Ângulos entre retas e distância / ponto-reta

Prévia do material em texto

COLÉGIO “TENENTE RÊGO BARROS”
PROFESSOR: WAGNER LUCAS® 
 Geometria Analítica
PROF: Wagner Lucas 
Ângulos de duas retas
Dadas duas retas e iremos calcular os ângulos que elas determinam.
Podemos deixar de lado dois casos imediatos: Quando ou .
No caso de duas retas serem concorrentes, elas determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice e, portanto, congruentes. 
Vamos calcular , ângulo agudo formado por r e s. Para isso temos dois casos a considerar:
1. Uma das retas (vamos escolher s) é vertical. 
Anotações:
calcular , ângulo agudo formado por r e s. Para isso temos dois casos a considerar:
 Juntando as possibilidades 1.1 e 1.2, temos:
Portanto, dados r e s, se uma delas não tem coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo formado por r e s é o módulo do inverso do declive da outra.
2. Nenhuma das retas é vertical 
Logo, para as situações 2.1 e 2.2 temos:
 
OBS: Nas duas situações, se nós calcularemos a de forma direta. Porém, se , então calcularemos , que é o ângulo suplementar de e trocamos o sinal para obter para obtermos 
Portanto, dados duas retas r e s, se elas têm coeficiente angula, a tangente do ângulo agudo formado por r e s é o módulo da diferença dos declives dividida por 1 somado ao produto dos declives.
Exemplos: 
1. Calcule o ângulo agudo formado pelas retas
 e 
:
segue daí:
2. Calcular o ângulo formado pelas retas cujas equações são e 
 
:
 e 
Distância Entre Ponto a Reta
 Temos o seguinte problema: Calcular a distância entre a origem O e a reta r cuja equação geral é: 
Note que a reta s, é perpendicular a r e passa por O tendo equação geral igual a 
Resolvendo o sistema com as equações 
)
O que precisamos calcular é a distância 
 
Portanto segue que:
 
 Ângulo agudo
Tirando a raiz temos a fórmula:
Vamos calcular agora, a distância entre um ponto , e uma reta 
A técnica é transformar P em origem do sistema e, então, aplicar a fórmula já deduzida anteriormente.
Dando uma translação no sistema de modo que P seja a origem do sistema ( figura abaixo), assim determinamos a equação da reta r no “novo” sistema:
Assim segue:
Exemplo:
Calcule a distância do ponto à reta 
.
Exercícios E.M.5
1. Calcule a distância da origem à reta
 
2. (UFRGS) A distância do ponto à reta é. O valor de é:
a) 
b) 
 c) 
 d) 
 e) 
3. (UFSC) Dados os pontos determine a medida da altura do triângulo relativa ao lado 
a) 
b) 
c) 
d) 
4. (UESPI) Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas com equações e 
a) 150
b) 300
c) 450
d) 600
e) 750
5. (EsPCEx) Considere a reta mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta 
intercepta os eixos coordenados. Então, a distância do ponto à reta é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
6. Determinando a equação da reta que passa pelo ponto (-1, 4) e forma um ângulo de 450 com a reta 
Obtemos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
GAB (E.M.5)
1. 1 2. d 3. c 4.b 5. b 6.a