AD1 2020-2 gabarito

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Geometria Espacial Solução da AD1 Página 1 de 4
Solução da AD1 de Geometria Espacial - 2020.2
Questão 1. As figuras I e II a seguir representam o mesmo cubo ABCD−A′B′C ′D′ visto de posições diferentes.
Figura I Figura II
a) Descreva como você percebe a diferença entre as posições do observador nas figuras I e II.
b) Reproduza as figuras I e II à mão livre usando transparência, de modo que seja posśıvel visualizar todas as
arestas do cubo em ambas as figuras. Use linhas tracejadas para representar as arestas que estão ocultas.
c) Reproduza as figuras I e II à mão livre usando transparência, de modo que seja posśıvel visualizar todas as
arestas do cubo em ambas as figuras. Mas agora use linhas cont́ınuas, sem interrupções, para representar
as arestas que estão ocultas.
d) Inclua os rótulos dos vértices (A, B, C, D, A′, B′, C ′ e D′) nas figuras do cubo do item anterior de modo
que ABCD seja a face debaixo e A′B′C ′D′ seja a face de cima.
e) Discuta as representações utilizadas em termos da percepção do observador.
Solução:
a) A diferença é que na figura I, o cubo é visto de uma posição um pouco acima e à direita do cubo, enquanto
que na Figura II, o cubo é visto de uma posição abaixo e à esquerda do cubo.
b) Nas figuras a seguir, além de incluir as arestas tracejadas, também engrossamos um pouco as linhas das
arestas cont́ınuas.
Figura I Figura II
c) Esta é uma versão sem fazer diferença de estilo entre as arestas viśıveis ou não na versão opaca.
Figura I Figura II
Esta é uma versão em que engrossamos as arestas que estão viśıveis na figura original (opaca).
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Figura I Figura II
d) As posições dos rótulos não são absolutas. Qualquer dos vértices da face debaixo pode ser nomeado por A,
um dos dois vértices adjacentes, ainda na face debaixo deve ser nomeado por B, então já ficarão definidas
as posições de todos os demais vértices.
Figura I Figura II
A
B
C
D
A′ B′
C ′D′
D
C
B
A
D′ C ′
B′A′
Esta é uma versão em que engrossamos as arestas que estão viśıveis na figura original (opaca).
Figura I Figura II
A
B
C
D
A′ B′
C ′D′
D
C
B
A
D′ C ′
B′A′
e) A representação inteiramente opaca (a do enunciado) é a mais realista, contudo, dependendo do uso que
será feito da figura, pode não ser suficiente já que não estão presentes todos os vértices nem todas as
arestas. A representação tracejada permite clara diferenciação do que está atrás e o que está adiante de
modo que a tridimensionalidade da figura fica evidente. O mesmo ocorre na linha cont́ınua em que as
arestas da frente foram destacadas com linhas mais grossas. Finalmente, a representação das arestas com
linhas iguais não apresenta qualquer distinção entre os pontos de vista I e II.
Questão 2. Um tetraedro regular é uma pirâmide triangular reta em que todas as faces são triângulos
equiláteros (veja a figura).
DB
A
C
Considere um plano α paralelo às retas BD e AC que intersecta as arestas AB, BC, CD e DA nos pontos X,
Y , Z e T , respectivamente.
Faça uma figura que represente a situação.
Solução:
Algumas caracteŕısticas são especialmente importantes aqui:
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• que fique clara a tridimensionalidade da figura,
• que fique claro o que está na frente e o que está atrás, e
• as relações de paralelismo sejam realistas ou sejam representadas em projeção ortogonal.
As figuras a) e b) são boas soluções as demais não são.
a) b)
c) d) e)
A diferença entre os bons exemplos a) e b) é simplesmente a representação do que fica por trás na figura. A
pirâmide é um sólido, logo usamos transparência para que o leitor (ou o interlocutor) possa identificar o que está
do outro lado. Nessa transparência podemos usar pontilhado, uma cor diferente, uma espessura menor na linha,
etc. o importante é conseguir comunicar bem o que está na frente e o que está atrás. Por outro lado, a figura c) é
um mal exemplo disso. Não dá para perceber que é uma figura tridimensional. Faça um esforço para visualizar,
na figura c), o segmento BD sendo o mais próximo do observador. A figura d) não está realmente errada,
ela representa a vista superior do tetraedro do enunciado. Mas essa representação, embora útil em algumas
situações, costuma trazer dificuldade para os estudantes menos experientes. Finalmente, a representação mais
comumente usada por Professores de Matemática e nos livros didáticos é a projeção ortogonal, de modo que as
retas paralelas pareçam paralelas na figura, independente do ponto de vista. A figura e) é um exemplo em que
isso não está bem feito. Os segmentos XT e Y Z estão em retas paralelas, mas esse não é o caso na figura e).
Questão 3. A seguir são apresentadas afirmações e justificativas para as mesmas sobre o cubo ABCD −
A′B′C ′D′ da figura. Decida se as justificativas são válidas ou não. Corrija as justificativas erradas.
A
B
C
D
A′ B′
C ′D′
a) A reta AA′ é perpendicular ao plano ABCD pois a face ABB′A′ é um quadrado, logo AA′ é perpendicular
a AB. Como AA′ é perpendicular a uma reta do plano ABCD, a reta AA′ é perpendicular ao plano
ABCD.
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b) O triângulo B′BD é retângulo em B pois a reta BB′ é perpendicular ao plano ABCD, logo BB′ é
perpendicular a todas as retas de ABCD, em particular, BB′ é perpendicular a BD.
c) Os planos ABCD e A′B′C ′D′ são paralelos porque as faces ABCD e A′B′C ′D′ do cubo não se intersectam,
isto é, as faces não têm pontos em comum.
d) Os planos ABCD e A′B′C ′D′ são paralelos porque as retas AB e A′B′ são paralelas, já que ABB′A′ é
um quadrado. Se um plano contém uma reta paralela a outro plano, então esses planos são paralelos.
Solução: Todas as afirmações são verdadeiras, mas algumas justificativas não estão corretas.
a) Não é verdade que se uma reta é perpendicular a uma reta de um plano, então a reta é perpendicular
ao plano. É necessário que a reta seja perpendicular a duas retas concorrentes do plano para que ela
seja perpendicular ao plano. Assim, para justificar que AA′ é perpendicular ao plano ABCD, basta
argumentar que o segmento AA′ está contido nas faces quadradas ABB′A′ e AA′D′D, logo a reta AA′ é
perpendicular a AB e a AD, ambas retas contidas em ABCD. Portanto, AA′ é perpendicular ao plano
ABCD porque é perpendicular às retas concorrentes AB e AD, ambas contidas em ABCD.
b) Tudo certo por aqui.
c) As faces do cubo são quadrados contidos nos respectivos planos. Os planos são ilimitados em todas as
direções, portanto, os planos poderiam se intersectar, mesmo que não se intersectem nos quadrados. Para
mostrar que os dois planos são paralelos é suficiente mostrar que existem retas concorrentes em um deles
que são, respectivamente, paralelas a um par de retas concorrentes do outro plano. Por exemplo, Como
as faces são quadrados, basta observar que AB e AD são concorrentes em ABCD e AB é paralela a A′B′
e AD é paralela a A′D′, como A′B′ e A′D′ são concorrentes e ambas estão contidas no plano A′B′C ′D′,
segue que os planos ABCD e A′B′C ′D′ são paralelos.
d) Novamente a justificativa não basta para se obter o resultado desejado. Conforme observado no item
anterior, não basta uma reta em um plano ser paralela ao outro plano para que os planos sejam paralelas.
São necessárias duas retas concorrentes. Reflita sobre isso!
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