7 - Cálculo de Flexibilidade

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FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO
CÁLCULO DE FLEXIBILIDADE DE TUBULAÇÕES
Guilherme Medeiros
Aula 7
CÁLCULO DE FLEXIBILIDADE
MÉTODOS DE CÁLCULO
Existem vários processos de cálculos de flexibilidade, dependendo da precisão requerida. Podemos citar alguns:
Método Computacional (software)
Método analítico Geral
Métodos gráficos e de tabela (alguns casos);
Métodos simplificados (várias configurações);
Método preliminar da ASME B 31;
MÉTODOS APROXIMADOS
Método da Viga em Balanço Guiada
é um método aproximado para o cálculo das tensões internas e dos esforços da reação nos extremos de uma tubulação, provenientes das dilatações térmicas ou movimentos dos pontos extremos.
Esse método não pode ser empregado para análise de sistemas em que se exijam cálculos precisos.
MÉTODOS APROXIMADOS
Condições para aplicação do método
As tubulações podem ser planas ou espaciais;
Todos os lados devem ser paralelos a uma das três direções ortogonais (eixos x, y e z);
Todos os lados façam ângulos retos ente si;
Todos os “lados” (trechos) sejam constituídos por tubos “iguais” (mesmo material, diâmetro, esp., etc)
O sistema tenha apenas dois pontos de fixação nos extremos (sem restrição intermediária)
MÉTODOS APROXIMADOS
Hipóteses do método
Todos os lados se deformam sem que haja deformações ou rotações nas curvas, os ângulos permanecem retos e os lados paralelos às direções da posição inicial;
Os lados se deformam como se fossem vigas em balanço com os extremos guiados;
A dilatação total que se dá em cada uma das três direções ortogonais (a soma) é integralmente absorvida pela flexão dos lados paralelos às outras direções;
MÉTODOS APROXIMADOS
Hipóteses do método
Não são levadas em consideração as torções que se dão nos lados de uma configuração tridimensional.
MÉTODOS APROXIMADOS
Método da Viga em Balanço Guiada
90°
MÉTODO DA VIGA EM BALANÇO GUIADA
Quando há variação de temperatura a tubulação sofre variação no comprimento ;
Se o tubo estiver livre, essa variação ocorrerá sem maiores consequências;
MÉTODO DA VIGA EM BALANÇO GUIADA
Os resultados obtidos por este método são em geral conservativos, por que a maioria dos sistemas é na realidade bem mais flexível do que o considerado nas hipóteses anteriores.
Há sempre uma flexibilidade adicional causada pelas deformações dos ângulos
Sistemas espaciais contam com a torção além da flexão
Obs: não se pode garantir que sempre os projetos estejam do lado da segurança.
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
Considere uma configuração simples em “L” com ancoragem em ambas as extremidades, figura a seguir.
As dilatações vão
causar flexão nos 
elementos;
O lado será exposto
à flecha e vice-versa;
1
2
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
B
B
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
A expressão da flecha em uma viga em balanço com o extremo guiado é:
P – Força aplicada na extremidade do elemento
L – Comprimento do lado
– módulo de elasticidade do material
– módulo de inércia do tubo
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
A flecha que cada lado pode suportar é proporcio-nal ao cubo do comprimento;
B
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
A expressão do momento fletor máximo e da tensão máxima da viga guiada é:
M – momento fletor máximo
S – tensão máxima 
– diâmetro externo do tubo
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
Momento Fletor Máximo
Momento fletor
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
Substituindo as equações encontramos:
Como a norma ASME B 3’1 estabelece que os cálculos das tensões seja feito com o módulo de elasticidade na temperatura de montagem da linha - ;
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
As tensões máximas , dos lados e 
As dilatações e serão:
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
 representa expansão linear unitária entre a temperatura final e de instalação da linha;
 [mm/m]
Tabelas padronizam os valores de considerando a temperatura de montagem como 21°C
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
As tensões máximas 
chamando:
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “L”
REAÇÕES EXERCIDAS NAS ANCORAGENS
B
REAÇÕES EXERCIDAS NAS ANCORAGENS
Momentos fletores em A e C
O termo foi adicionado, pois a ASME B 31 estabelece que o cálculo das reações deve ser feito com o valor de E à temperatura 
máxima - ;
INFORMAÇÕES DIMENCIONAIS DOS TUBOS
MÓDULO DE ELASTICIDADE x TEMPERATURA
MÓDULO DE ELASTICIDADE x TEMPERATURA
REAÇÕES EXERCIDAS NAS ANCORAGENS
Momentos fletores em A e C
Chamando: 
REAÇÕES EXERCIDAS NAS ANCORAGENS
Reações em X e Y
EXERCÍCIO 03
Considere uma tubulação de recalque de uma bomba (C) ligada a um tanque em (A). O material dessa tubulação é aço carbono 0,35%. A, tem diâmetro DN 8” e Sch 40. A temperatura de trabalho é 180°C. Considere e .
Determine a tensão máxima na linha e as reações no bocal da bomba e do tanque.
EXERCÍCIO 03
Bomba
Tanque
A
C
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
INFORMAÇÕES DIMENCIONAIS DOS TUBOS
MÓDULO DE ELASTICIDADE x TEMPERATURA
EXERCÍCIO 03,2
Considere uma tubulação de recalque de uma bomba (C) ligada a um tanque em (A). O material dessa tubulação é aço carbono 0,2%. A, tem diâmetro DN 10” e Sch 40. A temperatura de trabalho é 300°C. Considere e .
Determine a tensão máxima na linha e as reações no bocal da bomba e do tanque.
EXERCÍCIO 03
Bomba
Tanque
A
C
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
INFORMAÇÕES DIMENCIONAIS DOS TUBOS
MÓDULO DE ELASTICIDADE x TEMPERATURA
CONFIGURAÇÃO EM “U”
Considere uma configuração em “U” com ancoragem em ambas as extremidades.
A dilatação do lado 
desenvolve-se para os 
dois lados, causando 
flexão em e ;
O lado será exposto
à diferença de dilatações 
 e 
CONFIGURAÇÃO SIMPLES EM “U”
D
A
B
CONFIGURAÇÃO EM “U”
Deflexões
Lado :
Lado :
Lado :
A dilatação do lado :
A distribuição da dilatação é proporcional à flexibilidade, que por sua vez é proporcional a 
CONFIGURAÇÃO EM “U”
A distribuição da dilatação do lado :
Onde,
 
Lembrando:
Deflexão do Lado :
CONFIGURAÇÃO EM “U”
As tensões máximas 
Substituindo as deformações e chamando:
REAÇÕES EXERCIDAS NAS ANCORAGENS
Momentos fletores em A e C
Chamando: 
REAÇÕES EXERCIDAS NAS ANCORAGENS
Reações em X e Y
 ou
EXERCÍCIO 04
Verificar a flexibilidade e calcular as reações e momentos de reação da configuração indicada.
Considerar tensão admissível na 160 MPa
0,35%C
EXERCÍCIO 04
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
INFORMAÇÕES DIMENCIONAIS DOS TUBOS
MÓDULO DE ELASTICIDADE x TEMPERATURA
CONFIGURAÇÃO EM “Z”
Similar a configuração “U”.
Considerar as mesmas equações já apresentadas, com exceção para a tensão no lado . Nesse caso as dilatações dos trechos 1 e 3 devem ser somada:
CONFIGURAÇÃO EM “Z”
As tensões máximas 
Sendo:
REAÇÕES EXERCIDAS NAS ANCORAGENS
Momentos fletores em A e C
Chamando: 
REAÇÕES EXERCIDAS NAS ANCORAGENS
Reações em X e Y
 
EXERCÍCIO 05
Verificar a flexibilidade e calcular as reações e momentos de reação da configuração indicada.
Considerar tensão admissível na 160 MPa
=6
=7,5
=3
0,35%C
EXERCÍCIO 05
=6
=7,5
=3
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
INFORMAÇÕES DIMENCIONAIS DOS TUBOS
MÓDULO DE ELASTICIDADE x TEMPERATURA
CASO GERAL
Considere uma configuração geral (plana ou espacial) com ancoragem em ambas as extremidades.
Deve satisfazer as 
condições expostas;
Cada Lado (trecho) está
 submetido simultanea-
mente a duas flexões 
ortogonais
CASO GERAL
Deflexões
Lado : Lado paralelo a x
Lado : Lado paralelo a y
Lado : Lado paralelo a z
As deflexões do lado :
CASO GERAL
Deflexões
As deflexões do lado :As deflexões do lado :
CASO GERAL
Dilatações
, : Valor absoluto da soma algébrica das dilatações lineares dos lados paralelos à direção x, combinado com a soma algébrica dos pontos extremos nessa direção;
Tensões máximas
Lado :
CASO GERAL
Tensões máximas
Lado :
Lado :
CASO GERAL
As constantes , , :
CASO GERAL
Tensão máxima real
Para cada lado pode-se calcular a tensão máxima real somando-se vetorialmente as duas tensões encontradas para cada lado. Por exemplo para o lado 
Formas similares podem ser encontradas para os outros lados.
OBS: Na prática costuma-se não calcular essa tensões resultantes para compensar a não consideração da torção.
EXERCÍCIO 06
Verificar a flexibilidade através do calculo das tensões nos trechos da tubulação. Considerar tensão admissível de 160 MPa
370°C
0,2% C
EXERCÍCIO 06
4,5 m
3,0 m
6,0 m
5,5
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
INFORMAÇÕES DIMENCIONAIS DOS TUBOS
MÓDULO DE ELASTICIDADE x TEMPERATURA
EXERCÍCIO 06
1,5 m
4,5 m
3,0 m
6,0 m
5,5
Para adequar a flexibilidade do sistema, foi acrescentado o trecho BC abaixo. Recalcule as tensões.
CÁLCULO DAS REAÇÕES
Momentos:
Forças:
EXERCÍCIO 07
1,5 m
4,5 m
3,0 m
6,0 m
5,5
No problema anterior, calcule os momentos e reações nos apoios.
REVISÃO
0,35% C
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
INFORMAÇÕES DIMENCIONAIS DOS TUBOS
MÓDULO DE ELASTICIDADE x TEMPERATURA
DESLOCAMENTO DOS PONTOS EXTREMOS
Uma tubulação pode se deformar em função do deslocamento de um ou de ambos os seus extremos. Esse deslocamento normalmente se dá devido a dilatação de outras linhas, vasos de pressão ou equipamento a que a linha esteja ligada. 
Em uma tubulação que sofre apenas um deslocamento na extremidade (sem haver dilatação na mesma). Deve se considerar o deslocamento como se fosse causado por uma dilatação do tubo (como manda o caso geral).
DESLOCAMENTO DOS PONTOS EXTREMOS
Em uma tubulação que sofre os dois movimentos (dilatação e movimento da extremidade). Deve se considerar o resultante dos deslocamentos. É necessário então se analisar se o deslocamento da extremidade atenua ou agrava as tensões caso haja dilatação. 
DESLOCAMENTO DOS PONTOS EXTREMOS
Para o exemplo ao lado (fixo em A), caso a tubulação se dilatasse, o normal seria o ponto D subir (L1>L3). Nesse caso, se o suporte em D se mover para cima, seu deslocamento deve ser subtraído da movimentação gerada pela dilatação. Caso o suporte em D desça, deve se somar. 
EXERCÍCIO 08
0,35% C
Calcule a tensão no apoio D
EXPANSÃO UNITÁRIA - 
INFORMAÇÕES DIMENCIONAIS DOS TUBOS
MÓDULO DE ELASTICIDADE x TEMPERATURA