Lista de exercícios: Cálculo 4 - Sequências e séries infinitas - James Stewart - Cálculo Volume 2 - Cápitulo 11.3

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RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
CÁLCULO 4 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES 
 
 
LIVRO: STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010 
EXERCÍCIOS: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 23 e 25 do capítulo 11.3 
 
EXERCÍCIO 3 
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. 
∑
1
𝑛4
∞
𝑛=1
 
RESOLUÇÃO 
Associando o termo geral 𝑎𝑛 a uma função 𝑓(𝑥), temos que 
𝑎𝑛 =
1
𝑛4
↔ 𝑓(𝑥) =
1
𝑥4
 
 
Como a função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da série, calculamos a integral imprópria 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
= ∫
1
𝑥4
𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥4
𝑑𝑥
𝑡
1
= lim
𝑡→∞
(
𝑥−3
−3
)
1
𝑡
= lim
𝑡→∞
(−
1
3𝑡3
+
1
3
) =
1
3
 
 
∴ ∑
𝟏
𝒏𝟒
∞
𝒏=𝟏
 é 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
EXERCÍCIO 5 
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. 
∑
1
(2𝑛 + 1)3
∞
𝑛=1
 
RESOLUÇÃO 
Associando o termo geral 𝑎𝑛 a uma função 𝑓(𝑥), temos que 
𝑎𝑛 =
1
(2𝑛 + 1)3
↔ 𝑓(𝑥) =
1
(2𝑥 + 1)3
 
 
Como a função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da série, calculamos a integral imprópria 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
= ∫
1
(2𝑥 + 1)3
𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑡→∞
∫
1
(2𝑥 + 1)3
𝑑𝑥
𝑡
1
= lim
𝑡→∞
(
(2𝑥 + 1)−2
−2
∙
1
2
)
1
𝑡
 
= lim
𝑡→∞
(−
1
4 ∙ (2𝑥 + 1)2
+
1
4 ∙ 9
) =
1
36
 
 
∴ ∑
𝟏
(𝟐𝒏 + 𝟏)𝟑
∞
𝒏=𝟏
 é 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
 EXERCÍCIO 7 
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. 
∑𝑛𝑒−𝑛
∞
𝑛=1
 
RESOLUÇÃO 
Associando o termo geral 𝑎𝑛 a uma função 𝑓(𝑥), temos que 
𝑎𝑛 = 𝑛𝑒
−𝑛 ↔ 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥 
 
Como a função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da série, calculamos a integral imprópria 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
= ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑡→∞
∫𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥
𝑡
1
 
 
Utilizando a técnica de integração por partes com 𝑢 = 𝑥 e 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥, temos 
∫ 𝑥⏟
𝑢
𝑒−𝑥𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
= 𝑥⏟
𝑢
∙ (−𝑒−𝑥)⏟ 
𝑣
− ∫ (−𝑒−𝑥)⏟ 
𝑣
𝑑𝑥⏟
𝑑𝑢
= 𝑥 ∙ (−𝑒−𝑥) − 𝑒−𝑥 = (−
1
𝑒𝑥
) ∙ (𝑥 + 1) 
 
Retornando à integral imprópria, temos 
lim
𝑡→∞
∫𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥
𝑡
1
= lim
𝑡→∞
[(−
1
𝑒𝑥
) ∙ (𝑥 + 1)]
1
𝑡
= lim
𝑡→∞
(
−(𝑡 + 1)
𝑒𝑡
+
2
𝑒
) =
2
𝑒
 
 
∴ ∑𝒏𝒆−𝒏
∞
𝒏=𝟏
 é 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
 
 
EXERCÍCIO 9 
Determine se a série é convergente ou divergente. 
∑
2
𝑛0,85
∞
𝑛=1
 
RESOLUÇÃO 
Como se trata de uma série de potência (p-série), basicamente temos 
∑
2
𝑛0,85
∞
𝑛=1
= 2 ∙ ∑
1
𝑛0,85
∞
𝑛=1⏟ 
p-série com 𝑝=0,85
 
 
Como a p-série tem um valor de 𝑝 = 0,85 < 1, concluímos que a série diverge. 
 
∴ ∑
𝟐
𝒏𝟎,𝟖𝟓
∞
𝒏=𝟏
 é 𝐝𝐢𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
EXERCÍCIO 11 
Determine se a série é convergente ou divergente. 
1 +
1
8
+
1
27
+
1
64
+
1
125
+⋯ 
RESOLUÇÃO 
Temos que 1 +
1
8
+
1
27
+
1
64
+
1
125
+⋯ pode ser escrita da seguinte forma 
1 +
1
8
+
1
27
+
1
64
+
1
125
+ ⋯ =
1
13
+
1
23
+
1
33
+
1
43
+
1
53
+⋯ = ∑
1
𝑛3
∞
𝑛=1
 
 
Como se trata de uma p-série com um valor de 𝑝 = 3 > 1, concluímos que a série converge. 
 
∴ 𝟏 +
𝟏
𝟖
+
𝟏
𝟐𝟕
+
𝟏
𝟔𝟒
+
𝟏
𝟏𝟐𝟓
+⋯é 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
EXERCÍCIO 13 
Determine se a série é convergente ou divergente. 
1 +
1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
9
+ ⋯ 
RESOLUÇÃO 
Temos que 1 +
1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
9
+⋯ pode ser escrita da seguinte forma 
1 +
1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
9
+⋯ = ∑
1
(2𝑛 + 1)
∞
𝑛=0
 
 
Associando o termo geral 𝑎𝑛 a uma função 𝑓(𝑥), temos que 
𝑎𝑛 =
1
(2𝑛 + 1)
↔ 𝑓(𝑥) =
1
(2𝑥 + 1)
 
 
Como a função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da série, calculamos a integral imprópria 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
= ∫
𝑑𝑥
(2𝑥 + 1)
∞
0
= lim
𝑡→∞
∫
𝑑𝑥
(2𝑥 + 1)
𝑡
0
= lim
𝑡→∞
(
ln(2𝑥 + 1)
2
)
0
𝑡
= lim
𝑡→∞
(
ln(2𝑡 + 1)
2
) = ∞ 
 
∴ 𝟏 +
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟓
+
𝟏
𝟕
+
𝟏
𝟗
+⋯ é 𝐝𝐢𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
EXERCÍCIO 15 
Determine se a série é convergente ou divergente. 
∑
5− 2√𝑛
𝑛3
∞
𝑛=1
 
RESOLUÇÃO 
Manipulando ∑
5−2√𝑛
𝑛3
∞
𝑛=1 , temos que 
∑
5− 2√𝑛
𝑛3
∞
𝑛=1
=∑
5
𝑛3
−
2√𝑛
𝑛3
∞
𝑛=1
= 5 ∙∑
1
𝑛3
∞
𝑛=1
− 2 ∙∑
√𝑛
𝑛3
∞
𝑛=1
= 5 ∙ ∑
1
𝑛3
∞
𝑛=1⏟ 
p-série com 𝑝=3
− 2 ∙ ∑
1
𝑛5 2⁄
∞
𝑛=1⏟ 
p-série com 𝑝=
5
2
 
 
Como se trata da combinação de duas p-séries com valores de 𝑝 = 3 > 1 e 𝑝 =
5
2
> 1, concluímos que, por ser 
a combinação de duas séries convergentes, a série converge. 
 
∴ ∑
𝟓− 𝟐√𝒏
𝒏𝟑
∞
𝒏=𝟏
é 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 17 
Determine se a série é convergente ou divergente. 
∑
1
𝑛2 + 4
∞
𝑛=1
 
RESOLUÇÃO 
Associando o termo geral 𝑎𝑛 a uma função 𝑓(𝑥), temos que 
𝑎𝑛 =
1
𝑛2 + 4
↔ 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2 + 4
 
 
Como a função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da série, calculamos a integral imprópria 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
= ∫
1
𝑥2 + 4
𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥2 + 4
𝑑𝑥
𝑡
1
 
 
Utilizando a técnica de substituição trigonométrica com 𝑥 = 2 ∙ tg 𝜃 e 𝑑𝑥 = 2. sec2 𝜃 𝑑𝜃, temos 
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 4
= ∫
2 sec2 𝜃 𝑑𝜃
4 tg2 𝜃 + 4
= ∫
2.
1
cos2 𝜃
4 (
sen2 𝜃
cos2 𝜃
+ 1)
𝑑𝜃 = ∫
2.
1
cos2 𝜃
4 (
1
cos2 𝜃
)
𝑑𝜃 = ∫
𝑑𝜃
2
=
𝜃
2
=
tg−1 (
𝑥
2
)
2
 
 
Retornando à integral imprópria, temos 
lim
𝑡→∞
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 4
𝑡
1
= lim
𝑡→∞
[
tg−1 (
𝑥
2)
2
]
1
𝑡
= lim
𝑡→∞
(
tg−1 (
𝑡
2)
2
−
tg−1 (
1
2)
2
) =
1
2
[
𝜋
2
− tg−1 (
1
2
)] 
 
∴ ∑
𝟏
𝒏𝟐 + 𝟒
∞
𝒏=𝟏
 é 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
EXERCÍCIO 21 
Determine se a série é convergente ou divergente. 
∑
1
𝑛 ∙ ln 𝑛
∞
𝑛=2
 
RESOLUÇÃO 
Associando o termo geral 𝑎𝑛 a uma função 𝑓(𝑥), temos que 
𝑎𝑛 =
1
𝑛 ln𝑛
↔ 𝑓(𝑥) =
1
𝑥 ln 𝑥
 
 
Como a função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da série, calculamos a integral imprópria 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
2
= ∫
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
∞
2
= lim
𝑡→∞
∫
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
𝑡
2
 
 
Utilizando a técnica de substituição com 𝑢 = ln 𝑥 e, consequentemente, 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
, temos 
∫
1
ln 𝑥⏟
𝑢
∙
𝑑𝑥
𝑥⏟
𝑑𝑢
= ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln𝑢 = ln(ln 𝑥) 
 
Retornando à integral imprópria, temos 
lim
𝑡→∞
∫
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
𝑡
2
= lim
𝑡→∞
[ln(ln 𝑥)]1
𝑡 = lim
𝑡→∞
(ln(ln 𝑡) − ln(ln 2)) = ∞ 
 
∴ ∑
𝟏
𝒏 ∙ 𝐥𝐧𝒏
∞
𝒏=𝟐
 é 𝐝𝐢𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
EXERCÍCIO 23 
Determine se a série é convergente ou divergente. 
∑
𝑒
1
𝑛⁄
𝑛²
∞
𝑛=1
 
RESOLUÇÃO 
Associando o termo geral 𝑎𝑛 a uma função 𝑓(𝑥), temos que 
𝑎𝑛 =
𝑒1 𝑛⁄
𝑛2
↔ 𝑓(𝑥) =
𝑒1 𝑥⁄
𝑥2
 
 
Como a função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da série, calculamos a integral imprópria 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
= ∫
𝑒1 𝑥⁄
𝑥2
𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑡→∞
∫
𝑒1 𝑥⁄
𝑥2
𝑑𝑥
𝑡
1
 
 
Utilizando a técnica de substituição com 𝑢 =
1
𝑥
 e, consequentemente, 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥2
, temos 
∫𝑒1 𝑥⁄
⏞
𝑢
∙
𝑑𝑥
𝑥2⏟
−𝑑𝑢
= −∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = −𝑒𝑢 = −𝑒1 𝑥⁄ 
 
Retornando à integral imprópria, temos 
lim
𝑡→∞
∫
𝑒1 𝑥⁄
𝑥2
𝑑𝑥
𝑡
1
= lim
𝑡→∞
[−𝑒1 𝑥⁄ ]
1
𝑡
= lim
𝑡→∞
(−𝑒1 𝑡⁄ + 𝑒) = 𝑒 − 1 
∴ ∑
𝒆
𝟏
𝒏⁄
𝒏²
∞
𝒏=𝟏
 é 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 
 
EXERCÍCIO 25 
Determine se a série é convergente ou divergente. 
∑
1
𝑛3 + 𝑛
∞
𝑛=1
 
RESOLUÇÃO 
Associando o termo geral 𝑎𝑛 a uma função 𝑓(𝑥), temos que 
𝑎𝑛 =
1
𝑛3 + 𝑛
↔ 𝑓(𝑥) =
1
𝑥3 + 𝑥
 
 
Como a função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da série, calculamos a integral imprópria 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
= ∫
𝑑𝑥
𝑥3 + 𝑥
∞
1
= ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥2 + 1)
∞
1
= lim
𝑡→∞
∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥2 + 1)
𝑡
1
 
 
Utilizando a técnica de substituição trigonométrica com 𝑥 = tg 𝜃 e 𝑑𝑥 = sec2 𝜃 𝑑𝜃, temos 
∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥2 + 1)
= ∫
sec2 𝜃 𝑑𝜃
tg 𝜃 (tg2 𝜃 + 1)
= ∫
(
1
cos2 𝜃
)𝑑𝜃
sen 𝜃
cos 𝜃
(
sen2 𝜃
cos2 𝜃
+ 1)
= ∫
(
1
cos2 𝜃
)𝑑𝜃
sen𝜃
cos 𝜃 (
1
cos2 𝜃
)
= ∫
cos 𝜃 𝑑𝜃
sen𝜃
 
= ln(sen𝜃) = ln(sen𝜃)
𝑥=tg𝜃
∴
sen𝜃=
𝑥
√𝑥2+1
→ ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥2 + 1)
= ln (
𝑥
√𝑥2 + 1
) 
 
Retornando à integral imprópria, temos 
lim
𝑡→∞
∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥2+ 1)
𝑡
1
= lim
𝑡→∞
[ln (
𝑥
√𝑥2 + 1
)]
1
𝑡
= lim
𝑡→∞
[ln (
𝑡
√𝑡2 + 1
) − ln (
1
√2
)] = − ln (
1
√2
) 
 
∴ ∑
𝟏
𝒏𝟑 + 𝒏
∞
𝒏=𝟏
 é 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞