como resolver problemas de matemática - uma reflexão pessoal

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COMO RESOLVER PROBLEMAS DE 
MATEMÁTICA: UMA REFLEXÃO PESSOAL
Sérgio Carrazedo Dantas
(Unespar)
Como resolver problemas de Matemática? Há algumas boas 
respostas para essa pergunta na literatura de Educação Matemá-
tica, em especial em A arte de resolver problemas, de Polya (1978). 
Inspirado nesse livro e baseado em sua experiência em competições 
internacionais de Matemática, Terence Tao, aos 15 anos de idade, 
escreveu um livro cujo título é Como resolver problemas matemáticos: 
uma perspectiva pessoal. Ao longo de quatro capítulos, distribuídos 
em 144 páginas, ele compartilha de um modo próprio de resolver 
problemas relacionados à Teoria dos Números, à Álgebra e Análise, 
à Geometria Euclidiana e à Geometria Analítica.
No primeiro capítulo, o autor apresenta alguns princípios 
orientadores de resolução de problemas seguidos de exemplos. 
Segundo Tao, para resolver um problema de Matemática, é neces-
sário seguir alguns princípios e regras: “compreender o problema, 
compreender os dados e o objetivo do problema, escolher símbolos 
adequados, escrever o que se sabe, modificar o problema, ir provando 
alguma coisa, etc.” (TAO, 2013, p. 11).
A experiência de Terence Tao na resolução de problemas e 
suas contribuições em campos diversos da Matemática fizeram com 
que, em 22 de agosto de 2006, 16 anos mais velho em relação ao 
momento de escrita do livro, ele recebesse a Medalha Fields. Essa 
medalha representava o reconhecimento por sua habilidade de 
resolver problemas persistentes de Matemática e de Matemática 
Aplicada. Além disso, o que chama muito minha atenção é que Tao 
geralmente trabalha em parceria ou em colaboração com outros 
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REGINA DA SILVA PINA NEVES | RAQUEL CARNEIRO DÖRR (ORG.)
matemáticos ou profissionais reconhecidamente especialistas das 
áreas em que ajuda a resolver problemas.
Para abordar alguns passos de resolução de um problema, 
indicados por Terence Tao, considere o seguinte enunciado:
Enunciado 1
Quadrados iguais são recortados de cada canto de um pedaço retangular de papelão 
medindo 18 cm de comprimento por 15 cm de largura, e uma caixa sem tampa é cons-
truída virando os lados para cima. Determine o comprimento x dos lados dos quadrados 
que devem ser recortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
O primeiro passo indicado por Tao consiste em compreender o 
problema constituído a partir do enunciado. Para mim, o enunciado 
acima descreve um problema do tipo “calcule”, ou seja, o enunciado 
descreve uma situação com certos dados que me sugerem estabele-
cer uma sentença matemática, manipulá-la e encontrar uma única 
resposta. Embora um esboço (um desenho) ajude-me a pensar em 
uma estratégia de resolução, a abordagem não é geométrica, mas 
algébrica, pois devo relacionar o volume de uma caixa obtida após 
o recorte de quatro quadrados de lados de medidas desconhecidas 
de um retângulo de medidas 18 cm e 15 cm. E, desse modo, também 
acabo abordando o segundo passo apontado por Tao, que é “com-
preender os dados e o objetivo do problema”.
FIGURA 1 – CAIXA OBTIDA APÓS O RECORTE DE QUATRO QUADRADOS
FONTE: autoria própria
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FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
Quais são os dados do problema? 
Usualmente, a questão é acerca de uns tantos objetos 
com certas propriedades específicas. Para entender-
mos os dados do problema, precisamos saber como 
interagem esses objetos com tais propriedades. Isto 
é importante para focarmos a atenção nas técnicas e 
notações apropriadas ao problema. (TAO, 2013, p. 3).
O passo seguinte consiste em “escolher uma boa notação” 
(TAO, 2013, p. 4). Conforme indicado na Figura 1 e já afirmado 
anteriormente, indiquei por x o comprimento do corte ou do lado 
dos quadrados. A partir daí, obtenho uma expressão para o cálculo 
do volume:
V(x) = (18 – 2x).(15 – 2x).x
Expandindo essa função por meio de alguns cálculos algé-
bricos, obtenho:
V(x) = 4x3 – 66x2 + 270x
O próximo passo é “estabelecer resultados sobre o problema”, 
o que é realizado por meio do cálculo da derivada primeira de V(x):
V’(x) = 12x2 – 132x + 270
Escrevo uma equação igualando V’(x) a zero. Com isso, obtenho 
os pontos críticos de V(x):
V’(x) = 0
x1 = 2,72 e x2 = 8,28
Por fim, são obtidos os valores x1 e x2, dos quais x2 é descar-
tado por não ser possível realizar os quatro cortes com essa medida, 
dadas as medidas de 18 cm por 15 cm do papelão. Como V”(2,72) < 0, 
concluo que V(2,72) = 326,6 cm3 é o volume máximo obtido para a 
situação descrita pelo enunciado. 
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PRESSUPOSTOS TEÓRICOS DE UMA NOVA 
PERSPECTIVA
Para explicitar minha perspectiva de resolução de problemas 
e, em especial, utilizando o GeoGebra, é necessário apresentar 
alguns pressupostos teóricos e, entre eles, algumas noções da Teo-
ria da Atividade de Leontiev (1978) e algumas noções do Modelo 
dos Campos Semânticos (MCS) de Lins (1997, 1999, 2004, 2012a, 
2012b). Segundo Leontiev (1978), uma atividade é composta por três 
elementos estruturais: necessidade, objeto e motivo. A necessidade 
é o princípio da atividade, é o que “dirige e regula a atividade do 
sujeito” (ASBAHR, 2005, p. 29). Porém uma necessidade por si só 
não é suficiente para mobilizar ações do sujeito, é necessário que um 
objeto corresponda à necessidade. Em outras palavras, é necessário 
que um objeto satisfaça a necessidade.
Por exemplo, ao ler o Enunciado 1, um professor de Mate-
mática questiona-se: “Qual é a medida exata do corte que deve ser 
realizado no papelão?”. Nesse momento, o enunciado torna-se para 
esse leitor um problema e essa pergunta que ele faz a si próprio 
indica uma necessidade, ou seja, conhecer a solução do problema. 
O resultado correto passa a ser o objetivo, o objeto dessa atividade. 
Tendo explicitado a necessidade e o objeto de uma atividade, posso 
afirmar que ela tem um motivo; pois, segundo Leontiev (1978):
Uma vez que a necessidade encontra a sua deter-
minação no objeto (se ‘objetiva’ nele), o dito objeto 
torna-se motivo da atividade aquilo que o estimula 
(LEONTIEV, 1978, p. 107-108).
É possível que você, leitor deste capítulo, faça a seguinte inda-
gação após ler sobre essa breve exposição sobre noções da Teoria 
da Atividade: por que essas noções são úteis para discutir uma 
perspectiva de resolução de problemas em que se utiliza um objeto 
tecnológico (GeoGebra)?
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FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
Para responder a essa pergunta, é preciso explicitar que o 
termo “tecnologia” é compreendido conforme apresentado por 
Vieira Pinto (2005, p. 294),
[...] as técnicas de que os homens de uma sociedade 
particular, em determinado momento da história 
se valem para satisfazer os objetivos a eles impos-
tos ou que inventam, idealmente ou movidos por 
necessidades definidas.
O que também é sustentado por Asbahr (2005, p. 109) quando 
afirma que, ao longo de sua história, “os homens construíram infin-
dáveis objetos para satisfazerem suas necessidades. Ao fazê-lo, 
produziram não só objetos, mas também novas necessidades e, com 
isso, novas atividades”. Em outras palavras, o recurso tecnológico, 
discutido neste texto, um programa utilizado em um computador, é 
entendido como um aparato tecnológico inventado por um sujeito, 
aceito socialmente e que atende a algumas necessidades e pode 
produzir algumas novas em seus usuários. E, nesse caso, interessa-
me compreender como as novas possibilidades de agir de usuários, 
analisadas na perspectiva de atividades, traduzem-se na produção 
de novos conhecimentos, de uma nova consciência.
A consciência é o produto subjetivo da atividade 
dos homens com os outros homens e com os obje-
tos; assim, a atividade constitui a substância da 
consciência, e para estudá-la é necessário investigar 
as particularidades da atividade [...] (ASBAHR, 
2005, p. 110). 
Além de compreender a resolução de problemas como ativi-
dades, considero que nossas ações são sempre realizadas e dirigidas 
a interlocutoresque são constituídos no interior de atividades. O 
interlocutor, segundo Lins (2012), até pode coincidir com alguém 
que está à minha frente e com quem dialogo, mas não é assim que 
esse autor refere-se a um interlocutor. Segundo ele,
O interlocutor é uma direção na qual se fala. Quando 
falo na direção de um interlocutor é porque acredito 
que este interlocutor diria o que estou dizendo e 
142
REGINA DA SILVA PINA NEVES | RAQUEL CARNEIRO DÖRR (ORG.)
aceitaria/adotaria a justificação que me autoriza 
a dizer o que estou dizendo (LINS, 2012, p. 19).
Para exemplificar, retorno a resolução do Enunciado 1, apre-
sentada na primeira seção deste capítulo. Ao resolver o problema que 
constituí como leitor do enunciado, eu me inseri em uma atividade. 
Tal atividade, como já mencionei, tinha uma necessidade (conhecer 
a solução de um problema), um objeto (a medida exata) e um motivo. 
Adotei como método algumas das indicações de Terence Tao em sua 
perspectiva de resolução de problemas: constituí um problema a 
partir de um enunciado, compreendi os dados do problema, escolhi 
uma boa notação e obtive resultados sobre o problema.
No interior da atividade “resolução de um problema de Mate-
mática”, o que escrevi foi dirigido a um interlocutor que não é você 
leitor deste capítulo, não é um estudante de uma disciplina de Cál-
culo Diferencial e Integral que leciono, pois todos esses sujeitos são 
seres biológicos. A enunciação foi dirigida a um ser que constituí 
cognitivamente como possuidor de certas legitimidades que auto-
rizaram ou endossaram uma resolução que possui as características 
descritas no livro de Terence Tao.
Em outras palavras, estabeleci um interlocutor, um mate-
mático, e a partir do que é legítimo ser feito dentro de uma prática 
matemática, resolvi um problema. O ser cognitivo que constituí 
não aceitaria uma resposta, mesmo que correta, obtida por tenta-
tiva e erro. Essa não aceitação deve-se ao fato de que tal método de 
resolução não segue os passos descritos como matematicamente 
aceitáveis, logo não são legítimos para ele.
É importante ressaltar que esse sujeito, por mim constituído, 
endossaria apenas uma prática matemática conforme a que ele 
pratica: a Matemática do matemático. Em outras palavras, esse ser 
cognitivo chamado de interlocutor demarca limites do que pode ser 
dito e realizado por mim.
Essa noção deve-se à concepção do processo de comunicação 
presente no MCS. Tradicionalmente, a comunicação é pensada como 
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FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
alguém falando algo para outro alguém. No MCS, o processo de 
comunicação é pensado como duas pessoas falando em uma mesma 
direção, ou seja, a comunicação acontece quando ambos comparti-
lham de interlocutores, de modos de produção de significado.
No MCS a noção de comunicação é substituída 
pela noção de espaço comunicativo, que é um pro-
cesso de interação no qual (dizer isto, para o MCS, 
é redundante) interlocutores são compartilhados. 
Numa inversão conceitual, “comunicação” não cor-
responde mais a algo do tipo “duas pessoas falando 
uma para a outra”, e sim a “dois sujeitos cognitivos 
falando na direção de um mesmo interlocutor”. 
(LINS, 2012, p. 24).
FIGURA 2 – COMUNICAÇÃO
OUTRA POSSIBILIDADE DE RESOLUÇÃO DO ENUNCIADO 1
Na Matemática do matemático, um objeto não é “o que ele 
é” para depois ser examinado e descrito, ele é apenas o que dele 
se diz; mas na sala de aula – por causa dos modos de produção de 
significados legítimos na rua e da “resistência” dos alunos ao que 
não corresponde a esses modos (LINS; GIMENEZ, 1997) –, isso 
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não é suficiente. Assim, a Matemática do professor de Matemática 
é caracterizada por sua aceitação de significados matemáticos e de 
outros significados para coisas que poderiam ser de outra maneira 
chamada “Matemática”. E com a finalidade de abordar outras pos-
sibilidades de produção de significado, apresento a resolução do 
problema do Enunciado 1 no GeoGebra.
O primeiro passo foi construir três controles deslizantes que 
permitissem controlar o comprimento do retângulo (comp) e sua 
largura (larg) e, também, para controlar o comprimento dos lados 
dos quadrados a serem recortados (xo). Em seguida, obtive uma 
representação geométrica plana, ou uma planificação, da caixa que 
se reconfigura ao passo que qualquer um dos controles é modificado.
FIGURA 3 – REPRESENTAÇÃO DO PAPEL RETANGULAR COM OS QUA-
DRADOS RECORTADOS
FONTE: autoria própria
Em uma Janela de Visualização 3D, foi obtido um prisma de 
base retangular que representa a caixa montada. A representação 
3D, do mesmo modo que a planificação, é alterada em suas dimen-
sões de acordo com as medidas definidas nos controles deslizantes.
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FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
FIGURA 4 – MODELO DA CAIXA EM 2D E EM 3D
FONTE: autoria própria
Para obter o gráfico de uma função volume, exibi uma segunda 
Janela de Visualização Plana disponibilizada no GeoGebra e digitei 
no programa uma função que toma como parâmetros os valores dos 
controles deslizantes:
V(x) = (comp – 2x) . (larg – 2x) . x
Essa função foi restringida no intervalo de 0 a Mínimo[comp, 
larg] / 2. Em seguida, utilizando o comando Máximo [<Função>, 
<Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>], obtive o ponto de máximo 
da função. Por último, construí um ponto de coordenadas (xo, V(xo)) 
que, conforme se espera, é exibido sobre o gráfico de V(x).
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FIGURA 5 – REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS E GRÁFICAS 
DA RESOLUÇÃO
FONTE: autoria própria
O comando que calcula o máximo da função determina qual 
deve ser o comprimento de cada quadrado recortado do retângulo 
de dimensões comp x larg. Assim, encontramos a resposta para o 
problema sem realizar cálculos de derivadas. Porém não está aí o 
que destaco na resolução do problema com o GeoGebra.
A primeira questão que destaco é que, nessa construção, é 
possível estabelecer conexões entre tópicos distintos de Matemática, 
tais como: Grandezas e Medidas, Geometria e Álgebra. Na cons-
trução realizada no GeoGebra, obtive uma caixa e sua planificação, 
que são reconfiguradas dinamicamente de acordo com medidas 
selecionadas. Isso permite analisar o formato da caixa de volume 
máximo em comparação com caixas obtidas em outros “cortes”, o 
que se traduz em certo dinamismo em relação às condições impostas 
pelo enunciado.
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FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
FIGURA 6 – JANELAS DE VISUALIZAÇÃO DA RECONFIGURAÇÃO DA CAIXA
FONTE: autoria própria
Um segundo destaque diz respeito ao fato de que o arquivo 
construído no GeoGebra permitiu resolver o problema proposto no 
enunciado e, além disso, permitiu que eu testasse outras hipóteses 
que surgiram durante a resolução:
•	 E se tivéssemos um papelão também retangular de mesma área 
com outras medidas, por exemplo, 30 cm x 9 cm ou 27 cm x 10 cm, 
as soluções seriam as mesmas?
•	 E se o papelão fosse quadrado, a solução seria a mesma?
Um terceiro e último destaque: essa construção não repre-
senta apenas uma forma de resolver um problema proposto em 
um enunciado, mas uma forma de modelar uma situação e, a partir 
dela, fazer enunciações relacionadas ao problema e a possibilidades 
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oriundas da construção. Isso, consequentemente, amplia o leque de 
produções de significado.
Em minha perspectiva, abordar o problema dessa forma não 
consiste apenas em fazer uso de um recurso auxiliar ou fazer um pré-
tratamento do problema para, depois, resolvê-lo matematicamente 
(algebricamente). Consiste em resolver um problema particular e, 
somado a isso, desenvolver um repertório de experiências quanto 
ao tratamento de problemas do mesmo tipo. É nesse cenário que a 
utilização de um dispositivo com o GeoGebra imprime certo ganho 
qualitativo ao resolver problemas de Matemática. Ele foi inseridoem uma atividade de investigação em que possibilidades foram 
ampliadas. Os recursos do GeoGebra permitiram-me construir 
elementos visuais e imprimir movimento ao que era visualizado no 
papel, o que me levou à produção de enunciações e justificações em 
direções diferentes das que foram possíveis ao resolver o problema 
conforme fiz na Resolução 1.
AMPLIANDO AINDA MAIS ALGUMAS POSSIBLIDADES
Nesta seção, amplio a discussão sobre resolução de problemas 
no interior de certas atividades. Para tanto, considero necessário 
apresentar outras noções do MCS. A primeira noção diz respeito à 
produção de significados. No MCS, significado é tudo o que se pode 
e efetivamente se diz de um objeto em certa atividade (LINS, 1997, 
1999, 2004) e objeto é “algo a respeito de que se [diz] algo” (LINS, 
2004, p. 114). Assim, nessa perspectiva, produzir significados é falar 
a respeito de algo e constituir para si um objeto.
Conhecimento, no MCS, pode ser entendido como “uma cren-
ça-afirmação (enunciação de algo que se acredita ser correto) junto 
com uma justificação que torna legítimo enunciar aquela crença
-afirmação” (LINS, 2002, p. 44). 
A justificação “Não é justificativa. Não é explicação para o que 
eu digo. [...]” (LINS, 2012, p. 21), não vem antes nem depois, ela está 
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FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
junto, e seu papel não é explicar a crença-afirmação, mas sim tornar 
sua enunciação legítima (LINS, 2002, p. 44), pois,
[...] ao produzir significado, minha enunciação é feita 
na direção de um interlocutor [que “é uma direção na 
qual se fala”] que, acredito, diria o que estou dizendo 
com a justificação que estou produzindo. Isto quer 
dizer que a legitimidade de minha enunciação não é 
função de algum critério lógico ou empírico que eu 
pusesse em jogo, e sim do fato de que acredito perten-
cer a algum espaço comunicativo. (LINS, 1999, p. 88).
Essas noções são suficientes para abordar o que denomino por 
“conhecimento matemático”, ou por “conhecimento tecnológico”. 
Antes, porém, considere duas resoluções distintas para o problema 
proposto no Enunciado 2.
Enunciado 2
O triângulo da figura abaixo é equilátero, e seus lados medem 10 cm. Os pontos A, B e 
C, inicialmente nos vértices do triângulo, deslocam-se sobre seus lados, de um vértice 
a outro, com a mesma velocidade. Os pontos A e C deslocam-se no sentido horário, e o 
ponto B desloca-se no sentido anti-horário.
Seja	x	a	distância	em	centímetros	percorrida	pelos	pontos	A,	B	e	C,	no	intervalo	0	≤	x	≤	10.	
Seja f(x) a área do triângulo ABC quando x é tal que A, B e C formam um triângulo e 
f(x) = 0, caso contrário.
a. Calcule f(2).
b. Para quais valores de x , 0	≤	x ≤	10	,	tem-se	f(x)	=	0?
c. Esboce	o	gráfico	de	f(x)	para	0	≤	x ≤	10.
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Resolução 1
Para resolver o item a, denomino de PQR o triângulo equilátero 
de lados de medidas 10 cm.
Na ilustração abaixo é possível observar que, após transladar 
os pontos A, B e C na direção e sentido dos vetores PR, QR e RQ 
respectivamente, obtém-se um triângulo ABC de área f(2) = área do 
triângulo ABR - área do triângulo ACR.
Portanto,
f AR RB sen AR RC sen( ) ( ) ( )2 60
2
60
2
8 8
2
3
2
8 2
2
3
2
16 3 4= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −
 
33 12 3=
Quanto ao item b, quando os pontos A, B e C forem trans-
ladados em 5 cm na direção e sentido dos vetores PR, QR e RQ 
respectivamente, estarão localizados sobre os pontos médios dos 
lados PR e QR, respectivamente. E, nesse caso, serão colineares. 
A
R
B
2
2
2
8
10
6
QP
C
f(2)
2
8
R
C
AA B
C
f(2)
R
A B
8 8
151
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
Quando os pontos A, B e C forem transladados em 
10 cm na direção e sentido dos vetores PR, QR e RQ respectivamente, 
novamente, serão colineares. Para todos os outros valores de x, os 
pontos A, B e C serão não colineares, logo, vértices de um triângulo. 
Portanto	os	valores	de	x	para	os	quais	f(x)	=	0,	para	0	≤	x	≤	10	são	
x = 5 e x = 10.
Por último, para a resolução do item c, encontrarei as expres-
sões	de	f(x)	para	0	≤	x	<5	e	para	5	≤	x	≤	10.
Inicio para valores no intervalo [0, 5) e, para isso, tomo PA = 
QB = RC = x e uso a mesma estratégia do cálculo de f(2); para cada 
valor de x, os lados do triângulo equilátero ABR têm o comprimento 
10 – x e dois lados do triângulo ACR têm comprimento 10 – x e x.
A B = C
R
QP
C
A = B = R
P
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REGINA DA SILVA PINA NEVES | RAQUEL CARNEIRO DÖRR (ORG.)
Assim,
f x AR RB sen AR RC sen
f x x x
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
=
⋅ ⋅
−
⋅ ⋅
=
−
⋅ −
−
60
2
60
2
10
2
3
2
102
 
))
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⋅
⋅
=
⋅ − ⋅ − −
=
⋅ − ⋅ −
x
f x x x x
f x x x
2
3
2
3 10 10
4
3 10 5
2
Para valores no intervalo [5, 10], tomo PA = QB = x, então, 
AR = AB = 10 – x. Tenho ainda que BC = QB – QC = x – (10 – x) 
= 2x – 10.
x
10 � x
R
C
AA
C
f(2)
R
A B
10 � x
10 � x10 � x
x
x
x
QP
R
B
A
C
B
x
2x � 10
10 � x
QP
R
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FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
Assim,
f x AB BC sen
f x x x
f x x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
⋅ ⋅
=
− ⋅ −
⋅
=
⋅ − ⋅
120
2
10 2 10
2
3
2
3 10

(( )x − 5
2
Logo, f x
x x x
x x x
( )
( ) ( )
( ) ( )
=
⋅ − ⋅ −
≤ <
⋅ − ⋅ −
≤ ≤



3 10 5
2
0 5
3 10 5
2
5 10
 se 
 se 



Portanto, o gráfico dessa função no intervalo [0, 10] está repre-
sentado a seguir.
FIGURA 7 – REPRESENTAÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO NO INTER-
VALO [0, 10]
FONTE: autoria própria
154
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Resolução 2
Nesta resolução, construí um arquivo no GeoGebra que me 
permitiu alterar parâmetros e analisar os pontos deslocando-se 
sobre os lados do triângulo PQR. Para isso, realizei uma construção 
atento aos seguintes passos:
1. Construí três pontos: P = (0, 0), Q = (10, 0) e R = Girar(Q, 60°). 
O ponto R é construído de maneira a ficar dependente de Q. 
Logo, se Q for redefinido ou movimentado, R é atualizado 
automaticamente pelo programa.
2. Construí um triângulo PQR utilizando o comando Polígo-
no(P, Q, R). 
3. Construí um controle deslizante n com valor mínimo zero, 
valor máximo 10 e incremento 0,1. Esse controle visual per-
mite modificar valores de n com o recurso de clicar e arrastar 
do mouse. Além disso, ao definir os valores mínimo, máximo 
e incremento, informamos ao programa o escopo e o formato 
dos valores desejados.
4. Construí três vetores utilizando os seguintes comandos: u = 
n/10*Vetor(P,R), v = n/10*Vetor(Q, R) e w = n/10*Vetor(R, Q). 
Esses vetores indicam que os pontos A, B e C, construídos no 
próximo passo, serão deslocados dos vértices P, Q e R sobre os 
lados PR e QR. Ao multiplicar cada vetor por n/10, realiza-se 
uma operação dupla: a primeira (multiplicar por 1/10) consiste 
em unitarizar cada vetor, pois os pontos que definem cada um 
deles são extremos de um segmento de comprimento 10 cm. A 
segunda (multiplicar por n) faz com que tenham o comprimento 
determinado pelo controle deslizante n.
5. Construí três pontos utilizando os seguintes comandos A = 
Transladar (P, u), B = Transladar (Q, v) e C = Transladar (R, w).
6. Construí um triângulo ABC com o comando ABC = Polígono (A, 
B, C). Esse comando obtém um triângulo ancorado nos pontos 
dinâmicos A, B e C.
7. Exibi a Janela de Visualização 2 e construí um ponto D = (n, ABC). 
A possibilidade de duas Janelas de Visualização permite realizar 
a construção dos triângulos na Janela de Visualização 1 e outras 
155
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
construções na Janela de Visualização 2. Concentrei a construção 
geométrica dos pontos, dos triângulos e dos vetores na Janela de 
Visualização 1. Nessa janela, deixei também o controle deslizante 
que permite controlar os deslocamentos. Na Janela 2, concentrei 
a função que será construída no próximo passo.
8. Na Janela de Visualização 2, construí um lugar geométrico utili-
zando o comando: Lugar Geométrico (D, n). Com isso,obtenho 
uma função da área de ABC em função do deslocamento x, 
indicado no enunciado e, na minha construção, pelo controle n.
9. Degenerei o Eixo Y de maneira que o gráfico do lugar geomé-
trico pudesse ser visualizado por completo e configurei os dois 
eixos (X e Y) de forma a exibirem somente valores maiores ou 
iguais a zero.
Após realizar esse procedimento de construção, obtive um 
arquivo no GeoGebra com a seguinte interface:
FIGURA 8 – ARQUIVO OBTIDO NO GEOGEBRA
FONTE: autoria própria
Como é possível observar na interface do arquivo construído, 
as respostas para as questões propostas nos itens a, b e c do Enun-
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ciado 2 estão apresentadas na tela do computador. Para obter a área 
do triângulo ABC para x = 2, ou seja, f(2), bastou posicionar o con-
trole deslizante n em 2, pois os vetores u, v e w foram construídos 
de maneira a produzir um deslocamento dos pontos A, B e C de n 
unidades sobre os segmentos PR, QR e RQ, respectivamente. Além 
de calcular f(2), é possível animar o controle n e obter a área de todas 
as variações do triângulo ABC no intervalo [0, 10]. 
Note ainda que, no gráfico exibido na Janela de Visualização 
2, obtém-se f(x) = 0 para x = 5 e para x = 10. Esse gráfico, cons-
truído utilizando o comando LugarGeométrico( <Ponto do Lugar 
Geométrico>, <Controle Deslizante> ) permitiu obter a medida da 
área do triângulo ABC em função do valor do controle deslizante n 
que, conforme descrito em sua construção, assume valores de 0 a 10.
REFLEXÕES SOBRE POSSIBILIDADES
Ambas as resoluções permitiram-me responder os três itens 
propostos no problema que constituí via o Enunciado 2. Porém, 
em termos de produção de significados, são constituídos objetos 
distintos em cada uma delas, pois as enunciações partem de cren-
ças-afirmações e justificações distintas.
Na resolução 1, as enunciações dizem respeito a objetos da 
Matemática, ou seja, opera-se dentro de uma lógica argumentativa 
própria da Matemática. No texto da resolução, mencionei pontos, 
segmentos, triângulos, funções, medidas, translações, que são objetos 
internalizados por quem resolve o problema e que me permitem 
obter, por meio de processos de deduções e de induções, respostas 
objetivas. A esse conhecimento cujas enunciações são feitas a partir 
de crenças-afirmações e justificações baseadas única e exclusivamente 
na Matemática, chamo de Conhecimento Matemático.
Para exemplificar melhor o que chamo de Conhecimento 
Matemático, durante a resolução 1, os objetos foram apresentados 
de forma bem definida, como se fossem “fotografados” estatica-
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mente. Sutilmente o termo “deslocamento”, utilizado no Enunciado 
2, é substituído por Translação. Esse uso diz respeito à obtenção de 
uma “cópia” do objeto em que são conservadas suas propriedades 
originais, alterando apenas sua posição inicial.
O cálculo da área do triângulo ABC para x = 2, por exemplo, 
é realizado por meio da subtração das áreas de dois outros triângu-
los, cujas medidas são deduzíveis de uma análise da figura original. 
A construção do gráfico da função toma como primeiro passo a 
obtenção da expressão algébrica da função. Essa última foi obtida 
como uma generalização via um processo indutivo, tomando como 
caso inicial o cálculo de f(2). Ressalto novamente que, durante a 
realização da resolução 1, conforme é apresentada, inseri-me em 
uma atividade em que minhas enunciações e meu modo de agir são 
legítimos e próprios do horizonte cultural da Matemática.
Na resolução 2, as orientações de Terence Tao (2013) são 
consideradas; mas, além delas, são colocadas em jogo outras pos-
sibilidades de análise e outros modos de produzir afirmações em 
Matemática. Minhas práticas com o GeoGebra possibilitam-me 
relativizar “o que se faz matematicamente” e colocar em cena outros 
objetos e outros modos de ação. Por exemplo: vetores são utilizados 
apenas como objetos que permitem informar a direção e o sentido 
do deslocamento de um ponto. As operações de unitarização dos 
vetores PR, QR e RQ, embora necessárias e importantes, permitiram, 
em conjunto com um controle deslizante (parâmetro multiplicativo 
n), mover os pontos A, B e C sobre os lados do triângulo PQR e 
visualizar graficamente a variação de área do triângulo ABC a cada 
nova configuração dos seus vértices.
Não foi obtida uma expressão algébrica para a função f(x) 
para, em seguida, obter sua representação gráfica. Aliás, tal expres-
são algébrica não se fez necessária nessa proposta de resolução do 
problema. O gráfico é a materialização da interdependência de 
variáveis que está em jogo: medida do deslocamento dos pontos A, 
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B e C sobre os lados do triângulo PQR (variável independente) e 
área do triângulo ABC (variável dependente).
O recurso de animação do controle deslizante n permite que 
esse controlador numérico assuma valores de 0 a 10 com razão 
incremental igual a 0,1. Visualmente, o triângulo ABC reconfi-
gura-se a cada incremento de n, pois os pontos A, B e C percorrem 
por completo os segmentos PR e PQ e, simultaneamente, o ponto 
D percorre a função f no intervalo de 0 a 10, exibindo a área do 
triângulo ABC em função do comprimento de x. Isso me permite 
produzir enunciações sobre o comportamento da função quanto a 
crescimento e decrescimento, raízes, pontos de máximo, pontos de 
mínimo, entre outros, sem utilizar as ferramentas tradicionais do 
Cálculo Diferencial e Integral, por exemplo, derivadas de funções.
É importante ressaltar, aqui, que as enunciações dos passos 
realizados durante o procedimento de construção e as conclusões 
oriundas da análise das configurações da interface interativa do 
arquivo dizem respeito a modos de uso do GeoGebra. Embora as 
ferramentas construídas pelos programadores do GeoGebra “crista-
lizem” processos geométricos por traz dos resultados que permitem 
obter, tais processos não são realizados por mim, o usuário dessas 
ferramentas, quando executo um comando. Por exemplo, ao digitar 
Transladar(A, u), obtém-se um ponto A’ que corresponde à translação 
de A na direção e sentido indicados por u. Assim, ao fazer uso de 
comandos e recursos do programa de maneira isolada ou de forma 
combinada, minha expectativa é que produzam certos resultados. 
Tal expectativa deve-se a uma combinação de crenças-afirmações 
oriundas de leituras sobre o programa, memória de experiências 
bem-sucedidas com o programa, internalizações de procedimentos 
realizados anteriormente, o que denomino de conhecimento tec-
nológico sobre o GeoGebra.
A distinção entre conhecimento matemático e conhecimento 
tecnológico que apresentei até aqui não tem por objetivo estabelecer 
qualquer juízo de valor entre um conhecimento e outro. Tampouco 
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tentei mostrar que uma forma de conhecimento sobrepõe-se a 
outra em certa atividade. Minha expectativa é que ambos sejam 
considerados como necessários e complementares durante o pro-
cesso de resolução de problemas matemáticos e, sobretudo, sejam 
considerados como práticas legítimas no processo de formação de 
professores de Matemática e, também, sejam considerados em suas 
práticas profissionais.
Ademais, mantenho a expectativa de que a integração desses 
conhecimentos na prática profissional de professores de Matemática 
possibilite a produção de recursos para o ensino e para a aprendiza-
gem de nossa disciplina de trabalho. Além disso, espero que um dos 
resultados dessa integração de conhecimentos seja uma formação 
mais completa dos estudantes da Educação Básica no que diz respeito 
à produção de conhecimentos matemáticos e sua utilização prática.
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