Integrais - Substituição de Variáveis e Exercícios

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1.4 Substituição de Variáveis
No cálculo de integrais, seria ótimo se quando olhássemos para o integrando pudéssemos
reconhecer uma primitiva imediata para o integrando. Infelizmente, em muitas situações
(quase todas!) as primitivas não são imediatas. Entretanto, fazendo uma mudança de
variáveis, podemos simplificar uma integral a tal ponto que na nova variável podemos
reconhecer uma primitiva imediata e isso nos permite resolver a integral na nova variável
e portanto resolver a integral original.
Para ilustrar o que foi dito acima, veja se nesse passo você consegue reconhecer uma
primitiva para a função
f(x) = 2x
√
1 + x2.
Sejam f e g funções tais que Im(g) ⊂ Df . Suponha que F é uma primitiva para f .
Então F (g(x)) é uma primitiva para f(g(x))g′(x). De fato, pela regra da cadeia,
[F (g(x))]′ = F ′(g(x))g′(x) = f(g(x))g′(x).
Portanto, ∫
f(g(x))g′(x)dx = F (g(x)) + k,
com k constante. Assim, se fizermos a mudança de variáveis
u = g(x) =⇒ du = g′(x)dx,
segue que ∫
f(g(x))g′(x)dx =
∫
f(u)du = F (u) + k = F (g(x)) + k.
Exemplo 1.29. Calcule
∫
2x
√
1 + x2dx.
Demonstração. Façamos a seguinte mudança de variáveis:
u = 1 + x2 =⇒ du = 2xdx.
Assim, ∫
2x
√
1 + x2dx =
∫ √
1 + x22xdx =
∫ √
udx =
∫
u
1
2du
=
2
3
√
u3 + k =
2
3
√
(1 + x2)3 + k.
Exemplo 1.30. Calcule
∫
x3 cos(x4 + 2)dx.
Demonstração. Seja
u = x4 + 2 =⇒ du = 4x3dx.
Logo ∫
x3 cos(x4 + 2)dx =
1
4
∫
cosudu
=
1
4
sinu+ k =
1
4
∈ (x4 + 2) + k.
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Exemplo 1.31. Calcule ∫
tanxdx.
Demonstração. Seja u = cosx, logo du = − sinxdx, portanto∫
tanxdx =
∫
sinx
cosx
dx = −
∫
1
u
du = − ln |u|+ k
= − ln | cosx|+ k = ln | secx|+ k.
O que acontece se fizermos a mudança de variáveis u = sinx? Veja se é posśıvel
calcular a integral com essa mudança de variáveis.
Exemplo 1.32. Calcule
∫ 1
−2
√
1
2
x+ 1dx.
0
f
−2 1
Fazendo u = 1
2
x+ 1, segue que du = 1
2
dx.
x = −2 =⇒ u = 0
x = 1 =⇒ u = 3
2
Logo, ∫ 1
−2
√
1
2
x+ 1dx =
∫ 3
2
0
2
√
udu = 2
2
3
u
3
2
∣∣∣∣ 32
0
=
4
3
√
27
8
.
Existem duas maneiras para calcular uma integral definida por substituição de variáveis.
Uma consiste em calcular a integral indefinida e então usar o T.F.C. Por exemplo: já
vimos que ∫ 2
0
2x
√
1 + x2dx =
2
3
(1 + x2)
3
2 + k.
Ou seja, F (x) = 2
3
(1 +x2)
3
2 é uma primitiva para a função que está no integrando. Logo
do T.F.C. segue que∫ 2
0
2x
√
1 + x2dx =
2
3
(1 + x2)
3
2
∣∣∣2
0
=
2
3
5
3
2 − 2
3
1
3
2 =
2
3
(
√
53 − 1).
A outra maneira consiste em se mudar os limites de integração ao fazer a mudança
de variáveis. Vamos ilustrar esse procedimento abaixo.
Se g′ for cont́ınua em [a, b] e f for cont́ınua na variação de u = g(x), então∫ b
a
f(g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)
f(u)du.
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Demonstração. Seja F uma primitiva de f . Então F (g(x)) é uma primitiva de f(g(x))g′(x),
logo do T.F.C., temos que∫ b
a
f(g(x))g′(x)dx = F (g(x))
∣∣∣b
a
= F (g(b))− F (g(a)).
Por outro lado, ainda do T.F.C., temos que∫ g(b)
g(a)
f(u)du = F (u)
∣∣∣g(b)
g(a)
= F (g(b))− F (g(a)).
Isto conclui a prova.
Exemplo 1.33. Calcule ∫ 1
1
2
√
2x− 1dx.
Demonstração. Vamos usar a seguinte mudança de variáveis:
u = 2x− 1 =⇒ du = 2dx.
Assim, por essa mudança de variáveis{
x = 1
2
=⇒ u = 0
x = 1 =⇒ u = 1.
Logo, ∫ 1
1
2
√
2x− 1dx =
∫ 1
0
1
2
√
udu =
1
2
2
3
u
3
2
∣∣∣1
0
=
1
3
.
Exemplo 1.34. Calcule ∫ e
1
lnx
x
dx.
Demonstração. Vamos usar a seguinte mudança de variáveis:
u = lnx =⇒ du = 1
x
dx.
Assim, por essa mudança de variáveis{
x = 1 =⇒ u = 0
x = e =⇒ u = 1.
Assim ∫ e
1
lnx
x
dx =
∫ 1
0
udu =
1
2
u2
∣∣∣1
0
=
1
2
.
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Exerćıcios
Exerćıcio 1.35. Calcule
(a)
∫
x3 cosx4dx (b)
∫
sin5x cosxdx (c)
∫
tanx sec2 xdx
(d)
∫
sec2 x
3 + 2 tanx
dx (e)
∫ (
5
x− 1
+
2
x
)
dx (f)
∫
1
a2 + x2
dx
(g)
∫
1
x lnx
dx (h)
∫
1
x
cos(lnx)dx.
(Respostas: (a)
1
4
senx4 +k (b)
1
6
sen6x+k (c)
1
2
tg2x+k (d)
1
2
ln |3+2 tan x|+k
(e) 5 ln |x− 1|+ 2 ln |x|+ k (f) 1
a
arctan
x
a
+ k (g) ln | lnx|+ k (h) sen(lnx) + k.)
Exerćıcio 1.36. Calcule
(a)
∫ 2
−2
(3s2 + 2s− 1)ds (b)
∫ 2
1
(
x3 +
1
x
+
1
x3
)
dx
(c)
∫ π
2
−π
6
(cos 2x+ sin 5x)dx (d)
∫ 2
0
4
1 + u2
du
(e)
∫ 1
0
xex
2
dx (f)
∫ 0
−1
x(2x+ 1)50dx
(g)
∫ 1
0
x
(x2 + 1)5
dx (h)
∫ 1
−1
x4(x5 + 3)3dx
(i)
∫ π
2
π
6
sinx (1− cos2 x)dx (j)
∫ π
3
0
sin3 xdx
(Respostas: ( a) 12 (b) 33
8
+ ln 2 (c) 3
√
3
20
(d) 4 arctan 2 (e)
1
2
e − 1
2
(f) − 1
102
(g)
15
128
(h) 12 (i)
3
8
√
3 (j)
5
24
))
Exerćıcio 1.37. Nos itens abaixo, desenhe o conjunto A dado e calcule sua área:
(a) A = {(x, y) ∈ R2; x2 − 1 6 y 6 0}.
(b) A = {(x, y) ∈ R2; 0 6 y 6 |sen x|, 0 6 x 6 2π}.
(c) A é a região delimitada pelos gráficos de y + x2 = 6 e y + 2x− 3 = 0.
(d) A é a região delimitada pelos gráficos de y − x = 6, y − x3 = 0 e 2y + x = 0.
(Respostas: (a)
4
3
(b) 4 (c)
32
3
(d) 22)
Exerćıcio 1.38. Sabendo-se que a função
f(x) =

√
x−
√
7√
x2 + 15− 8
, x 6= 7
a, x = 7.
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