando, encontraremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução pode ser dada por (trocando os parâmetros de z e w por s e t): 
 
Esses vetores geram S, logo, a combinação linear deles também: 
Fazendo 2. (1,0,1,0) , 2.(0,-1,0,1) e 2.[(1,0,1,0)+(0,-1,0,1)],que são combinações lineares dos 
vetores que encontramos, a gente acha os vetores da alternativa A. 
6) 
Resposta: 
a) Para gerar um espaço de dimensão n, nós precisamos de, no mínimo, n vetores 
linearmente independentes entre si. Se tivéssemos n+3 vetores e quiséssemos gerar 
um espaço de dimensão n, 3 vetores devem ser linearmente dependentes, pois se 
fossem independentes geraria um espaço de dimensão n+3. Logo, essa resposta está 
corretíssima. 
b) Mentira!Um vetor sozinho, é linearmente independente, todavia não gera o espaço 
inteiro. 
c) Mentira!Como na letra A, se tivermos vetores linearmente dependentes a mais 
também geramos o mesmo espaço. 
d) Mentira! Todo subconjunto LI de n vetores é uma base completa para dimensão n. 
7) 
Resposta: 
Para descobrir a dimensão da imagem, basta contar quantos vetores linearmente 
independentes existem em . Logo, a gente vai ter: 
 
 
 
 
 
 
Escalonando, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, vemos que esses temos 3 linhas linearmente independentes, ou seja, a dimensão é 3. 
8) 
Resposta: 
Notamos que (1,2,-3) é uma combinação linear de , pois (1,2,-3) = 2 =2.(1,1,-1) -
(1,0,1). 
Logo, temos: 
 
9) 
Resposta: 
Sabemos que um conjunto com dois elementos gera V, então ele tem dimensão 2. 
possui 3 elementos, logo um deles deve ser linearmente dependente para gerar V que tem 
dimensão 2. Supondo que é o subconjunto LD. Fazendo as combinações dois a dois dos 
conjuntos temos: 
 
Logo, vemos que somente um conjunto é linearmente independente. 
10) 
Resposta: 
Vamos a uma questão bem contextualizada de álgebra. Mas para solucioná-la basta notar que 
para ter solução teremos que ter as condições , se for algo diferente disso 
será um sistema sem solução. 
Se a=1,para ter solução, devemos ter b=2 e c=3. Se a=2,para ter solução, devemos ter b=4 e 
c=6 o que é possível ,já que o dado possui 6 faces, cada um com um número de 1 até 6.Para 
 já é impossível, pois teríamos c=9, o que não existe no dado. Logo, teremos duas 
combinações possíveis, demonstradas abaixo. 
 
Como a cada lançamento temos 6 possíveis valores, existem 6x6x6 =216 possíveis resultados 
diferentes, como só os 2 resultados acima que satisfazem a condição de ter solução, temos 2 
chances em 216, ou melhor, uma chance em 108. 
11) 
Resposta: 
Temos a matriz 
 
 
 
 . Aplicando na relação dada, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 e a soma das suas coordenadas é 2. 
12) 
Resposta: 
Temos o seguinte sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na forma reduzida, temos: 
 
 
 
 
 
 
Escalonando,teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que não tenha solução devemos ter algo do tipo 0=n , sendo n . Zerando a terceira 
linha, teremos. . . Para não ter solução . Logo, 
13) 
Resposta: 
Fazemos diversas vezes isso aqui, logo não tem muita dificuldade. O que pode enganar é a 
notação. Onde tem significa (No lugar de colocamos ) e o sinal 
significa troca de linhas. Fazendo as operações que ele nos pediu, encontraremos a letra A. 
14) 
Resposta: 
Temos o seguinte sistema: 
 
 
 
 
 
 
Escalonando, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
 
 
Logo, a soma das componentes é -2-1-1=-4 
15) 
Resposta: 
Podemos retirar a resposta de algum exemplo numérico. 
Vamos considerar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que { } é 
 
 
 
 , que é LD, e { é 
 
 
 
 , que é LI. 
Vamos analisar as alternativas: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Verdade, não tem solução pois encontramos 0=1. 
b) c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caô! Possui mais de uma solução. 
Bons Estudos!! 
 
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