1_Exercicio Estabilidade

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Estabilidade de Sistemas Dinâmicos:
Estudo Dirigido
Introdução
Existem vários métodos para obtenção de informações sobre a localização das raízes de um polinômio sem realmente calculá-las. Estes métodos foram desenvolvidos no século 19 e foram especialmente úteis antes da disponibilidade do programa MATLAB. Eles ainda são úteis para determinarem a estabilidade de polinômios, especialmente quando os coeficientes estão na forma simbólica (não numérica). Considere a equação característica de um sistema de n-ésima ordem:
(1)
É possível fazer certas afirmações sobre a estabilidade do sistema sem realmente calcular as raízes do polinômio. Este é um problema clássico e existem vários métodos para a solução.
Uma condição necessária para a estabilidade do sistema é́ que todas as raízes da Eq. (1) tenham partes reais negativas, o que exige que todos os coeficientes {ai} sejam positivos.
Para determinar o arranjo de Routh, primeiro organize os coeficientes do polinômio característicos em duas linhas, começando com o primeiro e segundo coeficientes seguidos pelos coeficientes pares e ímpares
Em seguida, adicione as seguintes linhas para completar a arranjo de Routh:
onde
Tarefa
Avalie a estabilidade dos seguintes sistemas, considerando o critério de Routh 1)
 Tabela de Routh
	S6
	1
	3
	1
	4
	S5
	4
	2
	4
	0
	S4
	2,5
	0
	4
	
	S3
	2
	-2,4
	
	
	S2
	3
	4
	
	
	S1
	-5,06
	
	
	
	S0
	4
	
	
	
	
	
	
	
	
· Considerando o critério de Routh o sistema é instável, pois há polo no semi plano direito
2) Considerando o sistema apresentado abaixo, determine a faixa de valores do ganho K que garante a estabilidade do sistema operando me malha-fechada.
 (
K(s+1)
s(s-1)(s+6)
) 
Tabela de Routh
	S3
	1
	K-6
	
	
	
	
	S2
	5
	K
	
	
	
	
	S1
	4K-30/5
	
	
	
	
	
	S0
	K
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
· Para garantir a estabilidade do sistema operando em malha-fechada, o ganho tem que ser K>7,5
3) Considerando que os polinômios abaixo representam o denominador da função de transferência de sistemas dinâmicos, determine a estabilidade destes sistemas utilizando o critério de Routh.
 Tabela de Routh
	S4
	1
	32
	100
	
	S3
	8
	80
	0
	
	S2
	22
	100
	
	
	S1
	43,64
	
	
	
	S0
	100
	
	
	
· Considerando o critério de Routh o sistema é estável, pois todos polos estão no semi plano esquerdo
 
 Tabela de Routh
	S5
	1
	30
	344
	
	S4
	10
	80
	480
	
	S3
	22
	296
	0
	
	S2
	-54,54
	480
	
	
	S1
	489,62
	
	
	
	S0
	480
	
	
	
· Considerando o critério de Routh o sistema é instável, pois há polos no semi plano direito
 
· Considerando o critério de Routh o sistema é instável, pois há uma polo negativo no polinômio, o mesmo pertence ao semi plano direito, por isso não necessidades de fazer o cálculo para identificar a estbilidade do sistema. 
 Tabela de Routh
	S3
	1
	20
	
	
	
	
	S2
	1
	78
	
	
	
	
	S2
	-58
	0
	
	
	
	
	S1
	78
	
	
	
	
	
	S0
	0
	
	
	
	
	
· Considerando o critério de Routh o sistema é instável, pois há polos no semi plano direito
 
 Y’=s^4=4s^3
 Y’=6s^2=12s
 s^4+4s^3+6s^2+12s+25=0
 Tabela de Routh
	S4
	1
	6
	25
	
	
	S3
	4
	12
	0
	
	
	S2
	3
	25
	
	
	
	S1
	-21,33
	
	
	
	
	S0
	25
	
	
	
	
· Considerando o critério de Routh o sistema é instável, pois há polos no semi plano direito