INFERENCIA - PARTE II

Prévia do material em texto

Prof.ª Sheila Regina Oro
Projeto “Recursos Educacionais Digitais”
Autores: Bruno Baierle e Maurício Furigo
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Parte II
TESTE PARA UMA PROPORÇÃO
• H0: 𝑝 = 𝑝0 e H1: 𝑝 ≠ 𝑝0 (𝑝0 é um valor dado);
• No caso de teste unilateral, a hipótese alternativa
seria H1’: 𝑝 > 𝑝0 (unilateral à direita) ou H1’’:𝑝 < 𝑝
(unilateral à esquerda).
• Suponha amostra suficientemente grande para
aproximação da binomial à normal:
𝑛. 𝑝0 ≥ 5 𝑒 𝑛. (1 – 𝑝0) ≥ 5.
TESTE PARA UMA PROPORÇÃO
• Sejam: 
 𝑝 =
𝑦
𝑛
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒
𝑛
𝑦’ = 𝑦– 0,5 𝑠𝑒 𝑦 > 𝑛. 𝑝0; ou
𝑦’ = 𝑦 + 0,5 𝑠𝑒 𝑦 < 𝑛. 𝑝0 (correção de continuidade).
Onde:
• 𝑝 : é a proporção de elementos com atributo de
interesse na amostra.
TESTE PARA UMA PROPORÇÃO
• Cálculo da estatística do teste:
𝑧 =
𝑦′ − 𝑛. 𝑝0
𝑛. 𝑝0(1 − 𝑝0)
Onde:
• 𝑝0: valor da proporção, segundo H0;
• 𝑛 : tamanho da amostra;
• 𝑦′: correção de continuidade.
TESTE PARA UMA PROPORÇÃO
ABORDAGEM DO VALOR -P
Amostra Cálculo de z
Obtenção de p
pela tabela da 
normal
Se bilateral: Se unilateral à 
direita:
Se unilateral 
à esquerda:
𝑧 =
𝑦′ − 𝑛. 𝑝0
𝑛. 𝑝0(1 − 𝑝0)
TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM DO VALOR -P
Aceita H0
Rejeita H0
EXEMPLO 8.6 BARBETTA
• Uma empresa retira periodicamente amostras
aleatórias de 500 peças de sua linha de produção
para análise de qualidade. As peças da amostra
são classificadas como defeituosas ou não, sendo
que a política da empresa exige que o processo
produtivo seja revisto se houver evidência de mais
que 1,5% de peças defeituosas. Na última amostra
foram encontradas 9 peças defeituosas. Usando
um nível de significância de 1%, o processo
precisa ser revisto?
RESULTADO
• H0: 𝑝 = 0,015; H1: 𝑝 > 0,015; Usar 𝛼 = 0,01; 
• Amostra: 𝑦 = 9 em 𝑛 = 500;
 𝑝 =
9
500
= 0,018
𝑧 =
𝑦′ − 𝑛. 𝑝0
𝑛. 𝑝0(1 − 𝑝0)
=
8,5 − 500 ∗ (0,015)
500 ∗ 0,015 ∗ (1 − 0,015)
=
1
2,718
≈ 0,37
RESULTADOS
Aceita-se H0 ao nível de significância de 1%.
TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM CLÁSSICA
Obtenção do valor
crítico pela tabela
normal
Nível de 
significância α
...
TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM CLÁSSICA
TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM CLÁSSICA
Se bilateral:
Nível de 
significância α
Obtenção do
valor crítico pela
tabela normal
Cálculo do 
valor z
Aceita H0 RejeitaH0Rejeita H0
TESTE PARA PROPORÇÃO
ABORDAGEM CLÁSSICA
Se unilateral a direita:
Nível de 
significância α
Obtenção do
valor crítico pela
tabela normal
Cálculo do 
valor z
Aceita H0 Rejeita H0
EXEMPLO 8.6 BARBETTA
• H0: 𝑝 = 0,015; e H1: 𝑝 > 0,015. Usar α = 0,01
Regra de decisão:
Aceita H0 Rejeita H0
• Da amostra temos:
• 𝑧 =
𝑦′−𝑛.𝑝0
𝑛.𝑝0(1−𝑝0)
= 0,37
Portanto, chegamos a conclusão de que não há
provas estatísticas suficientes para recomendar a
revisão do processo produtivo.
RESULTADO
TESTE PARA UMA MÉDIA
• É aplicável em situações que queremos verificar se
uma variável na população pode ser considerada,
em média, igual a certo valor .
Para teste bilateral:
• H0: 𝜇 = 𝜇0 e H1: 𝜇 ≠ 𝜇0
• Para teste unilateral:
Para este caso a hipótese alternativa seria:
H1’: 𝜇 > 𝜇0 (unilateral à direita); ou
H1’’:𝜇 < 𝜇0 (unilateral à esquerda).
TESTE PARA UMA MÉDIA
CASO DE VARIÂNCIA CONHECIDA
• Cálculo da estatística do teste:
𝑧 =
 𝑥 − 𝜇0 ∗ 𝑛
𝜎
Onde:
• 𝑥: média da amostra;
• 𝜇0: valor da média segundo H0;
• 𝑛 : tamanho da amostra;
• 𝜎 : variância populacional;
O teste é feito com a distribuição normal,
análogo ao da proporção.
TESTE PARA UMA MÉDIA
CASO DE VARIÂNCIA DESCONHECIDA
• Cálculo da estatística do teste:
𝑡 =
 𝑥 − 𝜇0 ∗ 𝑛
𝑠
Onde:
• 𝑥: média da amostra;
• 𝜇0: valor da média segundo H0;
• 𝑛 : tamanho da amostra;
• 𝑠 : variância populacional.
Uso da distribuição t com 𝑔𝑙 = 𝑛 – 1 (supondo
população com distribuição normal).
EXEMPLO 8.8 (BARBETTA pg. 220)
• O tempo para transmitir 10 MB determinada rede de
computadores varia segundo um modelo normal, com
média 7,4 s e variância 1,3 s². Depois de algumas
mudanças na rede, acredita-se numa redução no
tempo de transmissão de dados, além de uma possível
alteração na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios
independentes com um arquivo de 10 MB e foram
anotados os tempos de transmissão, em segundos: 6.8,
7.1, 5.9, 7.5, 6.3, 6.9, 7.2, 7.6, 6.6, 6.3;
• Existe evidência suficiente de que o tempo médio de
transmissão foi reduzido? Use nível de significância de
1%.
RESULTADOS
H0: 𝜇 = 7,4 𝑠;
H1: 𝜇 < 7,4 𝑠;
Amostra:
• N=10;
• Média da amostra=6,82;
• Desvio padrão da amostra=0,551;
𝑡 =
6,82 − 7,4 ∗ 10
0,551
= −3,33
RESULTADOS
• Uso da tabela t para obter o valor p:
RESULTADOS
• Uso da tabela t para obter o valor p:
RESULTADOS
Como observado na tabela t, a área apontada
é entre 0,0025 < 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 < 0,005 , então o teste
estatístico rejeita H0 em favor de H1.
Portanto, com este resultado, podemos afirmar
que houve redução no tempo de transmissão de
dados com as alterações nas redes de
computadores.
COMPARAÇÃO ENTRE TRATAMENTOS
AMOSTRAS INDEPENDENTES
Para realizar este tipo de experimento, divide-
se as unidades experimentais em g grupos,
submetendo cada grupo a um tratamento. Dessa
forma temos g amostras independentes.
Podemos construir também h blocos de
unidades experimentais semelhantes similares,
sorteando os tratamentos em cada bloco.
AMOSTRAS INDEPENDENTES
• Ex. 9.1(BARBETTA)
Considere o problema de comparar dois
materiais (A e B), para sola de tênis, em termos do
grau de desgaste após um certo período de uso.
Seguem dois projetos de experimentos alternativos:
• Projeto I – Um grupo de indivíduos usa tênis com
solas feitas com o material A; e outro grupo usa
tênis com solas feitas com o material B.
AMOSTRAS INDEPENDENTES
Mensuração do grau de 
desgaste
Mensuração do grau de 
desgaste
AMOSTRAS PAREADAS (se g>2)
• Projeto II – Fabricam-se, para a realização do
experimento, pares de tênis com os dois tipos de
sola, isto é, um dos pés com o material A e o outro
pé com o material B. Em cada par, o material
usado em cada pé (direito ou esquerdo) é decidido
por sorteio
Mensuração do grau de desgaste
Alocação aleatória de A e B em cada par;
AMOSTRAS PAREADAS
• Importância de considerar os pares na análise:
Indivíduo (par de unidades experimentais)
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 e H1: 𝜇1 ≠ 𝜇2;
Onde: 
• 𝜇1: valor esperado da resposta sob o tratamento 1;
• 𝜇2: valor esperado da resposta sob o tratamento 2;
• Na abordagem unilateral, a hipótese alternativa é
do tipo:
• H1’: 𝜇1 > 𝜇2 ou H1”: 𝜇1 < 𝜇2.
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS
• Caso os dados na amostra possuam um nível de
mensuração qualitativo (ordinal ou nominal),
mensuração quantitativa com indícios de que a
distribuição não é normal ou quando há interesse
em realizar inferência sobre outras características
da população, usa-se os testes não paramétricos.
• No caso do teste t para duas amostras
independentes, o teste não paramétrico substituto
é o teste Mann-Whitney. Para duas amostras
pareadas o teste indicado é o de Wilcoxon.
EXEMPLO 9.2(Barbetta, pg 235)
• Seja o problema de verificar se um novo algoritmo
de busca em um banco de dados é mais rápido
que o algoritmo atualmente usado. Para se fazer a
comparação dos dois algoritmos, planeja-se
realizar uma amostra aleatória de 10 buscas
experimentais (ensaios). Em cada ensaio, uma
dada busca é realizada pelos dois algoritmos e o
tempo de resposta de cada algoritmo anotado.
Observamos que em cada ensaio os dois
algoritmos são usados em condições idênticas,
caracterizando 10 pares de observações.
EXEMPLO
• H0: em média, os dois algoritmos são igualmente
rápidos; e
• H1: em média, o algoritmo novo é mais rápido do
que o algoritmo em uso;
Ou:
• H0: 𝜇1 = 𝜇2 e H1: 𝜇1 < 𝜇2;
Onde:
• 𝜇2 é o tempo esperado de resposta do algoritmonovo; e
• 𝜇1 é o tempo esperado de resposta do algoritmo
antigo.
EXEMPLO
EXEMPLO
• Como os dados são pareados, pode ser verificado
em cada ensaio a diferença entre os dois
tratamentos(algoritmo):
𝐷 = 𝑋2 − 𝑋1
• Em termos da variável diferença, as hipóteses
ficam:
• H0: 𝜇𝐷 = 0 e H1: 𝜇𝐷 > 0.
EXEMPLO
A estatística do teste será calculada da
seguinte maneira:
𝑡 =
 𝑑 ∗ 𝑛
𝑠𝑑
Onde:
• 𝑑: é a média das diferenças observadas;
• 𝑛 : é o tamanho da amostra(número de pares);
• 𝑠𝑑 : é o desvio padrão das diferenças observadas.
EXEMPLO
• Supondo populações de distribuição normal, usa-
se a distribuição t de Student, com 𝑔𝑙 = 𝑛 − 1
graus de liberdade.
• Dos dados apresentados anteriormente temos:
Valores de D: 3, 7, -2, 6, -1, 6, 2, 9, -1, 5:
• 𝑑 = 3,4;
• 𝑛 = 10
𝑠𝑑 =
1
𝑛 − 1
∗ 
𝑖
𝑑𝑖
2 − 𝑛 ∗ 𝑑2 =
246 − (10)(3,4)²
9
= 3,81
EXEMPLO
A estatística fica da seguinte forma:
𝑡 =
 𝑑 ∗ 𝑛
𝑠𝑑
=
3,4 ∗ 10
3,81
= 2,82
Conferindo na tabela t com 𝑔𝑙 = 10 − 1 = 9:
EXEMPLO
• O valor calculado, 𝑡 = 2,82, está bem próximo de
2,821 apresentado na tabela de distribuição t, o
que nos fornece um valor para 𝑝 = 0,01 , menor
que o nível de significância adotado, de 5%(0,05).
• Portanto, podemos afirmar que o algoritmo de
busca novo é, em média, mais rápido que o antigo,
rejeitando assim H0: 𝜇𝐷 = 0.
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS 
INDEPENDENTES
Exemplo 9.3(Barbetta, pg 238)
Desejamos verificar se os catalisadores A e B
têm efeitos diferentes no rendimento de uma certa
reação química. As hipóteses são:
• H0: em média, os dois catalisadores são iguais em
termos de rendimento;
H0: 𝜇1 = 𝜇2; e
• H1: em média, os dois catalisadores são diferentes
em termos de rendimento.
H1: 𝜇1 ≠ 𝜇2.
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS 
INDEPENDENTES
• Rendimentos (%) de uma reação química em
função do catalisador utilizado.
45 42 45 45
51 53 35 41
50 50 43 43
62 48 59 49
43 55 48 39
Catalisador A Catalisador B
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS 
INDEPENDENTES
• Diagrama de pontos dos resultados do
experimento:
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS 
INDEPENDENTES
• Estatística do teste:
𝑠𝑎
2 =
𝑠1
2 + 𝑠2
2
2
Onde:
• 𝑠1
2: variância da amostra 1;
• 𝑠2
2: variância da amostra 2;
• 𝑠𝑎
2: variância agregada das duas amostras.
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS 
INDEPENDENTES
• Estatística do teste:
𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 ∗
𝑛
2 ∗ 𝑠𝑎
2
Onde:
• 𝑥1: média da amostra 1;
• 𝑥2: média da amostra 2;
• 𝑛 : tamanho da amostra em cada grupo.
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS 
INDEPENDENTES
• Usa-se para o cálculo a distribuição t de Student
com graus de liberdade (supondo populações com
distribuição normal).
• Continuação(ex. 9.3):
Amostra 1: 𝑛 = 10; 𝑥1 = 49,9; 𝑒 𝑠1
2 = 35,656;
Amostra 2: 𝑛 = 10; 𝑥2 = 44,7; 𝑒 𝑠2
2 = 42,233;
Variância Agregada: 𝑠𝑎
2 =
35,656+42,233
2
= 38,945;
𝑡 = 49,9 − 44,7
10
2 ∗ 38,94
= 1,86
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS 
INDEPENDENTES
Graus de Liberdade: 𝑔𝑙 = 2𝑛 − 2 = 2 ∗ 10 − 2 = 18;
Abordagem do valor p:
TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS 
INDEPENDENTES
• O valor de t obtido pelo cálculo aponta para uma
região entre 0,025 e 0,05, mas como o teste é
bilateral, a área deve ser dobrada para se obter o
valor correto:
• Portanto, 0,05 < 𝑝 < 0,1 , aceitamos H0 ao nível
de significância de 5%, afirmando que os dados
não comprovam uma diferença entre os dois
catalisadores.
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
• AMOSTRAS INDEPENDENTES:
A análise estatística para a comparação de g
grupos independentes é feita geralmente por análise
de variância ANOVA, acompanhada por um teste F,
que supõe:
• as observações devem ser independentes;
• as variâncias populacionais devem ser iguais nos g
grupos;
• a distribuição das observações em cada grupo
deve ser normal.
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
• Ex. 9.4(Barbetta, pg. 252)
Considere o problema de comparar 3 tipos de
rede de computadores, C1, C2 e C3, em termos do
tempo médio de transmissão de pacotes de dados
entre duas máquinas.
Experimento (projeto completamente
aleatorizado com um fator): 8 replicações com cada
tipo de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e
mantendo fixos os demais fatores controláveis.
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
• Ex. 9.4;
• Projeto do experimento:
Seqüência número Uso da
dos testes do ensaio rede
1 16 C2
2 14 C2
3 24 C3
4 6 C1
... ... ...
24 11 C3
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
• Ex. 9.4;
Perguntas a serem respondidas pela análise
estatística:
• Existe diferença real (significativa) entre os 3 tipos
de rede?
• Qual é a estimativa do tempo de resposta para
cada tipo de rede?
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
• Ex. 9.4;
Hipóteses para o problema:
• H0: os tempos esperados de transmissão são
iguais para os três tipos de rede;
• H1: os tempos esperados de transmissão não são
todos iguais (dependem do tipo de rede);
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
• Dados do experimento:
Replicação Tipo de Rede
C1 C2 C3
1 7,2 7,8 6,3
2 9,3 8,2 6
3 8,7 7,1 5,3
4 8,9 8,6 5,1
5 7,6 8,7 6,2
6 7,2 8,2 5,2
7 8,8 7,1 7,2
8 8 7,8 6,8
Soma 65,7 63,5 48,1
Média 8,21 7,94 6,01
MODELO ANOVA:
• 𝑔 = 3 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠;
• 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗
Onde:
• 𝑦𝑖𝑗: observação;
• 𝜇 : média global;
• 𝜏𝑖: efeito do tratamento i;
• 𝑒𝑖𝑗: erro aleatório;
• 𝜇𝑖 = 𝜇 + 𝜏𝑖 = média do fator i.
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
Tratameto
(1) (2) (3)
𝑦11 𝑦21 𝑦31
𝑦12 𝑦22 𝑦32
… … …
𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑦3𝑛 Média 
Global
Média 𝑦1. 𝑦2. 𝑦3. 𝑦..
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
• HIPÓTESES:
H0: 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑔 = 0 ou 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑔;
H1: 𝜏𝑖 ≠ 0 ou 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗
As observações:
Sob H1: Sob H0:
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜇𝑖𝑗
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
• HIPÓTESES E MODELO SUBJACENTE:
𝐻0: 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑔 = 0
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜇𝑖𝑗
COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS 
TRATAMENTOS
• HIPÓTESES E MODELO SUBJACENTE:
Sob H1: 𝜏𝑖 ≠ 0 para algum 𝑖:
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗
Análise de variância (ANOVA), com um fator
Análise de variância (ANOVA), com um fator
Soma de quadrados totais:
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 
𝑖=1
𝑔
 
𝑗=𝑖
𝑛
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦..) ²
Onde:
• 𝑔 : grupos;
• 𝑛 : repetições;
Graus de Liberdade:
𝑔𝑙 = 𝑁 − 1
𝑁 = 𝑛 ∗ 𝑔
Onde:
• 𝑁 : tratamentos;
Análise de variância (ANOVA), com um fator
Soma de Quadrados do Tratamento:
𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 
𝑖=1
𝑔
 
𝑗=1
𝑛
 𝑦𝑖. − 𝑦..
2 = 𝑛 
𝑖=1
𝑔
( 𝑦𝑖. − 𝑦..)²
Onde:
• 𝑔 : grupos;
• 𝑛 : repetições
Graus de Liberdade:
𝑔𝑙 = 𝑔 − 1
Análise de variância (ANOVA), com um fator
• Soma de quadrados do erro:
𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 
𝑖=1
𝑔
 
𝑗=1
𝑛
(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖.)²
Onde:
• 𝑔 : grupos;
• 𝑛 : repetições;
• Graus de liberdade:
𝑔𝑙 = 𝑁 − 𝑔
Onde:
• 𝑁 : tratamentos;
Análise de variância (ANOVA), com um fator
Fonte de 
Variação
Soma de Quadrados gl Quadrados 
Médios
Razão f
Entre 
Tratamentos 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 
𝑖=1
𝑔
𝑦𝑖.
2
𝑛
−
𝑦..
2
𝑁
𝑔 − 1
𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡 =
𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑔𝑙𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑓 =
𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
Dentro Trat.
(Erro) 𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 − 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑁 − 𝑔
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜 =
𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜
𝑔𝑙𝐸𝑟𝑟𝑜
Total
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 
𝑖=1
𝑔
 
𝑗=𝑖
𝑛
𝑦𝑖𝑗
2 −
𝑦..
2
𝑁
𝑁 − 1
TESTE F
• Se H0: 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑔 = 0 for verdadeira e
considerando as suposições anteriormente
enunciadas, a estatística f tem distribuição F com
(g - 1) graus de liberdade no numerador e (N - g)
graus de liberdade no denominador.
f
TESTE F
• Após calculada a estatística f, usa-se a tabela de
distribuição F de Snedecor,para encontrar (), com
graus de liberdade no numerador, e graus de
liberdade no denominador. A regra de decisão é
dada por:
• Se 𝑓 < 𝑓𝑐, então aceita H0;
• Se 𝑓 ≥ 𝑓𝑐, então rejeita H0;
Continuação Ex. 9.4
Soma global: 𝑦.. = 177,3;
𝑆𝑄: 
𝑖=1
𝑔
 
𝑗=1
𝑛
𝑦𝑖𝑗
2 = 7,2 2 + 9,3 2 + ⋯ =1344,25
𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 =
67,6 2 + 63,5 2 + (48,1)²
8
−
177,3 2
24
= 22,99
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 1344,25 −
177,3 2
24
= 34,45
𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 34,45 − 22,99 = 11,46
Continuação Ex. 9.4
Fonte de Variação SQ gl QM f
Entre Trat. 22,99 2 11,50 21,07
Dentro Trat. (Erro) 11,46 21 0,55
Total 34,45 23
REGRA DE DECISÃO
ABORDAGEM DO VALOR P
• Como regra de decisão, usa-se α=nível de
significância, usualmente 0,05(5%), que é
probabilidade tolerável de se rejeitar Ho quando
esta for verdadeira;
Rejeita H0 (Prova-
se estatisticamente 
H1)
Aceita H0 (Dados 
não mostram 
evidências para 
aceitar H1)
ANÁLISE DOS RESÍDUOS
• Avaliação das suposições da ANOVA através de
gráficos dos resíduos:
ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS
• Intervalo de confiança para o valor esperado da
resposta sob o i-ésimo tratamento (nível de conf.
𝛾):
𝐼𝐶 𝜇𝑖 , 𝛾 = 𝑦𝑖. ± 𝑡𝛾
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
𝑛
Onde:
• 𝑡𝛾: valor encontrado na tabela t;
• 𝛾 : nível de confiança;
ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS
• Ex. 9.4: Usando nível de confiança de 95% e 𝑔𝑙
= 𝑁 − 𝑔 = 24 − 3 = 21, temos 𝑡95% = 2,08, então,
para a rede C1 temos:
𝐼𝐶 𝜇𝑖 , 95% = 8,21 ± 2,08
0,55
8
= 8,21 ± 0,55
ANOVA COM UM FATOR
• No caso em que as amostras não possuem
distribuição normal, ou que tenham um nível de
mensuração qualitativo, usa-se o teste Kruskal-
Wallis.
TESTE F PARA AMOSTRAS EM BLOCOS
• Notação para os dados:
TESTE F PARA AMOSTRAS EM BLOCOS
Modelo para os dados:
𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝜀𝑖𝑗
Onde:
𝜇 : é a média global da resposta;
𝜏𝑖: é o efeito do i-ésimo tratamento;
𝛽𝑗: é o efeito do j-ésimo bloco;
𝜀𝑖𝑗: é o efeito aleatório (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛; 𝑗 = 1, 2, … , ℎ).
TESTE F PARA AMOSTRA EM BLOCOS
QUADRO ANOVA
Fonte de 
Variação
Soma de Quadrados gl Quadrados 
Médios
Razão f
Entre 
Trat. 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 
𝑖=1
𝑔
𝑦𝑖.
2
ℎ
−
𝑦..
2
𝑁
𝑔 − 1 𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡 =
𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑔𝑙𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑓 =
𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡
𝑄𝑀𝐸
Entre 
Blocos 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜 = 
𝑗=1
ℎ
𝑦.𝑗
2
𝑔
−
𝑦..
2
𝑁
ℎ − 1 𝑄𝑀𝐵 =
𝑆𝑄𝐵
𝑔𝑙𝐵
Erro 𝑆𝑄𝐸 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 − 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 − 𝑆𝑄𝐵 (𝑔 − 1)(ℎ − 1) 𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡 =
𝑆𝑄𝐸
𝑔𝑙𝐸
Total
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 
𝑖=1
𝑔
 
𝑗=𝑖
𝑛
𝑦𝑖𝑗
2 −
𝑦..
2
𝑁
𝑁 − 1
Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
• Seja o problema de comparar 3 algoritmos de busca em
um banco dedados. Realiza-se um experimento com 6
buscas experimentais, sendo que em cada uma é
sorteado um número aleatório que indica o registro do
banco de dados a ser localizado. Em cada um dos 6
processos de busca, são usados separadamente os três
algoritmos em estudo, mas sob as mesmas condições,
em termos dos fatores controláveis. São anotados os
tempos de resposta ao usuário.
• Hipóteses:
H0: em média, os três algoritmos são igualmente rápidos;
H1: em média, os três algoritmos não são igualmente
rápidos;
Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
• Dados do exercício:
Ensaio 
(Bloco)
Algoritmos de Busca
A1 A2 A3
1 8,3 8,1 9,2
2 9,3 8,9 9,8
3 9,1 9,3 9,9
4 9,9 9,6 10,3
5 8,2 8,1 8,9
6 10,9 11,2 13,1
Soma 55,8 55,2 61,2
Média 9,3 9,2 10,2
Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
Soma de Quadrados
𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 =
55,8 2 + 55,2 2 + (61,2)²
6
−
172,2 2
18
= 3,64
𝑆𝑄𝐵 =
5007,98
3
−
172,2 2
18
= 21,95
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 8,3
2 + 9,3 2 + 9,1 2 + ⋯−
172,2 2
18
= 26,86
𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 26,86 − 21,95 − 3,64 = 1,27
Fonte de Variação SQ gl QM
Entre Trat. 3,64 2 1,82 14,29
Entre Blocos 21,95 5 4,39
Erro 1,27 10 0,13
Total 26,86 17
Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
Tabela ANOVA:
Adotando 𝛼 = 0,05, com 𝑔𝑙 = 2 no numerador e 𝑔𝑙
= 10 no denominador, temos o valor crítico 𝑓𝑐 = 4,10.
O que podemos concluir?
Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256)
• Como o valor calculado é superior ao valor crítico,
então o teste rejeita H0, provando estatisticamente
que há diferença entre os três algoritmos de busca
em termos do tempo médio de resposta.
ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
• Nos estudos experimentais, em geral procuramos
avaliar ou testar o efeito de mais de um fator sobre
uma resposta de interesse, por exemplo:
• O engenheiro civil quer conhecer o quanto o tempo
de hidratação, a dosagem de cimento e o uso de
aditivos interferem na resistência a compressão de
um concreto;
• Um projeto é dito fatorial quando cada nível de um
fator é testado com todos os níveis dos outros
fatores, sem restrições.
ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
• As observações podem ser descritas pelo seguinte
modelo:
𝑌𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + (𝜏𝛽)𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘
Onde:
• 𝜇 : é a média global da resposta;
• 𝜏𝑖: é o efeito do i-ésimo nível do fator A;
• 𝛽𝑗: é o efeito do j-ésimo nível do fator B;
• (𝜏𝛽)𝑖𝑗: é o efeito da interação entre 𝜏𝑖 e 𝛽𝑗;
• 𝜀𝑖𝑗𝑘: é o efeito aleatório ou erro experimental.
ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
• Notação para os dados:
ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
SOMAS DE QUADRADOS
• Somas das observações em cada célula:
𝑦𝑖𝑗. = 
𝑘=1
𝑛
𝑦𝑖𝑗𝑘
• Soma de quadrados entre as células:
𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑡𝑜𝑡 = 
𝑖=1
𝑔
 
𝑗=1
ℎ
𝑦𝑖𝑗.
2
𝑛
−
𝑦…
2
𝑁
ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS
Fonte de 
Variação
Soma de Quadrados gl Quadrados 
Médios
Razão f
Fator A
𝑆𝑄𝐴 = 
𝑖=1
𝑔
𝑦𝑖.
2
ℎ𝑛
−
𝑦…
2
𝑁
𝑔 − 1
𝑄𝑀𝐴 =
𝑆𝑄𝐴
𝑔𝑙𝐴
𝑓 =
𝑄𝑀𝐴
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
Fator B
𝑆𝑄𝐵 = 
𝑗=1
ℎ
𝑦.𝑗.
2
𝑔𝑛
−
𝑦…
2
𝑁
ℎ − 1
𝑄𝑀𝐵 =
𝑆𝑄𝐵
𝑔𝑙𝐵
𝑓 =
𝑄𝑀𝐵
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
Interação 
A*B
𝑆𝑄𝐴𝐵 =
= 𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑡𝑜𝑡 − 𝑆𝑄𝐴 − 𝑆𝑄𝐵
𝑔 − 1 ∗
∗ (ℎ − 1)
𝑄𝑀𝐴𝐵 =
𝑆𝑄𝐴𝐵
𝑔𝑙𝐴𝐵
𝑓 =
𝑄𝑀𝐴𝐵
𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜
Erro 𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 − 𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑡𝑜𝑡 ℎ𝑔(𝑛 − 1) 𝑄𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜 =
=
𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜
𝑔𝑙𝐸𝑟𝑟𝑜
Total
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 
𝑖=1
𝑔
 
𝑗=1
ℎ
 
𝑘=1
𝑛
𝑦𝑖𝑗𝑘
2 −
𝑦…
2
𝑁
𝑁 − 1
EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
Considere o problema de comparar 3 topologias de
rede de computadores (C1, C2 e C3) e 2 protocolos (L1 e
L2), em termos do tempo de resposta ao usuário. Realizou-
se um experimento com 4 replicações em cada combinação
de topologia e protocolo. Deseja-se verificar se há diferenças
entre as topologias, entre os protocolos e eventual interação
entre topologia e protocolo. Então, quer-se testar as
seguintes hipóteses nulas:
𝐻0
(𝐴)
:os tempos esperados de resposta são iguais para as
três topologias;
𝐻0
(𝐵)
: os tempos esperados de resposta são iguais para os
dois protocolos;
𝐻0
(𝐴𝐵)
: a mudança de protocolo não altera as diferenças
médias do tempo de resposta nas três topologias (ausência
de interação).
EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
• Dados do experimento:
Protocolo Topologia Soma Média
C1 C2 C3
L1 6,2 5,9 5,9 𝑦.1. = 82,8 7,45
7,6 8,4 6,2
7,2 7,1 5,2
8,8 7,1 7,2
L2 9,0 7,1 6,2 𝑦.2. = 95,9 7,99
8,9 8,6 6,1
9,4 9,1 8,9
8,0 7,8 6,8
Soma 𝑦1.. = 65,1 𝑦2.. = 61,1 𝑌3.. = 52,5 𝑦... = 178,7 7,45
Média 8,1375 7,6375 5,5625
EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑡𝑜𝑡 =
5393,39
4
−
31933,69
24
= 17,77
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡 = 1365,49 −
31933,69
24
= 34,92
𝑆𝑄𝐴 =
10727,47
8
−
31933,69
24
= 10,36
𝑆𝑄𝐵 =
16052,65
12
−
31933,69
24
= 7,15
EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
• ANOVA: 
Fonte de Variação SQ gl QM 𝑓 𝑓𝑐
Topologia 10,36 2 5,18 5,44 3,55
Protocolo 7,15 1 7,15 7,51 4,41
Interação 0,26 2 0,13 0,14 3,55
Erro 17,14 18 0,95
Total 34,92 23
EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
Conclui-se assim que tanto as diferentes
topologias C1, C2 e C3, (𝑓 = 5,44 > 𝑓𝑐 = 3,55) ,
quanto os diferentes protocolos utilizados L1 e L2, (𝑓
EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
• Análise dos resíduos e do perfil das médias para
comprovar as suposições de normalidade e
variância constante dos dados.
• As médias são determinadas pela equação:
 𝑦𝑖𝑗. =
1
𝑛
 
𝑘=1
𝑛
𝑦𝑖𝑗𝑘
• Os resíduos são a diferença entre os valores
observados e a médiados subgrupos:
𝑒𝑖𝑗𝑘 = 𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦𝑖𝑗.
EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
(a) Perfil das médias (b) Análise dos Resíduos
EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260)
Observando o perfil das médias podemos
observar diferenças entre os níveis dos dois fatores e
a ausência de interação.
Observando o perfil dos resíduos, observamos
que os resíduos se encontram distribuídos de forma
aleatória em torno da linha horizontal, associada ao
resíduo nulo, isso sugere também que as suposições
de normalidade e variância constantes são atendidas,
validando os resultados da ANOVA.
REFERÊNCIAS
• BARBETTA, Pedro A.; REIS, Marcelo. M.; 
BORNIA, Antonio C. Estatística para cursos de 
engenharia e informática. 3 ed. São Paulo: 
Editora Atlas, 2010.